Documenta2

Disciplina de Clculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni

CAPTULO 3 - LIMITE E CONTINUIDADE

3.1- Noo IntuitivaA idia de limite fcil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma placa metlica quadrada que seexpande uniformemente porque est sendo aquecida. Se x o comprimento do lado, a rea da placa dada por

2xA = . Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a rea A tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quandox se aproxima de 3, 2x se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos:

9xlim 23x

=

onde a notao "x3" indica x tende a 3 e "lim" significa o limite de.Generalizando, se f uma funo e a um nmero, entende-se a notao( ) Lxflim

ax=

como " o limite de f(x) quando x tende a a L", isto , f(x) se aproxima do nmero L quando x tende a a.

Exemplo 1: Seja }.2x/Rx{Df,2x

4x)x(f

2

==

Se 2x)2x(

)2x)(2x(

2x

4x)x(f2x

2

+=+=

=2x)x(f2xSe +=

x f(x) x f(x)1 3 3 5

1,5 3,5 2,5 4,51,9 3,9 2,1 4,1

1,99 3,99 2,01 4,01

Note que para todo x V (2, ) f(x) V (4, ) podemos dizer que o limite de f(x) quaigual a 4 e podemos escrever: 4

2x

4xlim

2

2x=

De modo geral se y = f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao.

L)x(flimax

=

Na determinao do limite de f(x), quando x tende para a, no interessa como f est definido em a ( realmente definido). A nica coisa que interessa como f est definido para valores de x na vizinpodemos distinguir trs casos possveis como segue:Suponha que L)x(flim

ax=

. Ento exatamente um dos trs casos vlido:

Caso 1- f est definido em a e f(a)=L.Caso 2- f no est definido em a.Caso 3- f est definido em a e f(a)a

L+

L-

a - a a +

(

436

ndo x tende para 2

nem mesmo se f esthana de a. De fato

)2


37

3.2- Definio Formal de LimiteSendo f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao dizemos que f (x) tem limite L quando

x tende para a, e se indica por:L)x(flim

ax=

se e somente se para todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que 0 < |x a| <

A funo f definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de aExemplos:Usando a definio de limite, mostre que:

1) 9)4x5(lim1x

=+

5

1x

51x

1x.5

)1x(.5

)1x.(5

5x5

9)4x5(

=


38

2) kklimax

=

3) [ ] ML)x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

==

4) M.L)x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax

==

5) )x(flim.c)x(f.climaxax

= onde c uma constante qualquer

6)

==

0)x(glimM

L

)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim

axax

ax

ax

7) [ ] nnax

n

axL)x(flim)x(flim =

=

(n um inteiro positivo qualquer)

8) nnax

n

axL)x(flim)x(flim ==

se L>0 e n um inteiro positivo, ou se L


39

b- x2x

1xxlim

2

2

2x +++

c- 8t21

1tlim

2

2/1t +++

d- 5x2

25x4lim

2

2/5x

e- ( )

x1

1x1lim

1x

3.3- Limites Laterais

Limite direita:Seja f uma funo definida em um intervalo (a, c) e L um nmero real, a

afirmao L)x(flimax

=+ , significa que para todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que 0 < x a < a < x < a + Limite esquerda:

Seja f uma funo definida no intervalo (c, a) e L um nmero real, a afirmao L)x(flimax

= , significa quepara todo > 0, > 0 / |f (x) L| < sempre que - < x a < 0 a- < x < a

3.3.1- Teorema

O limite )x(flimax

existe e igual a L se e somente se ambos os limites laterais )x(flime)x(flimaxax +

existem e tem o mesmo valor comum L.L)x(flim)x(flimL)x(flim

axaxax=== +

Exemplos:

1) +=

2xse4x2

2xse1x3)x(f

existeno)x(flimdiferentesso0)x(flim

7)x(flim?)x(flim

2x2x

2x

2x=

==

=

+

Exerccios:1- Nos problemas de a at c trace o grfico das funes dadas, ache os limites laterais das funes dadas quando xtende para a pela direita e pela esquerda e determine o limite da funo quando x tende para a ( se o limite existe)

( )a c

( )a a+

( )a- a


40

a) ( ) 3a;3xsex9

3xsex5xf =

>+=

b) ( ) 1a;1xsex

1xsex2xf 2 =

>=

c) ( )2

1a|,3x6|5xS =+=

2- Explique porque freqentemente achamos )x(flimax

apenas pelo clculo do valor de f no ponto a. D um exemplo

para mostrar que )a(f)x(flimax

=

pode no ocorrer

3.4- Continuidade das FunesMencionamos anteriormente que quando o ( ) ( )afxflim

ax=

, a funo f contnua em a. De agora em diante

consideraremos isto uma definio oficial.

