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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA (UnB) FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA
SISTEMAS DE POTÊNCIA
PARTE V
APOSTILA
Professor : Pablo Cuervo Franco Sala AT-10
Tel: 273-5977 Ramal: 216 e-mail: pablbo@ene.unb.br
Junho 2004 UnB/FT/ENE
ÍNDICE 1. DESCRIÇÃO E MODELAGEM DAS COMPONENTES DO SISTEMA Erro!
Indicador não definido. 1.1. Introdução ........................................................... Erro! Indicador não definido.
Fasores ...................................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Instantânea ................................................. Erro! Indicador não definido. Carga R,L, e C .......................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Ativa .......................................................... Erro! Indicador não definido. Fator de Potência ...................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Reativa ....................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Complexa ................................................... Erro! Indicador não definido. 1.1.1 Procedimento para saber se um elemento absorve ou libera potência Erro! Indicador não definido. 1.1.2 Transferência de P e Q a Carga Simples .. Erro! Indicador não definido. 1.1.3 Transferência de Potência entre Elementos Ativos. . Erro! Indicador não definido. Fluxo de Potência ..................................................... Erro! Indicador não definido. Diagrama Fasorial..................................................... Erro! Indicador não definido. Fluxo de Potência ..................................................... Erro! Indicador não definido. 1.1.4 Potência Transferida Complexa................ Erro! Indicador não definido.
1.2. Modelamento de linha e trafos .......................... Erro! Indicador não definido. 1.2.1 Linhas de Transmissão. ............................ Erro! Indicador não definido. 1.2.2 Transformadores em Fase ......................... Erro! Indicador não definido.
1.3. Fluxo de Potência na Linha ............................... Erro! Indicador não definido. 1.4. Formulação Matricial: ....................................... Erro! Indicador não definido.
2. FLUXO DE CARGA .................................................. Erro! Indicador não definido. 2.1. Caracterização do problema.............................. Erro! Indicador não definido. 2.2. Métodos de solução ............................................. Erro! Indicador não definido. 2.2.1. Fluxo De Carga Pelo Método De Newton-Raphson ... Erro! Indicador não definido. 2.2.2. Método De Fluxo De Carga Desacoplado. .... Erro! Indicador não definido. 2.2.3. Fluxo de Carga Linearizado. (F.C. CC) ....... Erro! Indicador não definido. 2.3. Incorporação de Controles e Limites nos Métodos de Solução. ........... Erro! Indicador não definido. 2.4. Métod de Newton Utilizando Coordenadas Retangulares .... Erro! Indicador não definido. 2.5. Fluxo de Carga em Redes de Distribuição Radiais ........ Erro! Indicador não definido.
3. ESTRATÉGIAS ÓTIMAS DE OPERAÇÃO ....................................................... 1 3.1. Fundamentos de Otimização ......................................................................... 3
3.1.1. Função Lagrangeana ................................................................................. 5 3.1.2. Condições de Kuhn-Tucker para caracterizar a solução ótima ................ 7
3.2. Despacho Econômico de Geração sem levar em consideração a rede de distribuição. ................................................................................................................. 8 3.3. Despacho Econômico Sem perdas e sem limites de geração ....................... 9 3.4. Despacho Econômico com limites de capacidade ...................................... 11 3.5. Despacho Econômico de Custos Lineares por Parte ................................. 16 3.6. Despacho Econômico com Perdas ............................................................... 17
2. ESTRATÉGIAS ÓTIMAS DE OPERAÇÃO
2.1. Fundamentos de Otimização
Definições:
� Função Objetivo: função que se deseja otimizar (minimizar ou maximizar)
+ custos + perdas + benefícios + desvios
� Restrições:
São as condições que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em que é otimizada a função objetivo. Estas condições são representadas por funções e/ou limites em variáveis.
� Região Factível:
É a região delimitada pelo conjunto de restrições. Qualquer solução dentro desta região satisfaz simultaneamente as restrições.
Soluções fora desta região de factibilidade são soluções infactíveis.
� Restrição Ativa:
É uma restrição que faz parte do limite da região de factibilidade no qual ocorre a solução ótima de um problema de otimização restrito (R1, R2).
� Restrição não ativa:
É uma restrição que não faz parte do limite onde ocorre a solução ótima (R3).
