CONJUNTOS DE JULIA

Um pouco sobre os Fractais

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria

euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que

vivemos. No entanto, outras geometrias não-euclidianas foram sendo descobertas

e aplicadas á modelação de certos fenômenos do Universo. A partir da segunda

metade do século XIX, foram sendo apresentados alguns dos objetos hoje tidos

como fractais, cuja geometria vem sendo utilizada no estudo de movimentos ou

fenômenos aparentemente ou totalmente aleatórios (Teoria do Caos).

De acordo com Barbosa (2002), nas últimas décadas Benoit

Mandelbrot investigou entidades geométricas com propriedades especiais e

características, denominadas fractais. Nesta geometria são encontradas formas de

descrever os vários fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as

geometrias tradicionais. Ainda antes de Mandelbrot, já havia questionamentos

sobre esta deficiência na matemática, questionada por estudiosos como Galileu e

Descartes, que não aceitavam as pouquíssimas e pobres formalizações dos

fenômenos naturais que não podiam ser descritos por Euclides em seus

Elementos.

Conforme observa Mandelbrot:

Alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são troncos de cones, árvores não são hexágonos e muito menos os rios desenham espirais. (BENOIT MANDELBROT, 1983 citado por RICIERI, 1990).

Para Feder (1998, apud BARBOSA, 2002), um fractal é uma forma cujas

partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos (p.18). As nuvens, por

exemplo, parecem muito irregulares. Em algum momento da vida, provavelmente

as observamos e vimos como suas formas diversificadas são capazes de

assemelharem-se com muitos objetos comuns, animais e pessoas. As nuvens são

fractais como a maioria dos outros objetos na natureza. Esta propriedade é a auto-

similaridade, em que um objeto tem partes que apresentam as mesmas

propriedades em várias escalas.

Conjunto de Julia

Um conjunto de Julia é um conjunto de pontos, gerados pela iteração de

uma função complexa do tipo f :C→C, onde C representa o conjunto dos números

complexos. Na verdade, o correto seria conjuntos de Fatou-Julia, pois foram os

dois matemáticos franceses Pierre Fatou e Gaston Julia em 1919 que, inspirados

nas conclusões sobre os complexos obtidas por Cayley, Klein e Poincaré,

introduziram os métodos iterativos no estudo de sistemas dinâmicos para a

implementação da geometria fractal.

Consideremos uma função polinomial complexa f e um número complexo,

tal que f (w )=w; diremos que w é um ponto fixo do sistema. No entanto, se

f (p ) (w )=w, para algum p≥1, dizemos que w é um ponto periódico de período p.

Os pontos periódicos se classificam, segundo a expressão: λ=¿( f ( p)) ' (w)∨¿,

onde o índice (‘)define a derivada de f :

Se λ>1, w é um ponto repulsor;

Se λ=1, w é um ponto indiferente;

Se 0< λ<1, w é um ponto atrator;

Se λ=0, w é um ponto superatrator.

Assim, podemos definir o conjunto de Julia de f por:

J ( f )=cl {w∈ Cwé um ponto periódicorepulsor }

onde cl indica o fecho do conjunto dos pontos w. (Definimos fecho de um conjunto

A como sendo o menor conjunto fechado que contém A).

A função mais simples que usamos para gerar um fractal de Julia é a função

f (z)=z2+c.

Isso significa colocar um número complexo z (que é realmente x+ yi), depois

multiplica-lo que por si só (um processo chamado quadratura de um número) e, em

seguida, adicionar outro número complexo c para o resultado, onde c é uma

constante complexa, ou seja, um número que não muda ao longo todo o cálculo

fractal. Isto se denomina iteração para um determinado valor de C e, encontrando

alguns valores interessantes deste, é possível construir intrigantes conjuntos de

Julia, como podemos constatar em alguns exemplos abaixo:

Figura 1. Conjunto de Julia para

c=−0,39054−0,58679 Figura 2. Conjunto de Julia para

c=−0,125+0,0 i

Figura 3. Conjunto de Julia para

c=0,27334+0,00742 i

O conjunto de Mandelbrot (fig.2) é o conjunto de todos os pontos C no plano

complexo de forma que as iterações

Zn=Zn−12 +Cnão variam de zero ao infinito como no conjunto de Julia, pois

Mandelbrot considerou o ponto de partida Z0=0.

Fig. 2. Conjunto de Mandelbrot.

Pontos no plano complexo, que sob iterações com C fixo formam o conjunto

de Fatou. O conjunto de Julia é o seu complemento: trata-se de pontos de todas as

órbitas próximas que se comportam de maneiras muito diferentes. Este é o

conjunto "caótico" para esses mapas. Portanto, o conjunto de Julia inclui todos os

pontos fixos repelindo órbitas periódicas e suas pré-imagens. Existem dois tipos de

conjuntos de Julia: conjuntos conexos (conjunto Fatou) e conjuntos de Cantor

(poeira Fatou).

Existe apenas um conjunto de Mandelbrot para cada função complexa, mas

há um infinito número de possíveis conjuntos de Julia. Entretanto, nas profundezas

de cada conjunto de Mandelbrot há uma infinidade de imagens fractais esperando

apenas para serem descobertas.

REFERÊNCIAS

BARNSLEY, M. F. Fractals Everywhere. Academic Press, 1988.

BARBOSA. R. M. Descobrindo a geometria fractal para sala de aula.

Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

COSTA, D. L. H. Geometria Fractal. Impa, 2006. Disponível em

http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/jornadas_2006/abstracts/

diogo_costa.pdf Acesso em 20 Abril 2011.

DEVANEY, R. L. Cantor and Sierpinski, Julia and Fatou: Complex Topology

Meets Complex Dinamics. Notices of the Ams, Jan 2004. Disponível em

http://www2.math.uu.se/~warwick/vt04/DynSyst/reading/devaney.pdf Acesso em 17

Abril 2011.

RICIERI, A. P. Fractais e Caos: A Matemática de hoje. São Paulo: Prandiano,

1990.

VAZ, Cleves Mesquita. Conjuntos Fractais. Anais: XIII Simpósio de

Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 Abril 2007, INPE. p. 6243-

6246. Disponível em http://marte.dpi.inpe.br/col/dpi.inpe.br/sbsr@80/2

006/11.16.01.25.51/doc/6243-6246.pdf Acesso em 17 Abril 2011.

The Mandelbrot, Julia and Fatou sets. Disponível em http://www.ibiblio.org/e-

notes/MSet/Mandelbrot.htm Acesso em 17 Abril 2011.

Making Julia sets fractals. Disponível em http://www.lifesmith.com/makjulia.ht ml

Acesso em 17 Abril 2011.

Julia Set. Disponível em http://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html Acesso em 17

Abril 2011.

Fractais. Disponível em http://nautilus.fis.uc.pt/softc/programas/manuais/fractais/

manual.htm Acesso em 20 Abril 2011.