Manual Econometria Exercicios

Solues para o Manual de Econometria

Rodrigo De Losso da Silveira Bueno

So Paulo Maro/2001

2Solues para o Manual de Econometria

Rodrigo De Losso da Silveira Bueno1

1 Mestre em Economia, Universidade de So Paulo. Master of Arts, The University of Chicago (Ph.D Pass).

Doutorando em Economia pela Universidade de So Paulo.

3Nota O parnteses abaixo representam a fonte de adaptao em alguns dos exerccios, da

seguinte forma:

1. (B&D) BROCKWELL, Peter J. & DAVIS, Richard A. Time Series: Theory and

methods. New York: Springer, 1991.

2. (J) JOHNSTON, J. Econometric Methods, 3rd. ed. New York: McGraw-Hill, 1984;

3. (K) KENNEDY, Peter. A Guide to Econometrics, 4th. ed. Cambridge, MA: MIT,

1998;

4. (E) ENDERS, Walter. Applied Econometric Time Series. New York: Wiley, 1995.

5. (C) exerccios ministrados na The University of Chicago;

6. Exerccios formulados pelo autor.

ndice

1. Metodologia da Econometria ___________________________________________ 4

2. Modelo de Regresso Linear Geral_______________________________________ 5

3. Extenses ao Modelo Bsico de Regresso Linear _________________________ 12

4. Anlise da Base de Dados e Utilizao de Variveis Binrias_________________ 23

5. Problemas Economtricos no Modelo Linear Geral ________________________ 33

6. Multicolinearidade___________________________________________________ 39

7. Econometria das Variveis de Resposta Qualitativas e Limitadas _____________ 45

8. Sistemas de Equaes Simultneas______________________________________ 50

9. Anlise de Sries de Tempo ____________________________________________ 59

10. Metodologia de Box-Jenkins para Modelos Univariados ____________________ 65

11. Modelos de Funo de Transferncia e de Anlise de Interveno ____________ 70

12. Testes de Razes Unitrias e Co-Integrao _______________________________ 77

13. Modelos GARCH ____________________________________________________ 87

41. Metodologia da Econometria

No h exerccios.

52. Modelo de Regresso Linear Geral

2.1 Estime as regresses: Y X! " #! " " e X Y$ % &! " " e conclua que 1 " %# 2, como

intuitivamente poderamos afirmar.

Soluo: Este exerccio procura mostrar que regredir Y contra X, encontrando o

parmetro " , NO o mesmo que regredir X contra Y, encontrar o parmetro % e

inferir que 1 " %! .

Sabemos que

1

2 2

1

n

i ii

n

ii

Y X nXY

X nX" !

!

$!

$

%

%.

Agora, resta observar que 1 " %# . Note que

2 2

1 1

2 2

1 1

1

n n

i i ii i

n n

i i ii i

Y X nXY Y nY

X nX Y X nXY"

%! !

! !

$ $! # !

$ $

% %

% %.

2.2 Suponha o seguinte modelo linear: y X" #! " , onde y e # so vetores 1n& , X

6e. Qual(is) a(s) hiptese(s) necessria(s) para que se possa fazer inferncia estatstica?

Soluo: Este exerccio possui dois propsitos. Primeiro, induzir o estudante a

entender onde exatamente se aplica cada hiptese do modelo de regresso linear

mltipla, fazendo-o retornar a esses conceitos. Segundo, revisar os conceitos

estatsticos de vis e eficincia, aplicados Econometria dos Mnimos Quadrados

uma boa referncia, para o professor, seria WHITE, Halbert. Asymptotic Theory for

Econometricians, 2nd. ed. Orlando: Academic Press, 2000. Note que nada dito sobre

o comportamento do termo aleatrio, justamente porque algumas perguntas referem-

se a seu comportamento.

a. Estimar o modelo por MQO apenas um mtodo matemtico, nada mais. Portanto,

apenas necessitamos de uma condio matemtica que ' (X k' ! , isto , o posto da

matriz X seja pleno. Precisamos disso porque, do contrrio, XX no seria inversvel e,

ento, no poderamos estimar o modelo por MQO.

b. Outra vez, apenas necessitamos que ' (X k' ! , do contrrio, ! no existiria. Aunicidade dada justamente porque o posto pleno. Se X fosse estocstico,

precisaramos que lim 0X Xp Qn)! # .

c. Aqui precisamos de vrias hipteses.

c.1 "* ;

c.2 ! nico;c.3 Se X no estocstico, como assumido neste captulo, ' ( ' (0E X E# #! ! , onde asegunda desigualdade resulta da Lei das Expectativas Iterativas. Se X estocstico,

precisamos que lim 0Xpn#) ! .

d. Aqui usamos a hiptese de homocedasticidade. Por isso, podemos concluir que, para ser

no viesado, nada precisamos impor sobre a varincia dos resduos.

d.1 "* ;

d.2 ! nico;

7d.3 lim 0Xpn#) ! ;

d.4 Se ' (0,# +! , onde 2I(+! , basta estimar o modelo por MQO. Para

complementar, mesmo que o professor ainda no tenha dado heterocedasticidade, ele

poderia dizer que precisamos estimar por um outro mtodo a ser aprendido,

denominado mnimos quadrados generalizados. Isto dizer, formalmente, se 2I(+# ,

estime 1 1 1 ,C y C X C CC" #$ $ $ )! " +! .

e. Para inferncia estatstica, admitimos que o erro tenha uma distribuio Normal e sejam

independentes entre si, de onde se seguem todos os resultados do captulo. Se forem

normais, mas no independentes, ter-se-ia que estimar os parmetros por mnimos

quadrados generalizados, pois, do contrrio, as inferncias estatsticas no seriam

vlidas. Esta a nica hiptese necessria. Se no admitirmos que os erros tm

distribuio Normal, podemos assumir a hiptese mais fraca de que so identicamente e

independentemente distribudos, mas nesse caso os testes somente sero vlidos

assintoticamente. Em ambos os casos, pode-se argumentar que tais hipteses so muito

fortes, a primeira mais forte do que a segunda.

2.3 Ado Ismiti queria verificar se a produtividade do trabalho aumentava com a diviso do

trabalho. Para isso, fez a seguinte experincia: regrediu a produtividade (p) de n

trabalhadores de fbricas de alfinetes contra o nmero de funes exercidas pelo

trabalhador (F), anos de escolaridade (E), salrio (w) e nmero de filhos (N).

Formalmente a regresso foi: iiiii uNwEFp +++++= 543121 . Usando oteste t-student, Ismiti aceitou a hiptese nula de parmetro igual a zero para 3 . Retiroua varivel E da regresso e estimou o modelo restrito, observando que 5 tornou-se,tambm, estatisticamente no significativo. Finalmente, retirou N da regresso e

estimou o modelo de novo.

a. Por que no foi preciso fazer o teste de F em 3" , para retirar E do modelo? Ou seja,

por que apenas o teste de tstudent pde ser feito?;

b. Justifique se o procedimento adotado por Smith est correto ou equivocado, para ter

eliminado a varivel N do modelo.

8Soluo: Este exerccio muito ilustrativo e traz um pouco de problemas empricos

tona. Quer-se testar se o estudante entendeu como usar os testes t e F corretamente, e

evitar que ele cometa o erro de retirar variveis explicativas, estatisticamente iguais a

zero, seqencialmente. O certo apenas fazer um teste de hiptese conjunta e, se for o

caso, concluir que tais variveis no explicam o modelo.

a. A razo para no usar o teste F que, quando estamos testando apenas um parmetro, o

teste t e F se equivalem. Ou seja, pode-se usar um ou outro. Em geral, nos pacotes

economtricos o teste t sai automaticamente, por isso podemos olhar para ele sem

problemas. Vale lembrar que, para um parmetro apenas, t2 equivalente a F(1,n),

como provado no corpo do texto.

b. O procedimento de Ismiti est absolutamente equivocado. O correto seria testar,

conjuntamente, por F, se 3" e 5" so, simultaneamente, iguais a zero. A razo

especfica que no segundo teste, mudou-se o nmero de graus de liberdade, por isso o

equvoco. Ou, em outras palavras, no segundo teste, o modelo mudou em relao ao

primeiro.

2.4 (J) Para entender melhor como funciona o R2, prove que uma regresso estimada sem a

constante no implica que os resduos somaro, necessariamente, zero e que o R2, se

calculado como 1 2

! !e ey y ny

, pode ser negativo, onde ! !e y X= , em que ! o

vetor de parmetro estimados estimado4.

Soluo: Este exerccio mostra que o R2 pode ser negativo, quando a regresso por

mnimos quadrados ordinrios feita sem constante (note que, mesmo com constante,

quando estimamos um modelo no linear por mxima verossimilhana, podemos ter

um R2 negativo, mas isso um caso raro). Seu objetivo alertar o estudante que,

quando o R2 negativo, na regresso por MQO, porque ele deve acrescentar a

constante ao modelo. O motivo muito sutil e ser explicitamente apresentado na

resoluo. A primeira parte do exerccio procura esclarecer por que os resduos

somam zero, quando h constante, embora isto j esteja no corpo do captulo. O

4 A segunda parte deste exerccio difcil.

9exerccio tambm til para treinar e entender vrias passagens feitas no corpo do

texto.

Dada a regresso y X" #! " , temos que:

' (

1 1 2 2

2

11 1 2 2

1

, 1,2, , .

0, 1,2, , .

i i i ik k in

i ni

i i i ik k jiij

y X X X i n

y X X X X j k

" " " #

#" " "

"!

!

! " " " " !

,! $ $ $ $ ! !

,

%%

" #

" #

Isso no garante que o resduos somaro zero, pois Xji pode ser diferente de 1, para todo i,

mesmo quando j = 1. Claramente, se X1i = 1, para todo i, os resduos somaro zero. Isto

finaliza a primeira parte da questo. Sigamos para a segunda parte.

Lembremos que:

' ( ' ( ' (2 21

2

2

' ;

; .

n

ii

SQT y y y y y y y y ny

SQE y y ny

SQR e e ne

!

) )! $ ! $ $ ! $

)! $)! $

%

Note como nada garante que e seja zero, e, no clculo do R2, no inclumos esse termo

(retorne frmula dada no exerccio); por isso que o R2 pode ser negativo. Note, tambm,

que: i i i i y y e y y e y y! " - ! " - !% % % , apenas quando 0e !% , o quesomente ocorre se o modelo estimado com constante, como demonstrado na primeira

parte do exerccio.

Sabemos, ainda, que y y y y e e) ) )! " . Com essas informaes, temos:2 2

2 2 2 2

1 1e e y y y y y y ny y y y y ny y y

y y ny y y ny y y ny y y ny) ) ) ) ) ) )$ $ $ " $ "$ ! $ ! !

) ) ) )$ $ $ $.

Conseqentemente, se 2 2 0ny y y R). - / .

Para ver por que o R2 positivo quando existe constante, note que se y y! (caso com

constante), temos que ' (221

0n

ii

ny y y y y!

)$ " ! $ 0% 5.

5 Veja a semelhana com a frmula do SQT.

10

2.5 (J) Dadas as seguintes estimativas de MQO:

1 1

2 1 2

1 3 3

4 1 4

0,90,8

0,70,5

t t t

t t t

t t t

t t t

C K YC K CC K YY K C

####

$

$

$

1 ! " "2222 ! " "2232 ! " "222 ! " "224

, calcule as

estimativas de MQO de 2" e 3" na regresso C Y C ut t t t= + + + 1 2 3 1 .Soluo: O exerccio de nvel mdio a difcil. Tem o objetivo de treinar os conceitos

bsicos de regresso, para verificar se o aluno sabe formul-los. A soluo pode ser

avaliada em duas etapas. Na primeira etapa, o aluno deve ser capaz de oferecer as

seguintes respostas.

