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Disciplina de Clculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
CAPTULO 3 - LIMITE E CONTINUIDADE
3.1- Noo IntuitivaA idia de limite fcil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma placa metlica quadrada que seexpande uniformemente porque est sendo aquecida. Se x o comprimento do lado, a rea da placa dada por
2xA = . Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a rea A tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quandox se aproxima de 3, 2x se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos:
9xlim 23x
=
onde a notao "x3" indica x tende a 3 e "lim" significa o limite de.Generalizando, se f uma funo e a um nmero, entende-se a notao( ) Lxflim
ax=
como " o limite de f(x) quando x tende a a L", isto , f(x) se aproxima do nmero L quando x tende a a.
Exemplo 1: Seja }.2x/Rx{Df,2x
4x)x(f
2
==
Se 2x)2x(
)2x)(2x(
2x
4x)x(f2x
2
+=+=
=2x)x(f2xSe +=
x f(x) x f(x)1 3 3 5
1,5 3,5 2,5 4,51,9 3,9 2,1 4,1
1,99 3,99 2,01 4,01
Note que para todo x V (2, ) f(x) V (4, ) podemos dizer que o limite de f(x) quaigual a 4 e podemos escrever: 4
2x
4xlim
2
2x=
De modo geral se y = f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao.
L)x(flimax
=
Na determinao do limite de f(x), quando x tende para a, no interessa como f est definido em a ( realmente definido). A nica coisa que interessa como f est definido para valores de x na vizinpodemos distinguir trs casos possveis como segue:Suponha que L)x(flim
ax=
. Ento exatamente um dos trs casos vlido:
Caso 1- f est definido em a e f(a)=L.Caso 2- f no est definido em a.Caso 3- f est definido em a e f(a)a
L+
L-
a - a a +
(
436
ndo x tende para 2
nem mesmo se f esthana de a. De fato
)2
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37
3.2- Definio Formal de LimiteSendo f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao dizemos que f (x) tem limite L quando
x tende para a, e se indica por:L)x(flim
ax=
se e somente se para todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que 0 < |x a| <
A funo f definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de aExemplos:Usando a definio de limite, mostre que:
1) 9)4x5(lim1x
=+
5
1x
51x
1x.5
)1x(.5
)1x.(5
5x5
9)4x5(
=
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38
2) kklimax
=
3) [ ] ML)x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax
==
4) M.L)x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax
==
5) )x(flim.c)x(f.climaxax
= onde c uma constante qualquer
6)
==
0)x(glimM
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
axax
ax
ax
7) [ ] nnax
n
axL)x(flim)x(flim =
=
(n um inteiro positivo qualquer)
8) nnax
n
axL)x(flim)x(flim ==
se L>0 e n um inteiro positivo, ou se L
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b- x2x
1xxlim
2
2
2x +++
c- 8t21
1tlim
2
2/1t +++
d- 5x2
25x4lim
2
2/5x
e- ( )
x1
1x1lim
1x
3.3- Limites Laterais
Limite direita:Seja f uma funo definida em um intervalo (a, c) e L um nmero real, a
afirmao L)x(flimax
=+ , significa que para todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que 0 < x a < a < x < a + Limite esquerda:
Seja f uma funo definida no intervalo (c, a) e L um nmero real, a afirmao L)x(flimax
= , significa quepara todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que - < x a < 0 a- < x < a
3.3.1- Teorema
O limite )x(flimax
existe e igual a L se e somente se ambos os limites laterais )x(flime)x(flimaxax +
existem e tem o mesmo valor comum L.L)x(flim)x(flimL)x(flim
axaxax=== +
Exemplos:
1) +=
2xse4x2
2xse1x3)x(f
existeno)x(flimdiferentesso0)x(flim
7)x(flim?)x(flim
2x2x
2x
2x=
==
=
+
Exerccios:1- Nos problemas de a at c trace o grfico das funes dadas, ache os limites laterais das funes dadas quando xtende para a pela direita e pela esquerda e determine o limite da funo quando x tende para a ( se o limite existe)
( )a c
( )a a+
( )a- a
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a) ( ) 3a;3xsex9
3xsex5xf =
>+=
b) ( ) 1a;1xsex
1xsex2xf 2 =
>=
c) ( )2
1a|,3x6|5xS =+=
2- Explique porque freqentemente achamos )x(flimax
apenas pelo clculo do valor de f no ponto a. D um exemplo
para mostrar que )a(f)x(flimax
=
pode no ocorrer
3.4- Continuidade das FunesMencionamos anteriormente que quando o ( ) ( )afxflim
ax=
, a funo f contnua em a. De agora em diante
consideraremos isto uma definio oficial.
