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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 5
MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e
}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear
da base B. Então existem escalares Ka ij ∈ , tais que:
+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111
va...vavau
..................................
va...vavau
va...vavau
:S 2 . A matriz
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P é
chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por BC]M[P = .
OBS: Na matriz mudança de base
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,
=
=
=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1
a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[ . A matriz mudança de base é sempre
inversível.
Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2. Determine a
matriz de mudança da base B para a base C.
Solução: Para determinar BC]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação
linear da base B. Então:
+=−−
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(:S . Vamos obter dois sistemas
43
lineares:
=
+=
a2
ba1 e
=−
+=−
c3
dc4 . Resolvendo os sistemas vamos obter
−−
−=
==
11
32
db
ca]M[P B
C . Note que, na combinação linear S os escalares
estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.
Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz
de mudança da base B para C. Então:
a) BPC t ⋅=
b) C]P[B 1t ⋅= −
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja BC]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e CD]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.
Então, a matriz de mudança de B para D é CD
BC ]M[]M[QP ⋅=⋅ .
Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja BC]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:
a) B1
C ]v[P]v[ ⋅= −
b) CB ]v[P]v[ ⋅=
Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e
=
10
22P a matriz mudança da
base B para a base C. Determine a base B.
Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t ⋅= − . Então,
−=−
11
0)P( 2
11t e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim:
=
⋅
−=
10
01
12
02
11
0B 2
1
, ou seja, a base B é a
base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
44
É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema
usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores
da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:
+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2
)tbb(0)taa(22
1o1o
1o1o ⇒
+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12
ta2a2t02
11oo
1o ⇒
=⇒=
=⇒=
0aa20
1aa22
11
o0 e
=⇒+=
=⇒+=
1bba21
0bba22
111
oo0 . Portanto, a base }t,1{B = .
Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do 2ℜ e
=
35
31
32
31
P a matriz de mudança
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a
base C.
Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B1
C ]v[P]v[ ⋅= − . Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒
+=
−=
ba23
ba2 ⇒
−=
=
31
35
B b
a]v[ e
−
−=−
11
25P 1 . Assim:
−⋅
−
−=
31
35
C 11
25]v[ ⇒
−=
2
9]v[ C
Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da
matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a
base )}d,c(),b,a{(C = . Então:
−=−+=
=−+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
35
32
31
31
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒
β+α=
β−=
33
2 ⇒
−=
2
9]v[ C
45
Exercícios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2. Seja
−=
31
02Q a
matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a
base D. Quem é a base D?
Resp:
−=
64
35]M[ B
D e )}6,9(),4,1{(D −=
2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2+−+−= para a base
}t3,tt2,t1{C 22 ++−+= . Resp:
−
−−
==
21
21
47
413
BC
0
021
1
]M[P
3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e
−=
85
32A . Sabendo que a matriz de
mudança da B para a base C é
−
−=
1100
0110
0012
0001
P , determine as coordenadas de A em
relação a base C. Quem é a base C?
Resp:
−
−
=
4
12
7
2
]A[ C e
−
−
=
10
00,
11
00,
01
10,
00
21C
4) No 3ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte
forma:
++=
++=
+=
3213
3212
311
ee2eg
eee2g
eeg
. Sabendo que
−
−
=
1
5
2
]v[ B são as coordenadas do vetor v em
relação a base B, determine C]v[ . Resp:
−
−
=
3
1
3
]v[ c
5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz
de mudança da base B para a base C pode ser determinada por t1BC ]BC[]M[P −⋅== .
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