X1
R1 R2
Região Factível R3
X2
Max f(x1,x2)
Exemplo:
Minimizar ( ) 22
2121 4
1, xxxxf +=
Sujeito a: 05),( 2121 =−+= xxxxw
0),(.),(
1
1
)0(2
)0(1
)0(2
)0(1 =∇+∇
−
−=∇
xxwxxf
w
λ
λ→ Multiplicador de Lagrange
5
F=5
),( )0(
2
)0(
1 xxf∇
),( )1(
2
)1(
1 xxf∇
),( )2(
2
)2(
1 xxf∇
),( )1(
2
)1(
1 xxw∇
),( )0(
2
)0(
1 xxw∇ ),( )2(
2
)2(
1 xxw∇
X2
X1
5
5
51
4
2
1 =
=
=f
X
X
521 =+ XX F=5
3.1.1. Função Lagrangeana
),(.),(),,( 212121 xxwxxfxxL λλ −=
222
111
.
.
x
w
x
f
x
L
x
w
x
f
x
L
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂
∂∂
−∂∂
=∂∂
λ
λ
∂
∂∂
∂
−
∂
∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂
2
1
2
1
2
1 .
x
wx
w
x
fx
f
x
Lx
L
λ
0. =∇−∇=∇⇒ wfL λ
No ponto de ótimo:
0;0;021
=∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
λL
x
L
x
L
No exemplo:
( ) ( )54
1,, 21
22
2121 −+−+= xxxxxxL λλ
=+
=
=
=+=∂
∂
=−=∂
∂
=−=∂∂
52
2
2
2
5
02
0..2
1
2
1
21
22
11
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
x
x
xxL
xx
L
xx
L
=
=
=
⇒
1
4
2
2
1
x
x
λ
Tendo mais restrições:
),(.),(.),(.),(),,,,( 2133212221112132121 xxwxxwxxwxxfxxL λλλλλλ −−−=
∑=
−=3
1212132121 ),(.),(),,,,(
iii xxwxxfxxL λλλλ
Condições:
0;0;0;0;032121
=∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
λλλLLL
x
L
x
L
Com restrições de desigualdade:
( ) 0,..., 21 ≤xxg
( ) 22
2121 4
1, xxxxfMinimizar +=
S.a:
05),( 2121 =−+= xxxxw
µ→≤−+= 055
1),( 2121 xxxxg
045
1),( 2121 ≤−+= xxxxg
4 5
1
X1
X2
5
G(X1*, X2
*) < 0 ⇓ Restrição não ativa ⇓ µ = 0
G(X1*, X2
*) = 0 ⇓ Restrição está ativa ⇓ µ > 0
3.1.2. Condições de Kuhn-Tucker para caracterizar a solução ótima Minimizar ( )xf S.a.
( )
( ) Ngixg
Nwixw
i
i
,....1,0
,....1,0
=≤
==
→x vetor de dimensão N
Função Lagrangeana
∑∑==
−−=Ng
iii
Nw
iii xgxwxfxL
11
)(.)(.)(),,( µλµλ
Para um ponto de ótimo 000 ,, µλx devem ser satisfeitas as seguintes
condições:
1. ( ) Nixx
L
i
,.....1,0,, 000 ==∂∂
µλ
2. ( ) Nwixwi ,.....1,00 ==
3. ( ) Ngixg i ,.....1,00 =≤
4. ( )
Ngixg
i
ii ,.....1,0
0. 0
=
≥
=
µ
µ Condição de folga complementar
� Caracterização do problema de otimização.
- Função objetiva (critério) - Atender as restrições.
� Estratégia de solução. - Função Lagrangeana
� Condições Necessárias para que a solução seja ótima (Kuhn-Tucker).
