Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplaceluisbm/sinais/aula05.pdf · Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a ... no SPD

Analise sistemas LCIT usando a Transformada de Laplace

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Res

post

a pa

ra fu

nção

exp

onen

cial

com

sig

ma

mai

or e

men

or q

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ero

A frequência complexa

A variável complexa s é dada por:

A Parte real ou frequência neperiana fornece informação a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da amplitude da função exponencial:


A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para a função exponencial:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Res

post

a pa

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igm

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zero



-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-3

-2

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0

1

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3

Res

post

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o



-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

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Res

post

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que

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A transformada de Laplace

A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a análise de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições iniciais do sistema

A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:


Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua transformada de laplace.


Propriedades da transformada de Laplace

Exercício E4.1: Através da integração, determine a transformada de Laplace X(s) e a região de convergência para os sinais mostrados abaixo.

A transformada Inversa de Laplace

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de:

Solução de equação diferencial usando Laplace

Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:

Solução de equação diferencial usando Laplace

Exercício E4.6 PÁGINA 337

Resposta do Sistema

A transformada de Laplace fornece a resposta total, componente da resposta devido à entrada nula e componente da resposta devido estado nulo.

Por exemplo, a equação diferencial abaixo ao ser resolvida utilizando a transformada de Laplace possui ambos os termos na resposta. A componente de entrada nula corresponde às condições iniciais.

Resposta do Sistema

termo devido as condições iniciais

termo devido À entrada

Resposta entrada nula Resposta de estado nulo

Função de transferência

A função de transferência de um sistema é definida como a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada

Diagrama de blocos

Estabilidade

Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em comum implica em dizer que o denominador de H(s) é idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a estabilidade assintótica:

1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os polos da função de transferência H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou repetidos.

Estabilidade

2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das condições existirem: (i)ao menos um polo da função de H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s) no eixo imaginário.

3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não repetidos estiverem no eixo imaginário.

A localização dos zeros de H(s) não são importantes na determinação da estabilidade do sistema.

Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo, transformando o circuito para o domínio da frequência, se todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e transformada inversa de Laplace.

Sistema massa-molaadotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

2a lei de newton:



Sistema massa-mola-amortecedoradotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático

2a lei de newton:

CX(t)



Geradores de condições iniciais

A corrente no capacitor é dada pela equação abaixo:

A transformada de Laplace desta equação é:


A tensão no indutor é dada pela equação abaixo:

A transformada de Laplace desta equação é:


A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor antes da abertura da chave é igual a:


Diagrama de blocos

Diagrama de blocos de um Sistema simples com uma entrada e uma saída

Diagrama de BlocosSistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo

Sistemas com realimentação


A função de transferência em malha Fechada é modificada em relação à função de transferência em malha aberta. Diz-se, portanto, que tem-se agora os pólos em malha fechada.


Sistemas com realimentaçãoConsidere o sistema abaixo. Os pólos de malha aberta são 0 e -20. Pode-se verificar que os pólos de malha fechada depende da constante Ka.






Análise de sistemas de controle

A figura acima representa um sistema de controle automático de posição


Análise utilizando simulink



O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta lenta, característica de um sistema superamortecido.




O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.




O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.

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