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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE DE PONTES EM ESTRUTURAS MISTAS DE AÇO-
CONCRETO DE SEÇÃO CAIXÃO COM PROTENSÃO
EXTERNA
Bruno Tasca de Linhares
Porto Alegre
2015
BRUNO TASCA DE LINHARES
ANÁLISE DE PONTES EM ESTRUTURAS MISTAS DE AÇO-CONCRETO DE SEÇÃO-CAIXÃO COM PROTENSÃO
EXTERNA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia.
Porto Alegre
2015
BRUNO TASCA DE LINHARES
ANÁLISE DE PONTES EM ESTRUTURAS MISTAS DE AÇO-CONCRETO DE SEÇÃO CAIXÃO COM PROTENSÃO
EXTERNA
Este Trabalho de Diplomação foi julgado adequado como pré-requisito para a obtenção do
título de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo/a Professor/a
Orientador/a e pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomação Engenharia Civil II
(ENG01040) da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre, 17 de abril de 2015
Prof. Inácio Benvegnu MorschDr. PPGEC/UFRGS
Orientador
Prof. Armando Miguel AwruchDr. COPPE/UFRJ
Coordenador PPGEC/UFRGS
BANCA EXAMINADORA
Américo Campos Filho (UFRGS) Dr. pela USP/SP
Gladimir de Campos Grigoletti (RITTER DOS REIS/ULBRA) Dr. pela UFRGS
Moacir Kripka (UPF) Dr. pela EESC/USP
Dedico este trabalho a Pricila especialmente, que sempre me apoiou durante o período do meu Curso de Pós-
Graduação.
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família, meu pai Antonio Tadeu Velloso de Linhares e minha mãe Nilse
Maria Tasca, por toda a formação, apoio e liberdade que me deram.
Agradeço à Universidade Federal do Rio Grande do Sul pela formação profissional de
qualidade a que tive acesso. Espero contribuir para a continuidade da mesma.
Agradeço ao professor Inácio Benvegnu Morsch pela paciência, compreensão,
questionamentos e apoio para a realização deste trabalho.
Agradeço aos colegas da Deltacon Eng., Giancarlo Tavares, Vera Fritsch, Paulo Machado,
Marcos Beier e, especialmente, a Martin Beier, grande incentivador, professor e fonte de
conhecimento.
Agradeço a uma pessoa cuja importância não posso descrever em palavras: Pricila Kovalski,
minha mulher, amiga, confidente e companheira que em todos os momentos de
questionamentos e hesitações me apoiou e aconselhou a jamais retroceder.
Faço um agradecimento especial póstumo a meu avô, Antonio Nelso Tasca, por ter inspirado
em mim a paixão pelo conhecimento.
Um dos princípios da emancipação humana é a capacidade de rir da autoridade.
Christopher Hitchens
RESUMO
LINHARES, B. T. Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa. 2015. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.
Estruturas Mistas de Aço-Concreto têm sido usadas extensivamente na construção de pontes e
viadutos urbanos, especialmente a partir da segunda metade do século XX. A popularidade
desse tipo de solução, com seções caixão, cresceu devido a sua alta capacidade à flexão,
rigidez à torção e uma seção transversal fechada que reduz a superfície exposta a corrosão.
Este trabalho discorre sobre o comportamento estrutural, procedimentos de análise e
verificação em Estado Limite Último (ELU) de pontes mistas de seção caixão com aplicação
de protensão externa. Em vista da escassez de literatura sobre o assunto e inexistência de
norma brasileira, o trabalho objetiva produzir um roteiro de análise para a determinação da
capacidade à flexão em ELU de estruturas mistas de seção caixão protendidas. Embasado na
norma americana AASHTO-LRFD:2012 e na revisão bibliográfica, propôs-se um estudo de
caso para verificação/dimensionamento analíticos da estrutura, tratando de Momentos
Fletores Resistentes (positivos e negativos), Esforço Cortante Resistente e conectores de
cisalhamento. Após esta etapa inicial, aplicou-se protensão à estrutura e, por meio de métodos
analíticos, e auxílio do método dos trabalhos virtuais, obtiveram-se as perdas de protensão e a
relação entre a deformação adicional do cabo de protensão em função do momento externo
aplicado à estrutura. Deste modo pôde-se fazer o equilíbrio de forças horizontais, através do
método da Bissecção, e obter-se o valor de incremento de Momentos Fletores Positivos e
Negativos Resistentes da estrutura. Observou-se, com a protensão, um aumento de resistência
importante na região de Momentos Fletores Negativos em ELU (~40%); para a região de
flexão positiva esse incremento foi pouco superior a 7%, em relação à estrutura não-
protendida. Por fim, modelou-se a estrutura em elementos finitos de casca com o software
SAP2000, a fim de confrontar a análise inicial, feita em modelo de barras de pórtico espacial,
preconizada pela norma AASHTO-LRFD:2012. Os resultados mostram que o modelo em
barras de pórtico espacial, em termos de deslocamentos e tensões, é adequado à análise deste
tipo de estrutura.
Palavras-chave: estruturas mistas; seção caixão; protensão externa; método dos trabalhos virtuais; perdas de protensão.
ABSTRACT
LINHARES, B. T. Analysis of Steel-Concrete Composite Box Girder Bridges with External Prestressing. 2015. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.
Steel-Concrete Composite Strutures have been used extensively in the construction of bridges
and urban viaducts, especially from the second half of the twentieth century. The popularity
of this type of solution, with box sections, has increased due to its high flexural capacity and
torsion stiffness combined with a closed cross section that reduces the exposed surface to
corrosion. This paper discusses the structural behavior, analysis and verification procedures in
the Ultimate Limite State (ULS) of Composite Box Girder Bridges with application of
external prestressing. In view of the paucity of literature on the subject and the absence of
Brazilian standard, this work aims to produce a analysis script to determine the flexural
capacity of prestressed composite box girder structures in ULS. Grounded in the American
Standard AASHTO-LRFD:2012 and the literature review, we propose a case study for
analytical verification/dimensioning of the structure, concerning positive and negative
bending moments, shear and shear connectors. After this initial stage, prestressing was
applied to the structure, and with de aid of analytical methods, and the virtual work method,
the prestress losses and the relation between the additional strain of the tendons and the
external applied moment were obtained. Thus, it was possible to make the horizontal forces
balance through the Bisection Method and obtain the increment of positive and negative
flexion strength. It was observed, with prestressing, an important increase of capacity in the
negative bending region for ULS (~40%); for the positive bending region, the increase was
somewhat higher than 7%, compared with the non-prestressed structure. Finally, a finite
element model with shell elements was held with aid of the software SAP2000 to confront the
initial analysis, made in space frame bars model, recommended by AASHTO-LRFD:2012
standard. The results show that the space frame bars model, in terms of displacements and
stresses, is appropriate to analyze this type of structure.
Keywords: composite structures; box girder; external prestressing; virtual work method; prestress losses.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 17
1.1 HISTÓRICO E CARACTERÍSTICAS ...................................................................... 19
1.2 JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS ............................................................................. 31
1.3 ESTRUTURA ............................................................................................................ 32
2 PONTES ....................................................................................................................... 34
2.1 SUBESTRUTURA E FUNÇÕES .............................................................................. 35
2.2 CARREGAMENTO DE PONTES ............................................................................ 37
2.2.1 Cargas Permanentes da Superestrutura ............................................................. 37
2.2.2 Cargas Móveis da Superestrutura ....................................................................... 37
2.2.2.1 Trem-tipo de Flexão ............................................................................................. 39
2.2.2.2 Trem-tipo de Torção ............................................................................................. 40
2.2.2.3 Carga de Impacto ................................................................................................. 41
2.2.2.4 Frenagem e Aceleração ........................................................................................ 41
2.2.2.5 Força Centrífuga ................................................................................................... 42
2.2.3 Carga de Vento na Superestrutura ...................................................................... 42
2.2.4 Fluência e Retração ............................................................................................... 43
3 PONTES MISTAS ....................................................................................................... 46
3.1 FASES DE CONSTRUÇÃO SEGUNDO AASHTO-LRFD:2012 ........................... 46
3.1.1 Fase Seção Caixão Isostática ................................................................................ 47
3.1.2 Fase Seção Caixão Hiperestática ......................................................................... 47
3.1.3 Fase Seção Mista de Curta Duração .................................................................... 48
3.1.4 Fase Seção Mista de Longa Duração ................................................................... 49
3.2 MODELO DE ANÁLISE .......................................................................................... 49
3.3 COMBINAÇÕES DE CARGAS ............................................................................... 51
4 NORMAS ..................................................................................................................... 54
4.1 NBR 8800:2008 .......................................................................................................... 54
4.2 AASHTO-LRFD:2012 ............................................................................................... 55
4.2.1 Momento Fletor Plástico ....................................................................................... 56
4.2.1.1 Momento Fletor Resistente Positivo .................................................................... 57
4.2.1.2 Momento Fletor Resistente Negativo ................................................................... 58
4.2.2 Esforço Cortante Resistente ................................................................................. 60
4.2.3 Conectores de Cisalhamento ................................................................................ 62
4.2.3.1 Combinações de Fadiga ....................................................................................... 62
4.2.3.2 Resistência à fadiga de um conector tipo Stud Bolt ............................................. 63
4.2.3.3 Fluxo de Cisalhamento e espaçamento dos conectores ........................................ 64
4.2.3.4 Estado Limite Último para conectores ................................................................. 65
4.2.3.5 Retração e Protensão para conectores .................................................................. 66
5 PROTENSÃO .............................................................................................................. 68
5.1 HISTÓRICO E CARACTERÍSTICAS DA PROTENSÃO ...................................... 68
5.2 CLASSIFICAÇÃO DA PROTENSÃO ..................................................................... 69
5.2.1 Sistemas de Protensão ........................................................................................... 70
5.2.2 Tipos de Protensão ................................................................................................ 70
5.3 PROTENSÃO EM ESTRUTURAS MISTAS ........................................................... 71
5.4 CARACTERIZAÇÃO DA PROTENSÃO EM ESTRUTURAS MISTAS ............... 74
5.5 PERDAS DE PROTENSÃO ...................................................................................... 76
5.5.1 Perdas por Atrito ................................................................................................... 77
5.5.2 Perda por Recuo de Ancoragem .......................................................................... 78
5.5.3 Perda por Recuo Elástico do Concreto ............................................................... 80
5.5.4 Perda por Retração do Concreto ......................................................................... 82
5.5.5 Perda por Fluência do Concreto .......................................................................... 82
5.5.6 Perda por Relaxação do Aço ................................................................................ 84
5.5.7 Interação entre Perdas Progressivas ................................................................... 85
5.6 ESTADO LIMITE ÚLTIMO ..................................................................................... 86
5.6.1 Verificação do ELU para Concreto Protendido ................................................. 86
5.6.1.1 Diagrama Tensão-Deformação do Concreto ........................................................ 89
5.6.1.2 Diagrama de Tensão Deformação do Aço Passivo .............................................. 89
5.6.1.3 Tensão na Armadura Ativa .................................................................................. 90
5.6.1.4 Armadura Protendida na Região Comprimida ..................................................... 92
5.6.1.5 Equilíbrio da Seção Transversal ........................................................................... 93
5.6.2 Verificação do ELU para Estruturas Mistas Protendidas ................................ 94
5.6.2.1 Determinação da Força de Protensão Inicial ........................................................ 95
5.6.2.2 Momento Fletor Resistente Positivo .................................................................... 96
5.6.2.3 Momento Fletor Resistente Negativo ................................................................... 97
5.6.2.4 Esforço Cortante Último Reduzido ...................................................................... 102
6 ESTUDO DE CASO .................................................................................................... 103
6.1 SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO ............................................................................... 103
6.2 MODELO ................................................................................................................... 104
6.2.1 Considerações Gerais ............................................................................................ 104
6.2.2 Propriedades Geométricas ................................................................................... 106
6.2.3 Carregamentos ...................................................................................................... 108
6.3 RESULTADOS .......................................................................................................... 111
6.3.1 Seção Mista não Protendida ................................................................................. 111
6.3.2 Verificação do ELU para Caso Estudado ........................................................... 116
6.3.3 Verificação dos Conectores para Protensão ....................................................... 124
7 MODELO NUMÉRICO ............................................................................................. 126
7.1 DADOS DE ENTRADA ............................................................................................ 126
7.2 RESULTADOS .......................................................................................................... 131
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 136
8.1 CONCLUSÕES .......................................................................................................... 136
8.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..................................................... 139
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 140
ANEXO A – Verificação em ELU (flexão e corte) e Conectores de Cisalhamento AASHTO-LRFD:2012 ...............................................................................................
145
ANEXO B – Verificação de Tensões para ELS em Estruturas Mistas Protendidas 165
ANEXO C – Perdas de Protensão para Estruturas Mistas ........................................ 168
ANEXO D – Verificação de Flexão em ELU para Estruturas Mistas Protendidas . 177
LISTA DE FIGURAS
Figura 1:Seção caixão típica de forma U com contraventamentos K .............................. 17
Figura 2: Protensão externa de reforço – Ponte Condet (Indonésia) ................................ 18
Figura 3: Ponte sobre o Rio Paraíba do Sul, Rio de Janeiro ............................................ 19
Figura 4: Enrijecedores e travamentos de perfis .............................................................. 21
Figura 5: Montagem de Longarinas Protendidas ......................................................... 21
Figura 6: Ponte Ferroviária Milão-Roma, próxima a Modena (Itália) – seção transversal ômega do viaduto .............................................................................
22
Figura 7: Construção da Rodovia Egnatia (Grécia) – balanços sucessivos ..................... 22
Figura 8: Pontes sobre o Rio Jacuí – bras Sul e Norte, Porto Alegre BR-290 ................. 22
Figura 9: Seção mista de alma cheia ................................................................................ 24
Figura 10: Seção caixão mista .......................................................................................... 24
Figura 11: (a) Stud Bolts; (b) perfis U; (c) espiral; (d) ângulo enrijecido; (e) barra inclinada plana ................................................................................................... 25
Figura 12: Conectores de cisalhamento Stud Bolts soldados ........................................... 25
Figura 13: Rebaixos para conectores e aplicação de grout nas juntas .............................. 26
Figura 14: Tensões normais de flexão na borda superior da laje – seção mista x seção não-mista ............................................................................................................ 26
Figura 15: Fases construtivas – ponte convencional com escoramentos e ponte mista sem escoamento ................................................................................................. 27
Figura 16: Trabalhos no viaduto sobre a Av. Bento Gonçalves (Porto Alegre) .............. 28
Figura 17: Configurações de cabos para protensão externa ............................................. 29
Figura 18: Gassino Bridge (Torino-Itália) – Ponte Mista de Seção Caixão Protendida em Balanços Sucessivos ..................................................................................... 29
Figura 19: Cabos de Protensão – Gassino Bridge ............................................................ 30
Figura 20: Viaduto Av. Julio de Castilhos - içamento ..................................................... 30
Figura 21: Içamento da seção sobre pilares ..................................................................... 31
Figura 22: Lajes pré-moldadas com rebaixos (furos retangulares) para encaixe e ligação com os conectores de cisalhamento. Rebaixos para posicionamento da armadura negativa de continuidade .................................................................... 31
Figura 23: Subestruturas de uma ponte padrão ................................................................ 34
Figura 24: Encontro e Laje de Transição padrões de uma ponte ..................................... 35
Figura 25: Aparelhos de apoio de concreto com placa de chumbo e rolete de aço (vínculos de 2º e 1º ordem, respectivamente) .................................................... 36
Figura 26: Dente Gerber (superestrutura) ........................................................................ 36
Figura 27: Aparelhos de apoio em neoprene fretado (vínculo elástico). Equivalem no modelo matemático a vínculos elásticos ou vínculos de 2º ordem .................... 36
Figura 28: Aparelhos de apoio Cernoflon Unidirecional (CU) e Rundflon Unidirecional (RU) ............................................................................................. 37
Figura 29: Veículo Classes 45, 30 e 12 ............................................................................ 38
Figura 30: Carga de multidão (5kN/m²) ........................................................................... 38
Figura 31: Cortes no veículo tipo e fora ........................................................................... 39
Figura 32: Trem-tipo final de flexão ................................................................................ 40
Figura 33: Seção parcialmente carregada ......................................................................... 40
Figura 34: Trem-tipo final de torção ................................................................................ 40
Figura 35: Vento em pontes rodoviárias .......................................................................... 42
Figura 36: Esforços por retração em seção mista ............................................................. 44
Figura 37: Seção típica de ponte mista com seção caixão ............................................... 47
Figura 38: Homogeneização de seção mista .................................................................... 48
Figura 39: Típico modelo de ponte em elementos de barra ............................................. 49
Figura 40: Modelo em elementos finitos de ponte com longarinas em perfil .................. 50
Figura 41: Modelo em barra para viaduto em estrutura mista ......................................... 51
Figura 42: Viaduto em estrutura mista de seção caixão ................................................... 51
Figura 43: Posição da LNP em seções mistas – perfil I ................................................... 54
Figura 44: Seção transversal para as diferentes fases de análise ...................................... 56
Figura 45:Forças plásticas e posições possíveis da linha neutra plástica (PNA) ............. 57
Figura 46: Influência do enrijecedor longitudinal (WT) na capacidade em momento fletor negativo último ......................................................................................... 59
Figura 47: Ação de campo de tensões entre enrijecedores ............................................... 60
Figura 48: Curvas de fadiga de cisalhamento (Eurocode 3)............................................. 64
Figura 49: Posicionamento do cabo e concretagem da peça, aplicação da protensão, injeção da pasta de cimento – protensão com aderência posterior ..................... 70
Figura 50: Exemplos de ancoragem ativa e passiva ......................................................... 71
Figura 51: Ponte Condet após reforços com protensão externa ....................................... 85
Figura 52: Viga Mista Protendida com sistema Preflex ................................................... 86
Figura 53: Protensão em estruturas de aço – cabos externos ........................................... 87
Figura 54: Seções possíveis para vigas mistas com protensão externa ............................ 87
Figura 55: Tipologia tradicional de viga mista protendida .............................................. 88
Figura 56:Enrijecedores de ancoragem ............................................................................ 88
Figura 57: Possíveis traçados do cabo de protensão em estruturas mistas ....................... 89
Figura 58: Ondulação parasita da bainha ......................................................................... 90
Figura 59: Forças de atrito em cabo curvo ....................................................................... 90
Figura 60: Tensão no cabo antes da ancoragem e após a ancoragem .............................. 92
Figura 61: Modelo viscoelástico para fluência ................................................................ 96
Figura 62: Domínios de deformação para concreto em Estádio III ................................. 100
Figura 63: Diagrama parábola-retângulo e diagrama simplificado para o concreto ........ 102
Figura 64: Diagrama tensão-deformação do aço passivo ................................................. 102
Figura 65: Tensões ao longo da seção em função da protensão ....................................... 103
Figura 66: Força necessária para neutralizar as tensões de protensão ............................. 103
Figura 67: Diagrama Tensão-Deformação do aço de protensão ..................................... 105
Figura 68: Equilíbrio da seção transversal protendida ..................................................... 106
Figura 69: Equilíbrio plástico para seções de momento positivo .................................... 109
Figura 70: Equilíbrio plástico para seções de momento positivo ..................................... 110
Figura 71: ELU para seção mista protendida sob momento fletor negativo .................... 111
Figura 72: Força unitária no cabo para integração com método dos trabalhos virtuais ... 112
Figura 73: Esforço Cortante Último com Protensão ........................................................ 115
Figura 74: Seção transversal tipo ..................................................................................... 103
Figura 75: Modelo em barras de pórtico espacial (STRAP 2013) ................................... 105
Figura 76: Rigidezes à flexão e ao cisalhamento longitudinais desligadas (rótulas inferiores) ........................................................................................................... 106
Figura 77: Seção caixão para fases Isostáticas e Hiperestáticas Iniciais (STRAP 2013) . 107
Figura 78: Fase Seção Mista de Longa Duração (STRAP 2013) ..................................... 107
Figura 79: Fase Seção Mista de Curta Duração (STRAP 2013) ...................................... 108
Figura 80: Carga g1 [tf/m] – STRAP 2013 ...................................................................... 108
Figura 81: Carga g2 – lajes sobre seção caixão [tf/m] – STRAP 2013 ............................ 109
Figura 82: Travessa de concreto sobre pilares, dentro da seção caixão ........................... 109
Figura 83: Carga g3 – cargas permanentes de longa duração [tf/m] – STRAP 2013 ...... 110
Figura 84: Envoltória de Combinações de Momentos Fletores em ELU [tf.m] .............. 112
Figura 85: Envoltória de Combinações de Esforços Cortantes em ELU [tf] ................... 113
Figura 86: Posicionamento dos conectores sobre as mesas superiores da seção caixão .. 115
Figura 87: Desenvolvimento dos cabos de protensão – Corte Longitudinal .................... 116
Figura 88: Cordoalha engraxada em bainha de PEAD .................................................... 117
Figura 89: Bainha mestre em PEAD preenchida com nata de cimento, para acomodação de várias cordoalhas em protensão externa.................................... 117
Figura 90: Seção transversal com cabos de protensão ..................................................... 118
Figura 91: Viaduto Bois de Rosset, Suíça ........................................................................ 118
Figura 92: Estudo experimental em Vigas Mistas Contínuas Protendidas ...................... 123
Figura 93: Elemento de Casca de quatro nós ................................................................... 126
Figura 94: Vista frontal do modelo completo em SAP2000 ............................................ 127
Figura 95: Vista interna seção caixão, travamentos, enrijecedores e desenvolvimento dos cabos de protensão (linhas de carga) ........................................................... 127
Figura 96: Travamentos superiores, conectores de cisalhamento e chapas frontais enrijecidas de ancoragem da protensão .............................................................. 128
Figura 97: Barras Dummy na mesma cota vertical do topo dos conectores e a 37cm à horizontal dos mesmos; barras definidas entre os nós dos elementos da laje (omidita) ............................................................................................................. 129
Figura 98: Estágio 1 – ½ seção de aço isostática (carga 1); chapa enrijecida de ancoragem da protensão (ao fundo) ................................................................... 129
Figura 99: Estágio 2 – seção de aço hiperestática (carga g2) ........................................... 130
Figura 100: Eixos globais XY e vínculos de 1º ordem na intersecção dos nós da mesa inferior e das chapas frontais de ancoragem da protensão ................................. 130
Figura 101: Seção transversal sobre o apoio central; vínculos de 2º ordem nos nós da mesa inferior ....................................................................................................... 130
Figura 102: Deslocamentos g1 (isostático) - MEF [cm] .................................................. 131
Figura 103: Deslocamentos g2 (hiperestático) – MEF [cm] ............................................ 132
Figura 104: Deslocamentos g3+protensão – MEF [cm] .................................................. 132
Figura 105: Envoltória de deslocamentos em ELS – MEF [cm] ..................................... 133
Figura 106: Tensões na mesa superior – envoltória de combinações em ELS [kN/cm²].. 134
Figura 107: Tensões na mesa inferior – envoltória de combinações em ELS [kN/cm²] .. 134
Figura 108: Tensões na mesa inferior (central) – combinações em ELS [kN/cm²] ......... 135
Figura 109: Tensões na mesa inferior (central) – combinações em ELS [kN/cm²] ......... 135
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Relaxação de cordoalhas a 1000h e 20ºC (ψ1000h)............................................ 84
Quadro 2: Etapas de Carregamento em Estruturas Mistas Pós-Tracionadas.................... 94
Quadro 3: Espessura das chapas das aduelas (polegadas)................................................. 104
LISTA DE SÍMBOLOS
ft: feet (pés); unidade do sistema inglês de medidas (1ft = 30,48cm)
g1: cargas permanentes na montagem da estrutura de aço - superestrutura funciona como
seção caixão de aço isostático sob seu peso próprio
g2: cargas permanentes durante a montagem da superestrutura - superestrutura funciona como
seção caixão de aço hiperestática recebendo cargas permanentes das lajes
g3: cargas permanentes (normalmente cargas de pavimento e barreiras rígidas) -
superestrutura funciona como seção mista
Q: cargas variáveis (tráfego, temperatura, vento, etc.)
fck: resistência característica do concreto
fyd: tensão de escoamento de aço (fyd = fyk/1,15)
fcd: resistência de cálculo do concreto (fcd = fck/1,4)
Fy: tensão de escoamento do aço estrutural
Fnc: tensão limite de compressão nas mesas inferiores do aço estrutural submetido à flexão
negativa
fc: resistência de cálculo do concreto com efeito Rüsch (fc = 0,85fcd)
tf: tonelada-força (=10kN)
in: polegadas (=2,54cm)
____
1 IN
Ponte
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busca
Graç
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19
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________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
20
do mar de Tay foram derrubadas pelo vento quando um trem de passageiros a estava
atravessando (BELLEI, 2007).
O aço, que já era conhecido desde a Antiguidade, popularizou-se a partir do final do século
XIX. O aço-carbono, liga formada por ferro e carbono, com adições de Manganês (Mn),
Cobre (Cu) e Silício (Si), foi usado quase exclusivamente ao longo da primeira metade do
século XX. Aços de maior resistência começaram a ser usados a partir da década de 1950,
difundindo-se os aços de baixa liga.
Segundo Mason (1976), os aços de baixa liga são em geral utilizados na construção de pontes.
Estes aços contêm carbono, pequenas porcentagens de enxofre (S), fósforo (P) e outros
elementos, tais como Manganês (Mn), Silício (Si), Vanádio (V), Molibdênio (Mo) e Titânio
(Ti). Estes últimos aditivos quando aplicados em quantidades adequadas garantem um
aumento da resistência mecânica, e a adição de Cobre (Cu) eleva a resistência à corrosão. É o
que ocorre com os aços denominados CORTEN, ou aços patináveis. O aço CORTEN, de alta
resistência, foi desenvolvido nos Estados Unidos na década de 1930. Esse aço forma a pátina,
uma camada de óxido de ferro de cor avermelhada e textura fina que adere ao substrato
agindo como uma barreira à corrosão. Além de em alguns casos dispensar pintura e apresentar
resistências até 8 vezes maior que o aço-carbono comum, sua taxa de corrosão é decrescente 1.
Como vantagens das estruturas de aço, destacam-se:
a) alta resistência nos diversos estados de tensão (tração, compressão);
b) oferece grande margem de segurança no projeto; material homogêneo, com limite de escoamento, ruptura e módulo de elasticidade bem definidos;
c) permite reforçar ou substituir os elementos da estrutura;
d) reaproveitamento de material. A principal desvantagem é a suscetibilidade à corrosão, o que requer o emprego de tintas ou
outra proteção.
Atualmente, as estruturas de aço são aplicadas em praticamente todos os setores da construção
civil. Para a construção de pontes, empregam-se primordialmente chapas soldadas de alta
resistência com espessuras variando de 6mm podendo chegar a 100mm em casos especiais
(MASON, 1976). Perfis laminados ou soldados são frequentemente usados em peças especiais
como transversinas e enrijecedores (figura 4).
1 Acesso ao artigo, estando no site < http://www.infomet.com.br/site/acos-e-ligas-conteudo-ler.php?codConteudo=201> Acesso em: .25 ago. 2014.
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__________
22
2
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
23
Os sistemas com estruturas mistas para pontes, visam a combinar esses dois materiais para
obter, assim, a máxima eficiência de ambos. Foram introduzidas à época da reconstrução
europeia no pós-guerra e mostraram-se, nas últimas cinco décadas, como um dos sistemas
mais adequados para o uso de materiais compósitos em aplicações em rodovias. O trabalho
conjunto se dá através de ligação por conectores de cisalhamento.
Os primeiros elementos mistos utilizados foram as vigas; os perfis eram envolvidos com
concreto sem função estrutural a fim de aumentar a resistência ao fogo, porém com o
desenvolvimento de resistências maiores para o concreto, ele passou a ser levado em conta na
resistência do conjunto.
A primeira norma a abordar exclusivamente o dimensionamento e verificação de elementos
mistos foi a norma europeia Eurocode 4, que serviu de diretriz para a elaboração do texto de
revisão da NBR 8800:2008. Atualmente a NBR 8800:2008 contempla o dimensionamento de
lajes mistas, vigas mistas, pilares mistos e ligações mistas para estruturas de edifícios.
De acordo com De Nardin e Souza (2008), a utilização de elementos mistos aço-concreto
amplia de maneira considerável o conjunto de soluções em concreto armado e em aço. A
crescente utilização de estruturas mistas deve-se a fatores como: maior transparência da
estrutura, redução das dimensões da seção transversal, peso próprio menor, maior rapidez e
facilidade de execução e possibilidade de dispensar fôrmas e escoramentos, reduzindo custos
com materiais e mão de obra.
A ação composta não só reduz os esforços das cargas variáveis, como também as deflexões
devido ao aumento da rigidez à flexão. Isso é garantido pela presença dos conectores de
cisalhamento fixados à viga. Seções mistas e tipos de conectores são mostrados nas figuras 9
a 11, porém os conectores flexíveis, ou Stud Bolts, tornaram-se os mais utilizados atualmente
e são exemplificados na figura 12 (KLAIBER; WIPF, 1999).
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28
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29
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9
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___________Análise de P
Figli
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31
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________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
32
para a atenuação desses efeitos, sendo que para as estruturas mistas caixão, devido à sua seção
transversal vazada, há a possibilidade para a instalação da protensão em seu interior.
Sendo assim, o objetivo do trabalho é propor o estudo de um caso, uma ponte mista de seção
caixão contínua tangente de 2 vãos, proceder à sua verificação analítica segundo os critérios
da norma AASHTO-LRFD:2012, deteminar sua resistência em Estado Limite Último (ELU) e
definir conectores de cisalhamento. Com isso, aplicar uma força de protensão à estrutura, que
respeite suas tensões admissíveis, e apresentar o método para a verificação em ELU com a
protensão. O foco é dado especialmente ao estado último da flexão negativa, na região de
continuidade dos vãos. A verificação da região de flexão negativa em estruturas mistas
normalmente é omitida ou apresentada sem os devidos detalhes em manuais técnicos e livros,
tratamento diferente do caso da flexão positiva. Deste modo, então, pretende-se construir um
método de verificação da flexão na região de momento negativo, com aplicação de protensão,
para estruturas mistas de seção caixão e apresentar o incremento de resistência em ELU.