2.2. Despacho Econômico de Geração sem levar em consideração a rede de distribuição.
Custo Total de Operação
( ) ( )∑=
=n
iiPgCiPgC
1
(1)
Atendimento da carga:
∑=
+=n
iPerdas
TotalDi PPPg
1
(2)
Maxii
Mini PgPgPg ≤≤ (3)
∼
∼
∼
Pg1
Pg2
Pgn
PDTotal
Ci(Pgi)
Pgi PgiMin Pgi
Max
Ci(Pgi)
Pgi PgiMin Pgi
Max
2.3. Despacho Econômico Sem perdas e sem limites de geração Minimizar
( ) ( )∑=
=n
iii PgCPgC
1
S.a
∑=
=n
i
TotalDi PPg
1
Função Lagrangeana:
( ) ( ) {44 344 2143421
MW
n
i
TotalDi
MWH
h
n
iiii PPgPgCPgL
−−= ∑∑
== 1/$
/$
1
., λλ (4)
Aplicando as condições necessárias para encontrar a solução ótima,
nidPg
dC
Pg
L
i
i
i
,....1,0 ==−=∂
∂λ
ii
i CIdPg
dC= (6)
0=−=∂∂
λii
CIPg
L (5)
01
=+−=∂
∂∑
=
TotalD
n
ii PPg
L
λ
( ) 2
111111 12
1PgbPgaCoPgC ++=
( ) 22222222 2
1PgbPgaCoPgC ++=
( )PgC
Pg
Total
D
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
i
i
n
ii
dPPgdC
dPgPgdC
dPgPgdC
dPgCIPgdC
dPgdPg
dCPgdC
dCPgdC
..)(
)(
.)(
.)(
.)(
)(
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
(8)
Total
DdP
PgdC )(=⇒ λ (7)
Num caso geral com “n” geradores,
( ) 2
2
1iiiiiii PgbPgaCoPgC ++= (9)
[ ][ ][ ][ ]
[ ][ ] ;,.....,,
;,..,,
;1.........,,.........1,1
;...,,.........,
;..,,.........,
;,.....,,
21
21
21
21
020100
T
nDDDD
Tn
T
T
n
T
n
T
n
PPPP
PgPgPgPg
e
bbbb
aaaa
CCCC
=
=
=
=
=
=
(10)
B = diag(b) (11)
222
2
2 PgbaPg
dC+==
Pg
dc
Pg
λ
IC1
IC2
Pg1 Pg2 Pg2
111
1
PgbaPg
dC+==
Pg
Min,
( ) .B.PgPg.Pga.CePg TTO
T
2
1++=C (12)
S.a
DTT .Pe.Pge == Total
DP
Função Lagrangeana:
( ) ( ) ( )Total
DPCL −−= .PgePgPg Tλλ,
Condições Necessárias:
DTT .Pe.Pge
.eBPgaPg
===∂∂
=+=∂∂
Total
DPL
L
λ
λ (13)
Solução analítica:
.aB.eBPg 11 −− −= .λ (14)
Multiplicando a eq. (14) por Te
T11T .a.eB.eBe −− −= .λTotal
DP
.e.Be.a.Be
1T
1T
−
−+=
Total
DPλ (15)
Inserindo a eq. (15) na eq. (14),
.aB.eB.e.Be
.a.BePg 11
1T
1T−−
−
−
−
+= .
Total
DP
βαPg += Total
DP. (16) Sendo que:
( ).aB
.e.Be.a.Be.e.B
β
0.e.Be
.eBα
1
1T
1T1
1T
1
−
−
−−
−
−
−=
>=
2.4. Despacho Econômico com limites de capacidade
Min
( )∑=i
ii PgCC
S.a
λ←=∑ Total
Di
i PPg
{ {Max
i
Maxi
i
Mini
Min
iPgPgPg
µµ↑↑
≤≤ , i = 1,.........n
( ) ( ) ( )
( )∑
∑∑∑
−+
−+
−−=
i
Max
i
Max
i
ii
MinMin
ii
Total
Dii
ii
MaxMin
i
i
PgPg
PgPgPPgPgCL
µ
µλλ µµPg ,,,
De acordo com as C.N:
µiMin ≥ 0
µiMax ≥ 0
λ
Pg1Min Pg2
Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1
Max
CI1 CI2
Max
i
Max
i
Max
iMax
i
Min
i
Min
i
Min
iMin
i
PgLPg
L
PgLPg
L
∂−=∂⇒−=∂
∂
∂=∂⇒=∂
∂
.
.
µµ
µµ
C.N:
niPgPgL
niPgPgL
PPgL
CIPg
L
Max
iiMaxi
iMiniMin
i
i
TotalDi
Maxi
Minii
i
,.....1
,.....1
0
0
=≤=∂
∂
=≤=∂
∂
=−=∂∂
=+−−=∂∂
∑
µ
µ
λ
µµλ
( ) 0=− i
Maxi
Mini PgPgµ i = 1,......n
0≥Miniµ
( ) 0=− Max
iiMaxi PgPgµ i = 1,......n
0≥Maxiµ
Pelas condições de folga complementar:
1) Se Maxii
Mini PgPgPg <<
Então,
CIi = λ i = 1, 2, .....n
2) Se iMini PgPg =
Então,
0>Miniµ e 0=−− Min
iiCI µλ
iMinii CICI <⇒−=⇒ λµλ
3) Se Maxii PgPg =
Então,
0>Max
iµ e 0=+− Max
iiCI µλ
iMaxii CICI >⇒+=⇒ λµλ
Exemplo:
G C0($/h) a ($/MWh) b ($/MWh) PgMin PgMax 1 100 20 0,05 0 400 2 200 25 0,10 0 300
20 .
