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Antenas e Propagação

Artur Andrade Mouraamoura@fe.up.pt

2Antenas Filiformes

• Equações de Maxwell e Relações Constitutivas– Forma diferencial no domínio do tempo

Lei de Faraday

Lei de Ampére

Lei de Gauss

Continuidade das linhas de força de B

Equações de Maxwell

Relações Constitutivas

ε - permitividade

µ - permeabilidade

3Antenas Filiformes– Notação fasorial para grandezas sinusoidais

(o mesmo para H)

Equações de Maxwell

Relações Constitutivas

Condutividade

Num meio linear, homogéneo e isotrópico ε, µ e σ são constantes.

4Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados– Normalmente é mais simples determinar os campos devidos às

fontes recorrendo a vectores potenciais• A – vector potencial magnético

• F – vector potencial eléctrico

5Antenas Filiformes– Vector potencial magnético A devido a uma fonte de corrente J

• Dado que

• E usando a identidade vectorial (válida para qualquer vector)

• Podemos definir o vector potencial magnético pela relação

• Substituindo na equação de Maxwell para o rotacional de E vem

• Da identidade vectorial (onde φe é um potencial eléctrico escalar arbitrário)

• Podemos escrever para o campo eléctrico

6Antenas Filiformes– Equação de onda

• Aplicando o operador rotacional à equação

e usando a identidade vectorial

temos

• Substituindo as relações seguintes em (1)

• Obtém-se

• Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz

• Obtemos finalmente

(1)

sendo

Equação de onda

7Antenas Filiformes– A equação de onda

é uma equação não homogénea que permite calcular o vector potencial A a partir do conhecimento da densidade de corrente Jda fonte

– Uma vez obtido A podem-se calcular os campos pelas relações seguintes

Obtém-se o campo magnético a partir de A

A partir do campo magnético obtém-se o campo eléctrico, supondo a densidade de corrente nula pois estamos interessados nos pontos do espaço fora da fonte

8Antenas Filiformes– A solução da equação de onda, para pontos do espaço fora da

fonte, pode ser feita por analogia com o caso estático (w = 0 e k= 0) mas multiplicando pelo factor e-jKr

– Para o caso da fonte estar na origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte

9Antenas Filiformes– Para o caso da fonte estar fora da origem das coordenadas o

integral a resolver é o seguinte

10Antenas Filiformes

• Dualidade• Se duas equações que descrevem o comportamento de duas grandezas

distintas têm a mesma forma matemática as suas soluções são idênticas; as grandezas que ocupam as mesmas posições nas duas equações são ditas grandezas duais assim como as equações

Grandezas Duais Equações Duais

11Antenas Filiformes

• Dipolo infinitesimal ou elementar(comprimento l << λ e raio a << λ)

– Esta antena constitui o elemento base para o estudo das antenas filiformes de qualquer comprimento

– Considerando a antena na origem dos sistema de coordenadas e orientada segundo o eixo dos zztemos

12Antenas Filiformes– Partindo do potencial vector magnético

– Considerando que a densidade de corrente pode ser substituída por uma corrente constante na direcção do eixo dos zz

– No passo seguinte obtém-se o campo magnético calculando o rotacional do vector potencial, pela relação

13Antenas Filiformes– A transformação de coordenadas rectangulares para esféricas é

– O rotacional em coordenadas esféricas terá apenas componente segundo φ que podemos obter pela expressão seguinte

00

14Antenas Filiformes– Do rotacional do potencial vector obtém-se o campo magnético

– Obtemos agora o campo eléctrico da equação de Maxwell

• considerando J = 0 pois estamos interessados no campo eléctrico em pontos do espaço fora da fonte

Impedância intrínseca de meio

15Antenas FiliformesAs expressões obtidas para os campos permitem distinguir três regiões espaciais em torno do dipolo elementar

• Região reactiva do campo próximo Kr << 1– No campo eléctrico dominam os termos proporcionais a 1/r3

Em fase entre si mas em quadratura com o campo magnético (a potência média associada é nula, daí o nome de região reactiva)

16Antenas Filiformes

• Região de radiação do campo próximo Kr > 1– No campo eléctrico o termo proporcional a 1/r3 é desprezável

Existe uma componente relevante do campo eléctrico (Er) segundo a direcção da propagação pelo que não temos ainda uma onda TEM

17Antenas Filiformes

• Região do campo distante Kr >> 1– No campo eléctrico domina o termo proporcional a 1/r

Esta é a região de interesse do ponto vista da radiação. Os campos eléctrico e magnético estão em fase, são perpendiculares entre si e estão num plano perpendicular à direcção radial da propagação, constituindo assim uma onda TEM (Transverse ElectroMagnetic).

A impedância de onda é igual à impedância intrínseca do meio.

No campo distante a onda electromagnética radiada comporta-se como uma onda plana.