A análise estrutural inicial é realizada por meio de modelo em barras de pórtico espacial
através do software STRAP 2013. Por fim, um modelo em elementos finitos, com elementos
de casca, é efetuado, com auxílio do software SAP2000, para confrontar/validar os resultados
do modelo inicial, especialmente em termos de tensões e deslocamentos. Convém destacar
que o modelo em barras de pórtico espacial tem anuência da norma AASHTO-LRFD:2012.
O modelo em elementos finitos com SAP2000 justifica-se por este software possuir opções de
elementos de casca fina (Thin Shell) e casca grossa (Thick Shell), ao passo que o software
STRAP 2013 somente disponibiliza elementos de casca fina.
1.3 ESTRUTURA
O trabalho está divido em 8 capítulos, além dos Anexos A, B, C e D, que apresentam as
rotinas e programações das verificações e dimensionamentos analíticos.
No primeiro capítulo foi apresentado um panorama geral do problema a que se propõe o
trabalho, conceituação e histórico das estruturas mistas e vantagens da aplicação da protensão,
bem como a justificativa e objetivos do trabalho.
O capítulo 2 trata das características das pontes em geral. Conceitos de subestruturas, suas
funções, bem como critérios para definir os carregamentos permanentes e móveis segundo as
normas brasileiras: NBR 8681:2003 e NBR 7188:2013.
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
33
No capítulo 3, trata-se das fases de carregamento das estruturas mistas, seus modelos de
análise e determinação das combinações de cargas para Estado Limite Último (ELU) e de
Serviço/Fadiga (ELS).
O capítulo 4 se encarrega de apresentar as prescrições da AASHTO-LRFD:2012 para as
verificações de pontes mistas de seção caixão quanto ELU (flexão, cisalhamento) e ELS
(conectores de cisalhamento).
O capítulo 5 apresenta inicialmente a protensão focada a estruturas de concreto para depois
evoluir ao caso das estruturas mistas e à aplicação no modelo do caso estudado. No capítulo 6
é proposto um estudo de caso.
No capítulo 7 apresentam-se os critérios e resultados da análise da estrutura em Elementos
Finitos com o auxílio do software SAP2000.
As conclusões e sugestões para trabalhos futuros ficam a cargo do capítulo 8. As referências
bibliográficas são apresentadas na sequência.
____
2 PO
Este
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Obras de Art
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ARCHETI, 20
____________2015
uturas e fun
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tráfego. Co
esoestrutur
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009)
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34
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ão necessár
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DES, 2003)
às pontes em
composta p
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35
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5
o
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s
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_______________
Fig
Figur
____________Bruno Ta
gura 25: Apar
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o de concretoe 2º e 1º ordem
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em neoprene f vínculos elás
___________gre: PPGEC/E
com placa dem, respectivam
er (superestrut
fretado (víncusticos ou víncu
____________EE/UFRGS, 2
e chumbo e rolmente)
tura)
lo elástico). E
ulos de 2º orde
____________2015
lete de aço
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__________
366
____
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com
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___________Análise de P
aparelhos da
ções, respec
CARREG
a seção, ap
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ção é dada p
1 Cargas
acordo com
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3 eixos e p
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____________Pontes em Est
Figura 28: A
a figura 28
ctivamente.
GAMENTO
presenta-se
rgas perman
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Permane
m a NBR 7
de ser con
elo peso pró
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entação, po
Móveis d
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Brasil são f
classificada
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m uma carg
____________truturas Mista
Aparelhos de aUnidire
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Equivalem
OS DE PO
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nentes, carg
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7187:2003,
nsiderada c
óprio dos el
strutura da p
ostes de ilum
da Supere
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fixadas pela
as em: Pont
de 450kN,
ga distribuíd
____________as de Aço-Con
apoio Cernofloecional (RU)
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gas móveis
trens-tipo d
Superestru
as cargas
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ponte, tais c
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estrutura
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___________ncreto de Seçã
on Unidirecion(PROTENDE
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5, classe 30
20kN, resp
o o tabuleir
____________ão Caixão com
nal (CU) e RuE)
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móveis a apli
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da vida út
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da-corpos, g
os (MARCH
onsideradas
013. As cla
e classe 12
ectivamente
ro, exceto n
____________m Protensão E
undflon
os em uma
s de 1º ordem
onte. Entre
ção e fluênc
icar sobre o
eendem as
útil da estr
os elemento
guarda-roda
HETI, 2009
s no cálculo
asses de car
2. Trata-se
e. Além do
na posição
__________ Externa
37
e múltiplas
m.
as cargas,
ia. Especial
o modelo.
ações cuja
rutura. São
os que estão
s, defensas,
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o de pontes
rgas móveis
de veículos
o veículo, é
do veículo,
7
s
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figur
A se
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___________
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ibuída mais
em-tipo fina
rior e, depen
ras 29 e 30 i
eção transve
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eja, as carga
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____________Bruno Ta
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s o veículo r
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Figura
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____________asca de Linhar
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ra 30: Carga d
aixão celula
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ão distribuí
s verticais) q
____________res. Porto Aleg
que corresp
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ão do núme
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bem como a
Classes 45, 30
de multidão (5
ar, como co
a laje. Em t
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que compõe
___________gre: PPGEC/E
ponde a 5k
projeto.
ero de vigas
nsversais do
a carga de m
0 e 12 (MARC
5kN/m²) (MEN
onsiderado
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____________EE/UFRGS, 2
kN/m². A
s principais
o tabuleiro
multidão.
CHETI, 2009)
NDES, 2003)
neste traba
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____________2015
composição
s, se possui
(MENDES
)
alho, aprese
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__________
38
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2.2.2
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Em p
mode___________
Análise de P
2.1 Trem-tip
rocesso con
sversal, send
veículo. Na
meiro passan
s e o segu
enientes da
artir dos cor
chega-se a
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o com vária
cada longar
e os método
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alho, haja vi
posse do tre
elo. ____________Pontes em Est
po de Flexão
nsiste em di
do o restant
a sequência
ndo pelo ve
undo (B-B),
multidão. A
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ao trem-tipo
entar que fo
as longarina
rina.
os para dete
elha, estão o
ngesser-Cou
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em-tipo de f
____________truturas Mista
o
ispor o trem
te preenchid
a, fazem-se
eículo (A-A
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A figura 31
ortes no veícul
B-B, por sim
o longitudin
i definido u
as (seção em
erminar o tr
o método d
urbon (MEN
ado o assunt
flexão, pode
____________as de Aço-Con
m-tipo long
do com a ca
e 2 cortes
A), onde sã
faixa do ve
ajuda a fixa
lo tipo e na ca
mples cálcu
nal de flex
um único tre
m grelha),
rem-tipo de
das linhas de
NDES, 200
to das seçõe
e-se aplicá-l
___________ncreto de Seçã
gitudinalmen
arga de mul
transversai
ão determin
eículo, no q
ar este méto
arga de multid
los de reaçõ
xão, mostrad
em-tipo par
a rigor dev
cada longa
e influência
03). Ambos
es caixão.
lo finalment
____________ão Caixão com
nte em qua
tidão, atrás,
s sobre es
nadas as ca
qual são de
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dão (MENDES
ões [RP = 2
do na figur
a a seção ca
ver-se-ia det
arina para um
a de Guyon
os método
te sobre as l
____________m Protensão E
alquer trech
, à frente e
stes carrega
argas prove
eterminadas
ribuição de c
S, 2003)
2P; RP1 = p(
ra 32. Nest
aixão. No c
terminar um
uma ponte/v
n-Massonet
os fogem ao
linhas de in
__________ Externa
39
ho da seção
pelos lados
amentos. O
nientes das
s as cargas
cargas.
(L-3); RP2 =
te ponto, é
caso de uma
m trem-tipo
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e o método
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o
s
O
s
s
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é
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m
o
o
o
____
2.2.2
Os m
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33. G
Ao a
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___________
2.2 Trem-tip
momentos to
mesmo an
egado e o ta
uação já tra
Geralmente,
aferirem-se
ão a aplicar
____________Bruno Ta
Fig
po de Torçã
orçores são
nterior, poré
abuleiro parc
atada na figu
, a situação
os momen
sobre as lin
Figura
Fig
____________asca de Linhar
ura 32: Trem-
o
analisados
ém agora,
cialmente c
ura 31. O ta
o parcialmen
ntos em tor
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a 33: Seção pa
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____________res. Porto Aleg
-tipo final de f
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analisando
carregado. O
abuleiro par
nte carregad
rno do eixo
uência de to
arcialmente ca
tipo final de t
___________gre: PPGEC/E
flexão (MEND
ao eixo mé
o-se duas s
O tabuleiro t
rcialmente c
da fornece
o da seção,
orção do mo
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torção (MEND
____________EE/UFRGS, 2
DES, 2003)
édio do tabu
ituações: o
totalmente c
carregado é
o trem-tipo
compõe-se
odelo (MEN
NDES, 2003)
DES, 2003)
____________2015
uleiro. O pro
o tabuleiro
carregado c
é apresentad
o de torção
e o trem-tip
NDES, 2003
)
__________
40
ocedimento
totalmente
corresponde
do na figura
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po final de
3).
0
o
e
e
a
.
e
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
41
2.2.2.3 Carga de Impacto
O efeito dinâmico das cargas móveis deve ser analisado pela teoria Dinâmica das Estruturas.
É permitido, no entanto, assimilar cargas móveis a cargas estáticas, a partir de coeficientes de
impacto. Estes, são parâmetros definidos a partir da vãos da estrutura. Trata-se de fatores
aplicados sobre as cargas móveis, ou seja, sobre os trens-tipo.
Os passeios, que são os espaços destinados aos pedestres, são carregados somente pela carga
de multidão não-majorada pelo coeficiente de impacto. O coeficiente de impacto não se aplica
à carga distribuída (5kN/m²). A expressão do coeficiente é dada a seguir, onde L [m] é o vão
analisado (NBR 7187:2003):
Φ 1,4 0,007L 1,0 (1)
O coeficiente de impacto de majoração das cargas estáticas segundo a AASHTO-LRFD:2012,
é dado por (onde IM é o fator de carga dinâmica = 33, para Estados Limites Últimos e 15%
para Estado Limite de Fadiga):
Φ 1 IM/100 (2)
Este coeficiente, como o anterior, deve ser aplicado somente às cargas do trem-tipo. Pelo fato
de o trabalho estar tratando de cargas móveis definidas pelas normas brasileiras, optou-se por
utilizar o coeficiente da equação (1).
2.2.2.4 Frenagem e Aceleração
Admitindo-se um valor para a aceleração do veículo, supostamente constante, verifica-se que
o esforço longitudinal F corresponde a uma fração (igual a a/g – a=aceleração do veículo; g =
aceleração da gravidade) do peso do veículo. Para pontes rodoviárias, a norma NBR
7187:2003 estabelece os seguintes valores para o cálculo dos esforços longitudinais, devendo-
se adotar o maior dos dois:
a) aceleração – 5% da carga móvel aplicada sobre o tabuleiro;
b) frenagem – 30% do peso próprio do veículo A alínea (a) corresponde à aceleração de a = 0,5m/s², com a qual a velocidade de 80km/h é
atingida na extensão de 500m. Já a frenagem de 30% (alínea b) corresponde à aceleração
negativa a = -3m/s² com a qual um veículo de 80km/h pode ser imobilizado numa extensão de
82m.
____
2.2.2
A no
Força
2.2.3
Segu
norm
dessa
Adot
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___________
2.5 Força Ce
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as essas apl
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___________gre: PPGEC/E
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__________
42
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r
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o o
o
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
43
2.2.4 Fluência e Retração
A fluência, também chamada de deformação lenta, é um fenômeno que ocorre no concreto, ao
longo do tempo, decorrente da atuação de cargas de longa duração. A retração é a variação
volumétrica do concreto, que, em geral, é devida à saída de água por evaporação, hidratação
do cimento ou por carbonatação (NEVILLE; BROOKS, 2013).
Deste modo, esses fenômenos dependem além do tempo, de variáveis como temperatura,
umidade, volume/superfície da peça e quantidade de água no lançamento do concreto.
Para o caso das estruturas mistas, poucos são os estudos que lidam com o assunto. As
dificuldades para o cálculo preciso se devem à complicada inter-relação entre fluência e
retração.
Saadatmanesh et al.3, citados por Wu e Bowman (2000), propuseram um procedimento
simples para incluir o efeito da fluência no cálculo das tensões e deformações em uma
estrutura mista sujeita a cargas permanentes (longa duração). Este procedimento converge à
solução proposta pela norma AASHTO-LRFD:2012, tratada nos capítulos seguintes. A
solução consiste em triplicar a razão n (=Es/Ec) entre os módulos de elasticidade do aço (Es) e
do concreto (Ec), usada para transformar a laje de concreto em uma seção fictícia de aço
(homogeneização). Com este artifício, que será apresentado no capítulo 3, reduz-se a inércia
resultante da seção mista, simulando-se, assim, maior deformação devido à fluência.
Para estruturas de pontes mistas consideradas neste trabalho, definem-se lajes pré-moldadas
conforme visto para o viaduto Julio de Castilhos no capítulo 1. As lajes definidas sofrem cura
úmida por 28 dias até serem posicionadas sobre a estrutura de aço. Para este caso, adota-se o
procedimento de cálculo da retração pelo ACI 209.R-92 (American Concrete Institute)
apresentado por Neville e Brooks (2013). Este método leva em conta o efeito da cura úmida
na aceleração da retração antes de a peça ser colocada em sua posição final. Deste modo a
peça sofrerá apenas parte de sua retração quando estiver solidarizada ao perfil (caixão) de aço.
A retração para cura úmida de 28 dias é dada por (NEVILLE; BROOKS, 2013):
, 035
(3)
Em que
3 SAADATMANESH, H.; ALBRECHT, P.; AYYUB, B. Guidelines for flexural design of prestressed composite beams. Journal of Structural Engineering, ASCE, 115(11), 2944-2961, 1989c.
____
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____________2015
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44
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m
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
45
Assim, em posse da deformação de retração εcs(t,t0), pode-se aplicar, no modelo matemático,
uma carga de temperatura excêntrica equivalente em relação ao CG da seção mista. Outra
maneira de simular a ação da retração é definir uma força de protensão fictícia excêntrica. As
equações (11) a (14) ajudam a entender o método.
Simulação da retração por uma variação negativa de temperatura no concreto:
. → , 0 (11)
, 0(12)
Onde
ΔT – variação de temperatura equivalente para simulação da retração (ºC);
α – coeficiente de dilatação térmica do concreto (=1,2.10-5 ºC-1).
Simulação da retração por uma força equivalente fictícia de protensão excêntrica:
. → . . (13)
. . , 0 (14)
Onde
Fpeq – força de protensão fictícia equivalente no CG da laje de concreto;
Ac, Ec – área de seção transversal da laje e módulo de elasticidade do concreto.
Neste trabalho, considera-se cura úmida de 28 dias, na qual as lajes pré-moldadas são cobertas
com aniagem periodicamente umedecida e se mantêm em contato com a água durante a cura.
Após a cura, as peças serão posicionadas e solidarizadas ao caixão de aço. Neste caso, a
retração/força aplicada à estrutura mista será resultante da retração que ocorre após os 28 dias
de cura.
Após a retração inicial em cura úmida, εcs(28,0), considera-se como tempo final de retração a
idade de 3 anos (~1000 dias). Portanto, a retração a que estará submetida a estrutura mista é a
diferença: Δ = εcs(1000,0) - εcs(28,0).
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
46
3 PONTES MISTAS
Neste capítulo são apresentados os procedimentos para a análise de uma ponte em estrutura
mista, segundo critérios da AASHTO-LRFD:2012.
O capítulo versa inicialmente a respeito das fases de construção e sua influência no modelo
elástico linear de análise (superposição). Na sequência, aborda-se o tipo de modelo a ser
utilizado na análise, bem como das combinações de cargas para definição das envoltórias de
esforços em Estados Limites Último (ELU) e de Serviço (ELS).
3.1 FASES DE CONSTRUÇÃO SEGUNDO AASHTO-LRFD:2012
Para o caso de estudo, bem como para estruturas padrão com esse tipo de solução, há
basicamente quatro fases de construção a considerar. Cada uma dessas fases terá uma análise
separada, com suas propriedades geométricas próprias, condições de contorno próprias e
cargas próprias. A partir da superposição dos efeitos em cada fase têm-se, com a envoltória
das ações, os esforços finais utilizados na verificação/dimensionamento da estrutura.
Neste trabalho, denominam-se as fases de construção da seguinte maneira:
a) Fase Seção Caixão Isostática;
b) Fase Seção Caixão Hiperestática;
c) Fase Seção Mista de Curta Duração;
d) Fase Seção Mista de Longa Duração. A avaliação das propriedades das seções transversais (momentos de inércia, momentos
estáticos, área, rigidez a torção) deve ser feita para cada fase, pois cada uma sofrerá um
carregamento específico. As denominações Longa Duração e Curta Duração, também são
usadas nas prescrições da NBR 8800:2008 com referência aos efeitos de retração e fluência.
Discute-se nos itens seguintes, do que se trata cada fase. A figura 37 exemplifica uma seção
caixão mista com seus componentes típicos, e que é o objeto de estudo deste trabalho.
____
3.1.1
Conf
de aç
cante
Ao s
de aç
geom
comp
perm
3.1.2
Nesta
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Análise de P
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ão ocorre e
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Externa
47
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3.1.4
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4 Fase Se
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a
a
o
o
s
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
52
para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da
estrutura.
Como se está tratando de cargas móveis definidas pela NBR 7188:2013, convém abordar as
combinações de carga segundo a norma brasileira NBR 8681:2003. Basicamente, as
combinações de cargas para pontes são:
a) Combinações Últimas Normais: ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis (secundárias), com seus valores reduzidos de combinação ψ0;
b) Combinações Quase Permanentes de Serviço: todas as ações variáveis são consideradas com seus fatores quase permanentes ψ2;
c) Combinações Frequentes de Serviço: a ação variável principal é tomada com seu valor frequente ψ1 e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes ψ2.
As expressões para as combinações supracitadas são, conforme NBR 8681:2003,
respectivamente:
F , . , (16)
F , , (17)
F , . , (18)
Onde:
γg1 = 1,25 (peso próprio de estruturas metálicas - Fase Seção Caixão Isostática); γg2 = 1,30
(peso próprio das lajes pré-moldadas - Fase Seção Caixão Hiperestática); γg3 = 1,40
(elementos construtivos industrializados com adição in loco - Fase Seção Mista de Longa
Duração);
γq = 1,50 (ações variáveis em geral – cargas móveis - Fase Seção Mista de Curta Duração); γq
= 1,40 (ações de vento – cargas móveis - Fase Seção Mista de Curta Duração);
ψ0 = 0,7 (cargas rodoviárias); ψ0 = 0,6 (cargas de vento); ψ1 = 0,5 (cargas rodoviárias); ψ1 =
0,3 (cargas de vento); ψ2 = 0,3 (cargas rodoviárias); ψ2 = 0 (cargas de vento).
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
53
No capítulo seguinte, as prescrições da norma AASHTO-LRFD:2012 serão introduzidas.
Expõem-se as verificações analíticas quanto ao Estado Limite Último e de Fadiga aos quais se
deve proceder a partir das envoltórias dos resultados do modelo em barras. Foi reservado um
subitem especial nesse capítulo para combinações de fadiga, já que estão ligadas diretamente
à verificação dos conectores.
____
4 NO
Neste
verif
de c
8800
4.1 N
A no
Estru
gerai
e ind
pede
presc
plano
A tít
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___________
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e capítulo,
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cisalhament
0:2008.
NBR 8800
orma NBR 8
utura Mista
is aplicam-s
dustrial e e
stres e supo
creve verific
o de flexão,
tulo de ilust
l de alma
P), a partir d
Fho
____________Bruno Ta
aborda-se
Estado Lim
to. Porém,
0:2008
8800:2008
a de Aço e
se às estrutu
edifícios pú
ortes de eq
cações para
, podendo-s
tração, a ve
cheia é ex
do balanço d
Figura 43: Posorizontal de fo
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____________asca de Linhar
a norma
mite Último
é importa
cita já no s
Concreto d
uras de edif
úblicos, sen
quipamentos
a estruturas
e tratar de p
erificação e
xposta abaix
de forças pl
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____________res. Porto Aleg
AASHTO-
o em flexão
ante, inicia
eu título tra
de Edifícios
fícios destin
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que consist
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em Estado L
xo. Determ
lásticas do c
em seções mis: (a) seção mifyh/γa1; (c) LNP
(PFEIL, 2
___________gre: PPGEC/E
-LRFD:2012
o, cortante e
almente, co
atar-se de: P
s. No item
nados à hab
m aplicáve
estruturas m
tem em um
ão caixão, tu
Limite Últim
mina-se a po
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istas – perfil Iista, (b) LNP nP no perfil, Ca
008)
____________EE/UFRGS, 2
2, com foc
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Projetos de
1.4, declar
itação, edif
l às estrutu
mistas, em
m componen
ubo retangu
mo à flexão
osição da L
do aço, conf
, a partir do eqna laje, Rcd=0ad=0,5(Rtd- Rc
____________2015
co especial
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s assertivas
Estrutura d
ra que seus
fícios de uso
uras de pa
seu anexo
nte de aço s
ular ou treliç
o para viga
Linha Neut
forme figura
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__________
54
l dado nas
conectores
s da NBR
de Aço e de
s princípios
o comercial
assarelas de
O, no qual
imétrico ao
ças mistas.
mista com
tra Plástica
a 43.
4
s
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R
e
s
l
e
l
o
m
a
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
55
Esse caso se aplica à determinação do momento fletor positivo resistente para o caso no qual
os perfis são compactos, ou seja, quando respeitam as relações de esbeltez especificadas pela
Norma. Com a posição da LNP, faz-se um somatório de momentos resistentes em relação a
um ponto da seção ou em relação à LNP e o Momento de Plastificação Resistente está
determinado. Na figura 43, Rcd e Fcd são as resultantes total e parcial da laje; Rtd e Ftd são as
resultantes total e parcial do perfil e Cad é a parcela de aço comprimido para o caso (c).
Na determinação das propriedades geométricas da seção transversal (inércia, área, momentos
estáticos), a norma brasileira considera os efeitos de longa e curta duração das cargas, levando
em conta o efeito da fluência do concreto. Porém, a definição dos conectores de cisalhamento
é feita em Estado Limite Último, a partir do menor valor entre as resultantes plásticas da laje e
da seção de aço, sem levar em consideração o efeito da fadiga. Esse fato se justifica, já que a
NBR 8800:2008 trata de estruturas de edifícios, onde as cargas são de pouca variabilidade. De
fato, Pinho e Bellei (2007) já comentavam a não existência de normas brasileiras para pontes
metálicas e mistas, recomendando ao projetista, portanto, recorrer a normas estrangeiras.
A própria NBR 8800:2008 recomenda que, na falta de soluções não cobertas pela mesma, o
responsável técnico deve usar procedimentos aceitos pela comunidade técnico-científica, bem
como uso de normas estrangeiras.
Com isso, justifica-se a adoção do texto americano para pontes/viadutos em estruturas mistas,
abordado neste trabalho.
4.2 AASHTO-LRFD:2012
A AASHTO-LRFD:2012 foi a primeira norma nacional americana a tratar de pontes,
publicada inicialmente como AASHO (American Association of State Highway Officials) em
1931. Com o advento do automóvel e o estabelecimento dos departamentos rodoviários,
àquela época, o projeto, construção e manutenção da maior parte das pontes americanas
tornou-se responsabilidade desse departamento.
Segundo a norma americana (Load and Resistance Factor Design), as pontes devem ser
projetadas segundo o método dos Estados Limites.
Nos itens seguintes tratar-se-á de pontes mistas de seção caixão tangentes e classificadas pela
Norma como compactas, ou seja, respeitando parâmetros de esbeltez das chapas que a
compõem.
____
4.2.1
As te
seção
divis
Assu
A an
some
inérc
Seçã
é feit
ainda
Para
homo
A an
sinal
seja,
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Final___________
1 Momen
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e se obtêm o
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Bruno Ta
nto Fletor
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os esforços
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Plástico
riedades ge
e concreto d
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ulo 3 e resu
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condição em
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e aço, na fig
Seção Caixã
pas de const
as lajes e o
ração, (carg
ção n. Trata
o (cargas pe
esmo proce
e Longa Dur
arregamento
solicitantes
estes esforço____________res. Porto Aleg
eométricas s
da laje é tran
e os módul
umido na fig
nsversal para acomposite secósita n, 3n e n(DUAN et al
m vazio, is
e peso pró
gura 44 cha
ão Hiperestá
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aço, ou seja
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a-se da Fase
ermanentes
esso, porém
ração.
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os finais co___________gre: PPGEC/E
são calculad
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as diferentes fction (Linha Não-compósita., 1999)
sto é, sem c
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sicionament
a, a estrutur
a duração, tr
e Seção Mis
na estrutur
m com a rel
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m superposiç
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das a partir d
em uma seç
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.
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ão-compós
s no capítulo
to da seção
a ainda não
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sta de Curta
a como pav
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a-se o mod
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entos fletore____________2015
da homogen
ção de aço f
s materiais
se. a para seção
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oldadas, é f
sita. Trata-s
o anterior. E
caixão de a
o é mista.
nto), a seção
a Duração.
vimento, gu
omogeneiza
delo elástico
ses comenta
es resistente__________
56
neização da
fictícia pela
n (=Es/Ec).
ego, vento),
feita com a
se das fases
Esta análise
aço, quando
o já mista é
uarda-rodas,
ação 3n, ou
o-linear, de
adas acima.
es.
6
a
a
.
,
a
s
e
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u
e
.
____
4.2.1
A AA
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No q
resist
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tensã
super
Assim
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Resis
corre
Para
total
alma
Em q
___________Análise de P
1.1 Moment
ASHTO-LR
o para defin
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qual as resu
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l); Pw = Fy
ão de escoa
rior e inferi
m como na
ção da Linh
momentos de
stente (Mp)
espondentes
que isso se
sem flamba
a comprimid
que:
____________Pontes em Est
to Fletor Re
RFD:2012 d
nir o momen
ura 45: Forçasequilíbrio hori
perfil;
ultantes plás
concreto e t
yDtw (result
amento do
ior, respecti
a NBR 880
ha Neutra P
essas forças
). A equaçã
s distâncias
eja válido, a
agens locais
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____________truturas Mista
esistente Pos
determina,
nto de plasti
plásticas e pozontal: Caso ICaso III – na
sticas são d
ts, espessura
tante da alm
aço); PNA
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0:2008, o b
lástica (LN
s plásticas e
ão (19) ilus
em relação
a seção dev
s. Esta exig
(função da
2
____________as de Aço-Con
sitivo
em ELU, o
ificação res
osições possívI – na alma dolaje de concre
dadas por: P
a da laje);
ma do perfi
A – Linha N
a laje.
balanço das
NP). Com a
em torno da
stra o soma
à LNP (Y)
M
ve ser comp
gência é dad
posição da
2D3.7
___________ncreto de Seçã
o balanço d
istente (figu
veis de linha no perfil; Caso eto (AASHTO
Ps = 0.85fcb
Pc = Fybctc
il); Pt = Fyb
Neutra Plás
s forças plá
posição da
a LNP e, as
atório das f
:
pacta, isto é
da pela equa
LNP):
6
____________ão Caixão com
de forças pl
ura 45).
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O-LRFD, 2012
bsts (resultan
c (resultante
bttt (mesa in
tica; Art e
ásticas horiz
LNP, proce
ssim, tem-s
forças plást
é, capaz de
ação (20), q
____________m Protensão E
lásticas hor
a (PNA) para superior do 2)
ante da laje,
e da mesa s
nferior do p
Arb são as
izontais, res
ede-se a um
se o Momen
ticas Fp seg
atingir a p
que avalia a
__________ Externa
57
rizontais na
, sendo fc a
superior do
perfil; Fy =
armaduras
sultará uma
m somatório
nto Plástico
gundo suas
(19)
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esbeltez da
(20)
7
a
a
o
=
s
a
o
o
s
)
o
a
)
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
58
Dcp = altura da alma comprimida no equilíbrio plástico horizontal (posição da LNP a partir do
topo); E = módulo de elasticidade do aço.
Para garantir o momento de plastificação, ainda é necessário verificar a relação entre Dp e a
altura total da seção mista Dt. Dp é a distância do topo da laje até a Linha Neutra Plástica. É
dada por:
DD
0.1 (21)
Deste modo, segundo Wittry (1993 apud AASHTO-LRFD:2012)4, aplica-se uma margem de
segurança adicional ao valor teórico do momento positivo resistente se esta relação não é
respeitada. Essa verificação visa a garantir adequada durabilidade à estrutura, evitando
esmagamento prematuro da laje, garantindo adequada ductilidade à seção mista. Resume-se o
exposto pela equação (22):
M D 0.1D
ã M 1.07 0.7DD
(22)
Na equação (22), Mn é o momento nominal positivo resistente.
Finalmente, sendo vãos contínuos, ou seja, havendo continuidade da superestrutura entre
vãos, tem-se como Momento Resistente Positivo Nominal final, o menor dos valores:
M min , 1,3 (23)
Na equação (23), My é o momento positivo das cargas externas (tráfego) capaz de causar o
início do escoamento na seção caixão de aço. O início do escoamento pode ocorrer no topo da
mesa superior ou na face externa da mesa inferior; My, portanto, é o menor momento externo
que inicia um desses dois processos.
4.2.1.2 Momento Fletor Resistente Negativo
Nas regiões de momento fletor negativo, o cálculo do momento resistente não envolve o
momento de plastificação da seção, mas sim a limitação das tensões nas mesas tracionadas e
comprimidas.
4 WITTRY, D. M. An Analytical Study of the Ductility of Steel Concrete Composite Sections. Master Thesis. University of Texas, Austin, 1993.
____
Com
e, po
de v
arma
despr
Neste
As m
mesa
longi
do co
(tens
Basta
nega
defin
Dete
___________Análise de P
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ortanto, é ign
verificação/d
aduras neg
rezada ou n
e caso, têm
mesas tracio
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itudinais, su
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a calcular u
ativo a ating
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Figufleto
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____________Pontes em Est
está submet
norada no c
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não, a critéri
m-se a mesa
onadas ficam
da (Fnc) dep
ua esbeltez
de flambage
pressão limi
um moment
gir essas ten
ento resiste
ura 46: Influênor negativo últ
momento re
____________truturas Mista
tida a mom
cálculo. As p
mento, serã
laje. A A
io do projet
a inferior da
m limitadas
penderá da e
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m do enrije
ite – ver An
to fletor mí
nsões. Em po
nte negativo
ncia do enrijectimo. Trad.: T
f(S
esistente, pe
____________as de Aço-Con
mentos negat
propriedade
ão calculad
AASHTO-L
tista.
a seção caix
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esbeltez da
ecedores, da
ecedor long
nexo A).
