As equações algébricas e a teoria de Galois

As equações algébricase a teoria de Galois

Filadelfo Cardoso Santos

A difícil equação do primeirograu

ax + b = 0

A solução geral é

x = !b

a

A equação do primeiro grau pode ser resolvida nocorpo dos racionais.

É verdade! A equação do primeiro grau foiresolvida na Antiguidade

Isaac Newton(1643-1727)

As contribuições de Newton à matemática pura sãosuficientes para colocá-lo entre os maiores gênios nahistória da matemática.

Harold E. Edwards

Fermat’s Last Theorem

Riemann’s Zeta Functions

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Galois Theory

Em sua obra Arithmetica Universalis(1707), Newton escreveu fórmulas

para funções simétricas elementares

Relações de Newton

Newton apresentou essas relações na seguinte forma:

Para equação do terceiro grau x3+ bx

2+ cx + d = 0

(everyr) = !b (everyr3) = !b

3+ 3bc ! 3d

(everyr2) = b

2! 2c (everyrs) = c

(everyrst) = !d

Relações de Newton-GirardPara a equação algébrica de grau n

xn+ b

1xn!1

+ b2xn!2

+ ...+ bn= 0

r1+ r

2+ ...+ r

n= !b

1

r1r2+ r

1r3+ ...+ r

n!1rn= b

2

r1r2r3+ r

1r2r4+ ...+ r

n!2rn!1rn= !b

3

...

r1r2r3...r

n= (!1)

nbn

Valem as relações

Funções simétricas

Denotando por !kos polinômios simétri-

cos elementares, temos: !k= ("1)

kbk

Teorema - Qualquer polinômio simétrico em r1, r

2, ..., r

n

pode ser escrito como um polinômio nos polinômios simé-

tricos elementares.

Obs.: Toda função simétrica das raízes de uma equaçãoalgébrica depende só dos coeficientes dessa equação.

O discriminante

Uma função simétrica importante nateoria das equações algébricas é odiscriminante ! = r

1" r

2( )#2

r1" r

3( )2

... rn"1

" rn( )2

A equação do segundo grau

Essa equação foi resolvida pelos babilôniospor meios geométricos. Para isso utilizou-sea forma normal.A fórmula de Bhaskara é amplamenteconhecida

x =!b ± b

2! 4ac

2a

Uma solução da equação do segundo grau

A soma das raízes dessa equação é

x1+ x

2= !

b

a

! = x1" x

2( )2

= x1

2+ x

2

2" 2x

1x2= x

1+ x

2( )2

" 4x1x2

! = #1

2" 4#

2=b2" 4ac

a2

ax2+ bx + c = 0

e o discriminante é

Obtemos o seguinte sistema de equações de primeiraordem

x1+ x

2= !

b

a

x1! x

2= "

As funções φ e φsão as resolventes de lagrange

Joseph Louis LagrangeGiuseppe Lodovico Lagrangia

(1736-1813)

Rélexions sur la résolution algébrique (1771). Cemémoire a inspiré Abel et Galois.

O método de Lagrange para a equação dosegundo grau

Como vimos a soma das raízes dessa equação é

x1+ x

2= !b a

!1= x

1+"x

2!2= x

2+"x

1

Com as raízes da unidade 1, α=−1 e as raízes daequação podemos construir

que são raízes da equaçãoX !"

1( ) X !"2( ) = X 2 !"

1"2= X

2+ # 2

+1( )x1x2 +# x1

2+ x

2

2( )( ) = 0

X2+ # 2

+1( )s2X +#s1

2= 0

A equação do terceiro grau

A equação do quarto grauPara aplicarmos o método de Lagrange

propomos as seguintes resolventes!1= x

1" x

2+ x

3" x

4!5= x

2" x

1+ x

3" x

4

!2= x

2" x

3+ x

4" x

1!6= x

1" x

3+ x

4" x

2

!3= x

3" x

4+ x

1" x

2!7= x

3" x

4+ x

2" x

3

!4= x

4" x

1+ x

2" x

3!8= x

4" x

2+ x

1" x

3

.......................................................................

24 resolventes

A equação resolventeX !"

1( )... X !"24( ) = X

2 !"1

2( )2

X2 !"

5

2( )2

X2 !"

13

2( )2

= 0

ou

X2 !"

1

2( ) X 2 !"5

2( ) X 2 !"13

2( ) = 0

Gauss

A análise de Lagrange

Abel

O grupo de Galois

A equação do quinto grau

A equação do sexto grau