Definio 1: Dizemos que a funo f contnua em um nmero a se e somente se as seguintes condies forem vlidas.Condies:

f (a) )x(flim

ax )x(flim)a(f

ax=

)a(f

a

y

x a

y

x

b = f (a)

c

a

y

x

y

xa


41

==

=

+

c)x(flim

b)x(flim)x(flim

!OK)a(f

ax

ax

ax)x(flim)a(f

!OK)x(flim

!OK)a(f

ax

ax

Exerccios:

1) Verificar se

>+=

1xsex1

1xsex3)x(f

2

2

contnua para x = 1 :

i) !OK2)1(f =ii) ?)x(flim

1x=

!OK2)x(flimiguaisSo

211)x(flim

213)x(flim

1x

1x

1x

=

=+===

+

iii) !OK)x(flim)1(f1x=

Resposta: contnua

2) Verificar se 3x)x(f 2 = contnua para x = 0 :!OK3)0(f =

3)x(flim0x

=

OK!

)x(flim)0(f0x

Resposta: Como as condies 1 e 3 da definio 1 foram satisfeitas, conclumos que f contnua em 0

3) Verifique se a funo f definida por

=+

++=

1xse3

1xse1x

1x3x2)x(f

2

contnua para o nmero -1

Observaes Importantes: Se os dois limites laterais ( )xflimax

e ( )xflimax +

existem e tm o mesmo valor, claro que

( )xflimax

existe e que todos os trs limites tm o mesmo valor. Se ( )xflimax

existe, os dois limites laterais ( )xflimax

e

( )xflimax +

existem e todos os trs limites so iguais. Consequentemente, se os dois limites ( )xflimax

e ( )xflimax +

existem, mas tm valores diferentes, ento ( )xflimax

no pode existir.

Exerccios

1- Em cada exemplo, (a) trace o grfico da funo, (b) ache os limites laterais da funo quando ax e quando+ ax , (c) determine o limite da funo quando xa (se ele existe) e (d) diga se a funo contnua no valor a

1- ( ) 3a;3xsex10

3xse1x2xf =


42

3- ( ) 1a;1xsex1

1xsex3xf

2

2

= >+

=

3.4.1- Propriedades das Funes Contnuas

Suponha que f e g sejam duas funes contnuas no nmero a. Ento tanto f(a) como g(a) so definidas, econsequentemente (f+g)(a)=f(a)+g(a) definida.1- Se f e g so contnuas em a, ento f+g, f-g e f.g tambm o so.2- Se f e g so contnuas em a e g(a)0, ento f/g contnua em a.3- Se g contnua em a e f contnua em g(a), ento f g contnua em a.4- Uma funo polinomial contnua em todos os nmeros.5- Uma funo racional contnua em todo nmero no qual est definida.

Exerccios1- Use as propriedades bsicas de funo contnua para determinar em quais nmeros as funes dadas so contnuas.Trace o grfico das funes.

1- ( ) |x|xxf +=2- ( ) |x|xf 2=3- ( )

1x

2xf =

3.4.2- Continuidade em um intervaloDizer que uma funo f contnua em um intervalo aberto I significa, por definio, que f contnua em todos

os nmeros no intervalo I. Por exemplo, a funo ( ) 2x9xf = contnua no intervalo aberto (-3,3)

Da mesma forma, dizer que uma funo f contnua em um intervalo fechado [a,b] significa, por definio que f contnua no intervalo aberto (a,b) e que satisfaz as seguintes condies de continuidade nos pontos finais a e b:

( ) ( )afxflimax

=+ e ( ) ( )bfxflimbx =Por exemplo, a funo ( ) 2x9xf = contnua no intervalo fechado [-3,3]3.5- Limite de Funo Composta

Sejam f e g duas funes tais que Imf C Dg. Nosso objetivo estudar o limite( )( )xfglimpx

Supondo que ( ) axflimpx

=

razovel esperar que

( ) ( )uglimuglimaupx

= sendo u=f(x)


43

Os casos que interessaro ao curso so aqueles em que g ou contnua em a ou no est definida em a. O quadro queapresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de funo composta no clculo de limites.