ínimo de ca
osse desse m
o da seção s
cedor longitudTop flange (meflange (mesa SALEH; DUA
elas seguint
min
___________ncreto de Seçã
tivos, a laje
es geométri
as, então, c
RFD:2012
xão comprim
ia tensão de
mesma, da
as tensões d
itudinal. Re
arga extern
momento fl
são obtidas:
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AN, 1999)
tes equaçõe
n ,
____________ão Caixão com
estará suje
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com a seçã
permite q
mida e as s
e escoament
presença ou
de St. Venan
esumindo: σ
a que leve
letor, as três
:
a capacidade eWeb plate (alm
s da resistên
____________m Protensão E
eita a tensõe
ão transversa
ão caixão d
que a arm
superiores t
to do aço. A
ou não de en
nt advindas
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a seção sob
s parcelas d
em momento ma), Bottom
ncia dos ma
__________ Externa
59
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al, para fins
de aço e as
madura seja
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A tensão na
nrijecedores
da torção e
σliminf = Fnc
b momento
da soma que
ateriais:
(24)
(25)
(26)
9
o
s
s
a
.
a
s
e
c
o
e
)
)
)
____
Em q
σlimsu
MD1
MD2
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MAD
fazer
Wperf
Wmis
laje;
4.2.2
Para
consi
cisalh
feita
Por
trans
resist
___________
que:
up = Fy; σlimi
= momento
= momento
próprio (g2
= sobrecarg
r as mesas in
fil = módulo
sta = módulo
2 Esforço
a resistênc
iderada a a
hamento ou
pela consta
outro lado
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tência ao ci
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____________Bruno Ta
inf = Fnc; Md
o negativo d
o negativo d
2) (cargas d
ga de cálcu
nferior e su
o de flexão d
o de flexão d
o Cortante
ia ao esforç
ação do ca
u pela flam
ante C. A ex
o, almas d
u enrijecedo
isalhamento
ura 47: Ação dcampo de tens
____________asca de Linhar
dresneg = mom
de cálculo p
de cálculo p
as lajes sob
lo (carga ex
uperior ating
da mesa par
das mesas p
e Resisten
ço cortante
mpo de ten
mbagem por
xpressão (27
de perfis e
ores transv
o pós-flamba
de campo de teão externo), P
____________res. Porto Aleg
mento fletor
ara perfil de
ara perfil de
bre perfil cai
xtra – carga
girem as ten
ra seção de
para seção m
nte
de almas de
nsões e a r
r cisalhamen
7) elucida a
enrijecidas,
versais e l
agem devid
ensões entre ePrincipal tens(DUAN et al
___________gre: PPGEC/E
r resistente n
e aço isolad
e aço com l
ixão – mont
s móveis e d
nsões limites
aço isolada
mista caixão
e perfis sem
resistência
nto. A relaç
a explicação
0.58
ou seja,
ongitudinai
do à ação do
enrijecedores. ion field (cam., 1999)
____________EE/UFRGS, 2
negativo.
do sob peso
igações con
tagem);
demais carg
s;
;
o de aço + a
m enrijecedo
é dada ou
ção entre e
:
. .
com prese
is, são cap
o campo de t
Trad.: Outer
mpo de tensão p
____________2015
próprio (g1
ntínuas (sold
gas) respons
armaduras n
ores transve
u pelo esco
essas duas g
ença de en
pazes de d
tensões (fig
tension field principal)
__________
60
1);
da) sob
sável por
negativas da
ersais não é
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(27)
nrijecedores
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gura 47).
0
a
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)
s
r
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
61
A resistência ao cisalhamento neste caso pode ser computada somando-se a ação de viga e a
ação do campo de tensão pós-flambagem como mostrado na equação (28):
0.87 1
1
2 ∗
2.5
ã 0.87 1
1
(28)
Se a primeira condição não é satisfeita, significa que a área total das mesas dentro do trecho
do campo de tensões é pequena em relação à área da alma e, assim, a capacidade total pós-
flambagem não pode ser desenvolvida. A segunda condição, mais conservadora para o caso
de pós-flambagem, dá a solução desprezando o aumento da tensão no campo de tensão
externo, na fatia da alma entre enrijecedores (figura 47).
A relação C, entre a resistência à flambagem por cisalhamento e a resistência ao escoamento
por cisalhamento é dada nas equações (29) e (30):
1,0 1.12.
1.12 . 1.12
∗1.40
.
1.57 . 1.40
.
(29)
55
(30)
Sendo:
D = altura da alma do perfil;
k = coeficiente de flambagem por cisalhamento;
d0 = distância longitudinal entre os enrijecedores transversais;
Vp = resistência ao escoamento por cisalhamento;
bfc e tfc = largura e espessura da(s) mesa(s) comprimida(s);
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62
bft e tft = largura e espessura da(s) mesa(s) tracionada(s);
4.2.3 Conectores de Cisalhamento
Os conectores de cisalhamento devem ser calculados para resistir ao Estado Limite de Fadiga.
A quantidade de conectores provenientes dessa verificação deve ser maior ou igual à
quantidade aferida no Estado Limite Último (ELU).
O esforço cortante requerido para a verificação dos conectores resulta das combinações de
cargas de fadiga. As combinações de fadiga levam em conta apenas as cargas transientes
(tráfego) com seus fatores de fadiga. Como as cargas transientes são cargas de curta duração,
o fluxo de cisalhamento deve advir da análise de curta duração, ou seja, com a
homogeneização da seção transversal a partir de n (=Es/Ec).
A resistência ao cisalhamento para um conector é determinada a partir de um parâmetro
dependente do número de ciclos a que a estrutura estará submetida em sua vida útil. Tendo-se
a resistência de um conector e a tensão de cisalhamento atuante na interface, pode-se
determinar o número de conectores e seu espaçamento.
Os conectores de cisalhamento devem estar presentes tanto nas regiões de flexão positiva
como negativa, para resistir às tensões de torção que existem ao longo de todo o vão, em
todos os tipos de seção mista caixão (AASHTO-LRFD:2012).
4.2.3.1 Combinações de Fadiga
Os conectores são dimensionados segundo o fluxo de cisalhamento proveniente das
combinações de carga de fadiga. Como se está tratando de carregamentos definidos pela
ABNT, é conveniente adotar os parâmetros da NBR 8681:2003 nesta questão.
Segundo essa Norma, na falta de um espectro de carga que defina a frequência de repetição
dos níveis de carga (regra de Palmgren-Miner), a verificação da fadiga pode ser feita para um
único nível de carga. Esse nível de carga é definido pela carga frequente de fadiga (ψ1,fadFqk).
Portanto, corresponde à carga móvel (tráfego) característica multiplicada por seu fator
frequente.
Para vigas longitudinais de pontes rodoviárias com vãos de até 100m e 2x106 ciclos, o fator é
0,5. Assim, as combinações de fadiga são: 0,5Fqk, Fqk – carga móvel (NBR 8681:2003).
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
63
O fluxo de cisalhamento utilizado para a verificação dos conectores vem da amplitude
máxima de cisalhamento na seção. O esforço cortante, numa seção de análise, poderá trocar
de sinal de acordo com a linha de influência da carga móvel. Deste modo, deve-se considerar
a amplitude de variação do cisalhamento - Vf (equação 31):
| | | | (31)
4.2.3.2 Resistência à fadiga de um conector tipo Stud Bolt
A resistência à fadiga por cisalhamento para um conector é função do número de ciclos a que
ele estará submetido. O número de ciclos (N), por sua vez, é determinado pelo número de
caminhões por dia em uma direção, para 75 anos de vida útil da obra, segundo a AASHTO-
LRFD:2012:
365 ∗ 75 ∗ (32)
ADTT = tráfego médio diário de caminhões em uma faixa, em toda a vida útil da obra.
Com esse dado, e com o diâmetro do conector (d), encontra-se a resistência de um conector à
fadiga (Zr) com:
238 29.5 log → ∗ (33)
De acordo com a norma americana, pesquisas mostram que o tráfego médio diário é
fisicamente limitado a 20000 veículos por faixa, sob condições normais. O número ADTT
pode ser determinado ao multiplicar-se esse valor pelo fator de caminhões em tráfego, que,
para viadutos urbanos, é 10%. Neste caso ADTT seria 2000 caminhões por dia. A norma
assume que esta carga de fadiga, definida para uma faixa, é aplicada em todas as faixas.
Deste modo, aplicando-se os cálculos, a resistência à fadiga de um conector é 9,364kN
(0,936tf).
Para corroborar este cálculo, recorre-se aos valores Cut-off de fadiga, para tensões de
cisalhamento de conectores Stud Bolts segundo o Eurocode 3: Design of steel structures –
Part 1-9: Fatigue. O valor Cut-off é a variação de tensão a partir de 108 ciclos, para a qual,
independente do tráfego, a resistência à fadiga está garantida.
Nussbaumer et al. (2011) apresentam o gráfico mostrado na figura 48. Para conectores Stud
Bolts o tipo de detalhe é dado pelo código 80. Assumindo-se a tensão de Cut-off, obtém-se, a
partir da figura abaixo, uma tensão de cisalhamento de aproximadamente 36MPa.
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4.2.3
O flu
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2
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64
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________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
65
Os esforços torçores também introduzem tensões tangenciais/fluxos de cisalhamento
transversais. Estes são dados pelas tensões de cisalhamento da torção de St. Venant, conforme
equação (36):
2
(36)
Na qual, o fluxo de cisalhamento transversal, Vst, depende de Tf (esforço de torção para as
combinações de fadiga) e Acont (área do contorno médio da seção caixão).
Com a soma vetorial dos fluxos Vsr e Vst e a resistência de um conector (Zr), determina-se o
espaçamento e, por consequência, o número de conectores com:
∗(37)
Na equação (37), p é o espaçamento longitudinal entre linhas de conectores e N é o número de
conectores transversais em cada linha.
A Norma americana fixa os espaçamentos longitudinais máximos e mínimos entre conectores:
60cm (24 polegadas) e 6Φ (Φ = diâmetro do conector), respectivamente. Na direção
transversal, recomenda um espaçamento mínimo de 4Φ.
4.2.3.4 Estado Limite Último para conectores
Para o ELU, toma-se a menor resultante de plastificação entre o perfil de aço e a laje de
concreto (P) e este valor é comparado à resistência nominal de um conector (Qr), obtendo-se
assim, o número de conectores mínimo (n) para o ELU.
(38)
Para casos de vãos simples e vãos contínuos em que não haja consideração da laje na flexão
negativa, a força total de cisalhamento, P, é considerada entre os pontos de máximo momento
fletor positivo e o ponto de momento nulo para as cargas móveis de cálculo. Para uma viga
isostática, por exemplo, o número de conectores, n, seria definido para ½ vão, ou seja, entre o
momento máximo no centro do vão e o nulo nos apoios extremos. Portanto, para todo o vão,
têm-se 2n conectores.
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
66
Os parâmetros da equação (38) são expressos por:
0.85 ; ã (39)
0.85 0.5 ; (40)
Nas equações (39) e (40), fck é a resistência característica do concreto, bc e tc são a largura e
espessura da laje, respectivamente, Aconector é a área de seção transversal do Stud Bolt, Acaixão é
a área de seção transversal do caixão de aço e Fu é a tensão de ruptura do aço do conector.
4.2.3.5 Retração e Protensão para conectores
Os conectores de cisalhamento, conforme a AASHTO-LRFD:2012, são dimensionados para a
variação das tensões de cisalhamento dadas pelas combinações de fadiga (dependem apenas
das cargas móveis) ou para as propriedades inelásticas dos materiais em ELU (dependem
apenas dos materiais), conforme itens anteriores. Deste modo, o efeito da retração e
protensão, nestas análises, não é importante.
Propõe-se, entretanto, um método para verificar o efeito destas cargas.
Para a retração, convém conferir se os conectores definidos pelos critérios anteriores são
suficientes para absorver o fluxo de cisalhamento induzido. Em posse do fluxo de
cisalhamento de retração Vretração e da resistência Qr (item anterior) para o conector em ELU,
pode-se conferir o espaçamento (p) e, consequentemente, o número de Studs. Resumindo:
çã(41)
Para o caso da protensão faz-se a mesma análise, porém, a protensão é um esforço que se
opõe aos demais esforços. A protensão mobiliza o peso próprio da estrutura. Portanto, o fluxo
a considerar deve ser o resultante da protensão mais a carga permanente atuante sobre os
conectores. A carga permanente que solicita os conectores logo após a solidarização com a
seção caixão são as cargas g3. As cargas permanentes g1 e g2 não solicitam os conectores,
pois a estrutura ainda não funciona como seção mista nestas etapas (capítulo 3).
Prescinde-se do efeito da retração nesta análise, pois a mesma atua a favor da carga g3. Deste
modo, com os fluxos das cargas g3 e protensão, chega-se a:
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
67
ã(42)
Essas verificações servem para conferir se o número de conectores está adequado, em Estado
Limite Último, para o ato de protensão e para o efeito da retração.
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
68
5 PROTENSÃO
A região de inversão de momentos fletores (laje de continuidade sobre pilares internos) é a
zona mais frágil da estrutura em Estado Limite Último (ELU). Shim et al (2010) já
recomendavam manter a laje desta região sob constante compressão, prevenindo, assim, a
fissuração e aumentando a capacidade em ELU, sendo esta a importância da protensão como
solução para as regiões contínuas sobre pilares.
Neste capítulo, apresenta-se a protensão para estruturas mistas. O objetivo é dar um panorama
geral sobre a protensão, sua concepção e então sua aplicação em conjunto com as estruturas
mistas.
Inicialmente faz-se um breve histórico e conceituação da protensão. Na sequência, estuda-se a
protensão a partir de estruturas de concreto, tratando de um assunto de grande importância
para a verificação em ELU: as perdas de protensão. Após isso, procede-se à aplicação da
protensão em estruturas mistas e sua verificação em ELU.
5.1 HISTÓRICO E CARACTERÍSTICAS DA PROTENSÃO
Segundo Pfeil (1984), a protensão pode ser definida como um artifício de introduzir, na
estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar sua resistência ou seu
comportamento, sob ação de diversas solicitações.
Eugène Freyssinet, engenheiro francês, é considerado o criador do concreto protendido. Com
ele surgiu em 1928 o primeiro trabalho consistente sobre concreto protendido com a
introdução de aço de alta resistência para a execução de protensão. Experiências anteriores,
com aço doce, tinham apresentado resultados insatisfatórios quando consideradas as perdas
lentas de protensão. Os aços por ele empregados tinham a forma de arames trefilados, e seu
princípio de protensão em estruturas é usado até hoje (GOMES JUNIOR, 2009).
As grandes deformações do aço de protensão podem ser obtidas sem comprometer a aderência
com o concreto, ao usarem-se dispositivos como as bainhas. As bainhas são dutos corrugados
de aço ou PEAD (Polietileno de Alta Densidade) que evitam o contato do aço de protensão
com o concreto durante a distensão do primeiro. Desta forma a armadura de protensão pode
alcançar deformações finais em ELU superiores ao limite convencional do aço doce em
concreto armado (1%).
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
69
A primeira obra oficialmente realizada no mundo em concreto protendido foi projetada por
Freyssinet em 1941, ponte sobre o rio Marne em Luzancy, França. No Brasil, a primeira obra
realizada em concreto protendido foi a Ponte do Galeão (1948), no Rio de Janeiro, com 380m
de comprimento, também projetada por Eugène Freyssinet. Todos os equipamentos e
materiais utilizados foram importados da França.
A partir de 1974, os aços de baixa relaxação (RB) passaram a ser fabricados no Brasil, em
substituição aos aços de relaxação normal (RN). Os aços aliviados ou de relaxação normal
(RN) são aços retificados por um tratamento térmico que alivia as tensões internas de
trefilação; já os aços estabilizados ou de baixa relaxação (RB) recebem um tratamento termo-
mecânico que melhora as características elásticas, reduzindo as perdas de tensão por
relaxação. Este avanço justificou a preferência pelo aço RB, válida até hoje.
De acordo com Carvalho (2012), o concreto protendido apresenta vantagem econômica se
considerarmos o custo por kg de aço necessário para desenvolver determinada força ou
tensão. Mesmo se se considerarem as perdas inerentes de proteção, o concreto protendido
apresenta a vantagem de diminuir a fissuração, vantagem que não é encontrada nos sistemas
de concreto armado.
Pode-se acrescentar como vantagens: estruturas mais leves que o concreto armado,
durabilidade maior e menor fissuração, menores deformações e adequação ao uso de pré-
moldagem.
As desvantagens do sistema protendido são as mesmas que existem (em menor intensidade)
para estruturas de concreto armado, como peso próprio elevado e necessidade de tempo de
cura e escoramento. Soma-se a isso ainda e necessidade de elementos acessórios como
bainhas, cabos e cordoalhas.
5.2 CLASSIFICAÇÃO DA PROTENSÃO
Pode-se classificar a protensão quanto à aderência (Sistemas de Protensão) e quanto às
tensões e fissuração em Estado Limite de Serviço (Tipos de Protensão).
____
5.2.1
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5.2.2
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________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
78
P. μ. dα → μ. dα (45)
Integrando a equação diferencial anterior, tem-se:
. (46)
Assim, a perda por atrito entre 2 pontos é função do coeficiente de atrito da bainha (μ) e do
ângulo do cabo (α) no trecho considerado.
A perda por atrito parasita é considerada a partir de uma ondulação média (em radianos) por
unidade de comprimento (β). Somando os dois efeitos, resulta:
. . (47)
Em que:
β – ondulação média por unidade de comprimento (parasita);
L – distância entre dois pontos considerados.
Escrevendo de forma generalizada, a perda por atrito entre dois pontos pode ser resumida
como se segue:
P 1 . (48)
Em que:
Pi – força de protensão inicial; Σα – somatório dos ângulos de desvio entre as abscissas 0 e x;
k – ondulação média parasita por unidade de comprimento [radianos/m].
É importante observar que a perda por atrito para protensão sem aderência, como no caso de
estruturas mistas, é muito pequena, quase desprezível, pois a leve mudança de direção dos
cabos ocorre apenas nos pontos dos desviadores e o coeficiente de atrito entre os desviadores
e os cabos é reduzido, já que são cordoalhas engraxadas.
5.5.2 Perda por Recuo de Ancoragem
Para sistemas com ancoragem através de cunhas, no momento da liberação do macaco de
protensão, sempre há um pequeno retrocesso do cabo que estava esticado, para a acomodação
das cunhas.
____
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79
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________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
80
A determinação da perda por recuo de ancoragem deve ser aferida após o cálculo das perdas
por atrito, sendo função dessas, e é feita por tentativas ou algum método iterativo, para
determinar qual o ponto dentro da seção onde cessa o recuo por ancoragem. No trabalho usa-
se o método da Bissecção para encontrar o zero da função, isto é, o ponto de recuo nulo.
5.5.3 Perda por Recuo Elástico do Concreto
Ao receber uma carga de protensão, a peça de concreto (ou mista) sofre uma deformação
imediata, encurtando-se. Concomitantemente ocorre um encurtamento da armadura de
protensão. A este encurtamento da armadura corresponde um alívio de tensões, ocorrendo
perdas de protensão.
Quando se executa a protensão de uma peça com aderência posterior, é comum fazê-lo por
etapas, isto é, em uma peça com vários cabos é comum protender e ancorar os cabos em
sequência. Quando um cabo é protendido, provoca uma deformação elástica no concreto (um
encurtamento) que, por sua vez, provoca uma perda de protensão nos demais cabos já
protendidos. Assim, por exemplo, em uma peça com 9 cabos, o primeiro sofreria perda devido
à protensão dos 8 cabos subsequentes; o cabo 2, sofreria perdas dos 7 cabos subsequentes e
assim por diante, até que o último não sofreria perda nenhuma. No caso de haver apenas 1
cabo ou mais de um protendidos simultaneamente, não se tem perda por deformação elástica.
Na pós-tração, logo após a protensão, os cabos são ancorados, mas ainda não injetados, ou
seja, não existe aderência inicial com o concreto, assim não se tem igualdade de deformações
entre concreto e aço.
É necessário então calcular o encurtamento da peça de concreto ΔLc e igualá-lo ao
encurtamento do cabo ΔLp, uma vez que não há deslizamento na ancoragem (VERÍSSIMO;
CÉSAR JR., 1998). Para uma peça de comprimento L, o encurtamento ΔLc pode ser obtido
por:
. . (52)
Sendo
(53)
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
81
..
.(54)
Se se considerar que a peça está escorada, o peso próprio pode não ser solicitado totalmente.
Assim, não haverá influência dos momentos Mg e do momento de protensão Mp = P0.ep na
deformação da peça, que ficará sob o efeito da força normal de protensão P0/Ac.
Algumas hipóteses simplificadoras são tomadas (VERÍSSIMO, CÉSAR JR., 1998):
a) Atrito cabo-bainha é desprezado e a força de protensão é considerada constante ao longo da peça;
b) Efeito da deformação imediata proveniente da: força normal de protensão P0 aplicada no centro de gravidade da seção, do momento fletor de protensão Mp=P0.ep e do momento fletor Mg de pesos próprios (g1+g2+g3);
c) Admite-se que todos os cabos tenham comprimento L da peça.
Suponha-se que existam n cabos com comprimento total L, trechos infinitesimais entre
esforços dx, e força de protensão por cabo p0, de tal modo que:
. (55)
Após a ancoragem do cabo 1, os (n-1) cabos restantes serão protendidos e ancorados
produzindo (n-1) encurtamentos no cabo 1. Logo:
1 → n 1
1 (56)
2 → n 2
1 (57)
1 →
1 (58)
→ ã (59)
O encurtamento total da peça será a soma das parcelas acima enunciadas:
1 (60)
Desenvolvendo algebricamente o somatório chega-se a:
12
.1
(61)
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
82
O encurtamento médio por cabo é feito dividindo-se a expressão (61) pelo número de cabos n.
Procedendo às operações, tem-se o encurtamento médio dado por:
,
12
.1
(62)
Na qual ep é a excentricidade da protensão em relação ao centro de gravidade da seção.
Finalmente, a perda média de tensão de cada cabo, utilizando a lei de Hooke é:
, . (63)
Para o caso das estruturas mistas, considera-se a deformação imediata da seção
homogeneizada, sendo válidas as equações anteriores. Como as cargas de protensão são
cargas permanentes de longa duração, a área de seção transversal a considerar nas equações
(56) a (62) é a área da Fase Seção Mista de Longa Duração, e o módulo de elasticidade é o
do Aço.
5.5.4 Perda por Retração do Concreto
A retração é um fenômeno que ocorre em função do equilíbrio higrotérmico do concreto com
o meio ambiente. O concreto perde parte da água de amassamento nas primeiras idades,
gradativamente, até atingir uma umidade relativamente estável. Essa perda produz uma
diminuição de volume e um consequente encurtamento da peça que se manifesta ao longo do
tempo.
O valor da deformação de retração [εcs(t,t0)] no concreto foi tratada no capítulo 2. Para a perda
de protensão (Δσpcs), considerando a retração como efeito isolado, tem-se (CARVALHO,
2012):
, . (64)
5.5.5 Perda por Fluência do Concreto
Para entender a fluência, pode-se associar um elemento linear de concreto como sendo um
conjunto, colocado em série, de uma mola associada a um pistão com líquido viscoso.
Introduzindo um carregamento, ocorrerá uma defomação imediata, devida à deformação da
mola, e uma deformação lenta, devida à movimentação do pistão. As ações que a provocam
____
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A flu
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2012)
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83
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(66)
(67)
(68)
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(71)
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e
é
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e
)
)
)
)
)
)
)
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
84
42. 350. 588. 113 (72)
768. 3060. 3234. 23 (73)
200. 13. 1090. 183 (74)
7579. 31916. 35343. 1931 (75)
Sendo hfic a altura fictícia da peça [m], Ac, a área da seção transversal da peça [m²], p é o
perímetro da peça [m], Ur, a umidade relativa [%] e t e t0, as idades do concreto [dias].
5.5.6 Perda por Relaxação do Aço
A armadura de protensão estirada e mantida com comprimento constante sofre um alívio de
tensão ao longo do tempo. A relaxação de fios e cordoalhas sob tensão após 1000 horas a
20ºC (ψ1000h), para tensões variando de 0,5fptk a 0,8fptk (fptk – tensão de ruptura do cabo) é
apresentado no quadro abaixo.
Quadro 1: Relaxação de cordoalhas a 1000h e 20ºC (ψ1000h)
Percebe-se que as cordoalhas de baixa relaxação (RB) apresentam uma perda de tensão
consideravelmente menor que as de relaxação normal (RN); as cordoalhas de baixa relaxação
recebem um alongamento com temperatura controlada na fabricação, o que lhes confere
menor perda por relaxação.
A determinação da taxa de relaxação é feita a partir de uma interpolação linear com os valores
do Quadro 1. O valor de tensão no cabo a considerar deve descontar as perdas imediatas. Em
posse da taxa de relaxação (ψ1000), o coeficiente de relaxação do aço (χ∞ é dado por (NBR
6118:2014):
RB (%) RN (%)
0,5 fptk 0 0
0,6 fptk 1,3 3,5
0,7 fptk 2,5 7
0,8 fptk 3,5 12
CordoalhaTensão Inicial
Relaxação do Aço de Protensão
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
85
2,5. (76)
ln 1 (77)
5.5.7 Interação entre Perdas Progressivas
Os valores parciais e totais das perdas progressivas, decorrentes de retração, fluência e
relaxação do aço, devem ser determinadas considerando a interação entre as mesmas.
A norma NBR 6118:2014 recomenda um método aproximado, desde que respeite as seguintes
condições:
a) A concretagem e protensão da peça em fases próximas, para que se desprezem os efeitos de uma sobre a outra;
b) Os cabos devem ter afastamentos pequenos entre si, para que possam ser supostos equivalentes a um cabo resultante.
Assim, admite-se que o tempo t, as deformações do concreto e do aço de protensão, na
posição do cabo resultante, sejam dadas, respectivamente, por:
, . , .,
, (78)
. , .
,(79)
Igualando as deformações e manipulando algebricamente, chega-se à expressão final:
,
, . . , . , . ,. . .
(80)
Em que
εcs(t,t0) – deformação por retração; φ(t,t0) – coeficiente de fluência;
χ(t,t0) – coeficiente de relaxação do aço;
χp = 1+ χ(t,t0); χc = 1+0,5 φ(t,t0); αp = Ep/Ec (relação entre os módulos);
ρp – Ap/Ac (taxa de armadura de protensão); η = 1+ep2.Ac/Ic;
Δσc(t,t0) – variação resultante da tensão no concreto adjacente ao cabo entre t0 e t;
Δσp(t,t0) - variação resultante da tensão no aço de protensão entre t0 e t;
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
86
σc,pog – tensão no concreto na altura da fibra do aço de protensão no tempo t0, devido às cargas
permanentes e protensão (g+prot.), descontadas as perdas imediatas;
σpo – tensão no aço de protensão no tempo t0, devido às cargas permanentes e protensão
(g+prot.), descontadas perdas imediatas.
5.6 ESTADO LIMITE ÚLTIMO
Neste subitem são apresentadas as considerações para o cálculo do momento fletor resistente
em ELU para estruturas mistas protendidas. É necessário, no entanto, compreender
primeiramente a protensão de estruturas de concreto.
5.6.1 Verificação do ELU para Concreto Protendido
A determinação do momento fletor resistente de uma estrutura de concreto protendido é feita
encontrando-se uma posição da linha neutra na seção, que equilibre as forças resultantes das
armaduras passivas, ativas (protensão) e resultante do concreto, dentro dos domínios de
deformação do Estádio III do concreto.
As hipóteses básicas no dimensionamento em Estádio III de uma seção transversal de
concreto armado/protendido, submetido a flexão simples ou composta são (ARAÚJO, 2003):
a) Admite-se a hipótese das seções planas (viga de Euler-Bernoulli);
b) Admite-se a existência de aderência perfeita entre aço e concreto;
c) Despreza-se totalmente a resistência à tração do concreto. Deste modo, uma seção submetida à flexo-compressão, como no caso da protensão, deve
respeitar os domínios de deformação do concreto em Estádio III, Estado Limite Último,
mostrados na figura 62.
____
No q
Na fi
A sit
defor
defor
triâng
___________Análise de P
Figu
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b) D
c) Dca
d) Dc
e) Dc
f) D
g) Dt
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rmações pa
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____________Pontes em Est
ura 62: Domín
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Domínio 3 concreto e e
Domínio 4 concreto e a
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– flexão escoamento
– flexão aço traciona
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1 0
0
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→
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u compostacoamento (ε
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tos classe at
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, com rupt
a com ruptus < εyd);
as comprim
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té C50 (fck ≤
nada em fun
equações d
meio de sim
10‰
10‰
____________m Protensão E
R 6118:2014)
ressão;
tura à comto permitid
tura a com
tura à com
midas;
essão), sem
≤ 50MPa).
nção desse d
de compatib
mples equiv
′
__________ Externa
87
mpressão dodo para as
mpressão do
mpressão do
m tensão de
diagrama de
bilidade de
valência de
(81)
(82)
7
o s
o
o
e
e
e
e
)
)
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
88
í 3í 4
→ 3,5‰ ; 3,5‰′
(83)
í 4 → 3,5‰ ; 3,5‰
′ (84)
í 5 → 2‰ 3
7
; 2‰′
37
(85)
0,259 ; 3,5‰
3,5‰(86)
Sendo
ε1, ε2 – deformações nas armaduras passivas inferior e superior, respectivamente;
d – altura útil da armadura passiva inferior a partir do topo da seção;
d’ – altura útil da armadura passiva superior a partir do topo da seção;
h – altura total da seção; Es – módulo de elasticidade do aço.
x – profundidade da linha neutra a partir do topo da seção;
x23, xlim – limites entre domínios 2 e 3 e domínios 3 e 4, respectivamente;
fyd – tensão de escoamento de cálculo do aço (fyk/1,15).