O modelo pode (e deve) ser formulado em relao aos desvios. O aluno deve perceber isso

pelo fato de no ser pedido o valor de 1" , ou seja

2 3 1t t ttc y c u" " $! " " .

Sendo assim, pode-se concluir que:

' (2

12222 2

1 13 1 1

1

t t t t t

t t t t tt t t t

c y c y cy c y c cy c y c

"

"$

$ $$ $

5 6 5 6 5 6$7 8 7 8 7 8!7 8 7 8 7 8$$ 7 8 7 87 8 9 : 9 :9 :

% % %% % %% % %

.

Ainda, podemos concluir o seguinte:

1 1 12 2 2 2

1 1

0,9 ;0,8 ;0,7 ;0,5t t t t t t t tt t t t

y c c c y c y cy c y c

$ $ $

$ $

! ! ! !% % % %% % % %

.

A segunda etapa comea aqui, pois, com essas informaes, torna-se tranqilo encontrar os

parmetros desejados.

' (

' (' (

21 1 1

2 22 21 1

2 2 2 21 1

22 2 2 21

21

2 2 21

0,9 0,7 0,8

0,7

0,9 0,7 0,8.

0,7

t t t t t t t

t t t t

t t t t

t t t

t

t t

c c y c y c c

y c c y

c y y c

y c y

cc y

" $ $ $

$ $

$ $

$

$

$

$! !

$

$! !

$

$ ;!

$

% % % %% % %

% % % %% % %

%% %

Mas, das duas ltimas equaes acima, 2 20,7 0,5t ty c!% % . Logo,

11

2

22 2

0,70,340,5 0,5231

0,7 0,70,5

t

t

y

y" ! !< =>? $ >? >>?@ A

%

%.

Aplicando o mesmo procedimento, obtemos 3 0,5385" ! .

Uma outra maneira de resolver o problema a seguinte: seja 1 o ndice da varivel ct, 2 o

ndice da varivel y e 3 o ndice de ct-1. Alm disso, seja bij o coeficiente angular da

regresso que tem i como regressando e j como regressor, segue-se, ento, que6:

12 13 322

23 32

13 12 233

23 32

0,9 0,8 0,7 0,5231;1 1 0,7 0,5

0,8 0,9 0,5 0,5385.1 1 0,7 0,5

b b bb b

b b bb b

"

"

$ $ ;! ! !$ $ ;$ $ ;! ! !$ $ ;

.

6 Ver Johnston (1984), cap. 3.

12

3. Extenses ao Modelo Bsico de Regresso Linear

3.1 Qual a intuio do mtodo de estimao por mxima verossimilhana? Este mtodo

produz resultados necessariamente iguais ao mtodo de mnimos quadrados ordinrios?

Por que possvel obter um R2 negativo quando estimamos um modelo (com constante)

pelo mtodo de mxima verossimilhana?

Soluo: (Sugesto de leitura adicional CUTHBERTSON, Keith; HALL, Stephen &

TAYLOR, Mark. Applied Econometrics Techniques. Ann Arbor: Michigan, 1992)

Este um exerccio que refora a idia de mxima verossimilhana introduzida no

texto, procurando estimular o raciocnio intuitivo do alunos.

Dada uma seqncia de observaes e supondo-se uma determinada distribuio para os

erros dessa seqncia e seu processo gerador de dados, o mtodo de mxima

verossimilhana permite obter os parmetros que mais aproximam a distribuio amostral

da suposta distribuio populacional dos erros. Nesse sentido, no importa se o mtodo

produz erros pequenos ou grandes, desde que esses erros tenham a configurao de uma

normal, por exemplo. Por isso, a mdia desses erros pode ser bem diferente de zero, de

modo que o R2 pode ser negativo (ver exerccio 2.5).

Observe que, nos pacotes economtricos, o R2 calculado supondo-se que a estimao seja

feita por MQO com constante. Da um dos motivos para que no seja uma boa medida de

regresso, necessariamente.

3.2 (C) Uma varivel aleatria X tem uma distribuio exponencial, com parmetro

' (0" ". se X tem uma distribuio contnua pela qual a funo densidade de

probabilidade, f.d.p.,

' ( , para 0,0, para 0

xe xf x

x

"""$12 .2!32 B24

.

Para mais tarde, note que essa formulao implica que a funo densidade acumulada,

f.d.c., :

' ( 1 , para 0,0, para 0

xe xF x

x

"""$12 $ .2!32 B24

.

13

A mdia e a varincia de uma distribuio exponencial com parmetro " ' ( 1E X"

! e

' ( 21Var X"

! .

a. Suponha que x1, x2, ..., xn formem uma amostra aleatria de uma distribuio

exponencial, cujo valor " desconhecido. Encontre a estimativa de mxima

verossimilhana, EMV, de " .

b. Usando a propriedade de invarincia da EMV, encontre a EMV de 21 1 e " "

. (A

propriedade da invarincia da EMA significa que ' ( ' (g g) )! ).Soluo: Este exerccio serve de treino para derivar as condies de primeira ordem

da mxima verossimilhana, saindo um pouco da to conhecida distribuio normal.

O exerccio serve tambm para mostrar como se obtm resultados para uma

estimativa, a partir de outra estimativa. Alm disso, o exerccio, apesar da enorme

formulao, fcil.

a. Primeiro formulamos o problema na linguagem aprendida no livro.

' ( 11

;

n

ii i

n xx n

i

L X e e"

"" " " !$

$

!

%! !C .

Tomando-se o log:

' ( ' ( ' (1

log ; ; logn

ii

L X l X n x" " " "!

5 6 ! ! $9 : % .

As condies de primeira ordem do;

1

1

1 0n

i ni

ii

l n nxXx

" "" " !

!

, ! $ ! - ! D !, % %

.

b. A segunda parte do problema ainda mais fcil.

' ( ' (1 1 g g X" "" "! - ! ! .

Da mesma forma:

' ( ' ( 22 21 1 g g X" "" "! - ! ! .

14

possvel mostrar isso formalmente, utilizando a mesma metodologia anterior.

3.3 (C) Suponha que X1, X2, ..., Xn so variveis aleatrias de Bernoulli i.i.d., com:

1, com probabilidade 0, com probabilidade 1i

x))

122!32 $24.

a. Encontre a EMV de ) e sua distribuio assinttica7.

b. Teste a hiptese 0 : 0,4H )! por Wald, LR e LM? Teste a hiptese 2

0 : 0,5H ) !8?

Soluo: Este exerccio bastante completo e verifica se o aluno entendeu como

funcionam os testes apresentados no corpo do texto.

a. Primeiro, vamos definir a funo de Bernoulli, depois a funo de verossimilhana para

achar o valor dos parmetros e, em seguida, encontrar a distribuio assinttica.

A funo de Bernoulli dada por:

' ( ' (11 , 0,1xxiP X x x) ) ) $! ! $ ! .Como Xi i.i.d.:

' ( ' (11 21

, , , 1 iin

xxn

iP X x X x X x ) ) ) $

!! ! ! ! $C" .

Assim,

' ( ' ( ' ( ' ( ' (11 1 1

; ln 1 ln ln 1 1iin n n

xxi i

i i i

l x x x) ) ) ) )$! ! !

5 6! $ ! " $ $7 89 :% % % .

As condies de primeira ordem resultam em:

' ( ' ( ' (1 0 11

.

i ii i

i

x xx n x

xn

) )) )

)

$$ ! - $ ! $ -

$

!

% % % %%

As condies de segunda ordem garantem o mximo.

Agora, tratemos da distribuio assinttica. Pelo Teorema Central do Limite de Levy-

Lindberg, sabemos que, como E F 1n

i ix

! so i.i.d., ' ( ' (

2

,E x Var xn(*! ! , logo:

7 No preciso resolver a parte de distribuio assinttica, embora seja simples a resposta.8 Como se trata de uma restrio no linear, esta parte do exerccio pode ser evitada.

15

' (2 0,1dXn N*($ GGH .

' ( ' (

' ( ' ( ' ( ' (2 2

;

1 1 .

i

i

E x nEn n

Var x nVar

n n n

)) )

) ) ) ))

! ! !

$ $! ! !

%

%

A segunda igualdade da varincia resultado da varincia para o caso da distribuio de

Bernoulli. Desse modo:

' ( ' (' (

0,1

1 1dn N

n

) ) ) )) ) ) )$ $! GGH$ $

.

A soluo apresentada para distribuio assinttica, no entanto, pode ser feita usando as

propriedades do EMV. Uma delas afirma que, sob determinadas condies encontradas

neste problema, o estimador de mxima verossimilhana assintoticamente normal.

Formalmente, isso significa;

' ( ' (' (

1

2

2

0, , onde

;1 .

dn N

L xE

n

) )

)(

$$ GGH +

5 6,7 8+!$ 7 8,7 89 :

Logo,

' (' ( ' (

' ( ' (' (

' ( ' (' (

' (' (' ( ' (

2 2

2 2 22 2 2

2 2

2 22 2

1 1 11 11 1 1

1 1 1 1 1 .11 1

i ix xE E En

) ) ) )) )) )) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) )) )) ) ) )

< =5 6< = < = $ " $ >?$ $> >? ? >7 8 ?> >? ? >+! " ! " ! !?> > >7 8? ? ?> > >? ?> >> > ?? ?$ $ $7 8 >@ A @ A >?@ A9 :< = < =$ " $ $ $ "> >? ?> >? ?+! ! !> >? ?> >? ? $> >> >? ?$ $@ A @ A

% %

Portanto,

' ( ' (' ( 0, 1dn N) ) ) )$ GGH $ . b. O primeiro teste que devemos fazer assim especificado:

0 1: 0,4 : 0, 4.H H) )! & #

16

Apenas para formalizar melhor a idia de mxima verossimilhana, temos que definir os

seguintes resultados:

' ( 0, 4 0H ) )! $ ! , que a funo hiptese nula;

' (

' ( ' ( ' (' (

22 2

2 2

1;

; 1 1.

1i i

H

l x x x

))

) ) )

) ) ) )

,!

,

, $ $ $ $!

), , $% %

Teste de Wald

Com isso, o teste de Wald dado por:

' ( ' (' ( ' (

' (2 2

212 2

1 0, 4 1 1 0,4

1 1d

i i

Wx x

+

) )) ) ,

) )!

1 I2 2$2 22 22 2! $ ; ; $ GGH3 J2 22 2$ " $2 22 24 K% %.

Portanto, se ' (2

1 95%W +, !. , rejeitamos H0. Note que aqui, temos apenas que estimar o

modelo no restrito, ou seja, sem impor qualquer restrio.

Teste Razo de Verossimilhana LR

' ( ' ( ' ( ' ( ' (E F 2 1 2 ln ln 0, 4 1 ln 1 ln 0,6 di iLR x x +) ) , !5 6 5 6!$ $ " $ $ $ GGH7 8 7 89 : 9 :% % .Portanto, se ' (

21 95%LR +, !. , rejeitamos H0. Note que aqui temos que calcular o modelo

restrito e o no restrito.

Teste Multiplicador de Lagrange LM

No teste LM, temos apenas que calcular a verossimilhana com o modelo restrito.

' (' ( ' (

2 22

12 2

1

1 11 1i i i i d

i i

x n x x n xLM

x x+

) ),

) ) ) )) )!

1 I) 2 2< = < =$2 2$ $> >? ?2 2> >? ?! $ $ GGH3 J> >? ?> >2 2> >$ $? ?? ?@ A @ A$ " $2 22 24 K

% % % %% %$ $

$ $ $ $$ $,

onde )$ o vetor de parmetros estimados do modelo restrito. Assim, temos:

' (

2

21

0,05760, 4 0,6 0,36 0,16 1

i i d

i i

x n xLM

x x +, !

