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CONJUNTOS DE JULIA
Um pouco sobre os Fractais
Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria
euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que
vivemos. No entanto, outras geometrias não-euclidianas foram sendo descobertas
e aplicadas á modelação de certos fenômenos do Universo. A partir da segunda
metade do século XIX, foram sendo apresentados alguns dos objetos hoje tidos
como fractais, cuja geometria vem sendo utilizada no estudo de movimentos ou
fenômenos aparentemente ou totalmente aleatórios (Teoria do Caos).
De acordo com Barbosa (2002), nas últimas décadas Benoit
Mandelbrot investigou entidades geométricas com propriedades especiais e
características, denominadas fractais. Nesta geometria são encontradas formas de
descrever os vários fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as
geometrias tradicionais. Ainda antes de Mandelbrot, já havia questionamentos
sobre esta deficiência na matemática, questionada por estudiosos como Galileu e
Descartes, que não aceitavam as pouquíssimas e pobres formalizações dos
fenômenos naturais que não podiam ser descritos por Euclides em seus
Elementos.
Conforme observa Mandelbrot:
Alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são troncos de cones, árvores não são hexágonos e muito menos os rios desenham espirais. (BENOIT MANDELBROT, 1983 citado por RICIERI, 1990).
Para Feder (1998, apud BARBOSA, 2002), um fractal é uma forma cujas
partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos (p.18). As nuvens, por
exemplo, parecem muito irregulares. Em algum momento da vida, provavelmente
as observamos e vimos como suas formas diversificadas são capazes de
assemelharem-se com muitos objetos comuns, animais e pessoas. As nuvens são
fractais como a maioria dos outros objetos na natureza. Esta propriedade é a auto-
similaridade, em que um objeto tem partes que apresentam as mesmas
propriedades em várias escalas.
Conjunto de Julia
Um conjunto de Julia é um conjunto de pontos, gerados pela iteração de
uma função complexa do tipo f :C→C, onde C representa o conjunto dos números
complexos. Na verdade, o correto seria conjuntos de Fatou-Julia, pois foram os
dois matemáticos franceses Pierre Fatou e Gaston Julia em 1919 que, inspirados
nas conclusões sobre os complexos obtidas por Cayley, Klein e Poincaré,
introduziram os métodos iterativos no estudo de sistemas dinâmicos para a
implementação da geometria fractal.
Consideremos uma função polinomial complexa f e um número complexo,
tal que f (w )=w; diremos que w é um ponto fixo do sistema. No entanto, se
f (p ) (w )=w, para algum p≥1, dizemos que w é um ponto periódico de período p.
Os pontos periódicos se classificam, segundo a expressão: λ=¿( f ( p)) ' (w)∨¿,
onde o índice (‘)define a derivada de f :
Se λ>1, w é um ponto repulsor;
Se λ=1, w é um ponto indiferente;
Se 0< λ<1, w é um ponto atrator;
Se λ=0, w é um ponto superatrator.
Assim, podemos definir o conjunto de Julia de f por:
J ( f )=cl {w∈ Cwé um ponto periódicorepulsor }
onde cl indica o fecho do conjunto dos pontos w. (Definimos fecho de um conjunto
A como sendo o menor conjunto fechado que contém A).
A função mais simples que usamos para gerar um fractal de Julia é a função
f (z)=z2+c.
Isso significa colocar um número complexo z (que é realmente x+ yi), depois
multiplica-lo que por si só (um processo chamado quadratura de um número) e, em
seguida, adicionar outro número complexo c para o resultado, onde c é uma
constante complexa, ou seja, um número que não muda ao longo todo o cálculo
fractal. Isto se denomina iteração para um determinado valor de C e, encontrando
alguns valores interessantes deste, é possível construir intrigantes conjuntos de
Julia, como podemos constatar em alguns exemplos abaixo:
Figura 1. Conjunto de Julia para
c=−0,39054−0,58679 Figura 2. Conjunto de Julia para
c=−0,125+0,0 i
Figura 3. Conjunto de Julia para
c=0,27334+0,00742 i
O conjunto de Mandelbrot (fig.2) é o conjunto de todos os pontos C no plano
complexo de forma que as iterações
Zn=Zn−12 +Cnão variam de zero ao infinito como no conjunto de Julia, pois
Mandelbrot considerou o ponto de partida Z0=0.
Fig. 2. Conjunto de Mandelbrot.
Pontos no plano complexo, que sob iterações com C fixo formam o conjunto
de Fatou. O conjunto de Julia é o seu complemento: trata-se de pontos de todas as
órbitas próximas que se comportam de maneiras muito diferentes. Este é o
conjunto "caótico" para esses mapas. Portanto, o conjunto de Julia inclui todos os
pontos fixos repelindo órbitas periódicas e suas pré-imagens. Existem dois tipos de
conjuntos de Julia: conjuntos conexos (conjunto Fatou) e conjuntos de Cantor
(poeira Fatou).
Existe apenas um conjunto de Mandelbrot para cada função complexa, mas
há um infinito número de possíveis conjuntos de Julia. Entretanto, nas profundezas
de cada conjunto de Mandelbrot há uma infinidade de imagens fractais esperando
apenas para serem descobertas.
REFERÊNCIAS
BARNSLEY, M. F. Fractals Everywhere. Academic Press, 1988.
BARBOSA. R. M. Descobrindo a geometria fractal para sala de aula.
Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
COSTA, D. L. H. Geometria Fractal. Impa, 2006. Disponível em
http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/jornadas_2006/abstracts/
diogo_costa.pdf Acesso em 20 Abril 2011.
DEVANEY, R. L. Cantor and Sierpinski, Julia and Fatou: Complex Topology
Meets Complex Dinamics. Notices of the Ams, Jan 2004. Disponível em
http://www2.math.uu.se/~warwick/vt04/DynSyst/reading/devaney.pdf Acesso em 17
Abril 2011.
RICIERI, A. P. Fractais e Caos: A Matemática de hoje. São Paulo: Prandiano,
1990.
VAZ, Cleves Mesquita. Conjuntos Fractais. Anais: XIII Simpósio de
Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 Abril 2007, INPE. p. 6243-
6246. Disponível em http://marte.dpi.inpe.br/col/dpi.inpe.br/sbsr@80/2
006/11.16.01.25.51/doc/6243-6246.pdf Acesso em 17 Abril 2011.
The Mandelbrot, Julia and Fatou sets. Disponível em http://www.ibiblio.org/e-
notes/MSet/Mandelbrot.htm Acesso em 17 Abril 2011.
Making Julia sets fractals. Disponível em http://www.lifesmith.com/makjulia.ht ml
Acesso em 17 Abril 2011.
Julia Set. Disponível em http://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html Acesso em 17
Abril 2011.
Fractais. Disponível em http://nautilus.fis.uc.pt/softc/programas/manuais/fractais/
manual.htm Acesso em 20 Abril 2011.
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