( ) ?xFlimpx

=

Suponhamos que existam funes g(u) e u=f(x), onde g ou contnua em a ou no est definida em a, tais que

F(x)=g(u) onde u=f(x), x Df, ( ) axflimpx

=

(ua para xp) e que ( )uglimau

exista. Ento

( ) ( )uglimxFlimaupx

=

Exerccios

1- Calcule os limites

a) 1x

1xlim

2

1x

b)( )

1x

16x3lim

3

43

1x

c) 1x

12xlim

3

1x ++

d) 1x

25x3lim

2

3

1x +

2) Seja f definida em R. Suponha que ( )

1x

xflim

0x=

. Calcule

a) ( )x

x3flim

0x

b) ( )x

xflim

2

0x

c) ( )

1x

1xflim

2

1x

3) Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que ( ) ( )

Lpx

pfxflim

px=

calcule

a) ( ) ( )

h

pfhpflim

0h

+

b) ( ) ( )

h

pfh3pflim

0h

+

c) ( ) ( )

h

pfhpflim

0h

3.6- Limite das Funes Algbricas Racionais Inteiras (Polinomiais)

)a(F)x(Flim

a...x.ax.a)x(F

ax

n1n

1n

0

=+++=


44

3.7- Limite das Funes Racionais Fracionrias

0

n

0)a(ge0)a(QSe

0n

0

0)a(ge0)a(QSe

)a(g

)a(Q

)x(g

)x(Qlim

b...x.bx.b)x(g

a...x.ax.a)x(Q

)x(g

)x(Q)x(F

ax

m1m

1m

0

n1n

1n

0

=

==

=+++=+++=

=

a funo no est definida para x = a

existeno)x(g

)x(Qlimdiferentesso

)x(g

)x(Qlim

)x(g

)x(Qlim

)x(g

)x(Qlimiguaisso

)x(g

)x(Qlim

)x(g

)x(Qlim

:Calcule0

n

existeno0

n

ax

ax

ax

ax

ax

ax

=

=

=

=

=

=

+

=

+

+

m

Exerccios:

1) 5

7

5

7

9x4

2x5lim

21x==

+

2) 012

0

2x5

4xlim

2

2x==+

3) ?0

10

2x

x5lim

2x==

existeno

0

10

2x

x5lim

0

10

2x

x5lim

2x

2x

==

+==

+

+

4) ?0

10

)2x(

x5lim

22x==

+==

+==

+==

+

+

+

22x

22x

22x

)2x(

x5lim

0

10

)2x(

x5lim

0

10

)2x(

x5lim

a( )

Disciplina de Clculo DProf. Salete Souza de O

0)x(g)x(QSe ===

00

)x(g

)x(Qlim

axindeterminao .etc,

=

Exerccios:

1) 0

0

2x

4xlim

2

2x=

4

22

2xlim

)2x(

)2x)(2x(lim

2x

2x

=+=

+=

+

2) 0

0

)2x3x(

)4x(lim

2

2

2x=+

4

)12(

)22(

)1x(

)2x(lim

)1x)(2x(

)2x)(2x(lim

2x

2x

=+=

+=

+

3) z4z

z3zlim

2

34

2z ++

6

2(

lim2z

==

4) 1t

1tlim

3

1x=+

+

3

((

lim1x

==il

+

z(

0

0

)1

t(

(ferencial e Integral Iiveira Buffoni

45

0

0

4

z4 =

)2).(1

)2z(

z).1z.()22

2

+

+

)1)1(

)1t(

)1tt)(1

2

2

++

++

z+2) -2 1 3 0 -4 0(z-1) 1 1 1 -2 0

1 2 0 z2 + 2z = 0

+==

)2z(2z

z0z

(t+1) 1 1 0 0 1 01 -1 1 0

( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )


46

3.8- Limite das Funes Irracionais

( ) ( )( ) ( ) ( )

4

2

2

2

22

1

22

1

22x

1lim

22x

1

22x.x

x

22x.x

22x

22x

22x

x

22x

0

0

x

22xlim

0x

0x

=

=+=++

++=++=+++=++

+++

=+

Outra maneira:Substituio de Varivel

( )( )