1 I< = 2 2$ >? 2 2>?! $ GGH3 J>? > 2 2> " $??@ A 2 24 K

% %% %

.

Portanto, se ' (2

1 95%LM +, !. , rejeitamos H0.

17

O segundo teste que devemos fazer assim especificado:2 2

0 1: 0,5 : 0,5H H) )! & # .

Apenas para formalizar melhor a idia de mxima verossimilhana, temos que definir os

seguintes resultados:

' ( 2 0,5 0H ) )! $ ! ;

' (2

H ))

),

!,

.

Teste de Wald

' ( ' (' ( ' (

2222 2

12 2

1 0,5

1 1d

i i

Wx x

+

) )) ,

) )!

1 I2 2$2 22 22 2! $ GGH3 J2 22 2$ " $2 22 24 K% %.

Teste Razo de Verossimilhana LR

' ( ' ( ' ( ' ( ' ( 2 11 1 2 ln ln 0,5 1 ln 1 ln 0,52 2d

i iLR x x +) ) , !1 I5 6 5 62 22 27 8 7 8!$ $ " $ $ $ GGH3 J2 27 8 7 89 : 9 :2 24 K% % .

Teste Multiplicador de Lagrange LM

' ( ' (' ( ' (' (

' ( ' (

222

2 2

2

212

12

1 1

4 0,5 0,5 1 0,5.

1 0,5 0,5 1

i i

d

i i

LMx x

x x+

) ))

) )

, !

1 I2 2$2 22 2! !3 J2 2$ " $2 22 24 K

; ; $GGH

$ " $

% %

% %

$ $

$ $

3.4 (C) Seja ' (21 , . . . 0, , 1t t t ty y i i d N+ # # ( +$! " /! 9.

9 Exerccio difcil, mas importante para entender e trabalhar os conceitos de vis, consistncia, EMV e MQO.

Consultar, tambm, captulo 5 do livro.

18

a. Escreva a funo log-verossimilhana para uma amostra com T observaes (y1, y2, ...,

yT), a partir do processo acima, condicional primeira observao. Escreva a funo

de verossimilhana como:

' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (

' ( ' ( ' ( ' (

1 1 1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 3 1 2 3 1

1 2 1 1 2 3 1 2 1 1

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , , , , , .

t t t t t t t

t t t t t t t t

t t t t t t

f y y y f y y y y f y y y

f y y y y f y y y y f y y y

f y y y y f y y y y f y y f y

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $

! !

! !

! !

!

# # #

# # #

"

# # "

Para o processo acima, os valores de (y1, y2, ..., yT-1) interessam para yT apenas atravs do

valor de yT-1. Assim, ' ( ' (1 2 1 1, , ,t t t t tf y y y y f y y$ $ $!# .

b. Mostre que EMV MQO+ + +! ! , onde MQO+ vem da regresso de yt contra yt-1 e EMV+ a

EMV (condicional em y1).

c. Mostre que + um estimador viesado de + .

d. Mostre que + consistente.

e. Obtenha a distribuio assinttica de + .

f. Agora, suponha que o processo seja alterado para ' (1 1

2

, ,

. . . 0, , , 1.t t t t t t

t

y y u u

u i i d N

+ # # )

( + )$ $! " ! "

/! O

estimador de mnimos quadrados consistente? Derive o limite de probabilidade.

Soluo: No corpo do texto, usaram-se termos como consistncia, vis, eficincia. Este

exerccio serve para trabalhar esses termos, de modo a esclarecer seu significado. Da

sua importncia. No entanto, este exerccio pode ser considerado difcil, a partir da

letra d. Note que aqui, implicitamente, estamos retirando a hiptese de que a matriz X

no estocstica. Isto muda radicalmente os resultados. Sugerimos a seguinte

bibliografia adicional: HAMILTON, James D. Time Series Analysis. Princeton:

Princeton, p. 215, 1994.

a. Vamos primeiro definir a funo de verossimilhana condicional a y1, como, alis, j

foi ensinado no corpo do exerccio.

' ( ' (' (21

21

122 2

1 1 1, , , 2t ty y

t t tf y y y y e#(

#-($

5 6$7 8$7 8$ 7 87 89 :$ $ !# .

Agora, seguindo a sugesto do exerccio:

19

' ( ' (

' (212

212

12 2

1 1 1, , , 2

T

t tt

y y

T

t t tf y y y y e#(

#-(

$!

5 67 8$7 87 8$7 87 87 8$ 7 8$ 7 87 89 :

$ $

%

!# .

Dessa forma:

' ( ' ( ' ( ' (22 2 1212

1 1 1, ; ln 2 ln2 2 2

TT

t t ttt

T Tl y y y# ##

+ ( - ( +( $! !

$ $5 6 !$ $ $ $7 89 : % .

b. Agora, fcil ver que ' ( ' (2* 2 112

arg max , ; arg minT

Tt t tt

t

l y y y#+ + ( + $!!

5 6! ! $7 89 : % . Assim,

temos que EMV MQO+ +! .

De fato, tomando as condies de primeira ordem,

' (' (

21

1 122

21 1

2 2

12

21

2

, ; 1 0

0

.

TTt t

t t tt

T T

t t tt t

T

t tt

EMV MQOT

tt

l yy y y

y y y

y y

y

#

#

+ (+

+ (

+

+ +

!$ $

!

$ $! !

$!

$!

5 6, 7 89 : ! $ ! -,

$ ! -

! !

%

% %

%

%Apenas para constar, as condies de segunda ordem do para + :

21

22 0

T

tt

y

#(

$!$ /%

.

c. Para mostrar que viesado, temos apenas que tomar a esperana da estimativa. Ou

seja,

' (1 1 12 2

2 21 1

2 2

T T

t t t t tt t

T T

t tt t

y y yE E E

y y

+ # #+ +

$ $ $! !

$ $! !

5 6 5 67 8 7 8"7 8 7 85 6 7 8 7 8! ! "7 89 : 7 8 7 87 8 7 87 8 7 89 : 9 :

% %

% %.

Temos que desenvolver o numerador da segunda parcela.

20

' ( ' (

' (

21 2 1 1 2 3

2 2 2

11

12 1

.

T T T

t t t t t t t t t t tt t t

j tTj j

t t j tt j

y y y

y

# # + # # # +# # + #

# # + + #

$ $ $ $ $ $! ! !

! $$

$! !

! " ! " " !

! !

! "

% % %

%%"

Podemos ver, a partir disso, que:

' (1

11 1

2 1

0j tT

j jt t j t

t j

E y y# # + + #! $

$$

! !

5 67 8" !7 87 89 :% % ,

porm,

' ( ' (' (

' (' (

11

2 11

21

2

g xg x0, pois E

j tTj

t t jt j

T

tt

EE y

h y E h yy

# # +! $

$$

! !

$!

5 67 8 5 65 67 8 9 :7 87 8 # #7 87 8 5 67 89 :7 8 9 :7 87 89 :

% %

%.

A concluso, portanto, que + viesado.

A intuio bsica que o denominador, que tambm depende dos erros, altera a razo, ou

seja, impe uma estrutura de ponderao, cuja esperana no mais zero.

d. A consistncia um conceito, quando tomamos a probabilidade do limite. Como,

nesse caso, pelo Teorema de Slutsky,

' (' (

' (' (

lim g xg xlim

limp

ph y p h y

5 65 6 9 :7 8 !7 8 5 67 89 : 9 :,

temos que:

' ( ' (1 1

1 1

2 1 2 1

2 21 1

2 201

1

2 1

21

2

limlim lim

lim

lim.

lim

j t j tT Tj j

t t j t t jt j t j

T T

t tt t

j tTj

t t jt j

T

tt

pp p

y p y

p

p y

# # + # # ++ + +

+ # #+ +

! $ ! $$ $

$ $! ! ! !

$ $! !

!! $$

$! !

$!

! " ! " !

5 69 :! " !

%% %%

% %

%%

%

%&&&&&'&&&&&(

Logo, + consistente.

e. Este exerccio no difcil, mas exige ateno.

21

' (1

21

2

2 21 1

2 2

1 1

1

T

T t tt

t tt

T T

t tt t

yy

TTy y

T

##

+ + + +

$!

$!

$ $! !

$! " - $ $ !

$

%%

% %.

Pelo Teorema Central do Limite,

' (' (1 4

2 221 20, 0,11

T

t tdt

t

yN E y N

T#

#

#((+

$!

$

< =>? >GGH ! ? >? >? $@ A$

%.

Pela Lei dos Grandes Nmeros,

21 2

221 1

T

tpt

y

T#(+

$! GGH$ $

%.

Para ver este ltimo resultado, observe que

' ( ' (' (

' ( ' ()

' (

22

2 2 2 21 1 1

2 2 2 21 1

0

22

2

2

2

.1

p ppt

t t t t t t t t

t t t t t

E y

t

y y y y y

E y E y E y E

E y

#(

#

+ # + # #

+ # #

(+

$ $ $

$ $

GGH GGHGGH

! " - ! " " -

! " " -

!$

*&&&+&&&,*&&+&&,

Ou, de outra maneira, lembrando que a esperana sobre uma amostra infinita:

' (2

2 2 22

2 2 1

Tj j

t t j tt t

y E y ##(+ # + (+

L

$! !

! - ! !$% % .

Portanto

' ( ' (2

22 2

2

11 0, 0,11

1

dT N N##

(+ + +( ++

< =>? >$ $ GGH ! $? >? >? $@ A$

.

f. Agora, como 1 1, lim 0t t t t tu u p y# ) #$ $! " # . Assim,

22

' (' (

2

1 1 2 1 22 2

1 2 1 22 2 2 2

0 0 0

21 2 1

22 2

0

p p p

p pu

T T

t t t t t t tt t

T T T T

t t t t t t t tt t t t

T T

t t t tt t

y u u y u u

y u y u u u u

T T T T

u y u u

T T(

# ) )

#)

) ) )

$ $ $ $ $! !

$ $ $ $! ! ! !

GGH GGH GGH

$ $ $! !

GGH GGH

! " " " -

! " " "

" " "

% %

% % % %

% %

*&&&+&&&, *&&&+&&&, *&&&+&&&,

*&&&&+&&&&, *&&+&&,

1 22

0

122 0.

p

T

tt

T

t tpt

u

u

T

y

T

#)(

$ $!

GGH

$!

-

GGH #

%

%

*&&&&+&&&&,

Agora, no denominador temos:

' (

2 22

12

2

22 2 2 21 2 1 2 2 1 2

2 22 2 2 2 2

1 2 2 22 2

0

2 2 2

T p pu u

tp t

p pu

T T T T T

t t t t t t tt t t t t

y

TT T

t t t t tt t

y y u u y u u

T T T T T

u y u y u

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( (

(

+ )+ )

+ +) )

$!

$ $ $ $ $ $ $! ! ! ! !

GGH GGH

GGH

$ $ $ $! !

GGH GGH

" "! ! " " "

%

" " "

% % % % %

% %

*&&+&&, *&&+&&, *&&+&&,

*&&&&+&&&&, *&&&&+&&&&,

' (

1 22

0

221

222

1 2.

1

p

T

tt

T

tpt

u

u

T

y

T) )+

(+

$ $!

GGH

$!

-

" "GGH

$

%

%

*&&&&+&&&&,

Portanto,

' (' (21 22

22 22

1 22

lim 1lim1 21 2lim

1

T

t tt u

Tu

tt

p yp

p y

# + ))(+ + + + +) )+) )+ (

+

$!

$!

$! " ! " ! " #

" "" "$

%

%.