Definio 1: Dizemos que a funo f contnua em um nmero a se e somente se as seguintes condies forem vlidas.Condies:
f (a) )x(flim
ax )x(flim)a(f
ax=
)a(f
a
y
x a
y
x
b = f (a)
c
a
y
x
y
xa
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==
=
+
c)x(flim
b)x(flim)x(flim
!OK)a(f
ax
ax
ax)x(flim)a(f
!OK)x(flim
!OK)a(f
ax
ax
Exerccios:
1) Verificar se
>+=
1xsex1
1xsex3)x(f
2
2
contnua para x = 1 :
i) !OK2)1(f =ii) ?)x(flim
1x=
!OK2)x(flimiguaisSo
211)x(flim
213)x(flim
1x
1x
1x
=
=+===
+
iii) !OK)x(flim)1(f1x=
Resposta: contnua
2) Verificar se 3x)x(f 2 = contnua para x = 0 :!OK3)0(f =
3)x(flim0x
=
OK!
)x(flim)0(f0x
Resposta: Como as condies 1 e 3 da definio 1 foram satisfeitas, conclumos que f contnua em 0
3) Verifique se a funo f definida por
=+
++=
1xse3
1xse1x
1x3x2)x(f
2
contnua para o nmero -1
Observaes Importantes: Se os dois limites laterais ( )xflimax
e ( )xflimax +
existem e tm o mesmo valor, claro que
( )xflimax
existe e que todos os trs limites tm o mesmo valor. Se ( )xflimax
existe, os dois limites laterais ( )xflimax
e
( )xflimax +
existem e todos os trs limites so iguais. Consequentemente, se os dois limites ( )xflimax
e ( )xflimax +
existem, mas tm valores diferentes, ento ( )xflimax
no pode existir.
Exerccios
1- Em cada exemplo, (a) trace o grfico da funo, (b) ache os limites laterais da funo quando ax e quando+ ax , (c) determine o limite da funo quando xa (se ele existe) e (d) diga se a funo contnua no valor a
1- ( ) 3a;3xsex10
3xse1x2xf =
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3- ( ) 1a;1xsex1
1xsex3xf
2
2
= >+
=
3.4.1- Propriedades das Funes Contnuas
Suponha que f e g sejam duas funes contnuas no nmero a. Ento tanto f(a) como g(a) so definidas, econsequentemente (f+g)(a)=f(a)+g(a) definida.1- Se f e g so contnuas em a, ento f+g, f-g e f.g tambm o so.2- Se f e g so contnuas em a e g(a)0, ento f/g contnua em a.3- Se g contnua em a e f contnua em g(a), ento f g contnua em a.4- Uma funo polinomial contnua em todos os nmeros.5- Uma funo racional contnua em todo nmero no qual est definida.
Exerccios1- Use as propriedades bsicas de funo contnua para determinar em quais nmeros as funes dadas so contnuas.Trace o grfico das funes.
1- ( ) |x|xxf +=2- ( ) |x|xf 2=3- ( )
1x
2xf =
3.4.2- Continuidade em um intervaloDizer que uma funo f contnua em um intervalo aberto I significa, por definio, que f contnua em todos
os nmeros no intervalo I. Por exemplo, a funo ( ) 2x9xf = contnua no intervalo aberto (-3,3)
Da mesma forma, dizer que uma funo f contnua em um intervalo fechado [a,b] significa, por definio que f contnua no intervalo aberto (a,b) e que satisfaz as seguintes condies de continuidade nos pontos finais a e b:
( ) ( )afxflimax
=+ e ( ) ( )bfxflimbx =Por exemplo, a funo ( ) 2x9xf = contnua no intervalo fechado [-3,3]3.5- Limite de Funo Composta
Sejam f e g duas funes tais que Imf C Dg. Nosso objetivo estudar o limite( )( )xfglimpx
Supondo que ( ) axflimpx
=
razovel esperar que
( ) ( )uglimuglimaupx
= sendo u=f(x)
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43
Os casos que interessaro ao curso so aqueles em que g ou contnua em a ou no est definida em a. O quadro queapresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de funo composta no clculo de limites.