O processo de determinação do momento fletor resistente é assunto conhecido no meio
técnico. Normalmente a peça é verificada para que seu equilíbrio se dê nos domínios 2 ou 3;
preferencialmente no Domínio 3, no qual os materiais são mais bem aproveitados, com
ruptura do concreto e escoamento do aço.
A novidade se encontra na presença da armadura tensionada de protensão e como tratá-la.
Apresentar-se-ão os diagramas de deformação dos materiais e, na sequência, as premissas
para a armadura de protensão.
____
5.6.1
O dia
figur
6118
const
σcd =
5.6.1
Segu
64, p
traçã
___________Análise de P
1.1 Diagram
Fig
agrama tens
ra 63. Onde
8:2014 perm
tante de ten
= 0,85fcd, fcd
1.2 Diagram
undo a NBR
para os aços
ão e compre
____________Pontes em Est
ma Tensão-D
gura 63: Diagr
são-deforma
e ε0 = 2‰ e
mite simplif
nsões no co
d = fck/1,4 e
ma Tensão-D
Figura 64: Di
R 6118:2014
s com ou se
essão. Sendo
____________truturas Mista
Deformação
rama parábolafck ≤
ação do con
e εu = 3,5‰
ficar o diag
oncreto (par
x é a profun
Deformação
iagrama tensã
4, pode-se a
em patamar
o o módulo
____________as de Aço-Con
o do Concret
a-retângulo e d50MPa (NBR
ncreto é não
‰ (por mil),
grama pará
rte direita d
ndidade da
o do Aço Pa
ão-deformação
adotar o dia
de escoam
do aço Es =
___________ncreto de Seçã
to
diagrama simpR 6118:2014)
o-linear, com
, para concr
ábola-retâng
a figura, pa
linha neutra
ssivo
o do aço passi
agrama para
ento. Admi
= 210GPa.
____________ão Caixão com
plificado para
mo mostrad
reto fck ≤ 5
gulo por um
ara concreto
a.
vo (ARAÚJO
a o aço pass
te-se idênti
____________m Protensão E
a o concreto
do na parte e
0MPa. Poré
m diagrama
os fck ≤ 50M
O, 2003)
sivo indicad
ico comport
__________ Externa
89
esquerda da
ém, a NBR
a retangular
MPa). Onde
do na figura
tamento em
9
a
R
r
e
a
m
____
5.6.1
A ten
along
desco
Estád
A de
mom
progr
desco
A de
10‰
fissu
quan
abert
Ao s
se co
A se
Essa
para
neutr
___________
1.3 Tensão n
nsão final d
gamento (ε
ompressão
dio III (CAR
eformação
mento da pr
ressivas já
ontar essas
eformação m
‰ (por mil)
uração do c
ndo a armad
tura de fissu
e aplicar a p
omo ilustrad
ção de conc
deformaçã
concreto ar
ralizada, ou
____________Bruno Ta
na Armadur
da armadur
εp), já desc
(εD) e a d
RVALHO,
de pré-alon
rotensão. Po
ocorreram,
perdas.
máxima do
). Segundo
concreto. Sa
dura atinge
uras muito g
protensão, a
do na figura
Figura
creto sofrer
ão é devida
rmado, a de
u seja, sem q
Figura 66
____________asca de Linhar
ra Ativa
ra ativa é c
contadas as
deformação
2012).
ngamento
orém, como
e, portanto
o aço para
Veríssimo
abe-se que
e um valor
grande. Ass
a deformaçã
a abaixo:
65: Tensões a(VERÍ
rá uma defo
à tensão de
eformação l
quaisquer de
: Força necess(VERÍ
____________res. Porto Aleg
composta de
s perdas im
(εf) necess
(εp) corres
o se está tr
o, da tensão
seções de
o e César
o aço rom
tão elevad
im, limita-s
ão e tensão
ao longo da seÍSSIMO; CÉS
ormação na
e pré-along
imite do aç
eformações
sária para neuÍSSIMO; CÉS
___________gre: PPGEC/E
e 3 parcela
mediatas e
sária ao eq
ponde à te
rabalhando
(=deforma
concreto ar
Jr. (1998),
mpe com um
do de deform
se a deforma
ao longo da
eção em funçãSAR JR, 1998
fibra à me
gamento. Pa
ço (10‰) é
. A figura s
utralizar as tenSAR JR, 1998
____________EE/UFRGS, 2
s de deform
progressiv
quilíbrio den
nsão que é
em ELU,
ação) de pré
rmado/prote
, este limit
ma deform
mação, o c
ação do aço
a seção de c
ão da protensã)
sma altura
ara tratar-se
medida som
eguinte ilus
nsões de proten)
____________2015
mação, a sa
vas, a defo
ntro dos do
é aplicada a
as perdas i
é-alongamen
endido está
te está rel
mação de 35
concreto fis
o a 10‰.
concreto des
ão
do cabo de
e do ELU, a
mente a part
stra o expos
nsão
__________
90
aber: o pré-
ormação de
omínios do
ao cabo no
imediatas e
nto deve-se
á limitada a
acionado à
5‰, porém
ssura e tem
senvolvem-
e protensão.
assim como
tir da seção
sto.
0
-
e
o
o
e
e
a
à
m
m
-
.
o
o
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
91
O artifício consiste em aplicar alguma deformação (ou força) fictícia ao cabo de protensão,
para que traga novamente a seção de concreto à deformação nula. A partir da seção com
tensões nulas (deformações nulas), figura 66, é que a limitação de deformação do aço é fixada
em 10‰. Assim, essa deformação adicional fictícia deve ser igual à deformação sofrida pelo
concreto ao se aplicar a protensão. Essa deformação é chamada de deformação de
descompressão (εD).
Na figura 66, a quantidade ΔP pode ser escrita em termos de sua deformação Δεp:
→ çã ã (87)
→ . → . (88)
→
.(89)
Sendo
εD – deformação de descompressão;
Δεp – acréscimo de deformação no aço de protensão para anular as tensões na seção;
εc – deformação no concreto à altura do aço de protensão advinda do pré-alongamento;
σcp∞ - tensão no concreto, à altura do aço de protensão, advinda do pré-alongamento
(descontadas perdas imediatas e progressivas);
Assim, somando as deformações de pré-alongamento (descontadas as perdas de protensão) e a
deformação fictícia de descompressão obtém-se a deformação de neutralização (εN), que
anula as tensões (deformações) na seção de concreto:
(90)
A partir deste valor, a deformação do aço de protensão está limitada a 10‰ para a verificação
em ELU e deve respeitar os domínios de deformação do concreto em Estádio III.
Deste modo a deformação final da armadura de protensão em ELU é εfinal = εf + εN. A
armadura sob tal deformação apresenta o diagrama tensão-deformação dado na figura abaixo:
____
Em q
fpyd =
fpd =
εu = 3
5.6.1
No c
da lin
local
situa
subm
Neste
along
Aqui
corre
progr
___________
Fig
que
= fpyk/1,15
fptk/1,15 (fp
35‰ (defor
1.4 Armadur
caso de hav
nha neutra
lize na regi
ações transi
metidos a es
es casos,
gamento do
i, εcp é o enc
esponde ao
ressivas, é
____________Bruno Ta
ura 67: Diagra
εyd = fpyd/
ptk – tensão
rmação de r
ra Protendid
er mais de
de equilíbr
ião de com
itórias, que
forços de co
Johannson
o aço proten
curtamento
cabo. A de
representad
____________asca de Linhar
ama Tensão-D
→
/Ep (fpyk = 0
nominal de
ruptura do a
da na Regiã
um cabo na
rio pode oc
mpressão da
e exigem
ompressão.
(1975) es
ndido, como
do concreto
eformação
da por εA0. C
____________res. Porto Aleg
Deformação d
→
0,9fptk; tensã
e ruptura do
aço de prote
ão Comprim
a direção da
correr numa
a seção. Há
cabos prot
stabelece q
o mostrado n
o, sempre n
devida à pr
Com o cabo
___________gre: PPGEC/E
do Aço de Prot
→
ão nominal d
aço de prot
ensão);
mida
a altura da
a posição ta
á os casos
tendidos, q
que o encu
na expressão
negativo, na
rotensão, de
o na região
____________EE/UFRGS, 2
tensão (NBR 6
.
de escoame
tensão);
seção transv
al, que em E
de elemen
que em Es
urtamento d
o abaixo:
a fibra da zo
escontadas
comprimid
____________2015
6118:2014)
ento da prot
sversal, a pr
ELU um do
ntos pré-fab
stado Últim
do concret
ona de comp
as perdas i
da, não há n
__________
92
(91)
(92)
ensão);
rofundidade
os cabos se
bricados ou
mo, estarão
to reduz o
(93)
pressão que
imediatas e
necessidade
2
)
)
e
e
u
o
o
)
e
e
e
____
de lim
cabo
cabo
5.6.1
Em p
força
seção
triâng
defor
enco
da pr
algum
Com
mom
deter
___________Análise de P
mitá-lo à de
na região c
na região t
1.5 Equilíbri
posse das eq
as resultante
o transversa
gulos, a pa
rmação do
ntrada pelo
rofundidade
m método n
m a profund
mentos fleto
rminado.
____________Pontes em Est
eformação d
comprimida
tracionada, q
io da Seção
Fig
quações de
es na seção
al, obtém-s
artir da pos
concreto. A
o somatório
e da Linha
numérico, co
didade da L
res e o Mo
____________truturas Mista
de 10‰, ne
a passa a se
que é uma r
o Transversa
gura 68: Equil(VERÍ
compatibili
o transversa
e sua defor
sição da Lin
A incógnita
de forças h
Neutra, o z
omo Newto
Linha Neutr
omento Flet
____________as de Aço-Con
em conhece
er tratado co
reação aos e
al
líbrio da seçãoÍSSIMO; CÉS
idade de de
al. Para cab
rmação (e c
nha Neutra
a é a profu
horizontais.
zero da fun
on-Raphon e
ra determin
tor Resisten
___________ncreto de Seçã
er sua deform
omo uma aç
esforços ext
o transversal pSAR JR., 1998
formações,
bos locados
consequent
a e dos lim
undidade da
Como cada
nção deve s
e o Método
nada, substit
nte da seção
____________ão Caixão com
mação de n
ção sobre a
ternos.
protendida 8)
a figura 68
em qualqu
emente ten
mites impost
a Linha Neu
a força na fi
ser encontra
da Bissecçã
tui-se seu v
o protendid
____________m Protensão E
neutralização
seção, ao c
8 exibe o eq
uer posição
nsão) por ig
tos pelos d
utra (x), qu
figura anteri
ado iterativ
ão.
valor no eq
da em ELU
__________ Externa
93
o. Assim, o
contrário do
quilíbrio das
vertical na
gualdade de
omínios de
ue pode ser
ior depende
amente por
quilíbrio de
(MRd) está
3
o
o
s
a
e
e
r
e
r
e
á
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
94
5.6.2 Verificação do ELU para Estruturas Mistas Protendidas
Antes de proceder à determinação analítica do ELU para estruturas mistas protendidas, deve-
se fazer algumas considerações sobre perdas de protensão e sobre qual método de protensão
adotar.
Dall´Asta e Dezi (1997 apud SAFAN; KOHOUTKOVÁ, 2001) realizaram estudos analíticos
de diferentes configurações de protensão de vigas mistas contínuas. Utilizaram cabos externos
desviados, para estruturas com dois vãos, e concluíram que é mais conveniente, em termos de
prevenção de fissuração, aplicar a protensão após a cura da laje (pós-tensão) ao invés de
aplicá-la ao perfil isolado (pré-tensão).
No trabalho de Nelsen (2013) comentam-se os estudos experimentais de Nouraeyan5, o qual
constatou que há diferenças pouco expressivas nas tensões totais das mesas inferiores e
superiores das vigas de aço de estruturas mistas, tanto para o sistema pré-tracionado, como
pós-tracionado.
Deste modo, propõe-se a aplicação da pós-tração, isto é, a protensão após a cura da laje. Neste
caso, pelo fato de a protensão ser uma carga permanente, deve ser considerada na Fase Seção
Mista de Longa Duração. Serão adotados cabos de protensão internos à seção caixão, com
cordoalhas injetadas com cera petroquímica. Neste caso, a armadura de protensão não estará
aderida à estrutura, portanto, diferentemente do concreto protendido, a compatibilidade de
deformações das seções não é válida.
As perdas de protensão por fluência são consideradas por meio da aplicação da razão modular
da seção homogeneizada. Esse tópico já foi abordado na definição da Fase Seção Mista
Longa Duração (WU; BOWMAN, 2000). O quadro 2 resume as etapas de carregamento para
análise elástico-linear de vigas mistas pós-tracionadas.
Quadro 2: Etapas de carregamento em Estruturas Mistas Pós-Tracionadas
5 NOURAEYAN, A. Analytical and experimental study on the behavior of prestressed and poststressed
composite girders. 1987. 70p. Thesis (Degree of Master of Engineering) – Concordia University, Montréal, Québec, Canada, 1987.
Estágio Pós‐Tração
Fase Seção Caixão Isostática Peso próprio viga de aço
Fase Seção Caixão Hiperestática Peso próprio das lajes pré‐moldadas
Fase Seção Mista de Curta Duração Cargas Móveis, Vento
Fase Seção Mista de Longa Duração Demais permanentes + Protensão
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
95
5.6.2.1 Determinação da Força de Protensão Inicial
Para determinar a força de protensão, busca-se uma força que respeite a tensão de escoamento
(Fy) em ambas as mesas inferior e superior da seção de aço, na região de momentos positivos,
para as combinações de serviço. Do mesmo modo, deve-se garantir a tensão de compressão
admissível (Fnc) na mesa inferior do perfil na região de momentos negativos (NUNZIATA,
2003). As tensões da laje também devem ser controladas.
Para cada seção (i), no tempo infinito, portanto, a força de protensão fica limitada às tensões:
. . .∓ (94)
.∓
. .(95)
..
. .∓ (96)
Sendo
σsupi, σinf
i, σlajei - tensões nas mesas superior e inferior do perfil e laje, respectivamente;
ALonga – área da seção transversal homogeneizada de longa duração;
WSL – módulo de resistência à flexão da mesa superior de longa duração;
WIL – módulo de resistência à flexão da mesa inferior de longa duração;
WCL – módulo de resistência à flexão da laje de longa duração;
P – força de protensão; e – excentricidade da protensão em relação ao centro de gravidade da
seção;
Ws, Wi – módulos de resistência à flexão superior e inferior considerando efeitos de longa e
curta duração, conforme o caso;
MServ – momento fletor de serviço (combinações frequentes de cargas);
β – coeficiente inicial considerando perdas, estimativa do autor em 85%.;
σ – tensão na laje σfis∞ para tensões de tração e σc∞ para tensões de compressão;
nLonga - relação entre módulos do aço e concreto para longa duração (=3Es/Ec)
____
A ten
tensã
Para
o me
tráfeg
acord
como
Para
lajes
optou
5.6.2
O Es
perfi
e per
caso
(NEL
___________
nsão σfis∞ é
ão de compr
o tempo ini
esmo critéri
go. Nesse c
do com Ver
o 75% do fc
o cado em
serão posi
u-se por ins
2.2 Moment
stado Limit
l de aço de
rfil de aço, d
é a presen
LSEN, 2013
____________Bruno Ta
é a tensão d
ressão admi
1,5.
icial, isto é,
o, sem leva
caso, a resi
ríssimo e Cé
ck.
m estudo, nã
icionadas ap
serir essa an
to Fletor Re
te Último p
seção comp
de maneira
nça do cab
3).
Figura 6
____________asca de Linhar
de abertura
issível para
;
, no ato da p
ar em conta,
istência do
ésar Jr. (199
ão seria nec
pós 28 dias
nálise. Os cá
esistente Pos
para a seção
pacta, é cara
similar aos
bo de prote
69: Equilíbrio
____________res. Porto Aleg
de fissuras
o tempo in
0
0,7.
protensão, a
, obviament
concreto a
98), pode-se
cessário ver
s de cura ú
álculos pode
sitivo
o mista pro
acterizado p
conceitos a
ensão, que
o plástico para
___________gre: PPGEC/E
s para o tem
finito. São d
0,7. ;
as tensões ta
te, as cargas
ainda não a
e considerar
rificar as ten
úmida. Poré
em ser verif
otendida em
pela comple
apresentado
estará sub
a seções de mo
____________EE/UFRGS, 2
mpo infinito
dadas por (C
0,3.
ambém deve
s de serviço
tingiu seu v
r a resistênc
nsões no te
ém, para ilu
ficados no A
m regiões de
eta plastifica
os no item 4
bmetido à s
omento positiv
____________2015
o. A tensão
CARVALH
/
em ser aferi
o (Mserv), já
valor aos 2
cia do concr
empo inicia
ustrar o mé
Anexo B.
e flexão po
ação das seç
4.2.1. A dife
sua tensão
vo
__________
96
σc∞ é uma
HO, 2012):
(97)
(98)
idas usando
que não há
28 dias. De
reto no dia j
l, já que as
étodo geral,
ositiva, com
ções da laje
erença neste
de ruptura
6
a
)
)
o
á
e
j
s
,
m
e
e
a
____
A Li
mesa
equil
mesm
Send
Tp =
fbd =
Tw1,
Pc, P
Fytsb
O pro
plást
força
(deta
5.6.2
Cons
mom
super___________
Análise de P
nha Neutra
a superior d
líbrio de um
ma maneira
do:
Ap.fbd (fbd =
190kN/cm2
Tw2 – parce
Pw, Pt – força
bs; Pw = Fytw
ocesso cons
ticas horizon
as produzem
alhes do cálc
2.3 Moment
statou-se qu
mento fletor
rior do perf____________Pontes em Est
Plástica (L
do perfil ou n
ma seção mi
para uma s
Figura 7
= tensão de
2 (1900MPa
elas de comp
as plásticas
wh; Pt = Fytib
siste em det
ntais. Uma
m em torn
culo no Ane
to Fletor Re
ue a norma
r negativo o
fil e o que at____________truturas Mista
LNP) pode a
na laje de c
sta compos
seção caixão
70: Equilíbrio
ruptura do
a) aço CP 19
pressão e tr
da mesa su
bi)
terminar a p
vez determ
no dela, o
exo D).
esistente Ne
a AASHTO
o menor mo
tinge a tens____________as de Aço-Con
assumir, com
concreto. A
sta por perfi
o.
o plástico para
aço de prot
90RB; Cad –
ração da alm
uperior, alm
posição da l
minada a LN
que result
gativo
O-LRFD:20
omento flet
são de comp___________ncreto de Seçã
mo antes, tr
figura 69 ap
il de alma ch
a seções de mo
tensão; Ap –
– parcela de
ma; Ps = 0,8
ma e mesa in
linha neutra
P, somam-s
ta no Mom
12 estabele
tor entre o
pressão limi____________ão Caixão com
rês posições
presenta as
heia, porém
omento positiv
– área do cab
e compressã
5fckbctc (for
ferior, respe
a plástica pe
se os mome
mento Fleto
ece como E
que causa
te na borda ____________m Protensão E
s: na alma d
forças plás
m pode ser e
vo
bo de prote
ão do aço;
rça plástica
ectivamente
elo equilíbri
entos fletore
or Resisten
ELU para r
escoament
a inferior. __________
Externa
97
do perfil, na
ticas para o
estendida da
nsão);
da laje);
e (Pc =
io de forças
es que essas
nte Positivo
regiões sob
to da borda
7
a
o
a
s
s
o
b
a
____
Mant
equil
Onde
Fnc –
LN –
Tp –
Tt(y)
Tc(y)
O eq
O som
Send
___________
tendo o me
líbrio em EL
e:
– tensão de c
– linha neutr
força no ca
) – tensão de
) – tensão d
quilíbrio de f
matório de
do
____________Bruno Ta
smo critério
LU mostrad
Figura 71: EL
compressão
ra elástica;
abo de prote
e tração em
de compress
forças horiz
.
momentos
____________asca de Linhar
o, determin
das na figura
LU para seção
o limite da m
ensão (funçã
m função da a
ão em funç
zontais é da
.
fletores em
. . .
____________res. Porto Aleg
na-se o meno
a abaixo (no
o mista proten
mesa inferio
ão do giro d
altura y;
ão da altura
ado por:
.
m torno da lin
___________gre: PPGEC/E
or momento
otar a laje d
ndida sob mom
or (Anexo A
da seção);
a y.
0
nha neutra é
. . .
____________EE/UFRGS, 2
o fletor entr
desprezada n
mento fletor ne
A);
. .
é:
____________2015
re as duas s
nos cálculos
negativo
0
. .
__________
98
situações de
s).
(99)
(100)
(101)
8
e
)
)
)
____
Fp∞ -
ΔFp –
Md –
Com
para
(equa
super
Conf
ou re
ser o
mom
enco
o pon
A co
Em q___________
Análise de P
- força no ca
– acréscimo
– momento f
mpõem-se po
a compres
ação 102).
rior no caso
forme estud
elação entre
obtido com
mento unitár
ntra-se a re
nto de inflex
Figu
ompatibilida
que ____________Pontes em Est
abo de prote
o da força d
fletor último
or triângulo
ssão da me
Do mesmo
o de ELU co
dos de Quin
e momento f
o auxílio d
rio na regiã
elação entre
xão sobre o
ura 72: Força u
ade de defor
2
____________truturas Mista
ensão desco
e protensão
o da seção;
os equivale
esa inferior
o modo, a c
om compres
naz (1993) e
fletor negati
o método d
ão do apoio
este mome
o apoio centr
unitária no cab
rmações no
..
____________as de Aço-Con
ontadas as p
o unitário de
entes, as eq
no caso d
compatibilid
ssão limite d
. →
. →
e Choi et al
ivo e aumen
dos trabalho
o central e
ento e a forç
tral é indeslo
bo para integr
apoio centr
2
___________ncreto de Seçã
perdas;
evido ao mo
quações de
de ELU com
dade de def
da mesa inf
ã
çã
l. (2008), o
nto da defor
os virtuais (
uma força
ça adicional
ocável (figu
ação com mét
ral é dada p
. 0
..
.
.
____________ão Caixão com
omento nega
compatibili
m escoame
formações p
ferior (equaç
acréscimo
rmação do a
(MTV). Des
a unitária n
l no cabo (Δ
ura abaixo).
todo dos traba
ela relação:
..
____________m Protensão E
ativo [kN/k
idade de d
ento da me
para a traçã
ção 103):
da força de
aço de prote
ste modo ap
no cabo. Co
ΔFp). Consi
alhos virtuais
:
__________ Externa
99
kN.m];
eformações
sa superior
ão na mesa
(102)
(103)
e protensão,
ensão, pode
plica-se um
om o MTV
dera-se que
(104)
(105)
(106)
9
s
r
a
)
)
,
e
m
V
e
)
)
)
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
100
δ11 – deslocamento no ponto de apoio central gerado pela força unitária do cabo;
δ10 – deslocamento no ponto sobre apoio central gerado pela força externa (momento unitário
no apoio);
M – momento fletor das cargas externas (carga de momento unitário no apoio interno);
m – momento fletor devido à força unitária no cabo;
N1 – esforço axial devido à força unitária no cabo;
Ap – área de seção transversal do(s) cabo(s) de protensão;
ILonga – momento de inércia da seção mista de longa duração;
ALonga – área da seção transversal da seção mista de longa duração.
Deste modo a relação entre o momento fletor Md e o acréscimo de protensão unitária ΔFp
pode ser obtida. Assim, operando-se as equações (100) e (101), chega-se a, para a situação em
ELU por escoamento da mesa superior:
. . .
1 . (107)
. . . (108)
Sendo
Ixt, Ixc – momentos de inércia das seções tracionada e comprimida em relação à LN;
Sxt, Sxc – momentos estáticos das seções tracionada e comprimida em relação à LN;
Md(LN) – Momento Fletor Resistente em função da posição da LN;
FH(LN) – Somatório de Forças Horizontais, em função da posição da LN.
Se a força no cabo [Fp∞+ΔFp.Md(LN)] ultrapassar seu limite de escoamento, sua força/tensão
será dada pela interpolação pós-tensão de escoamento vista no item 5.6.1.3. Assim:
. . . . . .
1 . . (109)
. ..
. (110)
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
101
Sendo
fpyd = fpyk/1,15 εyd = fpyd/Ep (fpyk = 0,9fptk; tensão nominal de escoamento da protensão);
fpd = fptk/1,15 (fptk – tensão nominal de ruptura do aço de protensão);
εu = 35‰ (deformação de ruptura do aço de protensão);
Ep, Ap – módulo de elasticidade e área de aço de protensão, respectivamente.
Usando os mesmos critérios, pode-se deduzir as equações considerando como ELU agora a
compressão limite da mesa inferior.
. . .
1 . (111)
. . . (112)
Do mesmo modo, se a força no cabo [Fp∞+ΔFp.Md(LN)] ultrapassar seu limite de escoamento,
sua força/tensão será dada pela interpolação pós-tensão de escoamento vista no item 5.6.1.3.
Assim:
. . . . . .
1 . . (113)
. ..
. (114)
O momento fletor resistente final é o menor dos dois. As propriedades geométricas
necessárias (momentos estáticos e de inércia das seções comprimidas, tracionadas) foram
determinadas pelo método de Green (Anexo D).
Assim, tanto o equilíbrio horizontal de forças quanto o momento fletor (Md) dependem da
posição da Linha Neutra Elástica (LN), é necessário algum método numérico iterativo para a
solução, como Newton-Raphson ou Bissecção. Nesse trabalho utilizou-se o método da
Bissecção, que com 10 iterações já fornece bons resultados com erros da ordem de 0,8%. Os
cálculos e rotinas estão no Anexo D.
____
5.6.2
O es
confo
Deste
O cá
resul
___________
2.4 Esforço
sforço de p
forme se obs
e modo, o e
álculo é feito
ltante (Vr) é
____________Bruno Ta
Cortante Úl
protensão
serva na fig
Figura 73: E
esforço cort
o para cada
é dado pela
____________asca de Linhar
ltimo Reduz
se opõe ao
ura 73 (ver
Esforço Cortan
tante solicita
a seção, leva
equação aba
____________res. Porto Aleg
zido
os esforços
Anexo D).
nte Último com
ante último
ando em co
aixo:
P
___________gre: PPGEC/E
s cortantes
m Protensão (
(Vu) é redu
onta a inclin
P. sin
____________EE/UFRGS, 2
externos a
(NUNZIATA,
uzido pelo e
nação do cab
____________2015
atuantes na
, 2004)
efeito da pro
abo. O esfor
__________
102
a estrutura,
otensão (P).
rço cortante
(115)
2
,
.
e
)
____
6 ES
Neste
estab
para
a ver
6.1 S
Prop
por 2
Cada
inteir
de aç
chap
cisalh
___________Análise de P
STUDO D
e capítulo p
belecida. Ap
atender a e
rificação an
SEÇÃO T
õe-se a seç
2 vãos de 25
a vão de 25
ra. A seção
ço CORTEN
as que a co
hamento. A
____________Pontes em Est
DE CASO
propõe-se o
presentam-s
essas fases,
alítica da es
TRANSVE
ão transver
5m em tang
5m é dividi
é composta
N (Fy = 345
mpõem têm
As espessura
____________truturas Mista
O
o estudo de
se as fases
os carregam
strutura. As
ERSAL TI
sal mostrad
ente.
Figura
do em 10 a
a de 2 faixa
5MPa) tem
m espessura
as são dadas
____________as de Aço-Con
e um caso
do modelo
mentos e res
verificaçõe
IPO
da na figura
a 74: Seção tr
aduelas de 2
as de 3,30m
altura de 1,
variável pa
s no quadro
___________ncreto de Seçã
de aplicaçã
o (definidas
sultados pri
es analíticas
a 74. Trata-s
ransversal tipo
2,5m, que s
m com largur
,20m e incli
ara atender a
3.
____________ão Caixão com
ão. Uma se
no capítulo
incipais que
s são aprese
se de um vi
o
são soldada
ra total de 7
inação das a
aos esforço
____________m Protensão E
eção transve
o 3), as con
e servirão d
entadas no A
iaduto misto
as para com
7,40m. A se
almas de 73
os máximos
__________ Externa
103
ersal tipo é
nsiderações
de base para
Anexo A.
o composto
mpor a peça
eção caixão
3,1027º. As
de flexão e
3
é
s
a
o
a
o
s
e
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
104
Quadro 3: Espessura das chapas das aduelas (polegadas)
A mesa superior, de espessura 1’’ em toda a extensão, tem largura de 40cm, enquanto a mesa
inferior, com espessura variável conforme quadro 3, tem largura de cálculo de 220cm. A laje
tem espessura média de 26cm e é lançada com concreto de resistência fck = 40MPa.
Na seção da figura 74, estão indicados ainda os enrijecedores longitudinais, que se compõem
de perfis L 4’’x 4’’# 3/8’’. Definem-se 5 enrijecedores longitudinais na mesa inferior e 2 em
cada alma. Estes perfis conferem maior inércia à seção e são importantes na determinação da
capacidade da seção a momentos fletores negativos (esbeltez da mesa inferior).
O contraventamento é feito por cavernames em forma de K. No mesmo plano dos cavernames
estão os enrijecedores transversais. Os cavernames são compostos de perfis L 4’’x 4’’# 3/8’’,
e os enrijecedores transversais, de chapas com altura de 10cm e espessura de 3/8’’.
Na região sobre o pilar central, define-se uma armadura de continuidade das lajes composta
de 32 barras de diâmetro ϕ16mm com cobrimento de 4cm, o que corresponde a uma área
de armadura de 64,33cm².
Por fim, a figura 74 indica a posição dos veículos sobre o pavimento. Informação importante
para definição dos trens-tipo de flexão e torção de análise da estrutura. As rodas traseiras mais
externas do veículo encontram-se a 2,60m do eixo da seção.
6.2 MODELO
Nesse subitem, apresenta-se a montagem do modelo. Primeiramente são apresentadas as
considerações gerais do modelo desenvolvido com o auxílio do software STRAP 2013, e na
sequência definem-se as propriedades geométricas e carregamentos.