Logo, podemos concluir que MQO+ inconsistente.

23

4. Anlise da Base de Dados e Utilizao de Variveis Binrias

4.1 Explique sucintamente como se faz o teste de Chow e para que ele serve. Apresente,

pelo menos, duas limitaes ao teste de Chow.

Soluo: O exerccio pretende estimular o raciocnio do estudante quanto

aplicabilidade do teste de Chow. O professor deve esperar que o estudante encontre

duas limitaes, pois a terceira bastante sutil, tratando-se de modelos no lineares.

Para teste de apenas uma mudana estrutural, divida a amostra em antes e depois da

mudana. Estime o modelo no restrito, ou seja, estime o modelo antes e depois da

mudana separadamente, calcule a soma dos quadrados dos resduos para cada caso e

some-as. Estime o modelo sem mudana estrutural, usando todos os dados, e obtenha a

soma dos quadrados dos resduos restritos. Use o teste F, tomando cuidado para especificar

corretamente o nmero de restries. O teste de Chow serve para verificar se houve alguma

mudana estrutural na srie.

A primeira limitao trata do fato de que o teste de Chow, usado para mudanas estruturais,

no aplicvel se o nmero de variveis explicativas, k, maior do que o nmero de

observaes de uma das subamostras, isto , se k > ni, para algum i. Na prtica isso

dificilmente ocorre, mas trata-se um problema potencial. Imagine intervenes na economia

de poucos meses, por exemplo, o que poderia acarretar esse problema.

A segunda limitao que o teste supe um modelo homocedstico, ou seja, mesma

varincia nas diversas subamostras, o que fortemente implausvel se h mudana

estrutural.

A terceira limitao que o teste se aplica apenas a modelos lineares, e no se aplica a

modelos no lineares. Porm, o escopo desse livro estudar estimao apenas em modelos

lineares. Para maiores detalhes sobre isso, ver DAVIDSON, Russel & MACKINNON,

James G. Estimation and Inference in Econometrics. New York: Oxford, pg. 376, 1993.

4.2 (K) Suponha que se estime y x D! " % #! " " " , onde D uma dummy para estado

civil (casado ou solteiro). Suponha que saibamos que a frao de casados na amostra

duas vezes maior do que a frao de solteiros na populao Que modificao, se

houver, voc sugeriria.

24

Soluo: Este um exerccio destinado a treinar a ateno do aluno, para evitar que,

num trabalho real, ele cometa erros primrios.

Nada, pois esta informao no tem qualquer implicao sobre os valores s parmetros.

4.3 (C) Suponha que o nico determinante do consumo das famlias no Br

ai, do chefe da famlia. Temos dados de cross-section de famlias. Con

modelo simples:

( 1 ) 1 2i i ic a" " #! " " ,

e o modelo mais geral

( 2 ) 1 1 2 2i i i i i ic D a D a" $ " $ #! " " " " ,

onde Di uma varivel dummy indicando se o chefe aposentado ou

seguinte forma:

1, se 60;0, se 60.

ii

i

aD

a1 022!32 /24

Assuma que todas as hipteses padres para pequenas amostras so

modelo ( 2 ) e que ' ( 2iVar # (! desconhecido.

a. De acordo com ( 2 ), qual a esperana condicional do consumo da f

tem 40 anos de idade? E para aquela cujo chefe tem 20 anos de idade?;

Para b. e c. considere as trs figuras abaixo:

ai

ci

sem pulo

sem quina

60

ci

sem pulo

quina

60ai

ci

pulo

quina

60doasil, ci, a idade,

sidere o seguinte

no, definida da

satisfeitas para o

amlia cujo chefe

ai

25

b. Que restries devem ser impostas sobre os parmetros do modelo ( 2 ) para evitar

mudanas descontnuas na esperana condicional do consumo na poca da

aposentadoria? Como voc testaria essa restrio?

c. Suponha que a restrio de b. seja verdadeira. Imponha isso sobre ( 2 ) e derive um

teste de hiptese que no haja pulo (como imposto) e no haja quina na consumo na

poca da aposentadoria.

Soluo: O exerccio aplica os conhecimentos de variveis dummy. Ele tem o mrito de

induzir o estudante a pensar em como se usam as variveis dummy.

a. O exerccio bastante simples, no demandando maiores dificuldades.

1 2

1 2

40 40;

20 20.i i

i i

E c a

E c a

" "

" "

5 6! ! " ;9 :5 6! ! " ;9 :

Ao passo que, por exemplo,

' (1 1 2 273 73i iE c a " $ " $5 6! ! " " " ;9 : .

b. A restrio necessria para evitar o pulo :

1 2 60 0$ $" ; ! .

Podemos testar,

0 1 2 1 1 2: 60 0 : 60 0H H$ $ $ $" ; ! & " ; # ,

fazendo um teste t-student da combinao linear dos coeficientes. Assim, rejeite H0 se

' (' (

M N M N

12 2

1 1 2 2

0 4 , onde

0,1,0,60 ; , , , .

Rt t ns R X X R

R

!"

" " $ " $

$

$! 0 $5 6) )7 89 :

)! !

c. Impondo a restrio de que no haja pulo sobre ( 2 ), obtemos:

' (1 2 2 60i i i i ic a D a" " $ #! " " $ " .

A restrio adicional para evitar quina 2 0$ ! . Podemos, ento, testar:

0 2 1 2: 0 : 0H H$ $! & # ,

fazendo um teste t-student da seguinte forma:

26

' (' (2

12 233

0 3t t ns X X

!$

$

$! 0 $5 6)7 89 :

.

Se a desigualdade for verdadeira, rejeitamos H0.

Apenas note o nmero de graus de liberdade, entre parnteses.

4.4 (J) Um conjunto de dados cross-section de famlias com relao a renda, y, e

consumo, c, dividida em subconjuntos de observaes, da seguinte maneira:

a. Operrios;

b. Assalariados; e

c. Autnomos.

Uma regresso do log(c) contra o log(y) computada para cada sub-amostra e para a

amostra completa (com dummy para cada intercepto), produzindo:

! s2 Ta. Operrios 1 02

0 06,

( , )0,24 102

b. Assalariados 0 910 1,

( , )0,46 104

c. Autnomos 0 760 08,

( , )0,30 26

d. Todas famlias 0 860 05,

( , )0,39 232

Aqui ! o coeficiente de declividade (com os erros-padro entre parnteses), s2 avarincia residual, e T o tamanho da amostra.

Teste as hipteses de que:

a. A elasticidade de c com respeito a y a mesma para todas as classes ocupacionais;

b. Seu valor unitrio.

Interprete os seus resultados e d algumas possveis explanaes para as diferenas

observadas.

Soluo: Este exerccio ilustrativo do uso das variveis dummy, onde o aluno

obrigado a raciocinar sobre sua utilizao. Ao mesmo tempo, introduz-se um exemplo

27

prtico, para aguar a intuio do estudante. O exerccio muito bom, porque

esclarece muitos detalhes que em geral passam despercebidos, mesmo aps uma

cuidadosa leitura do texto principal. Ao final da resoluo, apresentamos uma

variante do exerccio, muito ilustrativa, embora de um elevado grau de dificuldade, se

proposto aos alunos. Porm, tal variante poderia servir como um desafio, mais voltado

aos alunos aplicados.

a. Temos que fazer um teste de F para esse caso. Assim, precisamos encontrar os erros

quadrados da equao restrita e da no restrita. No temos isso diretamente, mas

podemos calcular. Se somarmos os erros das trs regresses separadas, teremos o erro

da equao no restrita, da mesma forma que feito no corpo do texto. Vamos ver

isso, algebricamente.

2 , 1, 2,3 ie es i

n k)

! !$

,

1 representa os operrios,

2 representa os assalariados,

3 representa os autnomos.

Com isso, podemos calcular o erro quadrado de cada regresso. Sabemos que o tamanho da

amostra, T, ser nosso n da equao e k o nmero de parmetros estimados. Como temos

uma dummy para cada intercepto, cada equao foi estimada com duas variveis

explicativas, e a ltima equao foi estimada com trs dummy mais o coeficiente de

declividade. Este o primeiro detalhe importante. Logicamente, a ltima equao trata do

modelo restrito, que ser denotado por um asterisco, *. Assim, temos:

' (' (' (' (

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

* * * *

0, 24 102 2 24;

0, 46 104 2 46,92; 0,30 26 2 7,2;

0,39 232 4 88,92.

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

) )$ ! - !) )$ ! - !) )$ ! - !) )$ ! - !

A soma dos erros quadrados das trs primeiras equaes nos d a soma dos quadrados dos

erros da equao no restrita. Calculando temos que 24 46,92 7,2 78,12" " ! .

Agora, vamos especificar o teste F que desejamos fazer. Este segundo detalhe muito

importante, pois define o nmero de restries, q, para o teste de F, nmero esse que

freqentemente causa confuses.

28

1 21 2

0 12 3

2 3

: : ouH H" "

" "" "

" "

1 #221 !2 22 2&3 32 2!24 2 #224

.

O nmero de restries melhor entendido, pensando na hiptese alternativa. Dessa forma,

calculando F, obtemos:

' (

' (' (95%

88,92 78,122 15,62 2, 22678,12

232 6

F F$

! ! .$

.

Com esse resultados, rejeitamos H0 de que as declividades so idnticas para as trs classes

laborais. Note que no sabemos se as trs declividades so diferentes entres si, ou se apenas

uma delas difere das outras duas, nem qual delas seria. Apenas sabemos que so diferentes.

b. Agora temos que testar, para cada regresso, se a declividade diferente. Basta usar

um teste t-student, bastante conhecido.

' (0 1 1 1 2,5%1,02 1: 1 : 1: 0,333 100

0,06H H t t" " $! & # ! ! / ,

de modo que aceitamos H0 ao nvel de 5% de significncia.

' (0 2 1 2 2,5%0,91 1: 1 : 1: 0,9 102

0,1H H t t" " $! & # ! ! / ,

de modo que aceitamos H0 ao nvel de 5% de significncia.

' (0 3 1 3 2,5%0,76 1: 1 : 1: 3 24

0,08H H t t" " $! & # ! ! . ,

de modo que rejeitamos H0 ao nvel de 5% de significncia.

luz do teste que fizemos no item anterior, observamos que a diferena de declividade

encontra-se no 3" . Ou seja, temos duas declividades iguais a 1 e uma diferente de 1. No

fizemos o teste para verificar se 3" maior ou menor do que 1 (nosso teste foi para

verificar se era diferente de 1), mas de se esperar que seja menor do que 1, de acordo com

as explicaes a seguir.

Uma possvel explicao a percepo do que a renda representa para cada classe laboral.

Os assalariados e operrios percebem aquela renda de uma perspectiva de mais longo

prazo, ou seja, entendem aquela renda como fazendo parte de seu fluxo de renda

permanente. Os autnomos no sabem se a renda percebida ser igual nos perodos

29

seguintes, ou seja, se se trata de renda permanente ou transitria. Por isso, os autnomos

tm uma propenso marginal a poupar maior do que as outras classes ocupacionais.

propsito, isto o que Milton Friedman props em suas Teoria da Renda Permanente. Esta

a razo por que a elasticidade renda dos autnomos menor.

Isto encerra o problema proposto.

O problema comporta algumas variantes de interesse. Inicialmente, suponha que no

tivesse sido citada uma dummy para cada intercepto. Ento, isso traria ambigidades, pois

no seria possvel definir se em todas famlias foram regredidas com apenas um

intercepto ou com uma dummy para cada intercepto. Assim, a soluo dada anteriormente

testa a seguinte hipteses:

Modelo Restrito: diferentes interceptos e uma declividade comum;

Modelo no Restrito: diferentes interceptos e diferentes declividades.