4

2

22

1

2t

1lim

2t2t

2tlim

2t

2tlim

2t0x

2tx

t2x

0

0

x

22xlim

2t

2t

22t

2

2

0x

=+=+=

+=

==+

=+

3.9- Limites Envolvendo InfinitoDefinies:1) Dizemos que um elemento c finito quando c R e dizemos que c infinito quando c um dos smbolos

+ ou -.Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por

+= c

)x(flimbx

. Em caso contrrio diremos que no existe o limite e escreveremos

=

+ )x(flim

)x(flim)x(flim

bx

bx

bx.

2) Seja f definida em um intervalo (c, +). A afirmao L)x(flimx

=

, significa que a todo > 0corresponde um nmero positivo N, tal que | f (x) L | < x > N.

3) Seja f definida em uma vizinhana perfurada de a, a afirmao f (x) se torna infinita quando x tende para aque se escreve: =

)x(flim

ax, significa que para todo nmero positivo N, corresponde um > 0 / f (x) >

N sempre que 0 < | x a | < .


47

3.10- Limite das Funes Algbricas Racionais Inteiras (Polinomiais)

+=

+++

ouxalim

a...xaxalim

n0

x

n1n

1

altomaisgrau

n0

x 321

Exerccios

1) ( )1x2x4x5lim 23x

+

=

3

xx5lim

2) ( )2x3x5lim 2x

+

+=

2

xx5lim

3.11- Limite das Funes Racionais Fracionrias

0

0

m0

n0

x

m1m

1m

0

n1n

1n

0

x

b

amn

0mn

oumn

:Se

x.b

x.alim

b...x.bx.b

a...x.ax.alim

=

++++++

Exemplos:

1) 1x6x2

2x4x5lim

2

3

x ++

= 2

3

x x2

x5lim

2) 2x5x

4x3x2lim

3

2

x +++

(a+)(a-)

y

x

a


48

02

x

x2lim

3

2

x==

3) 4xx2x4x4

4x2x6lim

345

35

x +++

2

3

x4

x6lim

5

5

x=

Indeterminaes:

( ) ( ) 00 ,0,1,0

0,,.0,,

++

3.12- Seqncia e Limite de Seqncia

Uma seqncia ou sucesso de nmeros reais uma funo nana , a valores reais, cujo domnio umsubconjunto de N. As seqncias que vo interessar ao curso so aquelas cujo domnio contm um subconjunto do tipo{ }qn/Nn onde q um natural fixo; s consideraremos tais seqncias.Exemplos:

1- Seja a seqncia de termo geral nn 2a = . TemosK,2a,2a,2a 221100 ===

2- Seja a seqncia de termo geral n321sn ++++= K temos321s,21s,1s 321 ++=+== etc.

Sejam nm dois naturais. O smbolo=

n

mkka

leia: somatrio de ka , para k variando de m at n e usado para indicar a soma dos termos n2m1mm a,a,a,a K++

Definio: Consideremos uma seqncia de termo geral na e seja a um nmero real.Definimos(i) aalim n

n=

+ Para todo 0> , existe um natural 0n tal que + , existe um natural 0n tal que >> n0 ann(iii) =

+ nnalim Para todo 0> , existe um natural 0n tal que n0 ann

Se aalim nn

=+

, diremos que a seqncia de termo geral na converge para a ou, simplesmente, que na converge para

a e escrevemos aan . Se +=+ nn alim , diremos que na para + e escrevemos +na . Observamos que asdefinies dadas aqui so exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma funo f(x), para

+x ; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma ( )xflimn +

aplica-se aqui.