6.2.1 Considerações Gerais
A análise elástico-linear da estrutura foi realizada no software STRAP 2013 (Structural
Analysis Programs), que é um programa que aplica o método da rigidez direta e também o
Chapas/Espessura Aduelas 1 e 2 Aduelas 3 a 8 Aduelas 9 e 10
Mesa Superior 1'' 1'' 1''
Alma 3/4'' 5/8'' 3/4''
Mesa Inferior 1'' 1,25'' 1''
____
méto
elem
O mo
altura
livre
apoio
centr
uma
As b
trans
se al
apoio
à fle
deve
movi
___________Análise de P
odo dos elem
mentos de ba
odelo em ta
a 6m. No p
movimenta
os são do t
ral, conside
travessa de
arras que fo
sferência do
lterar o com
o são do tip
exão e ao c
m ser deslig
imentação q
____________Pontes em Est
mentos finit
arras de pórt
angente com
primeiro e ú
ação e giro
tipo Cernof
ra-se uma l
e ligação ent
Figura 7
ormam triân
os esforços p
mportamento
po Cernoflon
cisalhament
gadas na dir
que a estrutu
____________truturas Mista
tos (barras,
tico espacia
m dois vãos
último pilar
da superest
flon Unidir
ligação eng
tre os dois v
75: Modelo em
ngulos most
para os pila
o destes ma
n Unidirecio
o das extre
reção longit
ura terá sob
____________as de Aço-Con
elementos p
al.
de 25m con
ares têm-se
trutura sobr
recional (CU
gastada (con
vãos (ver ite
m barras de pó
tradas na fig
ares a partir
ais facilmen
onal. Isso im
emidades in
tudinal da e
bre os pilare
___________ncreto de Seçã
planos e sól
nta com trê
aparelhos d
re estes pila
U), conform
ntínua), vist
em 6.2.3) e
órtico espacial
gura 75 (pri
r dos aparel
nte. Já foi
mplica, no m
nferiores da
estrutura (fig
es extremos.
____________ão Caixão com
lidos). Nest
s pilares idê
de apoio m
res na direç
me viu-se n
to que se pr
armadura d
l (STRAP 201
meiro e últi
lhos de apo
estabelecido
modelo mat
as barras ve
gura 76). A
.
____________m Protensão E
te estudo, ut
ênticos reta
móveis que p
ção longitud
no item 2.
revê a conc
de continuid
13)
imo pilares)
oio. Deste m
o que os ap
temático, qu
erticais dos
Assim, simul
__________ Externa
105
tilizaram-se
ngulares de
permitem a
dinal. Esses
1. No pilar
cretagem de
dade.
) simulam a
modo, pode-
parelhos de
ue a rigidez
s triângulos
la-se a livre
5
e
e
a
s
r
e
a
-
e
z
s
e
____
As b
serve
rigid
mais
impr
têm q
(com
coloc
esfor
6.2.2
No c
mode
A pri
de m
resum
A se
isost
___________
Fig
barras trans
em para tra
dez longitud
externas (f
rescindível d
qualquer rig
mo barras bi
cadas a 2m
rços de torç
2 Proprie
capítulo 3,
elo foram ab
imeira fase
maneira iso
mem às prop
egunda fase
áticos são s
____________Bruno Ta
gura 76: Rigid
sversais ao
ansferir os
dinal nem c
figura 75) s
de receber a
gidez, ou se
i-engastadas
de cada lad
ão correspo
edades Ge
as diversas
bordadas. D
consiste na
stática supo
priedades d
e é a Fase
solidarizado
____________asca de Linhar
dezes à flexão
eixo princi
efeitos de t
contribuindo
são chamad
a faixa de tr
eja, não alte
s) os esforç
do do eixo c
ondentes ao
eométrica
fases ou e
Deste modo,
a Fase Seçã
ortando seu
do caixão de
Seção Ca
os por solda
____________res. Porto Aleg
e ao cisalhaminferiore
ipal vistas
torção prod
o com qua
das barras D
ráfego por o
eram a mat
ços para as
central (figu
trem-tipo d
as
estágios que
, são aplicad
ão Caixão I
u peso pró
e aço.
aixão Hiper
a sobre os p
___________gre: PPGEC/E
mento longitudes)
nas figuras
duzidos pel
lquer peso
Dummy, fic
onde se defi
triz de rigid
barras tran
ura 75). Seu
de torção vis
e se superpõ
das ao mod
sostática. N
óprio (g1).
restática, n
pilares e rec
____________EE/UFRGS, 2
dinais desligad
s 75 e 76,
o trem-tipo
próprio. A
tícias. Elas
fine a passag
dez do mode
nsversais, e
u objetivo é
sto no capítu
õem na aná
elo como se
Neste caso a
As proprie
na qual os
cebem as la
____________2015
das (rótulas
têm grand
o, não parti
As barras lo
têm a funç
gem do trem
elo, apenas
são propos
é provocar o
tulo 2.
álise elástic
e segue.
a seção de a
edades geom
caixões de
ajes pré-mo
__________
106
de rigidez e
icipando da
ongitudinais
ção única e
m-tipo. Não
transferem
sitadamente
os máximos
co-linear do
aço trabalha
métricas se
e aço antes
ldadas (g2)
6
e
a
s
e
o
m
e
s
o
a
e
s
)
____
para
porém
dessa
Para
aço f
traba
resum
A últ
mesm
exem
usar
apoio
pouc
___________Análise de P
posterior c
m não mais
as duas prim
Figu
a Fase Seç
fictício atrav
alha como e
me-se a uma
tima fase, F
mo processo
mplifica o ca
a laje de c
os internos.
co efeito no
____________Pontes em Est
concretagem
s de modo i
meiras fases
ura 77: Seção c
ção Mista d
vés da relaç
estrutura m
a pequena á
Figura 7
Fase Seção
o da anterio
aso. É impo
concreto em
. Testes ind
comportam
____________truturas Mista
m. Portanto
isostático. A
s.
caixão para fa
de Longa D
ção 3n. Div
ista e receb
área fictícia
78: Fase Seçã
Mista de
or, porém a s
ortante dest
m toda a ex
dicaram que
mento elástic
____________as de Aço-Con
o, o aço es
A figura 77
ases Isostática
Duração, a l
vide-se sua l
be as demai
de aço sobr
ão Mista de Lo
Curta Dur
seção é hom
tacar que pa
xtensão do t
e, despreza
co global da
___________ncreto de Seçã
trutural con
7 ilustra o m
a e Hiperestáti
laje da figur
largura por
is cargas pe
re a seção c
onga Duração
ração, que r
mogeneizad
ara a análise
tabuleiro, in
ar a laje nas
a estrutura (
____________ão Caixão com
ntinua traba
modelo rend
ca iniciais (ST
ra 74 é tran
este fator. N
ermanentes
caixão (figur
(STRAP 201
recebe as c
a pelo fator
e elástico-li
nclusive so
s regiões d
(AASHTO-L
____________m Protensão E
alhando iso
derizado par
TRAP 2013)
nsformada e
Nesta etapa
(g3). A se
ra abaixo).
3)
cargas móve
r n apenas. A
inear, a nor
ob flexão ne
de flexão ne
LRDF:2012
__________ Externa
107
oladamente,
ra a análise
em seção de
a, a seção já
eção da laje
eis, segue o
A figura 79
rma permite
egativa nos
egativa tem
2).
7
,
e
e
á
e
o
9
e
s
m
____
No
hiper
Gree
6.2.3
O ca
Isost
sendo
tf=10
própr
___________
método an
restático, se
en (KREYSZ
3 Carrega
arregamento
tática e é i
o o segund
0kN]. O pe
rio do aço (
____________Bruno Ta
Figura
nalítico, tod
eções mista
ZIG, 2009)
amentos
o g1 corres
indicado na
do simétrico
eso próprio
(1,06 a 1,12
____________asca de Linhar
79: Fase Seçã
das as pro
de longa e c
. Os resulta
sponde ao p
a figura 80,
o. As cargas
dos pilares
tf/m) devid
Figura 80:
____________res. Porto Aleg
ão Mista de Cu
opriedades
curta duraçõ
ados estão n
peso própri
, na qual s
s são dadas
s pode entra
do à variaçã
Carga g1 [tf/m
___________gre: PPGEC/E
urta Duração
geométrica
ões, foram c
o anexo A.
io da seção
e exibe som
s em tonela
ar nesta fas
ão da espess
m] – STRAP
____________EE/UFRGS, 2
(STRAP 2013
as apresent
calculadas u
o de aço na
mente o pri
adas-força p
e. Percebe-
sura das cha
2013
____________2015
3)
tadas: aço
usando-se o
a Fase Seç
rimeiro vão
por metro li
-se a variaç
apas ao long
__________
108
isostático,
o método de
ção Caixão
carregado,
inear [tf/m;
ção do peso
go do vão.
8
,
e
o
,
;
o
____
O ca
lajes
conc
inver
as ca
A c
pavim
trave
os pi
___________Análise de P
arregamento
adotadas.
retagem in
rsão de mom
argas (6,05 e
arga g3, q
mento, equ
essas são ma
ilares, confo
____________Pontes em Est
o g2 corresp
Considera-
nterna no ca
mentos, con
e 4,8 tf/m)..
Figura 81:
que corresp
uipamentos
assas de con
orme figura
Figura 82:
____________truturas Mista
ponde à Fas
se uma car
aixão (figur
ntribuindo c
Carga g2 – la
ponde às
elétricos,
ncreto que f
82.
Travessa de c
____________as de Aço-Con
se Seção C
rga maior j
ura 82). Ess
com a mesa
ajes sobre seç
demais car
compõe-se
fazem a sol
concreto sobre
___________ncreto de Seçã
aixão Hipe
junto aos p
se concreto
a inferior em
ão caixão [tf/m
rgas pema
ainda das
idarização e
e pilares, dent
____________ão Caixão com
erestática. O
pilares, pois
o visa a mi
m compress
m] – STRAP 2
nentes, com
travessas
entre a laje
tro da seção ca
____________m Protensão E
O mesmo d
s nesta regi
inimizar os
são. A figu
2013
mo barreir
sobre os
e a seção c
aixão
__________ Externa
109
depende das
ião há uma
s efeitos da
ra 81 exibe
ras rígidas,
pilares. As
aixão sobre
9
s
a
a
e
,
s
e
____
Porta
conc
Segu
direç
A ca
parâm
70%
de 40
expo
εcs(28
Assim
0,013
adoto
40cm
Entre
equiv
unifo
Final
capít
___________
anto, o carr
entradas de
Fig
uindo os pr
ção transver
arga de retra
metros para
, abatiment
0%, consum
osta (V/S) o
8dias,0) =
m, a retraçã
378% ; Fre
ou-se uma f
m e 45cm em
e as cargas
vale a uma
orme.
lmente, têm
tulo 2. Dev
____________Bruno Ta
regamento g
e 3,9tf sobre
gura 83: Carga
receitos do
rsal e em tod
ação foi det
a o cálculo
o de tronco
mo de cimen
obtida foi d
0,01174%.
ão resultante
et = Δretraç
força de 10
m relação ao
s de frenag
carga de F
m-se as car
ve-se obter
____________asca de Linhar
g3 é dado p
e cada pilar,
a g3 – cargas p
item 2.2.3
da a extensã
terminada c
da retração
o de cone d
nto de 350k
de 157mm.
A retração
e e a força d
ção.Ec.Ac =
000tf. Aplic
o CG da Fa
gem e acele
F = 13,5tf.
gas móveis
um trem-tip
____________res. Porto Aleg
por uma car
, o que corre
permanente de
define-se u
ão da ponte
conforme o
o são: 28 di
de 100mm, r
kg/m³ e teor
Com esses
o para o tem
de protensã
= 986,63tf.
ca-se a força
ase Seção M
eração (item
Esta carga
s ou de trá
po que pro
___________gre: PPGEC/E
rga distribu
esponde às
e longa duraçã
uma carga
de W = 0,4
método do
ias de cura
relação entr
r de ar de 1
s dados, ob
mpo infinit
ão fictícia n
Por simpli
a em todo o
Mista de Lo
m 2.2.2.4)
a é distribuí
áfego, cujos
ovoque os m
____________EE/UFRGS, 2
uída sobre o
travessas.
ão [tf/m] – ST
de vento d
44 tf/m.
ACI 209 v
úmida, um
re agregado
10%. A rela
tém-se uma
to é εcs(100
a estrutura m
icidade, e a
o viaduto co
nga Duraç
a frenagem
ída sobre o
s procedime
maiores esfo
____________2015
o eixo centr
TRAP 2013
distribuída a
visto no item
midade do a
o miúdo/agr
ação volume
a retração a
00dias,0) =
mista são: Δ
a favor da
om excentr
ão.
m será dete
o tabuleiro
entos foram
forços de fl
__________
110
ral e cargas
aplicada na
m 2.2.4. Os
ambiente de
regado total
e/superfície
aos 28 dias
0,02552%.
Δretração =
segurança,
ricidades de
erminante e
de maneira
m vistos no
exão e que
0
s
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o
e
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
111
também atenda ou simule coerentemente os máximos esforços de torção que a passagem dos
veículos pelo tabuleiro provocará. Deste modo, obteve-se um trem-tipo com carga de eixos Q
= 3 x 12tf e distribuída (multidão) q = 1,65tf/m. Sobre este trem-tipo, ainda aplica-se o fator
de impacto dinâmico com L=25m, o que resulta Φ = 1,23 (ver item 2.2.2.3).
Com isso, finalmente, todas as cargas sobre o modelo estão aplicadas, juntamente com as
combinações em ELU e Fadiga, e, assim, chega-se aos esforços máximos sobre a estrutura
apresentados no próximo item.
6.3 RESULTADOS
Primeiramente exibem-se os resultados de análise para a seção não protendida, de modo que
em ELU interessam as envoltórias de combinações de carga para esforço cortante e momento
fletor; e para a verificação dos conectores de cisalhamento, a envoltória de combinações de
fadiga. Na sequência, são apresentados os resultados da verificação analítica a partir dos
conceitos explicados ao longo dos capítulos. Por fim, são tratados a aplicação da protensão,
seu incremento de resistência à seção e a verificação de sua influência sobre conectores de
cisalhamento. Serão expostos somente os resultados finais; os detalhes dos cálculos
programados em MathCad estão no Anexo A.
6.3.1 Seção Mista não Protendida
A figura 84 exibe os resultados de envoltória de combinações em Estado Limite Último
(ELU) para Momentos Fletores, e a figura 85, a envoltória de Esforços Cortantes Últimos. Os
vetores em sequência exibem os esforços resistentes e solicitantes.
A condição em ELU estará atendida se os esforços resistentes forem maiores ou iguais às
solicitações últimas. Portanto, comparam-se estes resultados às resistências obtidas pelo
cálculo analítico.
Cada vão do viaduto foi dividido em 10 aduelas, como se observa pelas figuras seguintes.
Assim, as verificações são feitas para 11 seções. Os resultados foram apresentados somente
para o primeiro vão. Há uma pequena diferença nos resultados entre o primeiro e o segundo
vãos devida à carga de frenagem, definida apenas na direção do primeiro para o segundo vão
(sentido da via). Esse resultado, no entanto, não compromete as verificações subsequentes.
_______________
F
Mo
Mnom
____________Bruno Ta
Figura 84: Env
omento Nomin
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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3938
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4538
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4611
4688
-1237
-1388
-1456
____________asca de Linhar
voltória de Co
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3
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____________res. Porto Aleg
ombinações de
e (Mnom), Momax/Mn) para
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01
2
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6
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8
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e Momentos F
omento Solicita cada seção [k
0
49109400
12920
14370
14410
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6260
-4490
-9790
-17000
kN m
____________EE/UFRGS, 2
Fletores em EL
tante Último (kN.m]
m Razão
01
2
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LU [tf.m]
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0
01
2
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7
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9
0
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31.63
31.75
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22.38
13.35
36.29
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116.68
__________
112
%
2
_______________Análise de P
Esfo
Vn
____________Pontes em Est
Figura 85: En
forço Cortante
0
01
2
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345
345
345
345
345
461
461
461
____________truturas Mista
nvoltória de C
Resistente (VRazão (Vu
66
6
4
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4
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____________as de Aço-Con
Combinações d
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2
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de Esforços C
Cortante Solicra cada seção
0
12701085
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631
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kN Ra
____________ão Caixão com
ortantes em E
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azão
01
2
3
4
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6
7
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10
____________m Protensão E
ELU [tf]
(Vualma) e
0
27.5223.51
17.17
21
18.28
24.74
32.09
39.68
35.43
41.62
45.45
%
__________ Externa
113
3
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
114
Percebe-se pelos resultados anteriores que, para a flexão, a maioria das seções atende aos
esforços em ELU com grande folga nas regiões de momento fletor positivo. Nas regiões de
flexão negativa, haja vista a laje não contribuir e limitar-se a capacidade da seção às tensões
do caixão de aço, o esforço máximo superou em 16,68% a resistência última da seção. Esta
capacidade é garantida pela presença da armadura negativa desta seção. No caso de se
desprezar a armadura negativa de continuidade no apoio (32 barras de diâmetro ϕ16mm), a
razão, nesta seção, passaria a ser 137,40%, isto é, 37,40% além da capacidade da seção. Com
isso, percebe-se a importância da armadura negativa de continuidade entre vãos.
No caso do esforço cortante, as almas espessas (3/4’’ e 5/8’’) respeitaram as esbeltezes limites
para a seção compacta e garantiram com folga (máximo de 45,45% da capacidade) a
resistência da seção aos esforços cisalhantes em ELU provenientes do corte por flexão e
torção de St. Venant.
A determinação dos conectores de cisalhamento para as combinações de fadiga resulta em um
número de conectores por aduela para cada alma. Os esforços cisalhantes por flexão (Vf) e
por torção de St. Venant (Tf) para as combinações de fadiga estão mostrados nos vetores
abaixo, bem como o número de conectores (Bolts) por alma, por aduela.
Esforços Cortantes por flexão (Vf) e torção de St. Venant (Tf), fluxos de
cisalhamento de flexão (Vsr) e torção de St. Venant (Vst) das combinações de Fadiga e número de conectores por alma por aduela segundo o critério de fadiga
(Bolts)
A posição 0 (zero) do vetor Bolts indica que são 45 conectores tipo Stud Bolts para cada alma
da seção caixão de aço na primeira aduela, ou seja, nos primeiros 2,50m do vão, pois o vão de
25m foi dividido em 10 aduelas. E assim por diante.
Vf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
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280
280
300
290
330
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0
01
2
3
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7
8
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400
430
470
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0
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2
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105
113
109
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kN
m Vst
0
01
2
3
4
5
6
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9
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59
53
57
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67
75
82
kN
m Bolts
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
4539
36
33
33
36
36
39
45
51
____
Faze
cone
Estes
de 4
longi
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Para
2x28
indep
aço
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Conf
preci
esfor
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___________Análise de P
ndo-se a s
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ão.
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115
ceberá 393
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25
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alma por a
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ma 16,68%
cidade esta i
a resistênci
uma proten
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veis em EL
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53
53
53
53
53
53
53
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m fluxo de
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95
95
95
95
97
97
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ão (Vf), fluxoectores por alm
e cisalhamen
tanto, os Stu
ção e garant
Seção Mi
ta-se que a
máximo m
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40% inferior
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kN
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r em ELU.
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2
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15
15
15
15
15
15
15
15
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ção (Vsr) e
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gativa de co
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s em ELS e
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__________
116
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____________Pontes em Est
são limitada
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no item 5.6
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0,8 em cada
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4
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∗ 26,58 ≅ 1
≅ 319
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s frequente
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pressão e de
ensão de 127
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p = 140mm²
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1275
ga de ruptur
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es de açõe
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e formação
75 tf (1275
de um feixe
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esse tipo de
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117
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(117)
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Bruno Ta
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cita-se o vi
ra 91: Viaduto
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a o caso em
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o é aplicada
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conforme ____________EE/UFRGS, 2
m estudo, é m
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gura 87. A
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118
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o modelo.
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o
o
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
119
inicial como para o tempo infinito. Apresentam-se a seguir os resultados da verificação de
tensões em ELS.
Para o controle das tensões em tempo infinito, faz-se uma estimativa preliminar de 15% de
perdas de protensão, baseando-se no trabalho de Nunziata (2004), no qual estima perdas de
10% para estruturas de aço protendidas. O valor adotado, portanto, é conservador. Esse valor
será confrontado na sequência a partir dos cálculos das perdas.
Para o tempo inicial (no ato da protensão), as tensões limites são:
Aço Fy = 345MPa; Fnc = -290,889MPa.
Concreto σcc_inicial = -21MPa; σct_inicial = +3,04MPa
Tensões para combinações em ELS no tempo inicial (ato da protensão)
Para o tempo infinito, as tensões limites (com perdas de protensão estimadas em 15%) são:
Aço Fy = 345MPa; Fnc = -290,889MPa.
Concreto σcc_inicial = -28MPa; σct_inicial = +3,68MPa
O sinal negativo indica força de compressão, e o positivo, tração.
σs_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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-138.886
-144.001
-136.532
-116.936
-112.701
-96.503
-66.611
-26.994
26.615
MPa σi_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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-8.464
-25.118
-42.536
-67.018
-54.681
-49.477
-57.558
-68.614
-89.28
MPa σlaje_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4.96-4.322
-3.825
-2.889
-1.968
-0.943
-1.879
-2.701
-3.283
-3.926
-4.458
MPa
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
120
Tensões para combinações em ELS no tempo infinito
Conforme vetores apresentados, as tensões foram atendidas paras as combinações em ELS.
Como os dois vãos totalizam 50m, é conveniente definir a protensão em ambas as
extremidades, com a finalidade de reduzir as perdas por atrito. Com isso, resumem-se os
parâmetros:
a) 4 cabos de 15 cordoalhas Φ15,2mm (Ap = 140mm²/cordoalha);
b) 319tf por cabo (total = 1275tf);
c) Supõe-se recuo por encunhamento Δl = 5mm (ver equação (51));
d) Os 4 cabos são protendidos em 2 etapas (2 cabos de cada vez; ocorrendo perdas por deformação elástica nos 2 primeiros cabos);
e) Cabo de protensão com injeção de graxa ou cera petroquímica (coeficiente de atrito μ = 0,1rad-1);
f) Atrito parasita da bainha λ = 0,007rad/m. Fixadas essas diretrizes, determina-se, através de rotinas em MathCad, as perdas de protensão,
a fim de confirmar ou confontar a perda estimada de 15%. O procedimento consiste em
determinar a perda de protensão em cada seção. Os cálculos podem ser conferidos no Anexo
C.
Para as perdas de recuo elástico da seção, considerou-se que serão protendidos 2 cabos,
simétricos, de cada vez. Portanto, são 2 etapas de protensão: inicialmente, cabos 1 e 2 e, por
fim, cabos 3 e 4 (ver figura 90).
A seção transversal considerada é a Seção Mista de Longa Duração (inércia reduzida pelo
fator 3n). Com isso, o efeito da fluência nas perdas de protensão está contemplado.
σs_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-79.123-112.549
-134.725
-142.324
-136.489
-118.143
-110.607
-90.773
-53.554
-10.573
47.052
MPa σi_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-7.53110.276
21.585
7.583
-6.244
-28.995
-23.392
-26.579
-61.102
-80.574
-113.417
MPa σlaje_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4.506-4.54
-4.535
-3.901
-3.179
-2.228
-2.802
-3.15
-2.092
-2.32
-2.206
MPa
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
121
Usando os parâmetros para retração com cura úmida do capítulo 2, mostrou-se, no item 6.2.3,
a definição da carga fictícia de retração de 1000tf. Esta carga deverá causar perdas na
protensão. Para o cálculo das perdas, recorre-se novamente ao método dos trabalhos virtuais
(MTV), baseado em Quinaz (1993). Considera-se que o ponto de inflexão sobre o apoio
central (figura 87) se mantenha indeslocável. A perda de retração (ΔFret) é dada por:
. 0 (118)
2
..
1000 ..
(119)
2
..
.
..
. (120)
Sendo: M – momento fletor pela excentricidade da retração; m – momento fletor devido à
força unitária no cabo; N1 – esforço axial devido à força unitária no cabo.
Assim, chega-se a uma perda total de retração de ΔFret = - 33,44tf, resultando em perda por
cabo de ΔFretcabo = -33,44/4 = - 8,36tf. Os resultados podem ser conferidos no Anexo C.
Procedendo as demais perdas, constata-se, que as perdas por atrito são baixas, já que há
apenas 2 pontos de inflexão por vão. A média de perdas por atrito para todas as seções fica em
torno de 1,6%, confirmando Safan e Kohoutková (2001). Ao final, as perdas imediatas e
progressivas são:
Força final em cada seção, taxa de perdas por seção e perda média
Protensão com perdas Imediatas +Progressivas
Taxa final de perdasAlongamento do cabo
ΔL 187 mm
Δ 0.747 %
Δmedia_final 14.5 %
Ponto Nulo Recuo
Fim
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
269.56269.97
270.38
270.79
271.2
274.1
274.5
274.9
275.29
275.69
272.13
tf Fim_Taxa
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
15.515.37
15.24
15.11
14.99
14.07
13.95
13.83
13.7
13.58
14.69
% raiz 24.066 m
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
122
Percebe-se que a estimativa inicial de 15% de perdas foi uma boa aproximação da perda
média calculada, Δmédia_final=14,5%. Consequentemente, considerando estas perdas, a
força total de protensão passa a ser: (100%-14,5%)x1275tf ≈ 1090tf (ou ~ 273tf/cabo).
Admite-se a perda média de 14,5% constante em toda a extensão dos cabos.
Cabe ressaltar que com esta força de protensão aplicada, houve redução de 36,32% dos
deslocamentos permanentes no centro dos vãos (de 4,02cm para 2,56cm) e redução de
32,10% dos deslocamentos em ELS (de 4,52cm para 3,07cm).
Os pontos onde o recuo de ancoragem cessa são a 24,066m a partir de ambas as extremidades
da estrutura. Como o atrito é pequeno, a influência do recuo da ancoragem aconteceu em
quase toda a extensão dos cabos.
Usando o método dos trabalhos virtuais (item 5.6.2.3), obteve-se uma relação entre o
momento fletor negativo na seção de apoio e o acréscimo de força no conjunto de cabos de
protensão. Para cada M=1tf.m (10kN.m) há um incremento de força no conjunto de cabos de
ΔFp = 0,01667tf (0,167kN). Com isso foi possível chegar ao equilíbrio da seção em estado
último na região do apoio pelo método da Bissecção. Os cálculos estão detalhados no Anexo
D.
Finalmente, verifica-se o ELU à flexão com as forças, geometria e perdas já determinadas, por
meio de rotina em MathCad (Anexo D). Exibe-se a capacidade última das seções 0 a 10 para
um vão, sendo simétrico para o outro. A capacidade última sem protensão (Mn_P0), com
protensão (Md_Protende) e o aumento da resistência (ΔP) são mostradas abaixo.
Comparação entre capacidades em flexão a ELU sem e com protensão
Mn_P0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3963039630
39390
43720
43720
43720
43720
43720
-12370
-13880
-14570
kN m Md_Protende
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4107640056
39389
45433
45383
45610
46113
46887
-15957
-18218
-20506
kN m Razão
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.651.07
0
3.92
3.8
4.32
5.47
7.24
28.99
31.25
40.74
%
____
Porta
da v
posit
critér
aume
40,74
no qu
fletor
___________Análise de P
Com
anto, perceb
viga mista
tivo, sendo
rios para E
ento da cap
4%. Resulta
ual os autor
r negativo,
____________Pontes em Est
mparação entre
be-se que, c
protendida,
o máximo
ELU definid
pacidade últ
ado que con
res aumenta
para um mo
Figura 92: E
Mumax
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
____________truturas Mista
e Momentos S
com uma fo
, há pouco
aumento d
dos na norm
tima no pon
nverge ao tra
aram em 30
odelo de pon
Estudo experim(SAFA
0
0
49109400
12920
14370
14410
13040
10320
6260
-4490
-9790
-17000
____________as de Aço-Con
Solicitantes Úlcom Prote
orça de prot
o ganho em
de 7,24%. N
ma AASHT
nto de mom
abalho expe
0% a capaci
nte em estru
mental em VigAN; KOHOUT
kN m Md_
___________ncreto de Seçã
ltimos (Mumaensão
ensão de 10
m resistênci
Na região d
TO-LRFD:2
mento negati
erimental de
dade última
utura mista
gas Mistas CoTKOVÁ, 2001
_Protende
01
2
3
4
5
6
7
8
9
1
____________ão Caixão com
ax) e Moment
090tf, quant
ia na regiã
de momento
2012, obtém
ivo máximo
e Safan e K
a da seção e
contínua.
ontínuas Proten1)
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4107640056
39389
45433
45383
45610
46113
46887
-15957
-18218
-20506
____________m Protensão E
to Resistente
to à capacid
ão de mom
o negativo,
m-se um s
o (sobre o a
Kohoutková
em região d
endidas
kN m
__________ Externa
123
dade última
mento fletor
, usando os
ignificativo
apoio), com
(figura 92),
de momento
3
a
r
s
o
m
,
o
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
124
Os esforços cortantes resultantes últimos (Vr) após a aplicação da protensão são apresentados
e comparados com o esforço cortante último sem a consideração da protensão:
Esforços Cortantes Solicitantes Últimos (Vu), Esforços Cortantes Últimos após a
protensão (Vr) e Razão de redução de esforços cortantes
Os esforços cortantes solicitantes foram reduzidos, no mínimo, em 25% (seção 10). Como a
área das almas dos perfis caixão é responsável pela resistência ao cisalhamento, uma redução
da espessura das chapas para 12,7mm em toda a extensão do vão, já garantiria a resistência
em estado limite último, graças à protensão. O que representa economia em aço.
6.3.3 Verificação dos Conectores para Protensão
Conforme havia sido definido no item 4.2.3.5, os conectores devem ser definidos a partir da
variação das tensões de cisalhamento para as combinações de fadiga ou para o Estado Limite
Último (ELU), com as propriedades inelásticas dos materiais. Fora dito ainda, que a protensão
e/ou retração não influem na determinação dos conectores.
No item 6.3.1, os conectores Stud Bolts foram calculados, sendo determinante para tal o
Estado Limite de Fadiga.
No presente item, é necessário verificar se os conectores já definidos, atendem ao fluxo de
cisalhamento para o caso atual, ou seja, com a atuação da protensão mais a carga permanente
g3. A retração é dispensada, por atuar a favor de g3.