( ) ?xFlimpx
=
Suponhamos que existam funes g(u) e u=f(x), onde g ou contnua em a ou no est definida em a, tais que
F(x)=g(u) onde u=f(x), x Df, ( ) axflimpx
=
(ua para xp) e que ( )uglimau
exista. Ento
( ) ( )uglimxFlimaupx
=
Exerccios
1- Calcule os limites
a) 1x
1xlim
2
1x
b)( )
1x
16x3lim
3
43
1x
c) 1x
12xlim
3
1x ++
d) 1x
25x3lim
2
3
1x +
2) Seja f definida em R. Suponha que ( )
1x
xflim
0x=
. Calcule
a) ( )x
x3flim
0x
b) ( )x
xflim
2
0x
c) ( )
1x
1xflim
2
1x
3) Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que ( ) ( )
Lpx
pfxflim
px=
calcule
a) ( ) ( )
h
pfhpflim
0h
+
b) ( ) ( )
h
pfh3pflim
0h
+
c) ( ) ( )
h
pfhpflim
0h
3.6- Limite das Funes Algbricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
)a(F)x(Flim
a...x.ax.a)x(F
ax
n1n
1n
0
=+++=
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3.7- Limite das Funes Racionais Fracionrias
0
n
0)a(ge0)a(QSe
0n
0
0)a(ge0)a(QSe
)a(g
)a(Q
)x(g
)x(Qlim
b...x.bx.b)x(g
a...x.ax.a)x(Q
)x(g
)x(Q)x(F
ax
m1m
1m
0
n1n
1n
0
=
==
=+++=+++=
=
a funo no est definida para x = a
existeno)x(g
)x(Qlimdiferentesso
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlimiguaisso
)x(g
)x(Qlim
)x(g
)x(Qlim
:Calcule0
n
existeno0
n
ax
ax
ax
ax
ax
ax
=
=
=
=
=
=
+
=
+
+
m
Exerccios:
1) 5
7
5
7
9x4
2x5lim
21x==
+
2) 012
0
2x5
4xlim
2
2x==+
3) ?0
10
2x
x5lim
2x==
existeno
0
10
2x
x5lim
0
10
2x
x5lim
2x
2x
==
+==
+
+
4) ?0
10
)2x(
x5lim
22x==
+==
+==
+==
+
+
+
22x
22x
22x
)2x(
x5lim
0
10
)2x(
x5lim
0
10
)2x(
x5lim
a( )
Disciplina de Clculo DProf. Salete Souza de O
0)x(g)x(QSe ===
00
)x(g
)x(Qlim
axindeterminao .etc,
=
Exerccios:
1) 0
0
2x
4xlim
2
2x=
4
22
2xlim
)2x(
)2x)(2x(lim
2x
2x
=+=
+=
+
2) 0
0
)2x3x(
)4x(lim
2
2
2x=+
4
)12(
)22(
)1x(
)2x(lim
)1x)(2x(
)2x)(2x(lim
2x
2x
=+=
+=
+
3) z4z
z3zlim
2
34
2z ++
6
2(
lim2z
==
4) 1t
1tlim
3
1x=+
+
3
((
lim1x
==il
+
z(
0
0
)1
t(
(ferencial e Integral Iiveira Buffoni
45
0
0
4
z4 =
)2).(1
)2z(
z).1z.()22
2
+
+
)1)1(
)1t(
)1tt)(1
2
2
++
++
z+2) -2 1 3 0 -4 0(z-1) 1 1 1 -2 0
1 2 0 z2 + 2z = 0
+==
)2z(2z
z0z
(t+1) 1 1 0 0 1 01 -1 1 0
( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )
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3.8- Limite das Funes Irracionais
( ) ( )( ) ( ) ( )
4
2
2
2
22
1
22
1
22x
1lim
22x
1
22x.x
x
22x.x
22x
22x
22x
x
22x
0
0
x
22xlim
0x
0x
=
=+=++
++=++=+++=++
+++
=+
Outra maneira:Substituio de Varivel
( )( )
4
2
22
1
2t
1lim
2t2t
2tlim
2t
2tlim
2t0x
2tx
t2x
0
0
x
22xlim
2t
2t
22t
2
2
0x
=+=+=
+=
==+
=+
3.9- Limites Envolvendo InfinitoDefinies:1) Dizemos que um elemento c finito quando c R e dizemos que c infinito quando c um dos smbolos
+ ou -.Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por
+= c
)x(flimbx
. Em caso contrrio diremos que no existe o limite e escreveremos
=
+ )x(flim
)x(flim)x(flim
bx
bx
bx.