Porm, se assumimos que todas famlias tem apenas um intercepto, ento estaramos

testando H0: interceptos so os mesmos e declividades so as mesmas. Formalmente:

1 2 1 2

2 3 2 30 1

1 2 1 2

2 3 2 3

, ou, ou

: :, ou

.

H H

! ! ! !! ! ! !" " " "" " " "

1 1! #2 22 22 22 2! #2 22 2&3 32 2! #2 22 22 2! #2 22 24 4

Nesse caso, apenas o valor dos erros quadrados restritos que mudariam para:

' ( * * * *0,39 232 2 89,70e e e e) )$ ! - ! .

O teste de F seria dado por:

' (

' (' (95%

89,70 78,124 8,38 4, 22678,12

232 6

F F$

! ! .$

.

De modo que rejeitaramos a hiptese nula, sem saber se a rejeio seria causada por

interceptos diferentes, ou declividades diferentes, ou ambos.

Agora uma problema mais difcil. Supondo que a regresso todas famlias tenha, de fato,

um nico intercepto, seria possvel extrair a soma dos quadrados dos resduos para um

30

modelo restrito com diferentes interceptos e uma declividade comum, a partir dos mesmos

dados fornecidos?

Se estimssemos os modelos a partir de seus desvios em relao mdia, recuperaramos

os betas. Isto , a partir da mdia, para modelos com intercepto e declividade apenas:

y xx x

")

!)

,

onde y e x so desvios em relao sua mdia. Disso, podemos deduzir que::

' (2* *

y xe e y y

x x)

) )! $)

.

Dos dados do problema, temos que:

21 1

1 1 1 1

22 2

2 2 2 2

23 3

3 3 3 3

0, 241,02 e 0,06 ;

0, 460,91 e 0,10 ;

0,300,76 e 0,08 .

y xx x x xy xx x x xy xx x x x

)! !

) ))! !

) ))! !

) )

Assim, obtemos:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

66,67 e y 68,00;46,00 e 41,86;46,88 e 35,63;

159,55 e 145, 49.

x x xx x y xx x y x

x x y x

) ! !) )! !) )! !) )! !

Assim:

145,49 0,91159,55

" ! ! .

Isso difere da declividade de todas famlias de 0,86, confirmando nossa conjectura que a

regresso todas famlias no continha variveis dummy que permitisse interceptos

diferentes. Quer dizer, se queremos testar para diferentes declividades apenas, devemos

estimar o " da equao restrita com dummy para os interceptos e declividade comum,

como assumimos para resolver o problema anterior.

Para estimar * *e e) , precisamos computar 1 1 2 2 3 3y y y y y y y y) ) ) )! " " . Para qualquer regresso:

31

' ( ' (

' ( ' (

2

2

2

2

, 1,2,3

.

i i i i

i

ii i i

i

y xe e s n k y y i

x x

y xy y s n k

x x

)) )! $ ! $ ! -

)

)) ! " $

)

Logo, temos;

' (

' (

' (

2

1 1

2

2 2

2

68,00 0, 24 100 93,36;66,6741,86 0, 46 102 85,01;46,00

35,63 0,30 24 34, 28;46,88

212,65.

i i

y y

y y

y y

y y

) ! " !

) ! " !

) ! " !

) !

Dessa forma, obtemos:2

* *145,49212,65 80,50159,55

e e) ! $ ! .

Ou seja, se no avisssemos no enunciado do problema que todas famlias calculado

com uma dummy para cada intercepto, teramos que realizar todos os clculos acima, para

obter a soma dos quadrados dos resduos corretamente, a fim de testar para diferentes

declividades.

Finalmente, estamos prontos para testar que a elasticidade do consumo com relao renda

a mesma para todas as classes. Agora, h apenas duas restries:

1 2 1 20 1

2 3 2 3

; ou: :H H" " " "" " " "1 1! #2 22 2&3 32 2! #2 24 4

.

Fazendo o teste F:

' (' (

' (' (95% 99%

80,50 78,1222, 226 3,05 3,44 2,226 3,7078,12

232 6

F F F$

/ ! ! /$

- - .

Portanto, podemos rejeitar a hiptese de declividades comuns ao nvel de 5%, mas no ao

nvel de 1%.

Estas concluses esto sujeitas a qualificaes, no entanto. Se os dados disponibilizados

tiverem sido arredondados, considerveis erros podem ter sido introduzidos. Por exemplo,

32

se 2

0,0501"( ! (embora reportado 0,1), ento 2 2 180,37x x) ! , no 46,00, como

assumimos. Assim, este exerccio deve ser visto como pedagogicamente interessante, em

vez de empiricamente til.

Para concluir o problema, suponha que aceitemos a hiptese de que as declividades sejam

iguais. Devemos, agora, testar se elas diferem da unidade. As informaes que temos so as

seguintes:

22 * *

0,353 0,91; 0,353; 0,047

232 4 159,55e e ss s

x x""

)! ! ! ! ! !

)$.

O teste t dado por:

' (2,5%0,91 1 1,915 226 1,970,047

t t$! ! / ! .

Portanto, aceitamos a hiptese nula de que os coeficientes so conjuntamente iguais a 1.

Note que isso contrasta com os resultados obtidos pelo teste individual dos coeficientes,

feitos na resposta principal. O problema de se usar este tipo de teste que estamos fazendo

um teste sobre outro. Isto , aceitamos a hiptese de que os coeficientes so iguais; dado

isso, testamos se so iguais a 1. Nesse processo, perdem-se preciso e informao, motivo

pelo qual no recomendamos esse procedimento freqentemente. Alm disso, no

intuitivo que os coeficiente sejam todos iguais a 1, conforme explicamos na resoluo

principal, embora possam ser todos iguais.

33

5. Problemas Economtricos no Modelo Linear Geral

6.1 Suponha o modelo y X" #! " , onde y e # so vetores 1n& , X

34

6.2 Suponha um modelo de regresso linear mltiplo em que ! exista, seja no viesado eeficiente, pois u homocedstico. Suponha que voc imponha falsas restries sobre os

parmetros do modelo.

a. Mostre que as estimativas nesse caso so viesadas;

b. Mostre que a varincia das estimativas do modelo com restries menor do que a

varincia das estimativas do modelo sem restrio;

c. Qual a implicao desse resultado em termos de previso? Qual a intuio desse

resultado?

Sugesto: Lembre o que EQM, ou seja, o erro quadrtico mdio.

Soluo: O exerccio procura ilustrar um caso que no muito intuitivo, primeira

vista, ou seja quando se impem falsas restries no modelo a varincia reduz-se. Isto

importante para se ter uma primeira intuio do erro quadrtico mdio, sua

importncia e suas conseqncias para a previso. s vezes, impondo falsas restries,

pode-se melhorar a previso, pois reduz-se o erro de previso, no obstante o vis

possa aumentar.

a. Primeiramente, note que

' ( ' (' ( ' (

1 *

11 1

; ,

.

sr crX X X Y K r R

K X X R R X X R

" " " " " "$

$$ $

) )! ! ! ! " $

5 6) ) ) )! 7 89 :

10

Daqui podem-se tirar as seguintes concluses:

' ( ' (' ( ' (

12

*

;

.

Var X X

E K r R

" (

" " "

$)!

! " $

Como ' (*r R E" " "# - # . Portanto, as estimativas so viesadas.b. H bastante lgebra neste exerccio, mas, com calma, obtm-se a resposta.

10 Ver exerccio 3.1.c.

35

' (

' ( M N ' (' (' ( ' (

' (

*

A A

Var E Kr KR Kr KR Kr KR Kr KR

E AA

E KR A E I KR I KR

I KR B I

" " " " " " " " "

" " " " " " " "

! !

)5 6 5 67 8 7 8! " $ $ $ $ " $ $ $ $ !7 8 7 87 8 7 89 : 9 :

5 6)! !9 :5 6)5 6 ) )7 8! $ $ $ ! $ $ $ $ !7 8 7 89 : 9 :

! $

*&&&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&&&, *&&&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&&&,

' (

' (

2 2

1

,

.

DKR B BR K KRB KRBR K

B X X

( (!

$

< =) >? ) ) ) )$ ! $ $ " >? >>?@ A

)!

*&&&+&&&,

Desenvolvendo D, temos:

' ( ' ( ' (11 1 1

BK

D X X R R X X R R X X R K BR K$$ $ $

!!

5 6) ) ) ) ) ) ) ) )! !7 89 : *&&&+&&&,*&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&,.

Dessa forma, conseguimos:

' ( ' ( ' ( ' (' ( 1* 2 2 2Var B KRB I KR B I KR X X" ( ( ($)! $ ! $ ! $ .

Logo, se ' ( ' (* 0KR Var Var" ". - / . Para ver este ltimo fato, observe que

' ( ' (11 1

0

T TR L LR

KR X X R R X X R R

)

$$ $

. ) )

5 6) ) ) )! 7 89 :*&&&+&&&,

*&&&+&&&, *&&&&&&&&&+&&&&&&&&&,.

Agora, seja c = Tv, onde c um vetor 1n& . Sendo assim, cc = vTTv > 0, como

queramos demonstrar, pois cc um escalar.

c. Mesmo com falsas restries, as previses sero melhores se a diminuio da

varincia for maior do que o aumento do vis. Formalmente, se EQM* < EQM. A

intuio do resultado que impor falsos parmetros significa que haver menos

parmetros variando, o que poderia reduzir o erro de previso.

6.3 Responda:

a. Cite pelo menos dois testes para a hiptese de homocedasticidade;

b. Cite pelo menos um teste para a hiptese de autocorrelao dos resduos;

c. Em caso de rejeio da hiptese nula em a., por que mtodo voc estimaria o modelo?

d. Em caso de rejeio da hiptese nula em b., por que mtodo voc estimaria o modelo?

36

Soluo: O exerccio pretende que o aluno volte ao livro-texto e verifique claramente

que testes ele pode aplicar e de que maneiras ele deve estimar o modelo, em caso de

rejeio da hiptese nula. Com isso, sistematiza-se todo o captulo. Sugerimos

consultar, adicionalmente, Johnston e Dinardo (1998).

a. H vrios testes que podem ser usados: Breusch-Pagan, White, Goldfeld-Quandt,

Glesjer;

b. Durbin-Watson, ACF, Ljung-Box;

c. Mnimos quadrados generalizados, mnimos quadrados generalizados factveis;

d. Pode-se usar o mtodo de Cochrane-Orcutt, Durbin ou Variveis instrumentais.

6.4 (C) Suponha o seguinte e verdadeiro modelo:

, 1, 2, ,t t ty x t T" #)! " ! # ,

porm um econometrista, equivocadamente, estima

, 1, 2, ,t t t ty x z t T" $ #) )! " " ! # ,

onde xt 1k& e zt 1m& . Assuma que ' ( ' ( 2, 0, ,E x z E x z I# ## ()! ! . Seja " o

estimador por MQO do modelo correto. Seja "$ e $$ os estimadores do modelo equivocado.

a. "$ no viesado para " ?;

b. Compute a matriz de covarincia para ' (," $$ $ . Compare o bloco da matriz decovarincia correspondente a "$ com a matriz de covarincia de " . Quando elas so

as mesmas?

Soluo: O exerccio tem o objetivo de mostrar se variveis omitidas causam vis.

Sabemos que no, conforme provado no corpo do texto. Por isso, o exerccio apenas

busca formalizar melhor os resultados j conhecidos, aplicando-se o Teorema de

Frisch-Waugh-Lovell ou Frisch-Waugh11, entre tantas outras maneiras de resolv-lo.

