AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples DISCIPLINA: Econometria PROFESSOR: Bruno Moreira CURSO:...

AULA 3 – O Modelo de Regressão Simples

DISCIPLINA: EconometriaPROFESSOR: Bruno MoreiraCURSO: Tecnólogo em Gestão Financeira

Introdução

Cross-section (corte trasnversal) consiste em uma amostra de dados coletados em um determinado ponto no tempo.

Regressão : Conceitos

O que é uma regressão?

Regressão pode ser entendida como o estudo da dependência de uma variável em relação a uma ou mais variáveis com o objetivo de estimar e/ou prever a média ou o valor médio da dependente em termos dos valores

fixos das variáveis que a explica.

Regressão : Conceitos

Relações Estatísticas X Relações Determinísticas

Qual a diferença entre variáveis estatísticas e variáveis determinísticas?

Regressão : Conceitos

Relações Estatísticas X Relações Determinísticas

Nas relações estatísticas lidamos com variáveis aleatórias ou estocásticas, ou seja, aquelas que têm

distribuições de probabilidades.

Nas relações de dependência funcional, as variáveis são determinísticas.

Regressão : Conceitos

Regressão X Causação

Toda relação estatística sugere uma causação implícita?

Regressão : Conceitos

Regressão X Causação

Uma relação estatística, por si só, não pode logicamente implicar em uma causação.

Para atribuir causalidade, deve-se recorrer a considerações teóricas.

Regressão : Conceitos

Regressão X Correlação

Correlação e regressão são sinônimos?

Regressão : Conceitos

Regressão X Correlação

São intimamente relacionados mas conceitualmente distintos.

O objetivo da correlação é medir o grau ou intensidade de associação linear entre as variáveis.

Na regressão objetivamos prever o valor médio de uma variável com base em valores fixados de outras variáveis.

Regressão : Conceitos

Regressão X Correlação

Exe: Avaliar o grau de correlação entre as notas de uma prova de matemática e outra de estatística.

Tentar prever a nota da prova de estatística dado a nota da prova de matemática.

Regressão : Conceitos

Surgimento: Lei Universal de GaltonPais altos X pais baixos

Regressão : Conceitos

Galton estava interessado em descobrir por que havia uma estabilidade na distribuição

de alturas em uma população.

Para pais muito altos ou muito baixos a altura dos filhos vão regredindo para a

altura média da população.

Regressão : Conceitos

Entretanto, a moderna econometria está interessada em como varia a altura média

dos filhos dada a altura dos pais.

Em outras palavras, estamos interessados em prever a altura média dos filhos dada a

altura dos pais.

Regressão : Conceitos

Assim, na análise econométrica estamos interessados em explicar Y em termos de X,

ou, estudar como Y varia dado variações em X.

Regressão : Conceitos

Entretanto, isto implica em 3 problemas:

1.Como não há uma relação exata entre duas variáveis, como consideramos outros fatores?

2.Qual a relação funcional entre y e x?

3.Como podemos estar certos de capturar uma relação ceteris paribus entre y e x?

Regressão : Conceitos

Para resolvermos este problema iniciamos escrevendo uma equação que relacione y a x.

Esta equação define o Modelo de Regressão Linear Simples

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢

Regressão : Conceitos

Em que:

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢

Y XVariável dependente Variável independenteVariável explicada Variável explicativaRegressando Regressor

Regressão : Conceitos

Em que:u = Termo de erro ou termo estocástico é: - uma variável estocástica ou aleatória mas não observável ; - representa todos os fatores desconhecidos que possam influenciar uma relação económica.

𝑦= 𝛽0 + 𝛽1𝑥+ 𝑢

Regressão : Conceitos

Razões principais que justificam a presença do termo de erro nos modelos econométricos:

(a) no termo de erro incluímos fatores desconhecidos;

(b) no termo de erro incluímos fatores conhecidos mas não quantificáveis (gostos, preferências, risco, incerteza);

Regressão : Conceitos

(c) no termo de erro incluímos os chamados erros de especificação - especificação matemática imprópria- inclusão de variáveis irrelevantes - exclusão de variáveis relevantes

(d) no termo de erro incluímos erros de medição ou erros nas observações devido as simplificações, arredondamentos e transformações dos dados.

Regressão : Conceitos

Seremos capazes de obter estimadores confiáveis de β0 e β1 de uma amostra aleatória de dados somente se

fizermos algumas hipóteses que restrinjam a maneira como o termo de erro estocástico está relacionada à

variável explicativa X.

Regressão : Conceitos

Hipótese 1

E(u) = 0

Se o modelo estiver corretamente especificado,podemos supor que o erro, em média, será zero. Em

outras palavras, a probabilidade do erro ser x unidadesacima da reta é a mesma de ser x unidades abaixo.

Regressão : Conceitos

Hipótese 2

E(u/x) = 0

O valor médio de u não depende do valor de x.