2) Seja f definida em um intervalo (c, +). A afirmao L)x(flimx
=
, significa que a todo > 0corresponde um nmero positivo N, tal que | f (x) L | < x > N.
3) Seja f definida em uma vizinhana perfurada de a, a afirmao f (x) se torna infinita quando x tende para aque se escreve: =
)x(flim
ax, significa que para todo nmero positivo N, corresponde um > 0 / f (x) >
N sempre que 0 < | x a | < .
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3.10- Limite das Funes Algbricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
+=
+++
ouxalim
a...xaxalim
n0
x
n1n
1
altomaisgrau
n0
x 321
Exerccios
1) ( )1x2x4x5lim 23x
+
=
3
xx5lim
2) ( )2x3x5lim 2x
+
+=
2
xx5lim
3.11- Limite das Funes Racionais Fracionrias
0
0
m0
n0
x
m1m
1m
0
n1n
1n
0
x
b
amn
0mn
oumn
:Se
x.b
x.alim
b...x.bx.b
a...x.ax.alim
=
++++++
Exemplos:
1) 1x6x2
2x4x5lim
2
3
x ++
= 2
3
x x2
x5lim
2) 2x5x
4x3x2lim
3
2
x +++
(a+)(a-)
y
x
a
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48
02
x
x2lim
3
2
x==
3) 4xx2x4x4
4x2x6lim
345
35
x +++
2
3
x4
x6lim
5
5
x=
Indeterminaes:
( ) ( ) 00 ,0,1,0
0,,.0,,
++
3.12- Seqncia e Limite de Seqncia
Uma seqncia ou sucesso de nmeros reais uma funo nana , a valores reais, cujo domnio umsubconjunto de N. As seqncias que vo interessar ao curso so aquelas cujo domnio contm um subconjunto do tipo{ }qn/Nn onde q um natural fixo; s consideraremos tais seqncias.Exemplos:
1- Seja a seqncia de termo geral nn 2a = . TemosK,2a,2a,2a 221100 ===
2- Seja a seqncia de termo geral n321sn ++++= K temos321s,21s,1s 321 ++=+== etc.
Sejam nm dois naturais. O smbolo=
n
mkka
leia: somatrio de ka , para k variando de m at n e usado para indicar a soma dos termos n2m1mm a,a,a,a K++
Definio: Consideremos uma seqncia de termo geral na e seja a um nmero real.Definimos(i) aalim n
n=
+ Para todo 0> , existe um natural 0n tal que + , existe um natural 0n tal que >> n0 ann(iii) =
+ nnalim Para todo 0> , existe um natural 0n tal que n0 ann
Se aalim nn
=+
, diremos que a seqncia de termo geral na converge para a ou, simplesmente, que na converge para
a e escrevemos aan . Se +=+ nn alim , diremos que na para + e escrevemos +na . Observamos que asdefinies dadas aqui so exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma funo f(x), para
+x ; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma ( )xflimn +
aplica-se aqui.