Tal teorema pode ser encontrado em livros como DAVIDSON, Russel &

MACKINNON, James G. Estimation and Inference in Econometrics. New York:

Oxford, cap. 1, 1993 ou GREENE, William H. Economic Analysis, 4th. ed. Upper

11 Veja exerccio 6.1.c, onde se demonstra esse teorema.

37

Saddle River: Prentice Hall, 2000. propsito, por se tratar de um teorema muito

til, sugerimos que o mesmo seja apresentado em detalhes para os alunos.

a. Sim, "$ no viesado. Para ver isso, reescreva o modelo como

( 3 ) 1 1, , ,T k T TY X X Y" # #& & &! " .

Reescreva o modelo equivocado como

( 4 ) 1, ,T m TY X Z Z" $ . .& &! " " .

Agora, pr-multiplique ( 4 ) por ' ( 1zM I Z Z Z Z$) )! $ , observando que Mz idempotente

e simtrica. Assim, obtemos,

( 5 ) z z zM Y M X M" .! " .

Pelo Teorema de Frisch-Waugh-Lovell, o " estimado usando-se ( 5 ) idntico quele

usando-se ( 4 ). Agora, note que pr-multiplicando ( 3 ) por Mz, voltaramos a ( 5 ). Isto ,

se " estimado por ( 3 ) no viesado, ento aquele estimado por ( 5 ) tambm no o .

Formalmente, usando MQO em ( 5 ), conseguimos:

' ( ' (' ( ' ( ' (

1 1

1.

z z z z

z z

X M X X M Y X M X X M

E X M X X M E

" " #

" " # "

$ $

$

) ) ) )! ! " -

) )! " !

$

$

Portanto, "$ no viesado.

b. Podemos estimar o modelo da seguinte forma:

M N1

.

Y X Z

X X X Z X YZ X Z Z Z Y

".

$

"$

$

5 67 8! " -7 89 :

5 6 5 6 5 6) ) )7 8 7 8 7 8!7 8 7 8 7 8) ) )7 8 9 : 9 :9 :

Agora, temos que relembrar uma propriedade de inverso de matrizes. Dada a seguinte

matriz:

A BM

C D5 67 8! 7 89 :

,

ento

38

' (1 1 1 1 111 1 1

A I BE CA A BEM

E CA E

$ $ $ $ $$

$ $ $

5 6" $7 8! 7 8$7 89 :,

onde E = D CA-1B.

Ento, defina

' (

' ( ' ( ' ( ' (

' ( ' ( ' (

' (

1

11 1 11 1 1

1

1 1 1

1

;

xM

E Z Z Z X X X X Z

A I BE CA X X I X Z Z Z Z X X X X Z Z X X X

X X I X Z Z I X X X X Z Z X X X

X X

$

$$ $ $$ $ $

$

$ $ $

!

$

) ) ) )! $1 I2 25 62 2) ) ) ) ) ) ) )" ! " $ !3 J7 82 29 :2 24 K

1 I2 25 6< =2 2>?7 82 2>2 2? >) ) ) ) ) ) )! " $ !7 8?3 J>? >2 27 8? >>?2 2@ A7 82 29 :2 24 K)!

*&&&&&&&+&&&&&&&,

' ( ' (E F1 1 .xI X Z Z M Z Z X X X$ $) ) ) )"Na primeira regresso, em ( 3 ), ' ( ' ( 12Var X X" ( $)! . Agora,

' ( ' ( ' ( ' ( ' (1 1 1 12 2 xVar X X X X X Z Z M Z Z X X X" ( ($ $ $ $) ) ) ) ) )! "$ .

Portanto, uma condio suficiente para que ' ( ' (Var Var" "! $ que XZ = 0, isto , que X eZ sejam ortogonais.

39

6. Multicolinearidade

6.1 (C) Considere o modelo

1 1 2 2 , 1, 2, ,t t t ty x x t T" " #) )! " " ! # ,

onde x1t 1k& e x2t 1m& . Assuma que ' ( ' ( 21 2 1 2, 0, ,E X X E X X I# ## ()! ! , e

1 2 0X X) ! . Seja " o estimador por MQO do modelo correto. As variveis esto em termos

de seus desvios em relao a sua mdia.

a. Mostre que a nico estimador de ' (1 2," " de varincia mnima, no viesado e linear

pode ser escrito na forma:

' ( ' (1 11 1 1 1 2 2 2 2,X X X y X X X y" "$ $) ) ) )! !$ $ .

Note que estes so estimadores de MQO para os modelos 1 1 1 1t t ty x! " #)! " " e

2 2 2 2t t ty x! " #)! " " , respectivamente.

b. 1"$ e 2"$ so estimadores no viesados se 1 2 0X X) # ? Se so, compute o vis de cada

um.

c. Suponha, agora, que 1 2 0X X) # . Seja ' (1

, 1,2i i i i iM I X X X X i$) )! $ ! . Qual a

interpretao de M2X1 e M2y? Mostre que a estimativa de 1" pode ser escrita como

' ( 11 1 2 1 1 2 X M X X M y"$) )! ,

e similarmente para 2" . Compute as matrizes de covarincia de 1" e 2" .

d. Considere o caso onde k = 1, m = 1 e 1 2 0X X) # . Expresse a varincia de 1" como

uma funo do coeficiente de correlao amostral entre X1 e X2, 212r . O que acontece

quando 212 1r H ?

Soluo: Este problema tem vrios objetivos. O primeiro mostrar as vrias maneiras

de se obter as estimativas do modelo. O segundo mostrar as conseqncias de no se

ter X1 e X2 ortogonais entre si, ou seja, mostrar o vis causado por variveis omitidas.

Alm disso, prova-se parte do importante Teorema de Frisch-Waugh. Finalmente,

mostram-se as conseqncias da multicolinearidade, inclusive graficamente.

a. Vamos reescrever o modelo na forma matricial

40

( 6 ) 1 1 2 2 1 2 1 1, , , ,T TT k T my X X X X y" " # #& && &! " " .

Defina

' ( 1 , 1,2i i i i iM I X X X X i$) )! $ ! .

Pr-multiplicando ( 6 ) por M2, obtemos:

( 7 ) 2 2 1 1 2M y M X M" #! " .

Por causa do Teorema de Frisch-Waugh-Lovell 1" estimado por ( 6 ) idntico ao 1" por

estimado por ( 7 )12. Logo,

' ( 11 1 2 1 1 2 X M X X M y"$) )! .

Como

.' (

01

1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1X M X X X X X X X M X!

$) ) ) ) ) )! $ - ! ,

ento,

' ( 11 1 1 1 X X X y"$) )! ,

como queramos demonstrar.

Adotando o mesmo procedimento para 2" , obtemos

' ( 12 2 2 2 X X X y"$) )! .

b. Suponha que 1 2X X# , e que 1"$ estimado usando o modelo 1 1y X " #! " , quando o

verdadeiro modelo 1 1 2 2y X X" " #! " " . Ento,

' ( ' ( M N' ( ' (

1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

1 11 1 1 1 2 2 1 1 1 .

X X X y X X X X X

X X X X X X X

" " " #

" " #

$ $

$ $

) ) ) )! ! " " !

) ) ) )! " "

$

Logo

' ( ' ( 11 1 1 1 1 2 2vies

E X X X X" " "$) )! "$ *&&&&&&&+&&&&&&&, .

Procedendo da mesma maneira,

12 Ver demonstrao no item c. deste exerccio.

41

' ( ' ( 12 2 2 2 2 1 1vies

E X X X X" " "$) )! "$ *&&&&&&&+&&&&&&&, .

c. Primeiro observe que ' (2

12 2 2 2 2

yX

M y y X X X X y"

$

!

) )! $ *&&&&&&+&&&&&&, o resduo da regresso de y

contra X2.

Seguindo o mesmo raciocnio, observe que

' (1 2

12 1 1 2 2 2 2 1

X X

M X X X X X X X"

$ )! $ *&&&&&&+&&&&&&, .

Ou seja, isto como se regredssemos cada uma das colunas de X1 contra X2, e depois

calculssemos os resduos de cada uma da k regresses.

Agora temos que provar que 1 1 A B" "! , onde

(A) 1 1 2 2y X X" " #! " " ;

(B) 2 2 1 1 2M y M X M" #! " .

Este o Teorema de Frisch-Waugh-Lovel que temos usado.

Tomando as condies de primeira ordem de (A), por mnimos quadrados ordinrios,

obtemos:

11 1 1 2 1

2 1 2 2 22

X X X X X yX X X X X y

"

"

5 65 6 5 6) ) )7 87 8 7 8!7 87 8 7 8) ) )7 89 : 9 :9 :.

Desenvolvendo essa expresso, chegamos a

' ( ' (1 11 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 22 1 1 2 2 2 2

.

X X X X X y X X X y X X X X

X X X X X y

" " " "

" "

$ $12 ) ) ) ) ) ) )" ! - ! $2232 ) ) )" !224

Substituindo a primeira equao na segunda, temos:

' ( ' (

' ( ' (

' (

1 1

1 12 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 12 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

2 1 2 2 2 11

2 2 1 2 2 1

.

M M

X X X X X y X X X X X X X X X y

X I X X X X X X I X X X X y

X M X X M y

X M X X M y

" "

"

"

"

$ $

$ $

! !

$

) ) ) ) ) ) )$ " ! -5 6 5 67 8 7 8) ) ) ) ) )$ ! $ -7 8 7 87 8 7 87 8 7 89 : 9 :) )! -

) )!

*&&&&&&&&+&&&&&&&&, *&&&&&&&&+&&&&&&&&,

Procedimento anlogo d:

42

' ( 11 1 2 1 1 2 X M X X M y"$) )! .

Para calcular a varincia, note que:

' ( ' ( ' (' (

' (' ( ' ( ' ( ' (

1 11 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

11 1 1 2 1 1 2

1 1

1 1 121 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1

, e

.

X M X X M M X M X M X X M

X M X X M

E

Var E X M X X M M X X M X X M X

" " # " #

" " #

" "

" ## (

$ $

$

$ $ $

) ) ) )! " ! " -

) )$ ! -

!

5 6) ) ) ) )! !7 89 :

Analogamente,

' ( ' ( 122 2 1 2Var X M X" ( $)! .d. Primeiro, do apndice sabemos que o coeficiente de correlao amostral dado por:

' (' (' (

21 22

121 1 2 2

X Xr

X X X X)

!) )

.

Dessa forma,

' ( ' ( ' (

' (' (' (

' (' (

1211 1 22 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 12 2

1211 22 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 121 1 2 2

2

21 1 12

.1

X XVar X X X X X X X X X X

X X

X XX X X X X X X X r

X X X X

X X r

" ( (

( (

(

$$$

$

$

5 6)7 85 6) ) ) ) )! $ ! $ !7 87 89 : )7 89 :5 6)7 8 5 6) ) ) )! $ ! $ !7 8 7 89 :) )7 89 :

!) $

Ou seja,

' ( ' (' ( ' (2122

1 12 11 1 12

lim1 r

Var VarX X r(" "

H! - !L

) $.

Graficamente, isso significa:

43

Interpretando 1 2 1X M X) como a soma dos quadrados dos resduos de regresso de cada

coluna de X1 contra X2, podemos ver que, quanto menor os resduos, maior a ' (1Var " . Osresduos sero menores, quanto maior for a colinearidade entre X1 e X2. Assim, se 212 1r H ,

' (1Var " vai para o infinito, e conclumos que o modelo tem variveis redundantes. Issosignifica que podemos excluir uma das variveis explicativas do modelo sem perder muita

informao.

6.2 (K) Retirar um varivel pode ser uma soluo para multicolinearidade? (explique

detalhadamente)

Soluo: O exerccio procura aguar a intuio do estudante.