Impedância de onda

18Antenas Filiformes

• Densidade de potência– É dada pelo vector de Poynting

– Com componentes segundo r e θ

19Antenas Filiformes

• Potência Média Total– A potência média total na direcção radial é dada por

– Podemos também escrever

Prad + jQ

20Antenas Filiformes

• Potência radiada– A parte real da potência média total é a potência média radiada

que normalmente designamos apenas por potência radiada Prad

• Potência reactiva Q– A parte imaginária da potência média total é a potência reactiva

Note-se que não depende de r, o que significa que terá sempre o mesmo valor qualquer que seja a esfera que se considera para integrar a densidade de potência. Isto significa que a densidade de potência W tem de diminuir proporcionalmente ao aumento da área da esfera de integração, isto é, W ~1/r2

Decresce rapidamente com a distância r, sendo desprezável no campo distante

21Antenas Filiformes

• Resistência de radiação do dipolo elementar– A partir da potência radiada pode-se definir a resistência de

radiação da seguinte forma

– Uma antena filiforme real pode ser aproximada pelo dipoloelementar se l << λ (usualmente considera-se l ≤ λ/50)

– Para l = λ/50 obtém-se uma resistência de radiação de 0,361 Ωo que significa uma desadaptação elevada quando estas antenas são alimentadas por linhas de 50 ou 75 Ω

120π

22Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação– A intensidade de radiação é dada por

– Cujo máximo ocorre para θ = 90º

Diagrama de radiação normalizado

Omnidireccional nos planos perpendiculares ao dipolo e tipo “figura de oito” nos planos que contêm o dipolo

23Antenas Filiformes

• Directividade– Aplicando a definição obtém-se para a directividade máxima do

dipolo elementar

• Área efectiva máxima

24Antenas Filiformes

• Dipolo pequeno ou electricamente curto(comprimento λ/50< l ≤ λ/10 e raio a << λ)

Distribuição de corrente linear com máximo na origem e nula nos extremos da antena

z’ = z e R ≈ r

25Antenas Filiformes– Calculando o potencial vector com a distribuição de corrente

triangular vem

– Como z’ = z e R ≈ r obtemos o resultado seguinte

Metade do valor do potencial vector do dipolo elementar

26Antenas Filiformes– Como o potencial vector do dipolo curto é metade do obtido para

o dipolo elementar então os campos radiados serão também metade

– Para o campo distante temos

– Como a intensidade de radiação é proporcional a Eθ2 então a

intensidade do dipolo curto será ¼ da do dipolo elementar– O mesmo para a densidade de potência

27Antenas Filiformes– Do mesmo modo se conclui que quer a potência radiada quer a

resistência de radiação do dipolo curto serão as do dipoloelementar multiplicadas por ¼

– A directividade e a área efectiva têm o mesmo valor do dipoloelementar

– O diagrama de radiação normalizado é igual para os dois dipolos (curto e elementar)

28Antenas Filiformes

• Dipolo de comprimento finito (Regiões envolventes)

• Região do campo distante

Para o campo distante podemos considerar R e r paralelos e tomar as seguintes aproximações

Nas amplitudesR ≈ rNas fasesR ≈ r – z’cosθ

29Antenas Filiformes

• Região do campo distante– As aproximações R ≈ r nas amplitudes e R ≈ r – z’cosθ nas

fases são válidas para r ≥ 2l2/λ• Garantem um erro de fase menor que π/8 rad

– Esta aproximação é estendida para outros tipos de antenas substituindo-se l pela maior dimensão da antena D

• Define-se região reactiva do campo próximo se

• Região de radiação do campo próximo se

Região do campo distante (Fraunhofer)

Região de Fresnel

30Antenas Filiformes

• Dipolo de comprimento finito– Distribuição de corrente na antena

Toma-se como analogia o que se passa numa linha de transmissão em circuito aberto e considera-se para a antena uma distribuição de corrente sinusoidal, com um máximo I0 e com nulos de corrente nos extremos.

Distribuição de corrente para vários valores de l

31Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados distantes• Considera-se o dipolo de comprimento finito constituído por dipolos

elementares de comprimento dz’.• Cada dipolo elementar colocado na sua coordenada z’ tem uma distribuição

de corrente constante e igual ao valor da distribuição de corrente I(z’) para essa coordenada.

• Recorrendo à sobreposição somam-se os campos distantes devidos a todos os dipolos elementares que constituem o dipolo finito. Esta soma é um integral onde se tomam as aproximações para o cálculo do campo distante, isto é, nas amplitudes R ≈ r e nas fases R ≈ r – z’cosθ

32Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados distantes• A resolução do integral anterior pode fazer-se recorrendo a

• O resultado obtido é

• E para o campo magnético vem

sendo

33Antenas Filiformes

• Densidade média de potência radiada

• Intensidade de radiação

34Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação

Para l ≤ λ não ocorrem lóbulos secundários

Plano vertical

35Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação– Para l ≥ λ teremos lóbulos secundários (na figura l = 1.25 λ)

