APOSTILA PUCRS - Retas, Circunferencias, Tangentes

ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto

1. TANGÊNCIA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA:A RETA TANGENTE A UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA SEMPRE VAI SER PERPENDICULAR

AO RAIO DO ARCO, NO PONTO DE TANGÊNCIA

TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA

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Para traçar uma tangente a uma circunferência por um de seus pontos:

Seja o ponto T um ponto da circunferência:

1.Traçar o raio no ponto T

Prolongar o raio e sobre ele marcar os pontos 1 e 2, eqüidistantes de T

Traçar a mediatriz do segmento12.

Esta mediatriz é a tangente à circunferência no ponto T.

O

T

1

2

t

Tangente por um ponto da curva

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Exercício de concordância:Desenhar um arco de circunferência que concorde com a reta r no

ponto T e passe pelo ponto P.

1. Pelo ponto T levantar uma perpendicular à reta r;

2T

P

1 T

P

rr

Dados:

Ponto P, reta r e o ponto T

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2. Traçar a mediatriz do segmento TP; 3. A intersecção da perpendicular com a

mediatriz é o ponto O, centro do arco procurado.

O

r

P

O

T

r r

PP

T

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Tangentes a uma circunferência por um ponto exteriorPelo ponto P, desenhar retas tangentes à circunferência.

Dados:

a circunferência e o ponto P exterior à curva:

1. Traçar a mediatriz do segmento OP e marcar o ponto M, ponto médio do segmento

MPO

PO

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3. Traçar as retas OT e OT’, tangentes àcircunferência.

2. Traçar uma circunferência com centro no ponto M e raio MO. A intersecção das duas circunferência são os pontos de tangência T e T’

T

O

MPO

M

P

T’

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Retas tangente a duas circunferênciasa) Tangentes exteriores

Dadas duas circunferências:

1. Traçar uma circunferência auxiliar com centro em O e raio r3 = r1 - r2

2. Traçar o ponto médio entre os centros das duas circunferências

O’

O

O’O

r1

O’O

r2

r3

M

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3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2.

4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2

O’

O

1

2

M

O

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5. Traçar os raios O1 e O2 e prolongá-los até cortar a a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2

6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio r2.

T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.

7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na circunferência de raio r2.

T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.

T1

T2T4

T3

1

2

OO´

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SOLUÇÃO DO PROBLEMA

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b) Tangentes interiores

Dadas duas circunferências:

O’O

O’O

r1

O

O’O

r2

r3

M

1. Traçar uma circunferência auxiliar com centro em O e raio r3 = r1 + r2

2. Traçar o ponto médio entre os centros das duas circunferências

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3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2.

4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2

O’

OM

1

2

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O’

OM

1

2

T1

T2

T4

T3

5. Traçar os raios O1 e O2 os quais cortam a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2

6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio r2.

T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.

7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na circunferência de raio r2.

T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.

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SOLUÇÃO DO PROBLEMA

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2. TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS:

PRIMEIRO PRINCÍPIO:CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES TÊM SEUS CENTROS E O PONTO DE TANGÊNCIA PERTENCENTES À MESMA RETA

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EXERCÍCIO:

TRAÇAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA QUE CONTENHA O PONTO P E TANGENCIE O ARCO DADO NO PONTO T.

DADOS O ARCO DE CENTRO O E OS PONTOS T E P 1. TRAÇAR A RETA OT.

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2. TRAÇARA A MEDIATRIZ DO SEGMENTO TP. 3. PROLONGAR A MEDIATRIZ ATÉ CORTAR A RETA OT.

A INTERSECÇÃO DAS DUAS RETAS É O PONTO O´, CENTRO DO ARCO PROCURADO.

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4. COM CENTRO EM O´ E RAIO O´T OU O´P , TRAÇAR O ARCO TANGENTE.

.

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SOLUÇÃO DO PROBLEMA

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SEGUNDO PRINCÍPIO:

A MEDIATRIZ ENTRE OS CENTROS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO, É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS CENTROS DE TODAS AS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS.

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EXERCÍCIOS:

TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS

a. TANGENTES EXTERIORES

TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS PONTOS DE TANGÊNCIA.

•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO DE TANGÊNCIA T.

1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O PONTO T.

2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO O, OBTENDO O PONTO A.

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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO O.

4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.

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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA MEDIATRIZ COM A RETA TA

6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO PONTO DE TANGÊNCIA.

7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO O´´ T = O´´ T´.

ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS.

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SOLUÇÃO DO PROBLEMA

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EXERCÍCIOS:

TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS

b. TANGENTES INTERIORES

TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS PONTOS DE TANGÊNCIA.

•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO DE TANGÊNCIA T.

1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O PONTO T.

2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO NO PONTO O, OBTENDO O PONTO A.

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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO O.

4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.

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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA MEDIATRIZ COM A RETA TA

6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO PONTO DE TANGÊNCIA.

7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO O´´ T = O´´ T´.

ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS.

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SOLUÇÃO DO PROBLEMA