Exerccios1- Calcule os limites
a- 1n
3n2lim
n ++
+
b- 23
12lim
n
n
n ++
+
c- =+
n0k
k
n 2
1lim
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49
2- Supondo que 0>
>>
>>
>>
0
( )
O
-1
1
M
A
TP
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50
1t
tsenlim1
tcoslimt
tsenlim1lim
t
tsenlim
0t
0t0t0t
0t
>>
>>
1t
tsenlim
0t=
Exemplo:
1) x5
x5sen.5lim
0x
51.5
x5
x5senlim.5
1
0x
==
==
43421
2) e)u1(lim u1
0u=+
(2o Limite Fundamental)
Exemplos:
1) e)x1(lim x1
0x=+
2) e)xtan1(lim xtan1
0x=+
3) x
2)x1(lim0x
+
2
2x
1
0x
e
)x1(lim
=
+=
xx
k
0xe)x1(lim =+
4) 21
x2
1
0xe)x1(lim =+
5) ( )x
1x21lim
0x+
( ) 2y20y
ey1lim
2
yx
0y0xyx2
=+=
==
( ) kx10x
ekx1lim =+
3) 1u
utanlim
0u=
1ucos
1lim
u
usenlim
u
1
ucos
usenlim
1
0u
1
0u
0u
=
=
=
=
321321
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51
4) eu
11lim
u
u=
+
* Substituir: 0yuyu
1 =
( ) ky10x
ey1lim =+Exemplos:
kku
ue
u
11lim =
+
ku
ue
u
k1lim =
+
5x5
xe
x
11lim =
+
3x
xe
x
31lim =
+
15x5
xe
x
31lim =
+
5) alnu
1alim
u
0u==
* Substituir: 1yay1a uu +==( )1ylogu0y0u a +=
[ ]
aln
alog
alog
11
alog
elog1
elog
1
elog)y1(limlog)y1(loglim
)y1(logy
1lim
y
)y1(loglim
)y1(log
ylim*
e
ee
ea
1a
1
e
y
1
0ya
1
y
1
a0y
a0y
1a
0ya0y
==
===
=
+=
+=
+=
+=+
=
43421
6) 1u
1elim
u
0u=
7) ( )
elogu
u1loglim a
0u=+
( ) ( ) elogu
1u1limlogu1loglim* a
0uau
1
a0u
=+=+
8) ( )
1u
u1lnlim
0u=+
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52
Limites Notveis
1) 1u
usenlim
0u=
2) e)u1(lim u1
0u=+
3) 1u
utanlim
0u=
4) eu
11lim
u
u=
+
5) alnu
1alim
u
0u==
6) 1u
1elim
u
0u=
7) ( )
elogu
u1loglim a
0u=+
8) ( )
1u
u1lnlim
0u=+
3.15- Assntotas Horizontais e VerticaisAssntotas so retas que tangenciam o grfico de uma funo, no infinito, e normalmente so paralelas aos
eixos x e y. Estes prprios eixos podem ser assntotas.
Assntota VerticalDizemos que a reta x = a uma assntota vertical do grfico de f se for verificada uma das seguintes
condies:1) +=+ )x(flimax2) =+ )x(flimax3) += )x(flimax4) = )x(flimax
AssntotaVertical
x
y
a
y = f (x)
x = a (A.V.)
Disciplina de Clculo Diferencial e IntegralProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
Assntota HorizontalDizemos que a reta y = b uma assntota horizontal do grfico de f se uma das condies abaixo for
verificada:1) b)x(flim
x=
2) b)x(flimx
=
Assntotas verticais envolvem limites infinitos, enquanto que assntotas horizontais envolvem limites no infinito
Exerccios
1) Determinar as assntotas e fazer um grfico de 2x
1)x(f = .{ }2x/RxDf =
y = f (x)
=+=
=
+
)x(flim
)x(flim
}0x/R{xDf
ax
ax
x = a (A.V.)
b)x(flimx
=y = b (A.H.)
b)x(flimx
=+y = c (A.H.)
AssntotaHorizontal
x
y
-
-1/2
AssntotaVertical
y
2
11lim
0
1
2x
1lim
2x
+==
==
+
+
b I 53
x
AssntotaHorizontal
.H.A0y
02x
1lim
02x
1lim
.V.A2x02x
x
x
2x
==
=
=
+
Para x=0 y = -1/2
Disciplina de ClculoProf. Salete Souza de
2) 2x
x4)x(f =
2xou0x/Rx{Df
02x
x4/Rx{Df
>==
3) Dada a funo f(x) = 5x
6x2
, achar as assntotas.
4) Seja y = f(x) = 3x2
4
. Achar as assntotas.
2
x
y
2
22x
x4lim
.H.A2y
242x
x4lim
2x
x4lim
0
8
2x
x4lim
2x
x4lim
2x
x4y
0y 0 xPara
x
xx
2x2x
=
====
+===
===
+
+ ++ Difere Oliveirncial e Integral Ia Buffoni54
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