View
132
Download
11
Category
Preview:
Citation preview
Aula 15
Valores Máximo e Mínimo, Teorema do Valor Extremo, Teorema de Fermat, Método do
Intervalo Fechado
Valores Máximo e Mínimo
Definição. Uma função tem máximo
absoluto (ou máximo global) em se
para todo em onde é o
domínio de O número é chamado
valor máximo de em .
Valores Máximo e Mínimo
Analogamente, tem mínimo absoluto
(ou mínimo global) em se
para todo em e o número é
denominado valor mínimo de em .
Os valores máximo e mínimo de são
chamados valores extremos de .
Ilustração
valor mínimo ( ), valor máximo ( )f a f d
Máximo e Mínimo Local
Definição. Uma função tem máximo local(ou máximo relativo) em se quando estiver nas proximidades de .Analogamente, tem um mínimo local(ou mínimo relativo) em sequando estiver próximo de .
Ilustração
( ) é o valor máximo local de em ( , )f b f a c( ) é o valor mínimo local de em ( , )f c f b d
Exemplo 1
assume seu valor máximo(local e absoluto) 1 um número infinito devezes, uma vez que e Da mesma forma,
é seu valor mínimo, onde é qualquernúmero inteiro.
cos2 1n n 1 cos 1 .x x
Exemplo 2
pois
é o valor mínimo absoluto (e local) de .
.x
valor mínimo 0,
nenhum máximo
Exemplo 3
Nenhum mínimo,
nenhum máximo
Exemplo 4
Gráfico
Exemplo 4
(1) 5 é um máximo local, enquanto ( 1) 37
é máximo absoluto que não é um máximo local, pois
ocorre em um extremo do intervalo.
f f
(0) 0 é mínimo local, e (3) 27 é tanto
um mínimo local como um mínimo absoluto.
f f
Observe que em 4, não tem um máximo local
nem um máximo absoluto.
x f
Teorema do Valor Extremo
Se for contínua em um intervalo fechado então assume um valor máximo
absoluto e um valor mínimo absoluto
em certos números e em
Ilustração
Observação
Uma função pode não possuir valoresextremos se for omitida uma das duashipóteses (continuidade ou intervalofechado) do Teorema do Valor Extremo.
Ilustração
Esta função tem um valor mínimo (2) 0,
mas não tem valor máximo.
f
Ilustração
Esta função contínua não tem nem máximo
nem mínimo.
Teorema de Fermat
Se tiver um máximo ou mínimo local em
e se existir, então
Ilustração
Exemplo 5
3
O fato de que (0) 0 significa simplesmente
que a curva tem uma reta tangente
horizontal em (0,0).
f
y x
Exemplo 6
tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0,
contudo, esse valor não pode ser encontrado
tomando ( ) 0, pois (0) não existe
.
f
f x f
Número Crítico
Definição: Um número crítico de uma
função é um número no domínio de
onde ou ou não existe.
Exemplo 7
Encontre os números críticos de
Solução
se isto é,
e não existe quando
os números críticos são e 0.
Reformulação do Teorema de Fermat
Se tiver um máximo ou mínimo local em
então é um número crítico de .
Observação
O método a seguir é útil para encontrar os
valores máximo e mínimo absolutos de uma
função contínua em um intervalo fechado Esse procedimento é chamado Método do Intervalo Fechado.
Método do Intervalo Fechado
1. Encontre os valores de nos númeroscríticos de em2. Encontre os valores de nasextremidades do intervalo.3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é ovalor máximo absoluto, ao passo que omenor desses valores é o valor mínimoabsoluto.
Exemplo 8
Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos da função
Solução
se ou (são os únicos números críticos e estão nointervalo ). Note que
valor máximo absoluto
valor mínimo absoluto
Gráfico
Exemplo 9
Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos da função
( ) 2sen , 0 2 .f x x x x
Solução
quando e isso ocorrequando ou (pontos críticos) Note que e
( ) 2senf x x x ( ) 1 2cosf x x ( ) 0f x
( / 3) 2sen 3 0,6848533 3 3
f
5 5 5(5 / 3) 2sen 3 6,968039
3 3 3f
(valor mínimo absoluto)
(valor máximo absoluto)
Gráfico
Exemplo 10
O telescópio espacial Hubble foi colocadoem órbita em 24 de abril de 1990 peloônibus espacial Discovery. Um modelo paraa velocidade do ônibus durante essa missão,do lançamento em até a ejeção dofoguete auxiliar em é dado por
(em metros/segundos). Usando essemodelo, estime os valores máximo e mínimoabsolutos da aceleração do ônibus entre olançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
Ilustração
Solução
(o único número
crítico)Note que (0) 7,196a
2
1( ) 6,56 m/sa t 2(126) 19,16 m/s )a
(aceleração mínima)
(aceleração máxima)
Obrigado !
Recommended