algebra 2010

1a Lista de Algebra II - IM - UFRJ

1. Mostre que num anel A sao unicos o elemento neutro aditivo, o elemento neutromultiplicativo e o inverso aditivo.

2. Seja p um numero primo e A = {mn Q|mdc(p, n) = 1} . Mostre que A e um

anel com as operacoes usuais de fracao.

3. Mostre que o conjunto C[0, 1], das funcoes contnuas no intervalo [0, 1] em R, eum anel com as operacoes usuais de soma e produto de funcoes. Mostre tambemque este anel possui divisores de zero.

4. Mostre que o anel Zn e corpo se e somente se n e primo. Determine o inverso decada um dos elementos de Z5 = Z5\{0} e Z7.

5. Considere p um numero primo e Q[p] = {a+ bp | a, b Q} com as operacoesusuais de soma e produto.

i) Mostre que Q[p] e um corpo.ii) Conclua que existem infinitos corpos K satisfazendo Q K R.iii) Se p=7, calcule o inverso dos elementos 3+2

7 e 47. Tambem determine

(3 57) (1 + 67) no corpo Q[p].6. Mostre que o anel comutativo A e um domnio se e somente se a, b, c A coma 6= 0 a relacao ab = ac implica b = c.

7. Seja A um anel tal que x2 = x,x A. Mostre que o anel e comutativo.8. Seja D um domnio e a D. Prove que a funcao a : D D, a(x) = ax e

injetiva. Use este fato para provar que todo domnio finito e um corpo.

9. Considere o conjunto Q[i] = {a + bi| a, b Q, i2 = 1}. Mostre que Q[i] e umcorpo com as operacoes de soma e produto herdadas dos complexos.

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