Vu
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20001630
1090
990
840
1300
1770
2250
2730
3250
3600
kN Vr
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20001038
498
398
250
706
879
1359
1844
2364
2711
kN Razão
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
036
54
60
70
46
50
40
32
27
25
%
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
125
Portanto, o esforço cortante, e, por conseguinte, o fluxo de cisalhamento, são dados pela
envoltória das cargas de protensão e permanente g3 com seus fatores característicos (1,0Fp +
1,0g3). Os resultados são:
Esforços Cortantes por g3+Protensão (Vf), fluxos de cisalhamento por g3+Protensão
(Vsr) e número de conectores por alma por aduela para ELU
Percebe-se que os conectores definidos no item 6.3.1 são adequados para conter o efeito das
tensões no ato da protensão. O número de Stud Bolts encontrado é o mínimo por alma por
aduela, respeitando o espaçamento máximo entre os mesmos. Confirma-se com este resultado,
que os efeitos de retração e protensão não são determinantes para o dimensionamento dos
conectores de cisalhamento.
2
0
9
i
Bolts_retraçãoi
300
Vf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
250320
410
500
580
910
820
730
660
560
kN Vsr
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
96123
154
188
218
342
308
274
253
215
kN
m Bolts_retração
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
1515
15
15
15
15
15
15
15
15
____
7 M
Neste
o aux
entra
resul
7.1 D
O m
espac
Reiss
chap
nós
mode
Es =
A pr
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Para
longi
com
___________
MODELO
e capítulo s
xílio do sof
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ltados do m
DADOS D
modelo em S
cial. Para a
sner-Mindli
as, do perfi
de Kirchof
elados com
200GPa.
rotensão foi
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elementos
____________Bruno Ta
NUMÉR
se apresenta
ftware SAP
erados e, n
odelo de ba
DE ENTR
SAP2000 fo
as lajes, fora
in Shell-Thi
il caixão de
ff Shell-Th
barras de p
Figura
i considerad
já definidas
em da prot
as cabeceira
de casca
____________asca de Linhar
RICO
a o modelo
P2000. Inici
na sequênci
arras de pórt
RADA
oi montado
am conside
ick (casca es
aço, (almas
in (casca f
pórtico espa
a 93: Elemento
da como um
s na figura 8
tensão, foi
as da seção (
de Kirchof
____________res. Porto Aleg
numérico d
ialmente se
ia, a comp
tico espacia
a partir de
erados elem
spessa) e fck
s, mesas, en
fina) e mó
acial de seçã
o de casca de
ma carga ex
87, portanto
necessário
(ver figuras
ff de espes
___________gre: PPGEC/E
do estudo de
e faz uma c
paração dos
al, utilizado
e elementos
mentos de qu
k = 40MPa
nrijecedores
ódulo Es =
ão circular
quatro nós (B
xcêntrica no
o não partic
definir cha
s 94, 95 e 98
sura 32mm
____________EE/UFRGS, 2
e caso em q
caracterizaçã
s resultados
até o mome
s de casca e
uatro nós (f
(Ec = 38251
s), usaram-s
200GPa.
em aço com
BATHE, 1996)
o interior d
ipa da rigid
apas enrijec
8). Essas ch
m. A aplica
____________2015
questão, rea
ão geral do
s do mode
ento.
e de barras
figura 93) d
1MPa). Par
se elemento
Os conect
m diâmetro
)
do caixão, s
dez da estrut
cedoras tra
hapas foram
ação dessas
__________
126
alizado com
os dados de
elo com os
s de pórtico
de casca de
a as demais
os de quatro
ores foram
ϕ22,2mm e
seguindo as
tura.
ansversais e
m modeladas
chapas de
6
m
e
s
o
e
s
o
m
e
s
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s
e
____
anco
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A laj
(figu
inter
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trans
intern
Ness
aço
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___________Análise de P
ragem se ju
mas e as dem
Figur
je foi discre
ura 94), faz
secção dos
nível das m
sversal cant
no da seção
sa fase a seç
carregada
inar deform
____________Pontes em Est
ustificou em
mais chapas
Figur
ra 95: Vista in
etizada, con
zendo-se c
elementos d
esas superio
toneira L 4”
o (figura 96)
ção caixão
externamen
mações indes
____________truturas Mista
m função da
s da seção e
ra 94: Vista fr
nterna seção cdos cabos
nforme o esp
oincidir, d
da laje.
ores da seç
”x4”#3/8” f
), principalm
de aço rece
nte. Esses
sejáveis fora
____________as de Aço-Con
grande con
estavam sub
rontal do mode
caixão, travamde protensão
paçamento
desta forma
ão caixão d
foram intro
mente devid
ebe as carga
travamento
a do plano d
___________ncreto de Seçã
ncentração d
bmetidas dev
elo completo
mentos, enrijec(linhas de car
longitudina
a, os nós d
de aço, barr
oduzidas par
do à aplicaç
as da laje e
os superiore
de flexão du
____________ão Caixão com
de tensões e
vido à aplic
em SAP2000
cedores e desergas)
al dos conec
do topo do
ras de pórtic
ra garantir
ão das carg
funciona co
es, portanto
urante a fase
____________m Protensão E
e deformaçõ
cação da pro
envolvimento
ctores de ci
os conecto
co espacial
o travamen
gas g2 das la
omo uma e
o, têm o o
e construtiv
__________ Externa
127
ões a que as
otensão.
isalhamento
ores com a
com seção
nto superior
ajes.
strutura em
objetivo de
va.
7
s
o
a
o
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m
e
____
O mo
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homo
curta
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g3, c
Conf
mode
deste
A de
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2013
dos e
Essa
As b
que s
na la
___________
Fig
odelo seguiu
definição da
ogeneizada
a duração).
tência dos n
erente. Dest
o para as ca
ma espessur
cargas de trá
forme seção
elo numéric
e modo a ca
efinição da c
dos elemen
3, um camin
elementos,
s barras tran
barras Dumm
sua inércia é
aje, a 37cm
____________Bruno Ta
gura 96: Trava
u a divisão
as fases de
e sua largu
Porém, n
nós entre o
te modo, op
argas de tráf
ra e largura
áfego e dem
o 6.6.3, a fo
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carga móve
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nho de carg
por isso a n
nsferem as c
my não têm
é desprezív
m do topo
____________asca de Linhar
amentos superenrijecid
de estágios
carregamen
ura era divi
no modelo
os elemento
ptou-se por
fego como p
. A figura 9
mais sobreca
orça de prot
r de cabos é
a é de 2 x 2
el se deu atr
e. Não é po
gas móveis d
necessidade
cargas aos n
qualquer c
el (seção 1c
dos conecto
____________res. Porto Aleg
riores, conectodas de ancorag
s vistas no c
nto do mod
idida pela r
com o M
os da laje. P
manter con
para as carg
94 ilustra a
argas.
tensão após
é representa
2730kN = 54
ravés de ba
ossível defi
diretamente
e das barras
nós dos elem
carga perma
cm x 1cm em
ores de cis
___________gre: PPGEC/E
ores de cisalhagem da proten
apítulo 3.
delo de barr
relação dos
MEF, esta a
Portanto, a
nstante a es
gas perman
geometria n
as perdas é
ado por um
460kN (546
arras Dummy
nir, em SA
e nos nós d
s Dummy p
mentos com
anente e não
m concreto
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____________EE/UFRGS, 2
amento e chapsão
ras de pórti
s módulos d
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superposiç
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entes g3, a
na qual fora
é de 2730kN
a linha de c
6tf) em cada
y (fictícias)
AP2000, ass
os elemento
ara a transf
mo barras bi-
o alteram a
fck=40MPa
mais exter
____________2015
pas frontais
ico espacial
dos materia
ambém mo
ção de resul
laje em 26
laje perman
am aplicada
N (273tf) po
cargas (ver
a linha de ca
) posicionad
sim como e
os, nem sob
ferência des
-engastadas
rigidez da
a). Seu posic
rnos, visa a
__________
128
l, a laje era
ais (longa e
odificaria a
ltados seria
cm. Assim,
nece com a
as as cargas
or cabo. No
figura 95),
argas.
das entre os
em STRAP
bre as áreas
ssas cargas.
s.
estrutura já
cionamento
a simular a
8
a
e
a
a
,
a
s
o
,
s
P
s
.
á
o
a
____
locaç
(figu
A ap
com
A car
e co
confo
___________Análise de P
ção do trem
ura 97).
Figuhoriz
plicação da c
geometria c
Fi
rga g2 (peso
om os cabo
forme figura
____________Pontes em Est
m-tipo na p
ura 97: Barras zontal dos mes
carga g1 (pe
conforme fi
igura 98: Estág
o próprio da
os de prote
a 99.
____________truturas Mista
posição mai
Dummy na msmos; barras d
eso próprio
igura 98.
gio 1 – ½ seçãancorag
as lajes) é a
ensão já po
____________as de Aço-Con
is desfavorá
mesma cota verdefinidas entre
do caixão d
ão de aço isosgem da proten
aplicada à se
osicionados
___________ncreto de Seçã
ável possív
rtical do topo e os nós dos e
de aço) é fe
stática (carga gnsão (ao fundo
eção caixão
(porém n
____________ão Caixão com
el sobre o
dos conectorelementos da l
eita sobre a s
g1); chapa enro)
de aço já c
ão tensiona
____________m Protensão E
tabuleiro d
es e a 37cm à laje (omitida)
seção caixã
rijecida de
contínua (hip
ados), com
__________ Externa
129
da estrutura
ão isostática
perestática)
m geometria
9
a
a
)
a
____
A ca
prote
A vi
extre
trans
___________
Fig
arga perman
ensão.
inculação d
emas (víncu
slação nas tr
Fi
Figur
____________Bruno Ta
gura 99: Estágcom
nente g3 é ap
da estrutur
ulos de 1º
rês direções
gura 100: Eixmesa in
ra 101: Seção
____________asca de Linhar
gio 2 – seção dm os cabos de
plicada à es
ra permite
ordem, fig
s cartesianas
xos globais XYnferior e das c
transversal so
____________res. Porto Aleg
de aço hiperese protensão já
strutura mis
livre trans
gura 100);
s (vínculos
Y e vínculos dchapas frontais
obre o apoio cmesa infe
___________gre: PPGEC/E
stático travadoposicionados
ta, conform
slação e gi
no apoio c
de 2º ordem
de 1º ordem nas de ancoragem
central; vínculerior
____________EE/UFRGS, 2
o nas mesas su(carga g2)
me figura 94
iro longitud
central, as
m, figura 10
a intersecção dm da protensã
los de 2º ordem
____________2015
uperiores e
4, bem como
udinais nas
restrições i
1).
dos nós da ão
m nos nós da
__________
130
o a carga de
cabeceiras
impedem a
0
e
s
a
____
Depe
com
a con
atuar
uma
separ
se di
A m
elem
pórti
6,00G
capít
7.2 R
Para
forne
-1,17
Para ___________
Análise de P
endendo do
a protensão
nsideração
r. Como aco
vez hiper
radamente,
spensa a an
alha final d
mentos para
ico espacial
GB RAM),
tulo 3.
RESULTA
a fase aço
eceu desloc
7cm (20,62%
a carga g2:____________Pontes em Est
grau de hip
o fica comp
dos esforço
onteceu par
restática, a
fornece o m
nálise não-li
da estrutura
a laje em u
l. Após a an
procede-se
ADOS
isostático,
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% maior).
Figu
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perestaticida
prometida, d
os e desloca
ra o modelo
a superposi
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near para es
a resultou em
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à montagem
o resultado
-0,97cm no
ura 102: Deslo
1,89cm; ME____________as de Aço-Con
ade da estru
devendo-se
amentos já
o de barras d
ição das c
ultado que u
sse caso.
m 13304 el
e 30813 nó
processam
m das comb
o para o mo
o centro do v
ocamentos g1
EF = -1,98c___________ncreto de Seçã
utura, a supe
recorrer a u
existentes,
de pórtico e
cargas g3
uma análise
lementos pa
s. Para os
mento de 2m
binações de
odelo em ba
vão de 25m
1 (isostático) –
cm (figura 1____________ão Caixão com
erposição d
uma análise
sobre os q
espacial, me
+ protens
única com
ara a seção
conectores
min15s (Cor
cargas em
arras de pór
m. O em ME
– MEF [cm]
103) - 4,762____________m Protensão E
das cargas p
e não-linear
quais a prot
esmo sendo
são, ambas
g3+protens
caixão de
foram 157
re i5-3230M
ELS e ELU
rtico espaci
EF (figura 1
2% maior. __________
Externa
131
ermanentes
r ou mesmo
tensão deve
o a estrutura
s definidas
são. Assim,
aço, 16882
8 barras de
M 2.60GHz,
U, conforme
ial (MBPE)
02) fornece
s
o
e
a
s
,
2
e
,
e
)
e
____
Para
+0,96
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(com
Para
maio
___________
a compos
65cm, enqu
modelo ant
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o mesmo c
or. Embora
____________Bruno Ta
Figur
sição g3 +
uanto o MEF
Fig
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frequentes)
caso, o MEF
algumas dif
____________asca de Linhar
ra 103: Desloc
protensão
F, +1,21cm
gura 104: Desl
PE), a env
forneceu co
F fornece m
ferenças po
____________res. Porto Aleg
camentos g2 (
(combinaç
(figura 104
locamentos g3
oltória de
omo máxim
máximo desl
orcentuais, o
___________gre: PPGEC/E
(hiperestático)
ção de carg
4) - 25,38%
3+protensão –
combinaçõe
mo deslocam
locamento d
os dois mod
____________EE/UFRGS, 2
) – MEF [cm]
gas isolada
superior.
– MEF [cm]
es de Estad
mento no ce
de -3,27cm
delos aprese
____________2015
as), o MBP
do Limite
entro do vã
(figura 105
entaram des
__________
132
PE resultou
de Serviço
ão -3,07cm.
5) - 6,515%
locamentos
2
u
o
.
%
s
____
coere
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relev
flexív
Para
em E
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Para
___________Análise de P
entes e conv
ombinações
diferenças
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0,965cm p
vantes. Con
vel que o m
o caso das
ELS para as
dos conform
ecem, para
ectivamente
f = -118,14M
o modelo n
____________Pontes em Est
vergiram pa
s em ELS.
percentuais
porém, cabe
para 1,21cm
nstata-se co
modelo em b
Figura
s tensões, ap
s tensões no
me item 6.3.
o meio do
e:
MPa (-11,81
numérico, o
____________truturas Mista
ara a mesma
s de deslo
e ressaltar q
m para a com
om isso, qu
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105: Envoltór
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o plano dos
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vão de 25m
1kN/cm²) e
s resultados
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a ordem de
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órtico espaci
ria de deslocam
se somente
s elementos
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m, nas mesa
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___________ncreto de Seçã
grandeza p
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iferenças (0
g3+protensã
lo em MEF
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mentos em EL
os resultad
. A estes, c
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as superior
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ão são mostr
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para a carga
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0,97cm para
ão) em term
F encontra-
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dos da envo
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Anexo B. O
e inferior,
2,899kN/cm
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a g2 e para a
g3+proten
a 1,17cm p
mos práticos
a-se ligeiram
m]
oltória de co
se os valore
Os resultado
para o tem
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__________ Externa
133
a envoltória
nsão foram
para a carga
s são pouco
mente mais
ombinações
es de tensão
os analíticos
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e 107.
3
a
m
a
o
s
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____
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Figur
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elo em ME
6% maior).
____________Bruno Ta
Figura 106: T
ra 107: Tensõ
no da mesa
mesa inferio
al, as tensõe
+47,052MP
EF, a tensã
____________asca de Linhar
Tensões na me
ões na mesa in
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Pa (+4,705k
ão obtida n
____________res. Porto Aleg
esa superior - e[kN/cm
nferior - envolt
elo MEF for
2,28kN/cm²
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kN/cm²) e σ
na mesa inf
___________gre: PPGEC/E
envoltória de m²]
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combinações
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menor).
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____________2015
em ELS
ELS [kN/cm²]
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-11,34kN/cm
σi_inf = -11
__________
134
cm² (3,89%
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m²). Para o
1,63kN/cm²
4
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o
²
____
No c
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Fig
Fig
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ões encontra
____________Pontes em Est
gura 108: Ten
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____________truturas Mista
nsões na mesa
sões na mesa
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trutura. A
m MEF, es
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____________as de Aço-Con
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109, a tensã
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mesma orde
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struturas de
e tensões na
___________ncreto de Seçã
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o é σs_inf = +
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de enrijeced
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____________ão Caixão com
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nações em ELS
+4,20kN/cm
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es e se most
dores e cha
no modelo
as mesas e l
____________m Protensão E
S [kN/cm²]
S [kN/cm²]
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modelos MB
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o MBPE,
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__________ Externa
135
menor).
BPE e MEF,
quados para
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podem ter
iferenças de
5
,
a
a
r
e
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
136
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo das estruturas mistas, que começou em meados no séc. XX, tem se intensificado nos
últimos anos. Muitos trabalhos teóricos e experimentais têm sido realizados por todo o
mundo. O assunto tomou impulso no Brasil recentemente, apesar de o país não possuir uma
norma própria para o tema. Uma comissão de estudos da Associação Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT) reuniu-se no ano de 2014, para a elaboração do código brasileiro, o que
revela a importância que o assunto despertou no país.
As estruturas mistas de seção caixão, além das vantagens conferidas pelos perfis de alma
cheia, apresentam grande rigidez à torção. O que é importante quando se trata de
pontes/viadutos, principalmente em curva horizontal.
A aplicação da protensão em pontes/viadutos mistos é um assunto que vem sendo estudado
internacionalmente há pelo menos 70 anos. No Brasil, é um tema ainda pouco explorado. A
técnica pode ser utilizada tanto para reforço das estruturas existentes como para a fase de
projeto, como é o caso do viaduto suíço Bois de Rosset.
O trabalho focou-se principalmente na definição de um procedimento de cálculo da
capacidade em Estado Limite Último à flexão positiva e, especialmente, negativa, para
pontes/viadutos em estruturas mistas protendidas de seção caixão. Paralelamente a isto,
verificações de conectores de cisalhamento, esforços cortantes e perdas de protensão foram
assuntos importantes também abordados.
8.1 CONCLUSÕES
Para a norma AASHTO-LRFD:2012, os efeitos de cargas de longa duração são considerados
sobre a seção homogeneizada pela relação 3n (n=Es/Ec); a qual foi chamada no trabalho de
Seção Mista de Longa Duração. Este artifício de reduzir a inércia, visa a simular o efeito da
deformação lenta por fluência. As perdas de protensão por recuo elástico foram consideradas
sobre esta seção, que é mais suscetível a deformações.
O Estado Limite Último (ELU) em flexão positiva é dado pelo equilíbrio plástico dos
materiais. Para a flexão negativa, a laje é desprezada na análise e a resistência fica limitada
pela compressão das chapas inferiores e tração das superiores. Para o esforço cortante, a
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
137
resistência é garantida pela capacidade das almas do perfil, limitada ao menor valor entre sua
resistência à flambagem por cisalhamento e resistência ao escoamento por cisalhamento.
Para o caso estudado, com as espessuras das chapas definidas, percebeu-se uma grande folga
na resistência para o ELU em corte e flexão positiva. Para a flexão negativa, a resistência em
ELU não foi garantida no ponto sobre o apoio (inversão de momentos). Obteve-se esforço
16,68% superior à capacidade da seção. Isto, levando-se em conta a presença da armadura de
continuidade da laje no cálculo das propriedades geométricas da seção, caso contrário, o
esforço seria 37,40% superior à capacidade última, o que mostra a importância da armadura
de continuidade da laje.
A aplicação de protensão à estrutura mista revelou um pequeno incremento de resistência em
flexão positiva. O momento de plastificação da seção em flexão positiva aumentou
significativamente (chegando a ser 41% superior à situação não protendida). Porém, devido
ao critério de segurança adicional de Wittry (ver item 4.2.1.1), a resistência positiva tem
aumento máximo de 7,24%. Mostrando ser pouco vantajosa, segundo o critério da AASHTO
para o estado último, a aplicação de protensão em flexão positiva para estruturas mistas.
O cálculo das perdas de protensão resultou um valor pequeno para o efeito do atrito (média de
1,6%), haja vista haver somente dois pontos de inflexão no vão. Admitindo-se 5mm de recuo
da ancoragem (recuo entre 4mm e 5mm, conforme Rudloff), obteve-se uma média de perdas
por recuo para todas as seções de 2,6%. Percebeu-se que, devido ao fato de haver pouca perda
por atrito, a influência do recuo de ancoragem se deu por 24,066m, onde se localizou o ponto
de recuo nulo.
A perda por deformação imediata da estrutura levou em conta a seção de longa duração
(homogeneização por 3n), para considerar o efeito da fluência. Como dois cabos foram
protendidos por vez, os dois primeiros cabos sofreram efeito da deformação imediata,
resultando em perda de 7,82kN (0,782tf). Esta perda foi, finalmente, distribuída igualmente
para todos os cabos.
A perda por retração, levou em conta o esforço de 1000tf sobre a estrutura, obtido para a
retração da laje, considerando cura úmida de 28 dias para o concreto. O método dos trabalhos
virtuais auxiliou a determinação da perda de protensão. Inicialmente, supunha-se que haveria
um incremento da força de protensão pelo efeito da retração (flexo-compressão provocada
pela retração), porém os resultados mostraram uma perda de 8,36tf por cabo, já que a
compressão na seção foi mais importante que a flexão.
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
138
A relaxação do aço de protensão provocou perda média por cabo de 24tf. Por fim,
contabilizando-se as perdas progressivas e imediatas, chegou-se a 14,5%. Resultado muito
próximo do valor inicial de 15% arbitrado, para verificação das tensões na seção.
Mantido o mesmo critério de ELU para a região de flexão negativa, obteve-se, por meio do
método dos trabalhos virtuais, a relação entre o acréscimo de tensão nos cabos e o momento
fletor externo unitário sobre o apoio (0,16673kN/kN.m). Ao contrário do concreto protendido,
onde graças à aderência, há compatibilidade de deformações entre o aço e o concreto, no caso
de protensão externa de estruturas mistas em flexão negativa, o acréscimo de tensão está
ligado ao momento fletor que ocorre na seção. Chegou-se a um sistema de equações iterativas
entre equilíbrio de forças horizontais e momentos fletores, que foram resolvidas pelo método
da bissecção.
Os resultados mostraram um incremento de resistência considerável para a flexão negativa,
com aumentos de capacidade, em relação à seção não protendida, de 28,99%, 31,25% e
40,74% em ELU, com os critérios da AASHTO-LRFD:2012. Resultado que converge ao
trabalho experimental de Safan e Kohoutková (2001), o qual obteve aumento de 30% da
capacidade última da seção em região de momento fletor negativo, para um modelo de ponte
em estrutura mista contínua. A protensão foi, portanto, mais vantajosa para a flexão negativa.
Sendo uma força que se opõe aos esforços externos, a protensão diminuiu a magnitude dos
esforços cortantes em ELU. Os esforços cortantes sofreram reduções com um mínimo de
24,68%, chegando a um máximo de 70% de redução. Deste modo, seria possível reduzir a
espessura das almas do perfil caixão para 12,7mm (1/2’’), o que já seria suficiente para
garantir o equilíbrio em ELU e manter a seção compacta.
Os conectores de cisalhamento foram verificados inicialmente para a estrutura submetida a
cargas de fadiga e retração. Após a protensão, passou a ser submetida a retração, protensão e
fadiga. Entretanto, verificou-se que estas cargas permanentes (retração e protensão) não são
determinantes para os conectores. Quem os dimensiona é o Estado Limite de Fadiga (variação
do fluxo de cisalhamento) ou o Estado Limite Último (propriedades inelásticas dos materiais).
No caso estudado, o estado de fadiga foi preponderante.
Para o controle do efeito da protensão e/ou retração, verifica-se se o fluxo de cisalhamento
induzido por estes carregamentos é atendido pelos conectores já definidos pelos métodos
anteriores. A verificação dos conectores para esses efeitos se procede em ELU, o qual
resultou o número mínimo de conectores.
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
139
Os resultados do modelo em barras de pórtico espacial (MBPE), com as considerações do
faseamento da AASHTO-LRFD:2012 se mostrou coerente ao modelo em elementos finitos
com elementos de casca. As maiores diferenças são de 6,51% em termos de deslocamento
para ELS e diferença máxima de 27,15% em tensões. O modelo MEF apresentou-se
ligeiramente mais flexível que o MPBE.
A superposição de cargas g3 e protensão como cargas separadas foi possível neste caso. Tanto
para o modelo MBPE como para o MEF, a análise fornece as mesmas tensões/deformações
para as situações g3+protensão (cargas isoladas) e g3+protensão (combinação de cargas
separadas). A rigor dever-se-ia fazer uma análise não-linear quando da entrada da carga de
protensão, levando-se em conta as tensões/deformações já existentes na estrutura e não-
linearidades geométrica e física, provenientes dos carregamentos anteriores.
8.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Alguns estudos podem contribuir para a evolução do conhecimento de pontes em estruturas
mistas:
1) Estudo do efeito combinado da retração e fluência nas perdas de protensão externa
para seções mistas;
2) Estudo de estruturas mistas com protensão longitudinal na laje de concreto e o caso de
aderência da armadura de protensão;
3) Estudo da protensão em estruturas mistas em curvas vertical e horizontal;
4) Estudo da capacidade dos conectores de cisalhamento tanto à fadiga quanto ao estado
limite último, adaptado ao caso das normas brasileiras;
5) Estudo do efeito de retração resultante sobre a estrutura, considerando-se juntas entre
as lajes pré-moldadas preenchidas com graute de baixa retração.
6) Análise considerando não-linearidades física e geométrica de estruturas mistas
protendidas com efeitos de longa e curta duração e determinação de sua capacidade
última.
7) Análise comparativa entre resultados numéricos e analíticos para capacidade última de
estruturas mistas.
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
140
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145
ANEXO A Verificação em ELU (flexão e corte) e Conectores de Cisalhamento AASHTO-
LRFD:2012
Descritivo:
O anexo apresenta a entrada de dados com os parâmetros de geometria e cálculo das
propriedades geométricas a partir do método de Green.
O cálculo é realizado somente para um vão do viaduto (25m), sendo simétrico para o outro.
O vão é dividido em 11 seções (contando os extremos), representados por vetores com esse
tamanho, sendo que o cálculo é efetuado para cada seção.
Deteminam-se os momentos fletores plásticos, momentos fletores resistentes positivo e
negativo, esforços cortantes resistentes e conectores de cisalhamento.
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146
A) ENTRADAS
Dados geométricos Dados do perfil Armadura Negativa
Vão Altura total do caixão de aço Camada superiorΙ 25m
d 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120( )T
cm Aneg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32.16 64.32( )T
cm2
Balanço
Espessura chapas da alma Camada inferiorb 2.2m
Aneg2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )T
cm2
Altura Laje tw3
4
3
4
3
4
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
3
4
3
4
3
4
T
intc 26cm Cobrimento das camadas de aço
Mesas superioresResist. Concreto cob 4 6( )
Tcm
fck 40MPa bs 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40( )T
cm Armaduras Negativas - são as armaduras de continuidadesobre o pilar intermediário. São usadas para o cálculo daspropriedades geométricas da seção em flexão negativa (verPropriedades da Seção Mista - Flexão Negativa abaixo).Aneg e Aneg2 são a primeira e segunda camadas dearmaduras, com cobrimento de 4 e 6cm, respectivamente (vervetor cob). Percebe-se que só há a primeira camada nocálculo e que a área de 64,32cm² corresponde às 32 barrasde ϕ16mm definidas nesse trabalho. A área de 32,16cm² naseção anterior corresponde a uma diminuição para 16 barrasϕ16mm, pois os esforço é menor nesta seção. Portantometade, somente, das 32 barras se estende até a seção 10(posição 10 do vetor).
Dist. Topo Almas Espessura mesas superiores
Lw 3mts 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )
Tin
Propriedades Aço Mesas inferiores
Escoamento Aço bi 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220( )T
cmFy 345MPa
Espessura mesas inferioresMódulo Elast. Aço
ti 1 1 1 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1 1 1( )T
inE 200GPa
Inclinação da alma com a horizontal (rad)θ 0.4061π
Enrij. Longitudinais e Transversais
Escoamento aço Enrij. Longitudinais Enrij. Transversais ContinuidadeFyenrij 345MPa Largura Espessura Altura enrij. transversal Ponte_Contínua
Check Box
Módulo de Elast. Aço bls 8cm tls 0.95cm bstif 10cmEs 200GPa Nº Enrij. Mesa Inferior Espes. enrij. transversal OBS - Se a estrutura for contínua, sua capacidade
em ELU a flexão é definida como min(1.3My, Mp);caso contrário é determinado por critérios do Mp(momento plástico). Ver equação do momentonominal resistente final
Definir com/sem enrijecedorestransversais
n 5 tstif 1.27cm
COM ENRIJECEDORESEspaço entre enrijecedores Espaç. entre enrijecedoresw 40cm d0 2m
SEM ENRIJECEDORES
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147
ESFORÇOS
B) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS C) ESTADO LIMITE DE FADIGA
Esforços Máximos de Flexão (ELU) Conectores de Cisalhamento (Studs Bolts)
Momento Fletor permanente de cálculo - perfil isolado (g1+g2) Altura Stud Bolths 15cm
Md1 0 179 300 369 390 363 288 166 0 227 507( )T
tf mDiâmetro Stud Bolt
Momento Fletor Permanente de cálculo - seção mista (g3)+retraçãoϕ 2.22cm
Md2 480 503 496 519 453 356 229 72 175 392 639( )T
tf m Nº Studs transversais/linhaEnvoltória de Momentos Fletores Últimos (g1+g2+g3+Q) Ν 3
Mumax 491 940 1292 1437 1441 1304 1032 626 449 979 1700( )T
tf m Nº Caminhões/Dia - FadigaADTT 2000
Envoltória de Esforços de Cisalhamento (ELU)Esforços de Cisalhamento - Comb. de Fadiga
Vu 200 163 109 99 84 130 177 225 273 325 360( )T
tfVf 39 32 30 28 28 30 29 33 39 44( )
Ttf
Esforços de Torção Vf_retração 38 30 33 37 42 47 52 58 63 69( )T
tf
Momento torçor de cálculo - perfil isolado (g1+g2) Esforços de Torção - Comb. de Fadiga
Tnc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )T
tf m Tf 54 49 44 41 37 40 43 47 52 57( )T
tf m
Envoltória de Momentos Torçores ELU - seção mista (g3+Q) Tensão Última StudsFu 450MPa
Tc 157 157 144 134 123 119 130 143 157 172 173( )T
tf m
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148
D) RESULTADOS
Definição de Nós para Integraçãodas propriedades das seções pelométodo de Green (KREYSZIG,2009). Esta matriz fornece os nósque definem a seção caixão de aço,portanto, referem-se às propriedadesdo caixão de aço.