Diagrama 3D

Plano vertical

36Antenas Filiformes

• Potência radiada

– A resolução deste integral exige manipulações matemáticas extensas obtendo-se

– Onde C = 0,5772 é a constante de Euler e os integrais Ci e Si aolado estão tabelados

37Antenas Filiformes

• Resistência de radiação, directividade e área efectiva

• Resistência de entradaDependendo do valor de l normalmente o valor da corrente de entrada será diferente do máximo I0 da distribuição de corrente; deve referir-se a resistência de entrada àcorrente de entrada I in

38Antenas Filiformes

• Dipolo de meio comprimento de onda• Utilizam-se as expressões para o dipolo de comprimento finito com l = λ/2

• Campos radiados distantes

• Densidade de radiação, intensidade de radiação

39Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação (normalizado)

Diagrama 3D

Omnidireccional nos planos perpendiculares à antena

Direcção de máximo θ = π/2

Largura de feixe a meia potência de 78º

40Antenas Filiformes

• Potência radiada

• Directividade e área efectiva

41Antenas Filiformes

• Resistência de radiação– Neste caso temos distribuição de corrente com I in = I0

• Impedância de entrada

– Normalmente para eliminar a parte imaginária de Zin reduz-se o comprimento físico l da antena para valores entre 0,47λ e 0,48λ, isto é, procura-se o valor de l correspondente à primeira ressonância onde Zin fica puramente real

42Antenas Filiformes

• Dipolo dobrado• Em certos casos práticos usam-se linhas de transmissão com impedâncias

características mais elevadas que 50 Ω ou 75 Ω (por ex. 300 Ω). Para promover a adaptação podem usar-se modificações do dipolo, sendo um exemplo o dipolo dobrado.

λ/2

s→ 0

Id Idd

Dipolo λ/2 DipoloDobrado

Com s muito pequeno podemos dizer que o campo distante radiado pelo dipolo dobrado é o dobro do dipolo de meio comprimento de onda, logo para as resistências de radiação teremos a relação

Se em vez de dois elementos usarmos N elementos próximos teremos

Rdd = 4Rd

Rdd = N2Rd

43Antenas Filiformes

• Dipolo situado acima de um plano condutor perfeito e infinito– Recorre-se à teoria das imagens considerando uma antena

virtual, a antena imagem, abaixo do plano condutor

A localização da antena imagem é tal que o campo produzido pela antena real, em qualquer ponto acima do plano condutor, pode ser obtido somando o campo directo proveniente da antena real com o campo proveniente da antena imagem

44Antenas Filiformes

• Dipolo elementar vertical a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito

Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r

Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ

Aproximações para cálculo do campo distante

Imagem

45Antenas Filiformes– Campo directo

– Campo reflectido (provem da antena imagem)

– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos

Coeficiente de reflexão vale 1

Factor do elemento EF(θ)

Factor de agrupamento

AF(θ)

46Antenas Filiformes– Intensidade de radiação (máxima em θ = π/2)

– Diagrama de radiação

Plano Vertical

O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ + 1

47Antenas Filiformes– Potência radiada, directividade e resistência de radiação

• Kh elevado então D0 e Rr ficam iguais às do dipolo isolado

• Kh = 0 então D0 e Rr são o dobro do dipolo isolado

• O máximo da directividadeocorre para h = 0,458λ

48Antenas Filiformes

• O monopolo– Antena vertical com l = λ/4, alimentada na sua base junto a um

plano condutor perfeito

Monopolo

DipoloEquivalente

Imagem

• Acima do plano xy as antenas produzem o mesmo campo, logo a intensidade de radiação e densidade de potência são iguais nesse semi-espaço

• A potência radiada pelo monopolo e a resistência de radiação são metade do dipolo isolado

• A directividade do monopolo é o dobro do dipolo isolado

• A impedãncia de entrada é metade da do dipolo isolado

49Antenas Filiformes

• Dipolo elementar horizontal a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito

Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r

Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ

Usam-se as mesmas aproximações para cálculo do campo distante

Supondo antena na direcção do eixo dos yy

Imagem

50Antenas Filiformes– Campo directo

– Campo reflectido (provem da antena imagem)

– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos

Coeficiente de reflexão vale -1

EF(θ) AF(θ)

Nota:

51Antenas Filiformes– Intensidade de radiação

– Diagrama de radiação

Plano vertical que contém a antena

O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de2h/λ com no mínimo 1

52Antenas Filiformes– Potência radiada, resistência de radiação e directividade

R(kh)

Notar que h = 0 não pode ser considerado pois antena ficaria sobre o plano condutor perfeito não radiando

53Antenas Filiformes

• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar vertical a uma altura h

da terra

Plano Vertical

• O coeficiente de reflexão Rv

depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção

• O programa que iremos usar permite considerar este efeito de terra para vários tipos de solos

54Antenas Filiformes

• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar horizontal a uma altura

h da terra

Plano vertical que contém a antena

• O coeficiente de reflexão Rh

depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção

• Neste caso o diagrama não é muito diferente da situação de um plano condutor perfeito