2
1.
iiii PgbPgaCC ++=
λ µi
Min
PgiMin
λ µiMax
PgiMax
1) CIMin = Min(CI) 2) CIMax = Max(CI)
3) 2
MaxMin CICI +=λ
λ=iCI
4) iii Pgba +=λ i
ii b
aPg
−=⇒
λ
5) Se i
Max
i PgPg < Maxii PgPg =⇒
6) Minii PgPg < Min
ii PgPg =⇒
7) ∑=i
iTotal PgPg
8) Se TotalD
Total PPg > Então MaxCI=λ vá ao passo 3)
9) TotalD
Total PPg < Então MinCI=λ vá ao passo 3)
10) Pare. Pgi é a solução e λ é o preço da energia. ⇒ Ordem de mérito.
Caso Total
DP (MW)
Pg1 (MW)
Pg2 (MW)
CI1 ($/MWh)
CI2 ($/MWh)
λλλλ C($/h
A2 40 40 0 22 25 22 1140 B2 250 200 50 30 30 30 6675 C2 300 233,3 66,7 31,67 31,67 31,67 8217 D2 600 400(Max) 200 40 45 45 19300
λ
Pg1Min Pg2
Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1
Max
CI1 CI2
C1Min
2.5. Despacho Econômico de Custos Lineares por Parte
λλλλ Unidade Carga 10 1 ≤ 20 15 1 + 2 20 ≤ PD ≤ 30 20 1 + 2 30 ≤ PD ≤ 40
CI1
MW 10 25 30
a11=15
a11=25
a13=45
CI1
MW 20 30 35
a11=10
a11=20
a13=40
Ci($/h)
MW
2.6. Despacho Econômico com Perdas
1) Se as duas unidades geradoras são despachadas com 250 MW cada, então; P1 + P2 < 500, dado que a perda na linha seria de 12,5 MW. Esta solução é infactivel. Fazendo o despacho econômico temos:
2) Min C1(P1) + C2(P2)
S.a
PerdasTotal
D PPPP +=+ 11
40070
40070
0002,0
2
1
21
≤≤
≤≤
=
P
P
PPPerdas
( ) ( ) ( )212211 500 PPPPCPCL Perdas −−+++= λ (38)
0500
01
01
21
22
2
11
1
=−−+=∂∂
=
∂
∂−−=
∂∂
=
∂
∂−−=
∂∂
Perdas
Perdas
Perdas
PPPL
P
PCI
P
L
P
PCI
P
L
λ
λ
λ
( )
00002,0500
0004,07
0004,01004,07
2121
2
222
1
1
211
=−−+
=−+=
=−−+=
PPP
PCI
PPCICI
CI
λ
λ
48476
48476
∼
∼ P1 P2 Min = 70 MW Max = 400 MW
500MW Min = 70 MW Max = 400 MW
Perdas ≅0,0002P12
}
}2
22
211
004,07
004,07
PCI
PCIba
ba
876
876
+=
+=
Solução:
P1 = 178,882 MW P2 = 327,496 MW λ = 8,31 R/MWh
211011 .
2
1. PgbPgaCC ++=
222022 .
2
1. PgbPgaCC ++=
Custo:
hCC /$15,46230201 =+
Perdas:
6,378 MW
3) Suponha que decidimos ignorar a influência econômica das perdas, e despachamos a unidade 1 suprindo asperdas.
Neste caso,
( ) ( ) hCC /$84,4661250932,263 21 =+
4) Solução com perdas mínimas
P2 = 400 MW P1 = 102,084 MW PPerdas = 2,084 MW
( ) ( ) hCC /$43,4655400084,102 21 =+
∼
∼ P1 = 263,932 MW
P2 = 250 MW 500MW
Perdas =13,932 P2 = 250 MW
FLUXO DE CARGA LINEAR ÓTIMO
)( EG P,PfMinimizar
Sujeito a :
maxmin
maxmax
µµ
PPP
λPPPδB
f
DG
↓↓
≤≤−
→−==⋅
fluxofluxo
Onde,
1. )()(1∑
=
=n
iiGi PCf EG P,P é o custo total de geração com carga inelástica fixa.