Regressão : Conceitos

Assim, considerando o valor esperado da equação define o Modelo de Regressão Linear Simples

condicionado a x, e levando em consideração a hipótese 2 temos:

𝐸(𝑦/𝑥) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥

Regressão : Conceitos

Função de Regressão Populacional

a

𝐸(𝑦/𝑥) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥

Regressão : Conceitos

Revisando!!!

Relações Estatísticas X Relações DeterminísticasRegressão X Causação

Regressão X CorrelaçãoO Modelo de Regressão Linear Simples

Função de Regressão Populacional

a

Regressão : Conceitos

Função de Regressão Amostral (FRA)

Na maioria das situações práticas não temos conhecimento do total da população a que

iremos analisar, apenas uma pequena parcela deste total, a amostra.

Regressão : Conceitos

Função de Regressão Amostral (FRA)

Lê-se: y chapéu, beta chapéu ...Em que:

𝛽2 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽2

𝛽1 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝛽1

𝑌 = 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐸ሺ𝑌 𝑋Τ ሻ

Regressão : Conceitos

Função de Regressão Amostral (FRA)

O desafio é, portanto, estimar a FRP a partir da FRA.

Aqui enfrentaremos alguns problemas!!!

Suponha as seguintes amostras:

Regressão : Conceitos

Função de Regressão Amostral (FRA)

Regressão : Conceitos

As duas amostras apresentam os gastos semanais de consumo (Y) referentes à certos

montantes de renda (X).

Mas qual das amostras me conduzirá a uma previsão mais acertada do consumo semanal

(Y)?

Regressão : Conceitos

Regressão : Conceitos

De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de

regressão da população?

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada.

Para n amostras é possível termos n FRAs.

Regressão : Conceitos

De outra forma, qual das duas linhas de regressão representa a “verdadeira” linha de

regressão da população?

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada.

Para n amostras é possível termos n FRAs.

Regressão : Conceitos

No entanto, ainda queremos estimar a FRP

Com base na FRA.

Regressão : Conceitos

Resgatando:

Por causa da flutuação das amostras é difícil estimar a FRP de maneira acurada. Em outras palavras, nossa estimativa da FRP baseada na

FRA é, na melhor das hipóteses, uma estimativa aproximada.

Regressão : Conceitos

Pois para X = Xi temos uma observação da amostra Y = Yi .

Em termos da FRA o Yi observado pode ser expresso como:

Regressão : Conceitos

Graficamente nosso exemplo fica:

Regressão : Conceitos

A questão crítica passa a ser:

Considerando que a FRA seja apenas uma aproximação da FRP, poderemos criar uma regra ou um método que

a fará tão próxima quanto o possível?OU SEJA,

Como construir a FRA de modo que os estimadores se tornem o mais próximos possíveis dos verdadeiros

coeficientes βs?

Mínimos Quadrados Ordinários

O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários

Sob certas hipóteses restritivas, o MQO tem algumas propriedades estatísticas muito atraentes,

fazendo com que seja um dos métodos mais utilizados de regressão.

Mínimos Quadrados Ordinários

Relembrando:

FRP

Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:

Mínimos Quadrados Ordinários

Relembrando:

FRP

Como não é diretamente observável, a estimamos a partir da FRA:

Mínimos Quadrados Ordinários

Mas como estimamos a FRA propriamente dita?

Primeiro vamos expressar

Da seguinte forma:

Que mostra apenas que os resíduos são simplesmente as diferenças entre os valores reais e estimados.

Mínimos Quadrados Ordinários

Então, para n pares de observação Y e X, queremos determinar a FRA de tal modo que seja tão próxima

quanto possível do Y real.

Para tanto podemos adotar o seguinte critério:

Mínimos Quadrados Ordinários

Escolher a FRA para que a soma dos resíduos

Seja a menor possível.

A ideia é interessante mas apresenta problemas.

Mínimos Quadrados Ordinários

Se adotarmos como critério minimizarTodas as observações terão o mesmo peso e

poderemos correr o risco de, mesmo em amostras com grandes dispersões, encontrar valores pequenos ou

mesmo nulos para este somatório.

Exe:

Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários

Podemos evitar este problema adotando o critério de se minimizar o quadrado dos erros.

Ao elevarmos os erros ao quadrados implicitamente estaremos dando maior peso aos

que se encontram mais afastados do centro.

Mínimos Quadrados Ordinários

Mínimos Quadrados Ordinários

Assim, como foi visto,

A soma dos resíduos ao quadrado é uma função dos estimadores

Mínimos Quadrados Ordinários

O método MQO escolheDe tal maneira que, para uma dada amostra,

É o mínimo possível.

Em outras palavras, para uma dada amostra, o método MQO nos fornece estimativas únicas de

que dão menor valor possível de

Mínimos Quadrados Ordinários

Sendo assim é possível calcular