Ψ η( )
0
biη
2
biη
2
dη
tan θ( )
biη
2
dη
tan θ( ) bs
η
biη
2
dη
tan θ( ) bs
η
biη
2
tiη
tan θ( )
twη
sin θ( )
dη
tsη
tiη
tan θ( )
biη
2
tiη
tan θ( )
twη
sin θ( )
biη
2
tiη
tan θ( )
twη
sin θ( )
biη
2
tiη
tan θ( )
twη
sin θ( )
dη
tsη
tiη
tan θ( )
biη
2
dη
tan θ( ) bs
η
biη
2
dη
tan θ( ) bs
η
biη
2
dη
tan θ( )
biη
2
0
0
0
dη
dη
dη
tsη
dη
tsη
tiη
tiη
dη
tsη
dη
tsη
dη
dη
0
0
Definição de vetor indicial
j 0 length d( ) 1
OBS - este vetor executa o looppara todos os cálculos vetoriaisabaixo.
Cálculo da área da seção transversalArea
ja 0
a a 0.5 Ψ j( )i 0 Ψ j( )
i 1 0 Ψ j( )i 1 1 Ψ j( )
i 1
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
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149
Momentos Estáticos em relação aos eixos x e ySx
ja 0
a a Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 0
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
2
Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0
Ψ j( )i 1
2
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
3
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
Syj
a 0
a a 0.5 Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 0
2Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0 Ψ j( )
i 0
Ψ j( )i 1 0
Ψ j( )i 0
3
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
Momentos e Produto de Inércia em relação aos eixos globais x e y
Ixj
a 0
a a Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 0
Ψ j( )i 1
2Ψ j( )
i 1 1Ψ j( )
i 1 Ψ j( )
i 1
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
2
3
Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0
Ψ j( )i 1
2
2
2 Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
3
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
2
4
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
Iyj
a 0
a a13
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 0
3Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0
3 Ψ j( )i 0
2
2Ψ j( )
i 0Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0
Ψ j( )i 1 0
Ψ j( )i 0
2
4
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
Coordenadas do centro geométrico
xcgj
Syj
Areaj
ycgj
Sxj
Areaj
Ixyj
a 0
a a 0.5 Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
Ψ j( )i 0
2Ψ j( )
i 1
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
2
Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0 Ψ j( )
i 0Ψ j( )
i 1
2 Ψ j( )i 0
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
3
Ψ j( )
i 1 0Ψ j( )
i 0
2Ψ j( )
i 1
3
Ψ j( )i 1 1
Ψ j( )i 1
4
i 0 rows Ψ j( )( ) 2for
a
Momentos de Inércia em relação ao centro geométrico(Teorema de Steiner)
Momentos Principais de Inércia Módulos Resistentes de Flexão Superiore Inferior
Ixcj
Ixj
Areaj
ycgj 2 Iyc
jIy
jArea
jxcg
j 2 Ixycj
Ixyj
Areaj
ycgj
xcgj
ImaxIxc Iyc
2Ixc Iyc
2
2Ixyc
2 Imin
Ixc Iyc
2Ixc Iyc
2
2Ixyc
2 Ws
Ixc
d ycg Wi
Ixc
ycg
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150
Propriedades da Seção Aço (perfil isolado)
Área do contorno médio seção aço isostático - Tensão de St. Venant.
St_Venant k( )
bik
2
twk
2
0
bik
2
twk
2
dk
tc
2
tan θ( )
dk
tsk
2
bik
2
twk
2
dk
tc
2
tan θ( )
dk
tsk
2
bik
2
twk
2
0
bik
2
twk
2
0
T
Nós para a determinação da área do contorno médio das paredes pelo método de Green (KREYSZIG,2009). Informação útil ao cálculo das tensões de torção para seção isostática de aço.
Venant k( )
bik
2
twk
2
0
bik
2
twk
2
dk
tc
2
tan θ( )
dk
tc
2
bik
2
twk
2
dk
tc
2
tan θ( )
dk
tc
2
bik
2
twk
2
0
bik
2
twk
2
0
T
Nós para a determinação da área do contorno médio das paredes pelo método de Green(KREYSZIG, 2009). Informação útil ao cálculo das tensões de torção da seção mista.
Área do contorno médio seção mista - Tensão de St. Venant.
A0j
a 0
a a 0.5 St_Venant j( )i 0
St_Venant j( )i 1 0
St_Venant j( )i 1 1
St_Venant j( )i 1
i 0 rows St_Venant j( )( ) 2for
a
Acj
a 0
a a 0.5 Venant j( )i 0
Venant j( )i 1 0
Venant j( )i 1 1
Venant j( )i 1
i 0 rows Venant j( )( ) 2for
a
Função que calcula a seção transversal do contorno médio do caixão de açoisostático. Objetiva determinar as tensões de St. Venantde torção.
Função que calcula a seção transversal do contorno médio da viga mistaaço-concreto. Objetiva determinar as tensões de St. Venantde torção.
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151
Propriedades da Seção Mista - Flexão Positiva
Largura da laje efetiva para 1 caixão Relação entre Módulos de Elasticidade(item 6.10.1.1)
Linha Neutra de Curta Duração - a partirda mesa inferior
bc 2 minΙ
86 tc
bs
4 b
Lwncurta 10 16MPa fck 20MPaif
9 20MPa fck 25MPaif
8 25MPa fck 32MPaif
7 32MPa fck 41MPaif
6 otherwise
nlonga 3 ncurta LNC
ai
bc
ncurtatc d( )
i
tc
2
Areai ycgi
bc
ncurtatc Areai
i 0 length d( ) 1for
a
Altura das almas do perfil
h d ts ti
Linha Neutra de Longa Duração - a partir da mesa inferior Momento de Inércia de Curta DuraçãoLNL
ai
bc
nlongatc d( )
i
tc
2
Areai ycgi
bc
nlongatc Areai
i 0 length d( ) 1for
a
IC
ai Ixci Areai LNCi ycgi 2
bc
ncurtatc
3
12
bc
ncurtatc d( )
i
tc
2 LNCi
2
i 0 length d( ) 1for
a
Momento de Inércia de Longa DuraçãoIL
ai Ixci Areai LNLi ycgi 2
bc
nlongatc
3
12
bc
nlongatc di
tc
2 LNLi
2
i 0 length d( ) 1for
a
Propriedades da Seção Mista - Flexão Negativa
Centro de gravidade da seção mista - flexão negativa Momento de Inércia da seção mista - flexão negativa
Ym
ai
Areai ycgi Anegi d( )i
tc cob0
Aneg2i d( )i
tc cob1
Anegi Aneg2i Areai
i 0 length d( ) 1for
a
Ixm
ai Ixci Areai Ymi ycgi 2 Anegi di tc cob0
Ymi 2 Aneg2i di tc cob1
Ymi 2
i 0 length d( ) 1for
a
OBS - Notar que a armadura negativa definida nas Entradas compõe a inércia da seção em flexão negativa.
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152
FORÇAS PLÁSTICAS (Apêndice D6)
Mesa Superior Curta Duração Resultante plástica da lajePs 0.85 fck bc tc
WSCIC
d LNC( ) Resultante plástica da alma
Mesa Inferior Curta DuraçãoPwj 2Fy
hj
sin θ( ) twj
WICIC
LNC
Resultante plástica da mesa inferiorPtj Fy tij bijMesa Inferior Longa DuraçãoResultante plástica da mesa superior
WILIL
LNL
Pcj 2Fy bsj tsj
Laje de Concreto Longa Duração Parcela de compressão açoCad 0.5 Pc Pw Pt Ps( )
WCLIL nlonga
d tc LNL( )
Posição da Linha Neutra Plástica (Apêndice D6)Laje de Concreto Curta Duração
LNPj
aj
hj
2
Ptj Pcj Ps
Pwj
1
Cadj Pcjif
aj
tsj
2
Pwj Ptj Ps
Pcj
1
otherwise
Ptj Pwj Pcj Psif
aj tcPcj Pwj Ptj
Ps
otherwise
WCC
IC ncurta
d tc LNC( )
Mesa Superior Longa Duração
Módulos Resistentes de Flexão Positiva
WSLIL
d LNL( )
Módulos Resistentes de Flexão Negativa
Mesa Inferior Curta Duração
WimIxm
Ym
Vetor - Posição da Linha NeutraMesa Superior Curta Duração LNP_Posj
aj "LNP na alma" Cadj Pcjif
aj "LNP na mesa superior" otherwise
Ptj Pwj Pcj Psif
aj "LNP na laje de concreto" otherwise
WsmIxm
d Ym
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153
Braços de alavanca - Determinação do Momento Fletor Plástico Resistente
Braço laje Braço mesa superior
dsj ajtc
2tsj LNPj
LNP_Posj "LNP na alma"=if
ajtc
2LNPj
LNP_Posj "LNP na mesa superior"=if
aj LNPj otherwise
dcj aj
tsj
2LNPj
LNP_Posj "LNP na alma"=if
aj
tsj
2tc LNPj
LNP_Posj "LNP na laje de concreto"=if
aj LNPj otherwise
Braço alma Braço mesa inferior
dwj aj
hj
2ts
T j
LNPj
LNP_Posj "LNP na mesa superior"=if
aj
hj
2tsj tc LNPj
LNP_Posj "LNP na laje de concreto"=if
aj LNPj otherwise
ddtj aj
tij
2hj LNPj
LNP_Posj "LNP na alma"=if
aj
tij
2hj tsj LNPj
LNP_Posj "LNP na mesa superior"=if
aj
tij
2hj tsj tc LNPj
otherwise
Altura da alma comprimida (item 6.10.6.2)
Compacidadej aj "Alma tracionada" LNP_Posj "LNP na alma"if
aj "Compacta" 2LNPj
twj
3.76E
Fy
if
aj "Não Compacta" otherwise
LNP_Posj "LNP na alma"=if
OBS - A função compacidade garante que da alma comprimidaseja compacta. Para a seção ser considerada compacta eassim poder ser verificada sua capacidade plástica, a esbeltezda alma comprimida deve respeitar o limite plástico.
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154
Relações Limites para os componentes da seção Momento de Plastificação
MPj aj
Pwj
2 hjdwj 2 hj dwj 2 Ps dsj Pcj dcj Ptj ddtj LNPj "LNP na alma"=if
aj
Pcj
2 tsjdcj 2 tsj dcj 2 Ps dsj Pwj dwj Ptj ddtj LNPj "LNP na mesa superior"=if
aj
dsj 2 Ps
2 tc
Pcj dcj Pwj dwj Ptj ddtj otherwise
Almaj aj "OK"
hj
sin θ( )
twj
150if
aj "Rever alma" otherwise
Mesa_Infj aj "Esbeltez OK"bij
tij
120if
aj "Esbelta" otherwise
Mesas_Supj aj "OK" bsj
hj
6 sin θ( )
bsj
2 tsj12
tsj 1.1 twj if
aj "Rever mesas" otherwise
Distância do topo da seção à Linha NeutraDpj aj LNPj tsj tc LNP
1"LNP na alma"=if
aj LNPj tc LNPj "LNP na mesa superior"=if
aj LNPj otherwise
OBS - recomendado que as mesas tenham espessurade no mínimo 3/4'' (AASHTO-LRFD:2012)
Ductilidadej aj "OK"Dpj
dj tc0.42if
aj "Não atende" otherwise
Condições de Ductilidade (item 6.10.7.3)
OBS - a ductilidade é importante para prevenir oesmagamento permanente do concreto quando a seçãocomposta atinge MP. É a relação entre a altura do topoda seção à Linha Neutra e a altura total da seção mista.
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155
MOMENTO FLETOR NOMINAL RESISTENTE (item 6.10.7 e Apêncide D6)
Determinação do Momento de Início de escoamento Momento de Início de escoamento para Flexão Positiva
Mad
ai min WSCi FyMd1i
Wsi
Md2i
WSLi
WICi Fy
Md1i
Wii
Md2i
WILi
Mumaxi 0if
ai min Wsmi FntMd1i
Wsi
Md2i
Wsmi
Wimi Fnci
Md1i
Wii
Md2i
Wimi
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
My
ai Md1i Md2i Madi maxMd1i
Wsi
Md2i
WSLi
Md1i
Wii
Md2i
WILi
Fyif
ai "Fy com cargas permanentes" otherwise
Mumaxi 0if
ai 0 otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Mad é o momento de externo extra que provoca o início do escoamento no caixão de aço.Essa tensão tanto pode ser na mesa inferior como na mesa superior. É função das tensõeslimites dadas nos itens anteriores para chapas sob compressão.
My é a soma dos momentos positivos de cargas permanentes com Mad. Portanto,trata-se do início do escoamento em flexão positiva. É um parâmetro de controle paraa determinação do momento fletor nominal final positivo da seção.Momento Nominal Resistente Final (item 6.10.7)
Mn
ai MPi Dpi 0.1 di tc if
ai 1.07 0.7Dpi
di tc
MPi otherwise
Compacidadei "Compacta"= Compacidadei "Alma tracionada"= Myi "Fy com cargas permanentes"if
ai "ELU sob cargas perm." Myi "Fy com cargas permanentes"=if
ai "Verificar compacidade" otherwise
Ponte_Contínua 0=if
ai min 1.3 Myi MPi Dpi 0.1 di tc if
1.07 0.7Dpi
di tc
MPi otherwise
otherwise
Mumaxi 0if
ai Md1i Md2i Madi Md1i
Wii
Md2i
Wimi
FnciMd1i
Wsi
Md2i
Wsmi
Fntif
ai "ELU sob cargas perm." otherwise
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Momento Fletor Nominal ÚltimoPara seções em flexão positiva (Mumax > 0) e que respeitem a compacidade daalma, porém sejam estruturas descontínuas (Ponte_Contínua = 0, check box), oMomento Último é função do Momento de Plastificação. Quando a altura da Linha Neutra Plástica excede 10% da altura total da seção, umfator extra de segurança é aplicado garantindo dutilidade à seção mista.Para estruturas contínuas (Ponte_Contínua = 1, check box), a resistência é dadapelo mínimo entre 1.3My e Mp. Permite-se, portanto, uma quantidade adicional deflexão resistente.Para a flexão negativa, a resistência é dada pelo momento fletor que provoca oescoamento da mesa tracionada e/ou a tensão de compressão máxima permitidanas mesas comprimidas, o menor valor entre esses.
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156
VERIFICAÇÃO DO ELU A TORÇÃO - ITEM 6.11.7.2
Tensão de torção de St. Venant - aço isostático (mesa inferior) Tensão de torção de St. Venant - seçãomista (mesa inferior)
fcncj
Tncj
2 A0j tij
fccj
Tcj
2 Acj tij
Resistência ao cortante de torçãoTensão de torção de St. Venant - seçãomista (mesa superior)Fv 0.75
Fy
3
fctjTcj
2 Acj tsj
Torçãoj aj
fcncj fccj
Fv
"Torção OK"
fcncj fccj Fvif
aj
fcncj fccj
Fv
"Não atende"
otherwise
Coeficientes de redução de capacidade de mesas comprimidas em função das torções de St. Venant (item 6.11.7.2)
mesa comprimidaem flexão negativa
mesa comprimidaem flexão positivaΛ 1 3
fcc
Fy
2
Κ 1 3fct
Fy
2
Verificação das almas - Cortante de St. VenantV_mesa_NC
ai
Tnci
2 A0i
i 0 length d( ) 1for
a
V_mesa_C
ai
Tci
2 Aci
i 0 length d( ) 1for
a
corte de St. Venant naalma para perfil isostático
corte de St. Venant naalma para seção mista
Soma dos efeitos do corte de St. Venant ao Cortante de Flexão para ELU para 1 alma (item 6.11.9)
Vualmaj
Vuj
2V_mesa_NCj
dj
hj
sin θ( )
hj
sin θ( )
V_mesa_Cj
dj
hj
sin θ( )
hj
sin θ( )
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157
CAPACIDADE DAS MESAS À COMPRESSÃO
Esbeltez Enrij. Longitudinal Centro de gravidade do enrijecedor
Long_Stiffener "OK"bls
2 tls0.48
Es
Fyenrij
if
"Rever dimensões" otherwise
Y
bls2
tls
2bls tls( ) tls bls
tls
2
bls tls bls tls( ) tls
Momento de Inércia enrij em relação ao CG
Ixxctls bls
3
12tls bls
bls
2Y
2
bls tls( ) tls
3
12 bls tls( ) tls bls
tls
2 Y
2
Momento de Inércia enrijecedor em relação à mesa inferior Tensão Nominal damesa tracionada
Ixx Ixxc bls tls bls tls( ) tls[ ] Y2
Fnt Fy
Coeficiente de flambagem por tensões de corte (item 6.11.8.2.3)
ksj
min
5.34 2.84Ixx
w tij 3
1
3
n 1( )2
5.34
Coeficiente de flambagem dos enrijecedores (item 6.11.8.2.3)
kj
aj
8 Ixx
w tij 3
1
3
18 Ixx
w tij 3
1
3
4if
aj
18 Ixx
w tij 3
1
3
1if
aj
4 otherwise
n 1=if
aj
14.3 Ixx
w tij 3 n
4
1
3
114.3 Ixx
w tij 3 n
4
1
3
4if
aj
114.3 Ixx
w tij 3 n
4
1
3
1if
aj
4 otherwise
otherwise
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158
Momento de inércia mínimo enrijecedores longitudinais
Long_Stiffener_Inj aj "Inércia OK" Ixx 0.125 kj 3 w tij 3if
aj "Rever Inércia" otherwise
Tensão Nominal da mesa comprimida - flexão negativa (item 6.11.8.2)
Fcbj aj Fy Λjw
tij
0.57 kjE
Fy Λjif
aj Fy Λj Λj 0.3
w
tij
0.57 kjE
Fy Λj
0.95 kjE
Fy 0.57 kj
E
Fy Λj
0.57 kjE
Fy Λj
w
tij
0.95 kjE
Fyif
aj
0.9 E kj
w
tiT
j
2 otherwise
Resistência à flambagem por compressãoaxial das mesas. Dependente doscoeficientes de redução de torção de St.Venant (item 6.11.8.2).
Fcvj 0.58 Fyw
tij
1.12 ksjE
Fyif
0.65 Fy E ksj
w
tij
1.12 ksjE
Fy
w
tij
1.4 ksjE
Fyif
0.9 E ksj
w
tij
2otherwise
Resistência à flambagem por cisalhamentodas mesas. Dependente dos coeficientesflambagem dos enrijecedores longitudinais(ks) (item 6.11.8.2).
Resistência à Compressão Limite da Mesa Inferior doPerfil sob Flexão negativa (item 6.11.8.2) Fncj Fcbj 1
fccj
Fcvj
2
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159
VERIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS CORTANTES (item 6.10.9)
Coeficiente de flambagem por cisalhamento Razão entre a Resistência à Flambagem por Cisalhamento e a Resistência aoEscoamento por Cisalhamento (Csb)
ka q( )
ai 55
q sin θ( )
hi
2
i 0 length d( ) 1for
a
Csb q( )
ai 1hi
twi sin θ( )1.12
E ka q( )i
Fyif
ai1.12
hi
twi sin θ( )
E ka q( )i
Fy
1.12E ka q( )i
Fy
hi
twi sin θ( ) 1.4
E ka q( )i
Fyif
ai1.57
hi
twi sin θ( )
2
E ka q( )i
Fy
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Função de d0 - espaçamentoentre enrijecedores transversais.
Função auxiliar que envolve Csb
Cs q( )
ai Csb q( )i
0.87 1 Csb q( )i
1d0 sin θ( )
hi
2
i 0 length d( ) 1for
a
Esforço Cortante Resistente. Se houver enrijecedores transversais (sel = 1) achapa pode desenvolver resistência pós-flambagemdevido à ação do campo de tensões; açãosemelhante às bielas tracionadas de uma treliça dePratt (AASHTO-LRFD:2012). Se não existirem enrijecedores transversais(otherwise), a resistência ao cisalhamento é dadapela resistência plástica da alma submetida à
tensão de Fyw/(3)1/2 e não pela ação do campo detensões. (item 6.10.9.2)
Esforço Cortante Resistente (item 6.10.9.2)
Vnj
aj 0.58 Fyhj
sin θ( ) twj Cs d0( )j
2hj
sin θ( ) twj
bsj tsj bij tij
2.5if
aj 0.58 Fyhj
sin θ( ) twj Csb d0( )j
0.87 1 Csb d0( )j
1d0 sin θ( )
hj
2
d0 sin θ( )
hj
otherwise
sel 1=if
aj 0.58 Fyhj
sin θ( ) twj Csb 10
10cm j
otherwise
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160
CONECTORES DE CISALHAMENTO
Estado Limite de Fadiga - item 6.10.10.2
OBS - os conectores de cisalhamento devem penetrar no mínimo 5cmna laje de concreto.
Vetor de número de aduelas
z 0 length d( ) 2
Dshear
5cm
hs
4
"Dimensões Stud OK"
hs 5cm 4hs
ϕif
"Rever dimensões" otherwise
Número de ciclos - Fadiga (item 6.6.1.2.5)
Ns
ai
365 75 1 ADTT 1 i length d( ) 3( )if
ai
365 75 1.5 ADTT otherwise
Ι 12mif
ai
365 75 1 ADTT otherwise
i zfor
a
OBS - próximo aosapoios, para vãos maioresque 12m, o fator demultiplicação é 1,5 (item6.6.1.2.5). Isto significadiminuir a capacidade àfadiga dos conectorespróximos aos apoios.
Fator - item 6.10.10.2-3 - SistemaInternacional
α 238 29.5 log Ns( )
OBS - ADTT é o número médio de caminhões por dia em uma direçãodurante a vida da obra. Para as cargas provenientes das normas brasileiras,considera-se ADTT ~ 2000, o que corresponde a uma resistência à fadiga deaproximadamente 0,936tf por conector. Essa resistência é menor que o valorde Cut-Off de 1,032tf proposto pelo Eurocode 3: Design of steel structure -Part 1-9: Fatigue.
Resistência de corte a fadiga de 1 conector (item 6.10.10.2)
Zrz
max αz
ϕ2
MPa 19ϕ2 MPa
Momento Estático Seção Curta Duração
Qest
Qi
bc tc
ncurtad( )
i 1 LNCi 1
tc
2 i length d( ) 4( )if
Qi
bc tc
ncurtad( )
i 1 LNCi 1
tc
2 i length d( ) 4( )=if
Qi
bc tc
ncurtad( )
i 1 LNCi 1
tc
2 otherwise
i 0 length d( ) 2for
Q
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161
Momento estático da laje de concreto em relação aoCG de curta duração.
Momento de Inércia das n-1 Seções para Verificação dos Stud Bolts
ICstudz
Tz
ICz 1 z length d( ) 4( )if
Tz
ICz 1 z length d( ) 4( )=if
Tz
ICz 1 otherwise
Fluxo de cisalhamento por flexão para combinações de fadiga
OBS - a divisão por 2 pois são 2 almas.Divide-se o fluxo para cada alma.Vsr
z
Vfz
Qestz
2 ICstudz
Área do contorno médio das n-1 Seções para Torção de St Venant
Ac_Venantz
Tz
Acz 1 z length d( ) 4( )if
Tz
Acz 1 z length d( ) 4( )=if
Tz
Acz 1 otherwise
Fluxo Cisalhamento por torção de St Venant para combinações de fadiga
OBS - a divisão por 2 pois são 2 almas.Divide-se o fluxo para cada alma.Vst
z1
2
Tfz
2 Ac_Venantz
Fluxo Cisalhamento Resultante
Soma vetorial dos fluxos decisalhamento de flexão e deSt. Venant
Resultantez
Vsrz 2 Vst
z 2
Espaçamento requerido para os Conectores (Stud Bolts)
p
ai
Ν Zri
Resultantei
6 ϕΝ Zr
i
Resultantei
60cmif
ai
6 ϕΝ Zr
i
Resultantei
6 ϕif
ai
60cm otherwise
i zfor
a
pmin 6 ϕ Espaçamento mínimo entre conectores
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162
Função que calcula o nº de Studs para cada Aduela
Studs Vlength d( ) 2
0
Total 0
Total Total trunc
Ι
length d( ) 1
pi
1
Ν
Vi trunc
Ι
length d( ) 1
pi
1
Ν
i zfor
Total
V
Estado Limite Último - item 6.10.10.4 - AASHTO-LRFD:2012
OBS - O Estado Limite Último para os conectoresde cisalhamento funciona como um balizador, pois geralmenteo Estado Limite de Fadiga define um número maior deconectores.
Módulo de elasticidade do concreto (NBR 6118:2003)
Ec 0.85 5600 fck MPa
OBS - Emprega-se o módulo de elasticidade preconizado pela Normabrasileira (mais conservadora). A diferença entre as duas é de 0,4%.
Resistência nominal de um Stud ao cortante em ELU (item 6.10.10.4.3)
Qn min 0.5π ϕ
2
4
fck Ec
π ϕ2
4
Fu
Qr 0.85Qn
Força Cortante Horizontal Nominal (item 6.10.10.4.2)
P min 0.85 fck bc tc Area Fy( ) menor valor entre resistênciasplásticas do concreto e do aço
Número de Studs em ELU
numP
Qr
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163
Propriedades geométricas do caixão de aço para cada seção
Área Momento estático em x Momento estático em y
Area
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1220.122
0.122
0.129
0.129
0.129
0.129
0.129
0.122
0.122
0.122
m2
Sx
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0520.052
0.052
0.048
0.048
0.048
0.048
0.048
0.052
0.052
0.052
m3
Sy
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
m3
Momento de inércia em x Momento de inércia em y Produto de inércia xy
Ix
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.050040.05004
0.05004
0.04644
0.04644
0.04644
0.04644
0.04644
0.05004
0.05004
0.05004
m4
Iy
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.134060.13406
0.13406
0.12688
0.12688
0.12688
0.12688
0.12688
0.13406
0.13406
0.13406
m4
Ixy
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
m4
Posição do CG em x Posição do CG em y
xcg
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cm ycg
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42.72442.724
42.724
37.386
37.386
37.386
37.386
37.386
42.724
42.724
42.724
cm
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
164
Propriedades geométricas da seção mista para cada seçãoLinha Neutra de curta duração Linha Neutra de longa duração
LNC
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
102.072102.072
102.072
99.172
99.172
99.172
99.172
99.172
102.072
102.072
102.072
cm LNL
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
77.94177.941
77.941
73.569
73.569
73.569
73.569
73.569
77.941
77.941
77.941
cm
Momento de inércia de curta duração Momento de inércia de longa duração
IC
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.094580.09458
0.09458
0.10573
0.10573
0.10573
0.10573
0.10573
0.09458
0.09458
0.09458
m4
IL
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.067050.06705
0.06705
0.07338
0.07338
0.07338
0.07338
0.07338
0.06705
0.06705
0.06705
m4
Posição CG e momento de inércia seção mista na região de flexão negativa
Ym
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42.72442.724
42.724
37.386
37.386
37.386
37.386
37.386
42.724
45.267
47.683
cm Ixm
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.027710.02771
0.02771
0.02848
0.02848
0.02848
0.02848
0.02848
0.02771
0.0308
0.03374
m4
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
165
ANEXO B Verificação de Tensões para ELS em Estruturas Mistas Protendidas
Descritivo:
O anexo apresenta a entrada de dados com os esforços das combinações frequentes de ações
para o tempo infinito e esforços das cargas permanentes para o tempo inicial.
O cálculo é realizado somente para um vão do viaduto (25m), sendo simétrico para o outro.
O vão do viaduto é dividido em 11 seções (contando os extremos), representados por vetores
com esse tamanho, sendo que o cálculo é efetuado para cada seção.
Os vetores de esforços apresentados são montados a partir dos resultados de análise do
modelo em STRAP 2013.
Comparam-se as tensões das cargas para tempos inicial e infinito com as tensões limites de
compressão da laje tensões de compressão e tração da seção caixão de aço.
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166
1) Controle de Tensões - Protensão tempo infinito (ProtensãoLimitada)
Momentos Fletores - Cargas permanentes g1+g2OBS:
qg1_g2 0 139 233 286 303 283 225 131 1 173 390( )T
tf m1tf 10 kNMomentos Fletores - Cargas permanente g3 + retração
qg3 400 408 444 408 351 273 174 53 140 304 490( )T
tf m Protensão Aplicada:
Momentos Fletores - Cargas variáveis (Móveis) 0.5Q Ptotal 1275tf
qv 0 86 145 183 199 195 171 129 90 120 185( )T
tf m
Momentos Fletores - Protensão
qprot 0 140 279 418 557 697 399 103 193 490 786( )T
tf m
Esforço Axial - Protensão
protende 1275 1275 1275 1275 1275 1275 1275 1275 1275 1275 1275( )T
tf
Tensões de controle - Protensão tempo infinito Tensões Admissíveis
Aço Mesa Superior Perfil
Fy 345 MPaFnc_inf 290.889 MPa
σs_infj
qg1_g2j
Wsj
qg3j
WSLj
qvj
WSCj
0.85 protendej
Alongaj
0.85 qprotj
WSLj
Laje
Mesa Inferior Perfil
fctm 0.3 fck
2
3 MPa
1
3
σi_infj
qg1_g2j
Wij
qg3j
WILj
qvj
WICj
0.85 protendej
Alongaj
0.85 qprotj
WILj
fctkinf 0.7fctm
σctinf 1.5 fctkinf 3.68 MPaLaje σccinf 0.7 fck 28 MPa
σlaje_infj
qg3j
WCLj
qvj
WCCj
0.85 qprotj
WCLj
0.85 protendej
Alongaj nlonga (+) - tração
(-) - compressão
σs_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-79.123-112.549
-134.725
-142.324
-136.489
-118.143
-110.607
-90.773
-53.554
-10.573
47.052
MPa σi_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-7.53110.276
21.585
7.583
-6.244
-28.995
-23.392
-26.579
-61.102
-80.574
-113.417
MPa σlaje_inf
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4.506-4.54
-4.535
-3.901
-3.179
-2.228
-2.802
-3.15
-2.092
-2.32
-2.206
MPa
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
167
Onde
Áreas da seção mista de curta e longa duração a partir da homogeneização da laje com as relações
entre módulos de elasticidade do aço e concreto (ncurta e nlonga).
