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Aplicao Didtica da Derivada em Vibraes Mecnicas

Csar R. Nunura - Augusto Geroldo Faculdade de Matemtica - PUCRS

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Dalcidio Moraes Cludio (Orientador) Faculdade de Matemtica - PUCRS

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RESUMO

Nos primeiros semestres de faculdade nos cursos de matemtica e engenharia, alunos frequentemente se fazem a seguinte pergunta: Onde usar o clculo? Qual ser sua futura utilidade ou aplicao? Anos mais tarde, encontram a resposta em situaes reais. Para efeitos didticos, colocamos uma aplicao da derivada na analise do funcionamento de um canho. A mesma, faz parte de uma apostila de aplicaes de Clculo Diferencial e Numrico ainda em desenvolvimento por bolsistas de I.C. do GMC-PUCRS.

Considere um canho lanando um projtil conforme a Figura 1:

Figura 1 Canho lanando um projtil

O sistema dinmico massa-mola-amortecedor do canho apresenta os seguintes dados:

Massa do canho (m): 500 kg. Rigidez da mola (k): 10.000 N/m Coeficiente de amortecimento: 4.472,1 (Ns)/m Recuo: 0,4 m

Interessa achar o tempo para atingir o deslocamento mximo do canho ao lanar o projtil, a velocidade inicial e o tempo para retornar a 0,1 m da posio inicial. O sistema acima descrito pode ser considerado que vibra livremente com amortecimento viscoso A resposta pode ser modelada como: ( )[ ]txxxetx ntn ++= /000)(

)(::

:

:

/0

0

stempotinicialVelocidadex

inicialPosioxnaturalFrequncian

Calculamos a freqncia natural:

s

radm

kn 4721,4500

10000===

Derivando (1) achamos o tempo em que ocorre o mximo deslocamento:

( ) ( )[ ] 000000 =+++= txxxexxedtdx Intnnntn Como x0 = 0

( )segundost

txe

n

n

Itn

===

=

2236,04721,411

010

Logo, para um deslocamento mx. de 0,4 m a velocidade inicial ser:

s

mx

xexxxmx

8627,4082258,0

40,0082258,02236,0)2236,0(

/0

/0

2236,04721,4/0

==

===

E o tempo para retornar a 0,1 m da posio inicial:

segundostetetetx

t

tt

==

==

8276,002,08627,41,0

4721,4

4721,44721,4/0

A resposta livre da vibrao pode ser visualizada como:

Resposta Livre da Vibrao

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0 1 2 3 4

Tempo (segundos)

Desl

oca

men

to (m

etro

s)

t (segundos) x(t) (metros)0 0

0,1000 0,3109257150,2000 0,3976177850,2236 0,4000105890,2240 0,4000099780,2300 0,3998502680,2400 0,3989869710,3000 0,3813609550,4000 0,3251278160,5000 0,2598623160,6000 0,1993901570,7000 0,1487406480,8000 0,1086928010,8100 0,1052382770,8200 0,1018780160,8276 0,0993862550,9000 0,078186625

Figura 2 Resposta Livre da Vibrao Aproximadamente em 1 segundo o canho estabiliza da vibrao produzida pelo disparo. Isto interessa para efeitos de projeto, pois problemas de vibrao afetam seriamente elementos mecnicos, provocando desgaste ou ruptura de materiais. Tambm uma vibrao que demore em estabilizar, provoca perturbao e mal funcionamento deste tipo de artefato.

Palavras chave: Vibraes, Freqncia natural, Resposta livre.

Referncias [1]CLAUDIO, D. Clculo Numrico. SP 1994. [2] RAO. Mechanicals Vibrations. U.S.A. 2002.

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