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Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Res

post

a pa

ra fu

nção

exp

onen

cial

com

sig

ma

mai

or e

men

or q

ue z

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A frequência complexa

A variável complexa s é dada por:

A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial:

A frequência complexa

A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Res

post

a pa

ra s

igm

a a

zero

A frequência complexa

A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-3

-2

-1

0

1

2

3

Res

post

a pa

ra s

igm

a m

aior

que

zer

o

A frequência complexa

A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-3

-2

-1

0

1

2

3

Res

post

a pa

ra s

igm

a m

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que

zer

o

A transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema

A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:

A transformada de Laplace

Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.

A transformada de Laplace

Propriedades da transformada de Laplace

Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a região de convergência para os sinais mostrados abaixo.

A transformada Inversa de Laplace

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Solução de equação diferencial usando Laplace

Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:

Solução de equação diferencial usando Laplace

Exercício E4.6 PÁGINA 337

Resposta do Sistema

A transformada de Laplace fornece a resposta total, componente da resposta devido à entrada nula e componente da resposta devido estado nulo.

Por exemplo, a equação diferencial abaixo ao ser resolvida utilizando a transformada de Laplace possui ambos os termos na resposta. A componente de entrada nula corresponde às condições iniciais.

Resposta do Sistema

termo devido as condições iniciais

termo devido À entrada

Resposta entrada nula Resposta de estado nulo

Função de transferência

A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada

Diagrama de blocos

Estabilidade

Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica:

1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.

Estabilidade

2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário.

3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário.

A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.

Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.

Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

2a lei de newton:

Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

2a lei de newton:

CX(t)

Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

Geradores de condições iniciais

A corrente no capacitor é dada pela equação abaixo:

A transformada de Laplace desta equação é:

Geradores de condições iniciais

A tensão no indutor é dada pela equação abaixo:

A transformada de Laplace desta equação é:

Geradores de condições iniciais

A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:

Geradores de condições iniciais

Diagrama de blocos

Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída

Diagrama de BlocosSistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação

A função de transferência em malha Fechada é modificada em relação à função de transferência em malha aberta. Diz-se, portanto, que tem-se agora os pólos em malha fechada.

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentaçãoConsidere o sistema abaixo. Os pólos de malha aberta são 0 e -20. Pode-se verificar que os pólos de malha fechada depende da constante Ka.

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação

Sistemas com realimentação

Análise de sistemas de controle

A figura acima representa um sistema de controle automático de posição

Análise de sistemas de controle

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle

Análise de sistemas de controle

O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.

Análise utilizando simulink

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle

O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.

Análise utilizando simulink

Análise utilizando simulink

Análise de sistemas de controle

O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.