Note, inicialmente, que no existe uma soluo para multicolinearidade. Em segundo

lugar, deve estar claro que retirar uma varivel pode significar a omisso de varivel

relevante, o que resulta no vis de estimao. Porm, se a varivel retirada for altamente

correlacionada com outra do modelo, pouca informao se perderia, pois essa outra varivel

do modelo j est incorporando a informao da outra que foi retirada. Portanto, quanto

mais correlacionadas forem duas variveis, menos necessrio que apaream

simultaneamente no modelo, pois uma contm a informao da outra. nesse sentido que

retirar uma varivel pode ser uma soluo para multicolinearidade.

' (1Var "

2

1 1X X()

212r1

44

6.3 (K) Se x2 uma funo exata de x, defrontar-nos-amos com exata multicolinearidade se

usssemos x e x2 simultaneamente como regressores. Explique.

Soluo: Mais uma vez, o objetivo do exerccio aguar a intuio do estudante.

A afirmao falsa, pois no existe uma relao linear entre x e x2. A multicolinearidade

causada quando h uma relao linear. O prprio nome j leva a pensar isso, pois pontos

colineares so pontos que pertencem mesma linha (ou reta).

6.4 (K) No modelo de regresso linear clssico, a multicolinearidade poderia resultar em

vis na estimativa de suas varincias? Explique.

Soluo: Este um exerccio bastante sutil, por isso importante.

Afirmao falsa. As varincias tornam-se grandes, mas suas estimativas tambm. Isso

fcil de ser visto, pois varincia e estimativas tm (XX)-1 como fator comum, que fica cada

vez menor medida que mais perfeita seja a multicolinearidade.

6.5 (K) Suponha um modelo de regresso linear clssico: y x w! " % #! " " " . Muitas

amostras so tais que x e w so correlacionados, porm, por sorte, voc observa uma

amostra em que eles so no correlacionados. Ento, voc regride y contra x e um

intercepto, obtendo *" .

a. *" no viesado?

b. A estimativa da varincia de *" no viesada?

Soluo: Mais um exerccio cuja sutileza lapida o conhecimento do estudante,

fazendo-o raciocinar sobre o problema.

a. *" no viesado, haja vista que x e w so no correlacionados. Basta ver o primeiro

exerccio deste captulo.

b. A varincia de *" viesada, no entanto. Isto ocorre porque a estimativa de 2"(

viesada para cima. Para ver isso, lembre-se de que s2 dividido por n k, onde k

deveria ser igual a 3, mas neste caso, por falta de uma varivel, ser dividido por (n k

1).

45

7. Econometria das Variveis de Resposta Qualitativas eLimitadas

7.1 Escreva o modelo de probabilidade de escolha Probit. Interprete o impacto de uma

modificao em uma varivel explicativa.

Sugesto: Consulte GRIFFTHS, William E., HILL, R Carter, JUDGE, George G. Learning

and Practicing Econometrics. New York: Wiley, 1992.

Soluo: Apesar do livro texto escrever a funo Probit explicitamente, esta uma

boa oportunidade para entendermos melhor as conseqncias do uso desse modelo.

De acordo com o modelo Probit temos:

' (i iP F X ")! ,

onde ' (iF X ") a funo densidade de probabilidade acumulada, tal que

' (21 exp

22

iX

izF X dz

"

"-

)

$L

5 67 8) ! $7 89 :

P .

A questo agora e derivar essa funo com respeito a Xj. Para isso, usamos o teorema de

Leibnitz que diz o seguinte:

' (' (

' (

' (' ( ' ( ' (' ( ' ( ' (' (

' (, ,, ,

A x

A xB x

B x

F x z dzF x z

F A x z A x F B x z B x dzx x

,,) )! $ "

, ,

PP .

Como ' (B x !$L , ento ' ( 0B x) ! . Alm diso, como ' ( ' (,F x z F z! , ento

' (,0

F x zx

,!

,. Logo o resultado da derivada :

' ( ' (2

1 exp22i

j i j

Xf X

"" " "

-

5 6)7 8 )$ !7 87 89 :

,

onde ' (if X ") a funo densidade de probabilidade.Podemos, assim, ver que o impacto de uma modificao da varivel explicativa depender

de ' (if X ") e j" , e no apenas de j" isoladamente, como em modelos lineares.

46

Vamos entender, intuitivamente, o que est ocorrendo. Quanto mais prximo de 1 ou 0

estiver a funo densidade de probabilidade acumulada, ' (iF X ") , menores sero os valores

da f.d.p., ' (if X ") . Com isso, a mnima modificao em Xj tem poucas chances de mudar a

deciso. Se ' (iF X ") estiver ao redor de 0,5, ento torna-se mais fcil modificar uma

deciso, pois a ' (if X ") estar em seu valor mximo.

Dessa discusso podemos concluir que, dado que ' (if X ") sempre positiva, o sentido damodificao depender do sinal de j" . Alm disso, a magnitude da mudana na

probabilidade, dada uma variao em Xj, determinada pela magnitude de j" e de

' (if X ") , simultaneamente.

7.2 (C) Em um modelo de escolha discreta Probit, suponha que a utilidade lquida

' (2, 0,I X N #" # # (! " ! ,onde

1, se 00, c.c.,

D ID

1 ! 02232 !24e

' (2, 0, VX V V N# / (! " ! .Assuma que, na amostra sua disposio, as observaes so independentes entre as

pessoas.

O que pode ser identificado de uma grande amostra de observaes de pessoas, quando (d

as condies precisas):

a. 0/! ?;

b. 0/# ?.

Soluo: Este um exerccio simples, apenas exigindo a montagem da funo de

verossimilhana para fins estimao.

a. Vamos definir a funo de verossimilhana primeiro, para, depois, responder as

questes.

47

I X X X V" # " /! " ! " " .

Logo,

' (' (

1, se 0 00, se 0.

D I X VD X V

" /" /

1 ! 0 - " " 02232 ! " " /24

Dessa forma,

' ( ' (' ( ' (

' ( ' (

Pr 1 Pr 0 Pr

Pr .

V V

V V V

XVD X V

X XV

" /" /

( (

" / " /( ( (

< =" >? >! ! " " 0 ! 0$ !? >? >>?@ A< = < =" "> >? ?> >B !Q? ?> >? ?> >> >? ?@ A @ A

Aqui, ' (Q ; representa a funo densidade de probabilidade acumulada. preciso dividir as

expresses pela varincia de V, pois os resultados estimados sempre referem-se a uma

normal-padro.

Ento, o modelo Probit fica:

' ( ' (1

1

1ii DDn

i i

i V V

X XL

" / " /( (

$

!

5 6< = < =" "> >? ?7 8> >! Q $Q? ?> >7 8? ?> >> >? ?@ A @ A7 89 :C ,

donde obtemos a estimativa

' (V

" /("

.

Assim, se 0/! , podemos identificar V

"(

.

b. Se 0/# , identificamos ' (V

" /("

sem, no entanto, podermos separar V

"(

de V

/(

.

7.3 (C) Seja ' ( ' ( ' (1 1 2 2, , , , , ,n nY x Y x Y x5 69 :# uma amostra aleatria de n observaes, onde xi

uma varivel aleatria escalar, e Yi varivel aleatria de Bernoulli, que assume apenas

dois valores, 0 e 1, com as seguintes probabilidades:

' ( ' (' (

' ( ' (

1 2

1 2

1 2

expPr 1 ;

1 exp1Pr 0 .

1 exp

ii

i

ii

xY X

x

Y Xx

) )) )

) )

"! !

" "

! !" "

48

Esse modelo conhecido como um modelo de resposta binria Logit. uma alternativa ao

modelo Probit, como j sabemos.

a. Encontre a funo esperana condicional de Yi dado X = (x1, x2, ..., xn);

b. Escreva a funo log-verossimilhana para esse modelo.

Soluo: Este um exerccio que requer apenas os conhecimentos de probabilidade.

muito importante saber escrever a funo log-verossimilhana, por isso a insistncia

nesse conceito ao longo dos exerccios propostos.

a. Primeiro, vamos converter o problema em notao matricial, apenas para resolv-lo de

uma maneira mais geral, mas isso no seria preciso, de fato.

' (

' (

Pr 1 ;1

1Pr 0 .1

i

i

i

X

i X

i X

eY Xe

Y Xe

)

)

)

! !"

! !"

Agora, aplicar o operador esperana, simplesmente.

' ( ' ( ' (1 2 1 2 1 2, , , 1 Pr 1 , , , 0 Pr 0 , , ,

.1

i

i

i n i n i n

X

X

E Y x x x Y x x x Y x x x

ee

)

)

! ; ! " ; ! !

!$

# # #

b. Como assumimos cada observao independente da outra, temos:

' ( ' (

' ( ' ( ' (

' ( ' ( ' (

1

1 1

1

11 1 1

;1

; ln ; ln 1

ii iii

i i i

ii

i

i

YY XYX

i X X Xi

YXn n

i Xii i

nX

i ii

eef Y Xe e e

eL X f Y X

e

l X L X Y X e

))

) ) )

)

)

)

)

) ) )

$

! !

!

< = < =>? >?>! ! -? >?> >>? ?>? @ A" " "@ A

! ! -"

5 6! ! $ "7 89 :

C C

%Para completar, fornecemos as condies de primeira ordem.

M N ' (' (

M N ' (' (

1 21

1 1 1 2

1 22

1 1 1 2

exp: ;

1 exp

exp: .

1 exp

n ni

ii i i

n ni i

i ii i i

xY

x

x xY x

x

) ))

) )) )

)) )

! !

! !

"!

" "

"!

" "

% %

% %

7.4 (K) Suponha que voc deseja estimar a curva de demanda por bilhetes de futebol. Voc

acredita que a demanda determinada linearmente por uma sries de fatores, entre os

49

quais o preo do bilhete, o padro relativo da equipe local e da equipe visitante, a renda

familiar da cidade, a renda total da cidade, etc. Voc possui 10 anos de dados, durante

os quais, em vrias ocasies, os bilhetes estiveram esgotados. Qual a sua recomendao

para os dados quando os bilhetes estiveram esgotados?

Soluo: Este problema de dados censurados, em que se procura verificar se o

estudante entendeu a idia geral para esses casos.

Um jogo cujos bilhetes estavam esgotados reflete uma demanda acima da capacidade dos

lugares. Essas observaes devem ser tratadas como observaes limites em um modelo

Tobit.

50

8. Sistemas de Equaes Simultneas

8.1 (C) Discuta a identificao e estimao do seguinte modelo de equaes simultneas:

1 12 2 13 3 11 1 13 3 1

2 23 3 22 2 23 3 2

31 1 3 32 2 3 .

t t t t t t

t t t t t

t t t t

y y y x xy y x x

y y x

$ $ " " #$ " " #

$ " #

1 " " " " !2222 " " " !3222 " " !24

Aqui no h restries de covarincia. Assegure-se de considerar as condies de ordem e

rank (ou posto, em portugus) e explicitar as hipteses de que voc precisa para estimar os

parmetros do modelo.

Soluo: Este um exerccio bsico para verificar a compreenso do aluno a respeito

do texto principal. Ele treina fartamente as condies de ordem e posto, necessrias

estimao e identificao do modelo.

Vamos apresentar um mtodo de resoluo do problema, no necessariamente nico, mas

que entendemos que seja compreensvel. Na verdade, depois de entendida tcnica que se

verifica quo fcil o mtodo de identificao de equaes simultneas. Primeiramente,

vamos montar uma matriz, onde na linha superior esto as variveis do modelo, endgenas

e exgenas. Na primeira coluna, representam-se as equaes. Os zeros da matriz

representam as variveis excludas, endgenas ou exgenas. Com isso, podemos obter a

condio de ordem.