2) Controle de Tensões - Protensão tempo inicial (ProtensãoLimitada)
Tensões de controle - Protensão tempo inicial Tensões Admissíveis
Aço Mesa Superior Perfil
Fy 345 MPaFnc_inicial 290.889 MPa
σs_t0j
qg1_g2j
Wsj
qg3j
WSLj
protendej
Alongaj
qprotj
WSLj
Laje
fckj 0.75 fckMesa Inferior Perfil
σi_t0j
qg1_g2j
Wij
qg3j
WILj
protendej
Alongaj
qprotj
WILj
fctmj 0.3 fckj
2
3 MPa
1
3
fctkinfj 0.7fctmjLaje
σct_inicial 1.5 fctkinfj 3.04 MPa
σlaje_t0j
qg3j
WCLj
qprotj
WCLj
protendej
Alongaj nlonga σcc_inicial 0.7 fckj 21 MPa
σs_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-88.658-119.136
-138.886
-144.001
-136.532
-116.936
-112.701
-96.503
-66.611
-26.994
26.615
MPa σi_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-17.066-10.982
-8.464
-25.118
-42.536
-67.018
-54.681
-49.477
-57.558
-68.614
-89.28
MPa σlaje_t0
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4.96-4.322
-3.825
-2.889
-1.968
-0.943
-1.879
-2.701
-3.283
-3.926
-4.458
MPa
Acurtaj Areajbc tc
ncurta
Alongaj Areajbc tc
nlonga
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
168
ANEXO C Perdas de Protensão para Estruturas Mistas Protendidas
Descritivo:
O anexo apresenta a entrada de dados com os parâmetros de geometria, cálculo de perdas por
atrito, perdas por recuo de ancoragem, perdas por deformação imediata da seção e perdas
progressivas.
O cálculo é realizado somente para um vão do viaduto (25m), sendo simétrico para o outro.
O vão do viaduto é dividido em 11 seções (contando os extremos), representados por vetores
com esse tamanho, sendo que o cálculo é efetuado para cada seção.
O cálculo das perdas por recuo de ancoragem é feito de modo iterativo a partir das perdas de
atrito e do recuo de ancoragem fixado pelo fabricante. Usa-se o método da bissecção para
encontrar o ponto de recuo nulo, ou seja, o ponto no cabo onde os efeitos do recuo de
ancoragem cessam.
O cálculo das perdas por retração é auxiliado pelo método dos trabalhos virtuais, a partir da
força de retração aplicada pela laje sobre a seção mista.
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
169
A) Dados geom. B) Dados do perfil
Vão Altura total do perfilΙ 25m
d 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120( )T cmBalanço
Espessura da almab 2.2m
Altura Laje tw3
4
3
4
3
4
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
3
4
3
4
3
4
Tin
tc 26cmLargura da Mesa Superior
Resist. Concretofck 40MPa bs 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40( )T cm
Dist. entremesas Sup.
Espessura da mesa Superior
ts 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )T inLw 3m
Largura da mesa inferiorLargura da LajeSlab 720cm bi 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220( )T cm
Espessura da mesa inferiorC) Prop. Açoti 1 1 1 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1 1 1( )T inTensão Escoam.
Fy 345MPa Inclinação da alma em relação à horizontalθ 0.4061πMódulo Young
Cabo_ParabólicoCheck Box
E 200GPa
Coordenadas cabos
x 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500( )T cm
y 0 13.55 27.15 40.75 54.35 68 47.5 27.05 6.6 13.85 34.3( )T cm
Coef. de Atrito (1/rad) Agregado Concreto
μCabo-ConcretoBarras/Fios c/ Mossas-BainhaFios lisos/cord.-BainhaFios lisos/cord.-Bainha Lubrif.Cordoalha engraxada
Agregado
Basalto/DiabásioGranito/GnaisseCalcárioArenito
Força Cabo (t0) Nº de Etapasde Protensão
Módulo Elasticidade Protensão
P0 319tf Ep 200GPan 2 Tu aço protensão
Atrito Parasita Nº de cabos Área cabofptk 190
kN
cm2
Μ 4
λ 0.007rad
m Ap 2100mm
2Recuo Ancoragem
β 5mm
Parâmetros para Perda de Longa Duração
Retração Umidade relativa do Ar
ε1s 0.0005 coef. tabelado - item A.2.3.2 NBR 6118 Ur 70%
Solicitações de Flexão (peso próprio g1+g2+g3)
Mg 480 682 796 888 843 719 517 238 175 619 1146( )T tf m
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170
CÁLCULOS Área da Lje de Concreto
Perímetro
Nós para determinação das propriedades geométricas
j 1 length x( )Area_Conc tc Slab
2 Cabo_Parabólico 1if
1 otherwise
tc Slab( ) 2
Noeuds k( )
0
bik
2
bik
2
dk
tan ( )
bik
2
dk
tan ( ) bs
k
bik
2
dk
tan ( ) bs
k
bik
2
tik
tan ( )
twk
sin ( )
dk
tsk
tik
tan ( )
bik
2
tik
tan ( )
twk
sin ( )
bik
2
tik
tan ( )
twk
sin ( )
bik
2
tik
tan ( )
twk
sin ( )
dk
tsk
tik
tan ( )
bik
2
dk
tan ( ) bs
k
bik
2
dk
tan ( ) bs
k
bik
2
dk
tan ( )
bik
2
0
0
0
dk
dk
dk
tsk
dk
tsk
tik
tik
dk
tsk
dk
tsk
dk
dk
0
0
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
171
Cálculo da área da seção transversal
Area k( ) a 0
a a 0.5 Noeuds k( )i 1 Noeuds k( )
i 1 1 Noeuds k( )i 1 2 Noeuds k( )
i 2
i 1 rows Noeuds k( )( ) 1for
a
Propriedades da Seção Mista
bc 2 minΙ
86 tc
bs
4 b
Lw largura da laje efetiva para 1 caixão
Relação entre Módulos de Elasticidade
ncurta 10 16MPa fck 20MPaif
9 20MPa fck 25MPaif
8 25MPa fck 32MPaif
7 32MPa fck 41MPaif
6 otherwise
nlonga 3 ncurta
Área da Seção Mista - perdas imediatas
Aire j( ) Area j( )Slab
nlongatc
PERDAS DE CURTA DURAÇÃO
1) Perdas por Atrito
Ângulos Perdas de atrito em cada seção
angulo
ai
0 i 1=if
ai
atanΠ y
iyi 1
xi 1 x
i
otherwise
i 1 length x( )for
bi
0 i 1=if
bi
0 ai
ai 1 10
2if
bi
ai
ai 1 otherwise
i length x( ) i 1if
bi
2 ai
otherwise
i 1 length x( )for
b
ΔPj
P0 1 e
μ
1
j
k
angulok
λ xj
j 1if
0 otherwise
Protensão-Atrito para cada seção
Pfj
P0 ΔPj
Pfg
ai
Pfi
i 1 length x( )for
a
Esforço Médio (Alongamento)
Alongamento do cabo
Pmed1
length x( )
k
Pfk
length x( ) ΔL
Pmed max x( ) min x( )( )
Ep Ap Δ
ΔL
max x( ) min x( )( )
Porcentagem de perdas
Taxaj
ΔPj
100 %
P0
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172
2) Perdas por Recuo de Ancoragem
Equação para Ponto de Recuo Zero
OBS - o zero desta função localiza o ponto dentro da viga em que o recuo por encunhamento cessa.
Método da Bissecção para a Solução Iterativa
Pcab t( ) a 0 t 0 t max x( )if
index i 1 t xi
if
index i otherwise
break t xi
if
i 1 length x( )for
a P0 1 e
1
index
k
angulok
t
otherwise
a
função t( ) t Pcab t( ) Ap Ep
0 10 202 10
6
1 106
0
1 106
2 106
função t( )
t
Bissecção m n( ) m
n
iter 0
2
teste
2
iter iter 1
função ( ) função ( ) 0if
iter 0if
teste otherwise
otherwise
iter 30while
função ( ) função ( ) 0if
"Intervalo não contém solução" otherwise
____
Perd
3) P
Encu
Perd
Perd
raiz
Recu
Lpm
j
Taxa
___________Análise de P
das - Recuo
erdas por d
urtamento m
da média par
das desconta
Bissecção (
uo
ai
ifor
ale
fo
a
fo
a
otherw
mn n (
2
Lpm
max x( ) (
P0 Pj
P0 Pj
a_Finalj
____________Pontes em Est
eformação
médio para ca
ra cada cabo
ados atrito, re
0.01cm max x((
"Indeterm."
1 length x(
ength x( )0
index i
index i o
break raif
i 1 lengtor
aj
2 Pcab
j 1 indeor
wise
1)
1
length x( )
i
m
min x( ))Ep A
raiif
jRecuo
j
100% Pj
P0
100% PjP
____________truturas Mista
imediata da
abo cabo
o
ecuo e def. i
x))
x) raiz "if
1 raiz xif
otherwise
aiz xi
th x( )
b raiz( ) 2P
ex
11
Exi 1
Ap
iz "Intervalo
otherw
raizif
Recuoj
P0
____________as de Aço-Con
a viga
mediata
Intervalo não
xi
Pj
For
ça d
e P
rote
nsão
(tf
)
xi
2 P0
Aire i (
o não contém s
wise
z "Intervalo
otherwise
___________ncreto de Seçã
contém soluçã
00
100
200
300
P
Recuo
Pfg
1 )
2 P0 y
ILi
solução"
não contém so
____________ão Caixão com
ão"
5 1
Perdas Atri
Absc
x
yi 1
1y
i 1
olução"
____________m Protensão E
0 15
ito+Recuo
cissa
x
Mgi 1
ILi 1
__________ Externa
173
20
yi 1
1
3
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
174
4) Método dos Trabalhos Virtuais (Perdas de retração)
Inércia Média das Seções (Longa Duração)
Área de Longa Duração Média das Seções
δ10 - deslocamento no cabo provocado pela carga externa de retração
δ11 - deslocamento no cabo provocado por força unitária aplicada no cabo
M1(x) - momento fletor para força unitária no cabo entre 0<x<12,5m
M11(x) - momento fletor para força unitária no cabo entre 12,5<x<25m
M2(x) = 400tf.m - 25.3tf.x M22(x) = 450tf.m - 25.3tf.x
M2(x) - momento fletor para carga de retração para 0<x<5m e para 20m<x<25m
M22(x) - momento fletor para carga de retração para 5m<x<20m
Perda de Protensão por Retração (Método dos Trabalhos Virtuais)
tf OBS - Considera-se que o ponto de inflexão sobre apoio central tem deslocamento nulo.
Inertia0
10
i
ILi
11 Alongas
0
10
i
Alongai
11
M1 x( ) 0.043 tf x M11 x( ) 0.092tf x 1.69tf m
10 2
0
5m
xM1 x( ) M2 x( )
E Inertia
d
5m
12.5m
xM1 x( ) M22 x( )
E Inertia
d
12.5m
20m
xM11 x( ) M22 x( )
E Inertia
d
20m
25m
xM11 x( ) M2 x( )
E Inertia
d
2
0
25m
x1000tf 1 tf( )
E Alongas
d
11 2
0
12.5m
xM1 x( ) M1 x( )
E Inertia
d
12.5m
25m
xM11 x( ) M11 x( )
E Inertia
d
2
0
25m
x1tf 1 tf( )
Ep Ap
d
2
0
25m
x1tf 1 tf( )
E Alongas
d
ret10
11 ret 33.441
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
175
5) Perdas por Relaxação do Aço
Tabela 8.3 NBR 6118:2003 - Interpolação Relaxação Aço de Protensão
Perda Relaxação do Aço + Perda por Retração
Perda Final - Imediatas+Progressivas
Perda Média Final
p0
Ap
u
0.5
0.6
0.7
0.8
fptk v
0
1.3
2.5
3.5
%
1 109 1.2 10
9 1.4 109
0
0.01
0.02
0.03
Aço CP 190RB
Relação de tensões (kN/cm2)
Def
orm
ação
- e
nsai
o de
100
0h (
%)
v
u
1000h linterp u v p0( )
inf 2.5 1000h
inf ln 1 inf( )
p 1 inf
Plongj
infjp0
j Ap ret
j
p0j
fptk0.5if
retj
otherwise
Fim_Taxaj
"Rever Recuo" raiz "Intervalo não contém solução"if
100% Pj
Recuoj
Plongj
P0otherwise
media_final1
length Fim_Taxa( )
i
Fim_Taxai
length Fim_Taxa( )
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176
Taxa de Perdas (Atrito) Taxa Perdas (Recuo)Perdas Def. Imediata
Δτ 0.782 tf
OBS - a protensão foi aplicadaem 2 etapas (2 cabos de cadavez). Portanto os 2 primeiroscabos sofrem a perda de0.782tf. Finalmente, Δτ édividida igualmente entre os 4cabos.
Taxa
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
00.17
0.35
0.52
0.7
1.94
2.12
2.29
2.46
2.63
4.37
% Taxa_Recuo
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5.475.12
4.77
4.42
4.08
1.58
1.24
0.9
0.55
0.21
0
%
Perdas Imediatas +Progressivas
Perdas Progressivas
Fim_Taxa
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
15.515.37
15.24
15.11
14.99
14.07
13.95
13.83
13.7
13.58
14.69
%ΔPlong
P0
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.789.83
9.87
9.92
9.97
10.3
10.35
10.4
10.44
10.49
10.07
%
Perdas Médias Finais
Δmedia_final 14.5 %
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
177
ANEXO D Verificação de Flexão em ELU para Estruturas Mistas Protendidas
Descritivo:
O anexo apresenta a entrada de dados com os parâmetros de geometria, para os quais se usa o
método de Green para calcular as propriedades geométricas da seção.
O cálculo é realizado somente para um vão do viaduto (25m), sendo simétrico para o outro.
O vão do viaduto é dividido em 11 seções (contando os extremos), representados por vetores
com esse tamanho, sendo que o cálculo é efetuado para cada seção.
Os momentos de inércia e momentos estáticos apresentados são calculados em relação à linha
neutra elástica da seção, provenientes das deduções de equilíbrio de forças horizontais e
momentos fletores, conforme visto nesse trabalho.
O método dos trabalhos virtuais é utilizado para determinar o incremento de força nos cabos
devido a um momento fletor unitário negativo sobre o apoio. O cabo de protensão está
submetido à força aplicada no ato de protensão (descontadas as perdas) e a esse incremento de
força, quando da atuação de um momento fletor negativo. Com esse resultado é possível
montar as equações de equilíbrio horizontais e de momentos fletores, que são
interdependentes, e encontrar a solução pelo método da bissecção.
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178
A) Dados geom. B) Dados do perfil D) Armadura Negativa
Altura do Perfil de açoArmadura Negativa - 1º Camada
Ι 25md 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120( )T cm
Aneg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32.16 64.32( )T cmBalanço Espessura da alma
b 3m Armadura Negativa - 2º Camada
Altura Laje tw3
4
3
4
3
4
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
3
4
3
4
3
4
Tin Aneg2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )T cm
2
tc 26cm Cobrimento - 1º e 2º CamadasLargura da mesa superior
Resist. Concretocob 4 6( )T cm
fck 40MPa bs 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40( )T cm
Dist. entre Topo Almas Espessura mesa superior E) ContinuidadeLw 3m
ts 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )T in Ponte_ContínuaCheck Box
Largura mesa inferiorC) Propriedades Açobi 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220( )T cmTensão Escoamento
Fy 345MPa Espessura mesa inferiorOBS - para as regiões de momento fletor positivo,não seria necessário inserir a força de protensão(Proten), já que o equilíbrio em ELU é feito com suaforça de ruptura em equilíbrio plástico, nãodependendo da força de protensão.
Módulo Elasticidade ti 1 1 1 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1 1 1( )T inE 200GPa
Ângulo entre Alma e Horizontal
θ 0.4061πF) Protensão
Força de Protensão em cada seção (descontadas as perdas)
Proten 1 1090 1090 1090 1090 1090 1090 1090 1090 1090 1090 1090( )T tf
Excentricidade a partir do topo da laje
ep 70 83.6 97.2 110.8 124.35 138 117.5 97 76.6 56.2 35.75( )T cm
Módulo Elasticidade ProtensãoTensão de Ruptura -Cordoalha RB-190Ep 200GPa
Área de Protensãofptk 190
kN
cm2
Ap 8400mm
2
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
179
Cálculo das Forças Plásticas - Flexão Positiva
Resultante Plástica Mesa Superior Resultante Plástica Mesa Inferior Resultante Plástica Alma Resultante plástica da lajePs 0.85 fck bc tc
Pt
ai
Fy tii
bii
i 0 length d( ) 1for
a
Pw
ai
2Fyh
i
sin θ( ) tw
i
i 0 length d( ) 1for
a
Pc
ai
2Fy bsi
tsi
i 0 length d( ) 1for
a
Parcela de Compressão do AçoCad 0.5 Pc Pw Pt Prot Ps( )
Posição da Linha Neutra Plástica (a partir do topo da seção dos elementos)
LNP
ai
hi
2
Pti
Pci
Ps Proti
Pwi
1
Cad
iPc
iif
ai
tsi
2
Pwi
Pti
Ps Proti
Pci
1
otherwise
Pti
Pwi
Pci
Proti
Psif
ai
tcPc
iPw
i Pt
i Prot
i
Ps
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
LNP_Pos
ai
"LNP na alma" Cadi
Pci
if
ai
"LNP na mesa superior" otherwise
Pti
Pwi
Pci
Proti
Psif
ai
"LNP na laje de concreto" otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Braços de alavanca - soma dos momentos em torno da LN
braço laje braço almadw
ai
hi
2ts
i LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na mesa superior"=if
ai
hi
2ts
i tc LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na laje de concreto"=if
ai
LNPi
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
ds
ai
tc
2ts
i LNP
i
LNP_Posi
"LNP na alma"=if
ai
tc
2LNP
i
LNP_Posi
"LNP na mesa superior"=if
ai
LNPi
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
180
braço mesa superior braço mesa inferior
dc
ai
tsi
2LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na alma"=if
ai
tsi
2tc LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na laje de concreto"=if
ai
LNPi
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
ddt
ai
tii
2h
i LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na alma"=if
ai
tii
2h
i ts
i LNP
i
LNP_Pos
i"LNP na mesa superior"=if
ai
tii
2h
i ts
i tc LNP
i
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
braço protensão
dp
ai
epi
tc tsi
LNPi
LNP_Posi
"LNP na alma"=if
ai
epi
tc LNPi
LNP_Posi
"LNP na mesa superior"=if
ai
epi
LNPi
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Momento de Plastificação - Flexão Positiva
MP
ai
Pwi
2 hi
dw
i 2 hi
dwi
2 Ps dsi
Pci
dci
Pti
ddti
Ap fptk dpi
LNP_Posi
"LNP na alma"=if
ai
Pci
2 tsi
dc
i 2 tsi
dci
2 Ps dsi
Pwi
dwi
Pti
ddti
Ap fptk dpi
LNP_Posi
"LNP na mesa superior"=if
ai
dsi 2 Ps
2 tc
Pc
idc
i Pw
idw
i Pt
iddt
i Ap fptk dp
i otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
OBS - os demais cálculos para o Momento Fletor Positivo Nominal são idênticosaos cálculos apresentados no Anexo A para estruturas mistas não protendidas.
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
181
Nós para cálculos - Estrutura Mista Protendida - Método de Green (Tração e Compressão)
Τ k LN( )
bik
2LN
tan θ( )
0
bik
2
dk
tan θ( )
dk
LN
bik
2
dk
tan θ( ) bs
k
dk
LN
bik
2
dk
tsk
tan θ( ) bs
k
dk
LN tsk
bik
2
dk
tsk
tan θ( )
twk
sin θ( )
dk
LN tsk
bik
2LN
tan θ( )
twk
sin θ( )
0
bik
2
LN
tan θ( )
twk
sin θ( )
0
bik
2
dk
tsk
tan θ( )
twk
sin θ( )
dk
LN tsk
bik
2
dk
tsk
tan θ( ) bs
k
dk
LN tsk
bik
2
dk
tan θ( ) bs
k
dk
LN
bik
2
dk
tan θ( )
dk
LN
bik
2
LN
tan θ( )
0
bik
2LN
tan θ( )
0
T
Ε k LN( )
bik
2LN
tan θ( )
0
bik
2
LN
bik
2
LN
bik
2LN
tan θ( )
0
bik
2
LN
tan θ( )
twk
sin θ( )
0
bik
2
tik
tan θ( )
twk
sin θ( )
LN tik
bik
2
tik
tan θ( )
twk
sin θ( )
LN tik
bik
2LN
tan θ( )
twk
sin θ( )
0
bik
2LN
tan θ( )
0
T
Momentos Estáticos em relação à LN
Sxcomp k LN( ) a 0
a a Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
Ε k LN( )i 0
Ε k LN( )i 1
Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
2
Ε k LN( )
i 1 0Ε k LN( )
i 0
Ε k LN( )i 1
2
Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
3
i 0 rows Ε k LN( )( ) 2for
a
Sxtrac k LN( ) a 0
a a Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
Τ k LN( )i 0
Τ k LN( )i 1
Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
2
Τ k LN( )
i 1 0Τ k LN( )
i 0
Τ k LN( )i 1
2
Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
3
i 0 rows Τ k LN( )( ) 2for
a
Momento de Inércia em relação à LN
Ixcomp k LN( ) a 0
a a Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
Ε k LN( )i 0
Ε k LN( )i 1
2Ε k LN( )
i 1 1Ε k LN( )
i 1 Ε k LN( )
i 1
Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
2
3
Ε k LN( )
i 1 0Ε k LN( )
i 0
Ε k LN( )i 1
2
2
2 Ε k LN( )i 1
Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
3
Ε k LN( )i 1 1
Ε k LN( )i 1
2
4
i 0 rows Ε k LN( )( ) 2for
a
Ixtrac k LN( ) a 0
a a Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
Τ k LN( )i 0
Τ k LN( )i 1
2Τ k LN( )
i 1 1Τ k LN( )
i 1 Τ k LN( )
i 1
Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
2
3
Τ k LN( )
i 1 0Τ k LN( )
i 0
Τ k LN( )i 1
2
2
2 Τ k LN( )i 1
Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
3
Τ k LN( )i 1 1
Τ k LN( )i 1
2
4
i 0 rows Τ k LN( )( ) 2for
a
________________________________________________________________________________________ Bruno Tasca de Linhares. Porto Alegre: PPGEC/EE/UFRGS, 2015
182
Método dos Trabalhos Virtuais (Método das Forças)
Inércia Média das Seções (Longa Duração) Área de Longa Duração Média das Seções
Deslocamento no cabo (apoio) provocado pela Carga Exterior (Momento Unitário no apoio central)
Deslocamento no cabo (apoio) provocado pela Unitária no cabo
Aumento da força no cabo de protensão por momento fletor negativo unitário na região do apoio
E - Módulo de Elasticidade do Aço Estrutural
Ep - Módulo de Elasticidade do Aço de Protensão
Inertia0
10
i
ILi
11 Alongas
0
10
i
Alongai
11
10 2
0
12.5m
x
0.043 tf x( ) 0.00665tf
mx2
0.126tf x
E Inertia
d
12.5m
25m
x
0.092tf x 1.69tf m( ) 0.00665tf
m x
2 0.126tf x
E Inertia
d
11 2
0
12.5m
x0.043 tf x( ) 0.043 tf x( )
E Inertia
d
12.5m
25m
x0.092tf x 1.69tf m( ) 0.092tf x 1.69tf m( )
E Inertia
d
2
0
25m
x1tf 1 tf( )
Ep Ap
d
2
0
25m
x1tf 1 tf( )
E Alongas
d
Fp10
11 Fp 0.01667
tf
tf m
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
183
1) ELU em Flexão Negativa - Tensão de Escoamento da Mesa Superior
Tensão de compressão na mesa inferior em função da posição da Linha Neutra (LN) Tensão Escoamentode Cálculo do Aço deProtensão
Tensão de Ruptura deCálculo do Aço deProtensãoσc k LN( )
LN
dk LNFy
fpyd0.9fptk
1.15 fpd
fptk
1.15
Momento Fletor na Região de Flexão Negativa para Tensão do Cabo inferior à suatensão de escoamento
Deformação deEscoamento de Cálculodo Aço de Protensão
εypfpyd
Ep
Md k LN( )
Fy
dk LNIxtrac k LN( )
σc k LN( )
LNIxcomp k LN( ) Protk dk tc epk LN
10.016673tf
tf mdk tc epk LN
Momento Fletor na Região de Flexão Negativa para Tensão do Cabo superior à sua tensão de escoamento
Mdescoa k LN( )
Fy
dk LNIxtrac k LN( )
σc k LN( )
LNIxcomp k LN( ) fpyd Ap
fpd fpyd
3.5% εyp
Protk
Epεyp Ap
dk tc epk LN
1fpd fpyd
3.5% εyp
0.016673tf
tf m
dk tc epk LN Ep
Somatório de Forças Horizontais - ELU com tração à tensão Fy na mesa superior
Fh1 k LN( )Fy
dk LNSxtrac k LN( ) Protk
0.016673tf
tf mMd k LN( )
σc k LN( )
LNSxcomp k LN( )
Protk0.016673tf
tf mMd k LN( )
fpyd Apif
Fy
dk LNSxtrac k LN( ) fpyd
fpd fpyd
3.5% εyp
Protk0.016673tf
tf mMdescoa k LN( )
Ep Apεyp
Ap
σc k LN( )
LNSxcomp k LN( )
otherwise
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184
2) ELU em Flexão Negativa - Tensão de Compressão Limite Mesa Inferior
Tensão de compressão na mesa inferior em função da posição da Linha Neutra (LN)
σt k LN( )d
kLN
LNFnc
k
Momento Fletor na Região de Flexão Negativa para Tensão do Cabo inferior à suatensão de escoamento
Mdd k LN( )
σt k LN( )
dk
LNIxtrac k LN( )
Fnck
LNIxcomp k LN( ) Prot
kd
ktc ep
k LN
10.016673tf
tf md
ktc ep
k LN
Momento Fletor na Região de Flexão Negativa para Tensão do Cabo superior à sua tensão de escoamento
Mddescoa k LN( )
σt k LN( )
dk
LNIxtrac k LN( )
Fnck
LNIxcomp k LN( ) fpyd Ap
fpd fpyd
3.5% εyp
Protk
Epεyp Ap
d
ktc ep
k LN
1fpd fpyd
3.5% εyp
0.016673tf
tf m
dk
tc epk
LN Ep
Somatório de Forças Horizontais - ELU com tensão de compressão Fnc na mesa inferior
Fh2 k LN( )σt k LN( )
dk
LNSxtrac k LN( ) Prot
k0.016673tf
tf mMdd k LN( )
Fnc
k
LNSxcomp k LN( )
Prot
k0.016673tf
tf mMdd k LN( )
fpyd Apif
σt k LN( )
dk
LNSxtrac k LN( ) fpyd
fpd fpyd
3.5% εyp
Protk
0.016673tf
tf mMddescoa k LN( )
Ep Apεyp
Ap
Fnck
LNSxcomp k LN( )
otherwise
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
185
Método da Bissecção para a Solução - ELU com Fy na mesa superior Método da Bissecção para a Solução - ELU com Fnc na mesa inferior
Bissecção m n k( ) α m
γ n
iter 0
βα γ
2
aux β
βα β
2
α α
iter iter 1
Fh1 k α( ) Fh1 k β( ) 0if
α β
β γ iter 0=if
aux otherwise
otherwise
α β 103cmwhile
α
Fh1 k α( ) Fh1 k γ( ) 0if
"Intervalo não contém solução" otherwise
Bisseção m n k( ) α m
γ n
iter 0
βα γ
2
aux β
βα β
2
α α
iter iter 1
Fh2 k α( ) Fh2 k β( ) 0if
α β
β γ iter 0=if
aux otherwise
otherwise
α β 103cmwhile
α
Fh2 k α( ) Fh2 k γ( ) 0if
"Intervalo não contém solução" otherwise
Linha Neutra - Bissecção Linha Neutra - BissecçãoLN_Prot
ai
Bissecção 5cm di
tsi
i Proti
0if
ai
0 otherwise
Mumaxi
0if
ai
0 otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
LN_Proten
ai
Bisseção 5cm di
20cm i Proti
0if
ai
0 otherwise
Mumaxi
0if
ai
0 otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
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186
Momento Fletor Negativo Resistente - ELU com Fnc na mesa inferior
Momento Fletor Negativo Resistente - ELU com Fy na mesa superior
OBS - Toma-se o menor momento fletor resistente entre as situações de escoamento da mesa superior e compressão excessiva da mesa inferior, submetidas à flexão negativa.
Momento Fletor Negativo Resistente Final - ELU
Momento Fletor Resistente Negativo em Módulo
0 0.5 16 10
8
4 108
2 108
0
2 108
Equilíbrio Horizontal Fh1
Fh1 10 t( )
t
0 0.5 11 10
8
0
1 108
2 108
3 108
Equilíbrio Horizontal Fh2
Fh2 10 t( )
t
Md_Protenj
Mdd j LN_Protenj
Protj
0.016673tf
tf mMdd j LN_Proten
j
fpyd Apif
Mddescoa j LN_Protenj
otherwise
LN_Protenj
0if
0 otherwise
Md_Protj
Md j LN_Protj
Protj
0.016673tf
tf mMd j LN_Prot
j
fpyd Apif
Mdescoa j LN_Protj
otherwise
LN_Protj
0if
0 otherwise
Md_Protensãoj
min Md_Protj
Md_Protenj
LN_Prot
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
58.984
59.028
59.071
cm LN_Proten
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
62.299
62.405
62.504
cm Md_Protensão
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
00
0
0
0
0
0
0
15957
18218
20506
kN m
________________________________________________________________________________________ Análise de Pontes em Estruturas Mistas de Aço-Concreto de Seção Caixão com Protensão Externa
187
Ângulo do cabo de protensão
angulo
ai
0 i 0=if
ai
atanep
iep
i 1
Ι
length d( ) 1
otherwise
i 0 length d( ) 1for
a
Esforço Cortante Reduzido pela Protensão
Vrj
Vuj
sin anguloj Proten
j
Vr
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20001038
498
398
250
706
879
1359
1844
2364
2711
kN Vu
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20001630
1090
990
840
1300
1770
2250
2730
3250
3600
kN
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