Exerccios1- Calcule os limites

a- 1n

3n2lim

n ++

+

b- 23

12lim

n

n

n ++

+

c- =+

n0k

k

n 2

1lim


49

2- Supondo que 0>

>>

>>

>>

0

( )

O

-1

1

M

A

TP


50

1t

tsenlim1

tcoslimt

tsenlim1lim

t

tsenlim

0t

0t0t0t

0t

>>

>>

1t

tsenlim

0t=

Exemplo:

1) x5

x5sen.5lim

0x

51.5

x5

x5senlim.5

1

0x

==

==

43421

2) e)u1(lim u1

0u=+

(2o Limite Fundamental)

Exemplos:

1) e)x1(lim x1

0x=+

2) e)xtan1(lim xtan1

0x=+

3) x

2)x1(lim0x

+

2

2x

1

0x

e

)x1(lim

=

+=

xx

k

0xe)x1(lim =+

4) 21

x2

1

0xe)x1(lim =+

5) ( )x

1x21lim

0x+

( ) 2y20y

ey1lim

2

yx

0y0xyx2

=+=

==

( ) kx10x

ekx1lim =+

3) 1u

utanlim

0u=

1ucos

1lim

u

usenlim

u

1

ucos

usenlim

1

0u

1

0u

0u

=

=

=

=

321321


51

4) eu

11lim

u

u=

+

* Substituir: 0yuyu

1 =

( ) ky10x

ey1lim =+Exemplos:

kku

ue

u

11lim =

+

ku

ue

u

k1lim =

+

5x5

xe

x

11lim =

+

3x

xe

x

31lim =

+

15x5

xe

x

31lim =

+

5) alnu

1alim

u

0u==

* Substituir: 1yay1a uu +==( )1ylogu0y0u a +=

[ ]

aln

alog

alog

11

alog

elog1

elog

1

elog)y1(limlog)y1(loglim

)y1(logy

1lim

y

)y1(loglim

)y1(log

ylim*

e

ee

ea

1a

1

e

y

1

0ya

1

y

1

a0y

a0y

1a

0ya0y

==

===

=

+=

+=

+=

+=+

=

43421

6) 1u

1elim

u

0u=

7) ( )

elogu

u1loglim a

0u=+

( ) ( ) elogu

1u1limlogu1loglim* a

0uau

1

a0u

=+=+

8) ( )

1u

u1lnlim

0u=+


52

Limites Notveis

1) 1u

usenlim

0u=

2) e)u1(lim u1

0u=+

3) 1u

utanlim

0u=

4) eu

11lim

u

u=

+

5) alnu

1alim

u

0u==

6) 1u

1elim

u

0u=

7) ( )

elogu

u1loglim a

0u=+

8) ( )

1u

u1lnlim

0u=+

3.15- Assntotas Horizontais e VerticaisAssntotas so retas que tangenciam o grfico de uma funo, no infinito, e normalmente so paralelas aos

eixos x e y. Estes prprios eixos podem ser assntotas.

Assntota VerticalDizemos que a reta x = a uma assntota vertical do grfico de f se for verificada uma das seguintes

condies:1) +=+ )x(flimax2) =+ )x(flimax3) += )x(flimax4) = )x(flimax

AssntotaVertical

x

y

a

y = f (x)

x = a (A.V.)

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Assntota HorizontalDizemos que a reta y = b uma assntota horizontal do grfico de f se uma das condies abaixo for

verificada:1) b)x(flim

x=

2) b)x(flimx

=

Assntotas verticais envolvem limites infinitos, enquanto que assntotas horizontais envolvem limites no infinito

Exerccios

1) Determinar as assntotas e fazer um grfico de 2x

1)x(f = .{ }2x/RxDf =

y = f (x)

=+=

=

+

)x(flim

)x(flim

}0x/R{xDf

ax

ax

x = a (A.V.)

b)x(flimx

=y = b (A.H.)

b)x(flimx

=+y = c (A.H.)

AssntotaHorizontal

x

y

-

-1/2

AssntotaVertical

y

2

11lim

0

1

2x

1lim

2x

+==

==

+

+

b I 53

x

AssntotaHorizontal

.H.A0y

02x

1lim

02x

1lim

.V.A2x02x

x

x

2x

==

=

=

+

Para x=0 y = -1/2

Disciplina de ClculoProf. Salete Souza de

2) 2x

x4)x(f =

2xou0x/Rx{Df

02x

x4/Rx{Df

>==

3) Dada a funo f(x) = 5x

6x2

, achar as assntotas.

4) Seja y = f(x) = 3x2

4

. Achar as assntotas.

2

x

y

2

22x

x4lim

.H.A2y

242x

x4lim

2x

x4lim

0

8

2x

x4lim

2x

x4lim

2x

x4y

0y 0 xPara

x

xx

2x2x

=

====

+===

===

+

+ ++ Difere Oliveirncial e Integral Ia Buffoni54

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