1 2 3 1 2 3

1 12 13 11 13

2 23 22 23

3 31 32

1 00 1 0

0 1 0 0

y y y x x xi yii yiii y

$ $ " "$ " "

$ "

Montada essa matriz, temos que preencher a seguinte tabela:

51

Cond. Ordem Exg. Excl. End. Incl. 1 Diagnstico

i 1 < 2 no identificado

ii 1 = 1 Identificado?

iii 2 > 1 super identificado?

Note que, na matriz, separamos o bloco de endgenas do bloco de exgenas. Contamos as

exgenas excludas olhando na linha da matriz. Para cada zero em cada linha, no bloco das

variveis exgenas, temos uma excluso. Com isso, preenchemos a segunda coluna da

tabela acima.

Depois contamos as endgenas includas. Outra vez, olhando em linha, para cada zero

temos uma endgena excluda, portanto o nmero de endgenas includas o nmero total

de endgenas menos o nmero de zeros da linha. No nosso caso, temos trs endgenas e, na

segunda linha, no h excluses. Feito isso, preenchemos a quarta coluna da tabela, sem

esquecer de subtrair 1 do nmero de endgenas includas.

Note que as exgenas excludas o K00 do corpo do texto.

Depois disso, preenchemos a coluna trs com o sinal apropriado, comparando as colunas 2

e 4. Se o nmero de endgenas includas menos um superar o de exgenas excludas, no se

identificam os parmetros daquela equao com certeza, ou seja, a equao

subidentificada. Se so iguais ou maiores, aquela equao candidata a identificao exata

ou superidentificao, respectivamente, dependendo da condio de posto a ser discutida a

partir de agora.

Temos que nos preocupar com as equaes ii e iii. Para definir a condio de posto, temos

que olhar simultaneamente na linha, procurando os zeros para aquela equao, e a coluna,

para montar a matriz relevante para calcular o posto. Olhando na linha da equao ii o zero

aparece na terceira coluna, abaixo de 1 e acima de 31$ ; depois aparece no bloco das

exgenas, abaixo de 11" e acima de outro zero. Montam-se com esses elementos a matriz

para se calcular o posto:

(ii) 1131

10"

$< =>? >? >? >?@ A

.

52

Esta matriz tem posto 2, assumindo que 11 31 0" $ # , ou seja, que nenhum desses parmetros

seja zero, inclusive porque no seria lgico do contrrio.

Utilizando mesmo procedimento para a equao (iii), obtemos a seguinte matriz:

(iii) 12 11 13231 0

$ " ""

< =>? >? >? >?@ A.

No mximo, o posto dessa matriz 2. Assumimos esse resultado, a menos que 11 0" ! ou

23 0" ! , o que no teria sentido como j dissemos, ou 13 12 23" $ "! . Nesse caso, a equao

iii super identificada.

8.2 (C) Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:

0 1 2

0 1 2

s s

d d

s d

q p wq p yq q

! ! ! #" " " #

1 ! " " "2222 ! " " "3222 !24

,

onde w denota um vetor de observaes 1T& a respeito do clima, y um vetor de

observaes da renda de mesma dimenso, ambos exgenos.

a. Discuta a questo de identificao sobre as equaes de oferta e demanda;

b. Assumir 2 0! ! impe alguma restrio sobre os parmetros da forma reduzida?

Cuidadosamente esquematize um teste 0 2 1 2: 0 : 0H H! !! & # , usando a forma

reduzida dos parmetros. (Dica: escreva H0 como 0 0:H R qR! );

c. Suponha que a primeira equao estimada por um estimador de informao limitada,

por exemplo, variveis instrumentais. Voc pode determinar se a primeira equao

uma curva de demanda ou oferta apenas examinando o sinal de 1! ?;

d. Suponha que uma agncia do governo fixe o preo a cada ano em 0tp , o qual pode ser

diferente de ano para ano. Que efeito esta poltica ter sobre a identificao e

estimao do modelo?

Soluo: Este um exerccio que continua o anterior, relembrando e solidificando os

principais conceitos aprendidos no texto principal. No se trata de um exerccio difcil,

embora tenha um grande enunciado.

a. Vamos proceder como no exerccio anterior, sem tantas explicaes detalhadas.

Primeiro montamos a matriz de coeficientes para as trs equaes.

53

1 0 2

1 0 2

11 0 00 1 01 1 0 0 0 0

s dq q p w yiiiiii

! ! !" " "$ $ $$ $ $

$

O detalhe aqui que, embora no explicitamente, o vetor de 1s uma varivel explicativa

tambm.

Vamos agora preencher a tabela da condio de ordem.

Cond. Ordem Exg. Excl. End. Incl. 1 Diagnstico

i 1 = 1 Identificado?

ii 1 = 1 Identificado?

iii 3 > 1 super identificado?

Agora vamos montar as matrizes para cada equao.

(i) 21

21 0

"'< =$ >? >!? >? >?$@ A

,

onde ' (' ; representa o posto da matriz entre parnteses.

Note que o posto vlido assumindo que 2 0" # . Portanto i exatamente identificado.

(ii) 21

21 0

!'< =$ >? >!? >? >?$@ A

,

a menos que 2 0! ! . Portanto ii exatamente identificado.

1 0 2

1 0 2

02

0! ! !

'" " "

< =$ $ $ >? >!? >? >?$ $ $@ A,

assumindo que o parmetros so tais que o posto 2. Portanto, iii super identificada.

b. Se 2 0! ! , a equao ii torna-se subidentificada.

Para ver melhor isso, vamos reescrever o modelo em forma matricial

54

) ) )

1 0 2

1 0 2

1 0 0 10 1 01 1 0 0 0 0 0

s s

d d

B y x

qq wp y

#

! ! ! #" " " #

! ! !S ! !

5 6 5 6 5 6 5 6 5 6$ $ $7 8 7 8 7 8 7 8 7 87 8 7 8 7 8 7 8 7 8$ " $ $ !7 8 7 8 7 8 7 8 7 87 8 7 8 7 8 7 8 7 8$7 8 7 8 7 8 7 8 7 89 : 9 : 9 : 9 : 9 :*&&&&&&+&&&&&&, *&&&&&&&&+&&&&&&&&,

.

Calculando a inversa de B temos:

1 1 11

1 1 11 1

1

1 1 1B

" ! !" ! "

! "$

< =$ >? >? >? >! $? >? >$ ? >>?? >$@ A,

com a condio de completude dada por 1 1! "# .

Dessa forma, obtemos:

1 1 1 0 2

1 1 1 0 21 1

1 0 0 1 1 2 2 1

1 0 0 1 1 2 1 11 1

0 0 2 2

0 11 0

1 1 1 0 0 0 0

1

s s

d d

qq wp y

" ! ! ! ! #" ! " " " #

! "

" ! " ! " ! " !" ! " ! " ! " !

! "! " ! "

5 6 < = 5 6 5 6 5 6$ >?7 8 7 8 7 8 7 8>? >?7 8 7 8 7 8 7 8>! $ " !? >7 8 7 8 7 8 7 8? >$ ? >7 8 7 8 7 8 7 8>?? >$@ A7 8 7 8 7 8 7 89 : 9 : 9 : 9 :< =$ " $ >? >??! $ " $??$ ??? $ " $@ A

1

1

0

s

d

B

wy

##

$! STR

5 6 5 67 8 7 8> 7 8 7 8> ">7 8 7 8>> 7 8 7 8>> 7 8 7 89 : 9 :*&&&&&&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&&&&&&&&&&&,&

,

Se 2 0! ! , ento a segunda coluna inteira de R desaparece. Em outras palavras, R seria

singular. Isto significa que o clima no tem qualquer efeito sobre a oferta ou a demanda.

Para testar, podemos pensar no teste de Wald, especificado da seguinte maneira, usando o

operador Vec13:

13 O operador Vec transforma todos os elementos da matriz em um nico vetor (ver detalhes em

LTKEPOHL, Helmut. Introduction to Multiple Time Series Analysis, 2.nd ed. Springer-Verlag: Berlim,

1993).

55

0 3 9 9 1 0

11

12

13

21

22

23

31

32

33

:

0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0

H R q---------

& &R !5 67 87 87 87 87 87 85 6 5 67 87 8 7 87 87 8 7 8!7 87 8 7 87 87 8 7 87 8 7 87 89 : 9 :7 87 87 87 87 87 87 89 :

.

O teste de Wald, por sua vez, ser dado por:

' ( ) ' () ' (1

0 03 9 9 3

1 3 9 9 3 1

varW R q R R R q

$

& && & &

< =>?) >? >? )! R$ R R$>? >? >? >>?@ A*&&&&+&&&&, *&&+&&, *&&&+&&&,.

Rejeitamos a hiptese nula se:

' (2

3 95%W +, !. .

c. No se pode determinar isso porque aquele coeficiente depende da estimativa de

outras equaes.

d. Agora no h mais problema de simultaneidade. Pode-se usar uma regresso

aparentemente no correlacionada para estimar o modelo.

8.3 Responda as seguintes questes:

a. Quais so os mtodos de estimao de equaes simultneas?;

b. Apresente as condies em que os mtodos so equivalentes entre si, ordenando os

vrios mtodos em termos de consistncia e eficincia.

Soluo: Este um exerccio que procura sistematizar tudo o que foi aprendido no

captulo.

a. Mtodos de estimao com informao limitada, ou seja, quando se estima equao

por equao: varivel instrumental (VI), mnimos quadrados a dois estgios (MQ2S),

56

mnimos quadrados indiretos (MQI), mxima verossimilhana com informao

limitada (MVIL).

Mtodos com informao plena: Mxima verossimilhana com informao plena (MVIP),

mnimos quadrados a trs estgios (MQ3S).

Note que a estimao de MVIP feita usando-se mxima verossimilhana factvel (MVF).

b. No caso de informao limitada, se uma equao exatamente identificada, ento VI

= MQI = MQ2S = MVIL.

Se h superidentificao, o mtodo MVIL melhor que VI, que mais eficiente que

MQ2E e que MQI. Se, ainda, no houver heterocedasticidade e autocorrelao, ento VI =

MQ2S = MVIL.

No caso de informao plena, com exata identificao de todas as equaes, ento: MQ2S

= MQ3S = MVIL = MVIP.

Quando a equao de interesse superidentificada, mas todas as outras equaes so

exatamente identificadas, ento: MVIL = MVIP e MQ2S = MQ2S.

Se a hiptese de normalidade correta, MVIP, estimado por MVF, consistente,

assintoticamente normal e assintoticamente eficiente.

Se no h restries de covarincia, ento MQ3S e MVIP so assintoticamente

equivalentes e assintoticamente eficientes. Com restries de covarincia, MVIP mais

eficiente que MQ3S

Em resumo, a seguinte tabela vlida, onde H representa heterocedasticidade e A,

autocorrelao.

- Maior Consistncia

Sem H e A Com H e/ou A U

Informao Limitada MQI, IV MQ2S < MVIL

Informao Plena MQ3S

57

1 1 2 1

2 2 1 1 1 2 2 2

y yy y x x! #! " " #

1 ! "2232 ! " " "24,

onde

1 0 3 5;

0 1 5 1X X X Y

5 6 5 67 8 7 8) )! !7 8 7 89 : 9 :

.

Quais so as estimativas de MQ2S dos parmetros identificveis?

Soluo: Este um exerccio numrico, sem grandes dificuldades (basta ver a matriz

identidade para XX), que retoma vrios conceitos simultaneamente, inclusive a

lgebra matricial. Procura medir o grau de aprendizagem do aluno, levantando

alguns detalhes importantes.

Da primeira equao podemos ver duas varive

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Manual Econometria Exercicios