2. )()()(11∑∑
==
−=n
iiEi
n
iiGi PWPCf EG P,P é o custo de geração considerando carga
elástica em relação ao preço. W é uma função de beneficio dos consumidores. Observe que: δAXP T1
f ⋅⋅= − . Função Lagrangeana para o caso 1. com carga inelástica:
)PδA(XµP)(BδλPµλ,δ,P, maxf
T1TT −⋅⋅+−+= −)()( fl Condições necessárias de otimalidade:
0µ
0PδAXµ
0PδAXµ
0PBδλ
0µAXλBδ
0λCIP
maxf
T1T
maxf
T1
1T
≥
=−⋅⋅⋅
≤−⋅⋅=∂
∂
=−=∂
∂
=+=∂
∂
=−=∂
∂
−
−
−
][
l
l
l
l
Os multiplicadores de Lagrange são os preços nodais. Caso existam linhas saturadas os agentes do sistema devem pagar:
∑∑∑===
=+n
iiDi
m
kkfk
n
iiGi PPP
11
max
1
λµλ
Como 0max ≥kfk Pµ o custo total de geração é menor que o montante pago pelas cargas.
O valor 01
max
11
>=−= ∑∑∑===
m
kkfk
n
iiDi
n
iiGi PPPMS µλλ é chamado de “Merchandising
Surplus”.
FLUXO DE CARGA ÓTIMO (FCO)
)( EG P,PfMinimizar
Sujeito a :
maxmin
maxmin
maxmin
maxmin
maxmax ),(
),(
),(
vvv
QQQ
PPP
µµ
PδvPP
λδvQQQ
λδvPPP
f
DG
DG
≤≤
≤≤
≤≤
↓↓
≤≤−
→=−
→=−
GGG
GGG
fluxofluxo
q
p
Exemplo:
363227- SISTEMAS DE POTÊNCIA
Prof. Pablo Cuervo Franco (8/11/06)
Atividade Prática
Baseados nos desenvolvimentos feitos em sala de aula e na informação em anexo que inclui dados de sistema de potência, é solicitado primeiro implementar um programa em linguagem Matlab para obter o despacho econômico através de fluxo de carga ótimo linear considerando limites de fluxos nas linhas de transmissão e limites de capacidade de geradores. Esta implementação deve fazer uso da função interna do Matlab chamada fmincon para otimizar. O programa deve estar estruturado em 3 arquivos: arquivo de dados, arquivo principal e arquivo para gerar relatórios de saída. A figura abaixo mostra o sistema de cinco barras com os dados das linhas descritos na tabela. Assuma que todas as cargas L2, L3, e L4 são fixas e iguais a 300 MW. A tabela mostra também os dados dos geradores e as ofertas dos geradores nesta hora. Assuma que as perdas são desprezadas. Considere quatro casos: Caso 1: caso irrestrito quando os limites de capacidade de transmissão não são considerados. Caso 2: considerando limites de transmissão. Caso 3: considere o caso 2 com aumento das cargas em 30%. Caso 4: considere o caso 2 retirando de operação o gerador 5. No relatório a ser entregue devem constar os seguintes resultados para os casos considerados: a) fluxos nas linhas, b) despacho dos geradores para atender a carga, c) os preços nodais receitas dos geradores, pagamentos das cargas e excedente financeiro ou merchandising surplus. d) Análise dos resultados.
Critério de Avaliação
Item do Relátório Pontuação Máxima
Implementação do programa
3
Relatório de saída
a) 2 b) 2 c) 2 d) 1
Total= 10,0 − O trabalho pode ser desenvolvido em grupo de até dois alunos
Data de entrega: 8/12/06
Documento disponível no endereço: http://www.gsep.ene.unb.br
Dados das Linhas Linha De - Para Reactância
(ohms) Capacidade
(MW) 1 1 – 2 0.0280 350 2 1 - 4 0.0301 160 3 1 - 5 0.0060 380 4 2 - 3 0.0110 120 5 3 - 4 0.0300 230 6 4 - 5 0.0300 240
Dados dos Geradores
Barra Gerador Faixa Min Max
(MW)
Preço ($/MWh)
1 G 1,1 0.0 110 15 1 G 1,2 0.0 100 20 2 G 2 -- -- -- 3 G 3 0.0 520 30 4 G 4 0.0 200 30 5 G 5 0.0 600 10
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