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Tópico: Sinais e Sistemas Discretos
Referência: Páginas 224 a 250 do Capitulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
Professor José Felipe Haffner PUCRS:
Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 1
Disciplina Sinais e Sistemas
Tópico: Sinais e Sistemas Discretos
Referência: Páginas 224 a 250 do Capitulo 3 do
livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
Professor José Felipe Haffner PUCRS
Observação: Essa apresentação contem figuras
extraídas do livro.
Em unidades de
amostra de tempo
Sinais e Sistemas Discretos
Um sinal discreto é basicamente uma seqüência de números.
Aparecem naturalmente ou como resultado da amostragem
de sinais contínuos.
][)()( nxnTxtx
Em unidade de
tempo
Sinais e Sistemas DiscretosSinal continuo X(t)
Sinal discreto
X[n]
Sinais e Sistemas Discretos
Sistemas cujas entradas e saídas são sinais discretos
são chamados de sistemas em tempo discretos.
Utilizando conversores adequados é possível e
vantajoso utilizar sistemas discretos para processar
sinais contínuos.
Sistema
DigitalSinais de entrada
analógicoSinais de saída
analógicos
Conversor
Analógico/Digital
Conversor
Digital/Analógico
Sinais de entrada
digital
Sinais de saída
digital
A/D D/A
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Sinais e Sistemas Discretos
Tamanho do sinal:
Energia do sinal
Potencia do sinal
2
][nxEs
22/
2/cos
2
][1
][12
1lim
N
N
s
periódiSinais
N
NN
s nxN
PnxN
P
Sinais e Sistemas Discretos
Como no caso continuo no tempo, o sinal discreto
pode ser :
um sinal de energia;
um sinal de potência;
ou não ser nem de potência ou de energia.
Mas nunca pode ser de energia e de potência ao
mesmo tempo.
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo:
Sinal A
(sinal de energia)
Sinal B
(sinal de potência)
Sinais e Sistemas Discretos
Sinal A:
x[n]=n para 0 ≤ n ≤ 5
x[n]=0 para qq outro n
Sinal B
x[n]=x[n+N0]
Onde N0 = 6
5525169410
543210
][
222222
5
0
22
s
s
s
E
E
nnxE
6
55
5432106
1
1][
1
222222
1
0
22/
2/
2
s
s
NN
N
s
P
P
nN
nxN
P
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Sinais e Sistemas Discretos
Operações com sinal discreto :
Deslocamento: xd[n]=x[n-M]
Obs:Se M é positivo, deslocamento para a direita (atraso)
Se M é negativo, deslocamento para a esquerda (avanço)
Reversão no tempo xr[n]=x[-n]
Decimação e Interpolação
Sinais e Sistemas Discretos
Sinais e Sistemas Discretos
Decimação:
Reduz o número de
amostras pelo fator
de compressão do sinal.
Também chamada
de Redução de
amostragem.
Sinais e Sistemas Discretos
Interpolação
Um sinal interpolado é
gerado em dois passos:
Primeiro expandimos o
sinal x[n].
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Sinais e Sistemas Discretos
Interpolação
As amostras impares
inexistentes podem ser
reconstruídas a partir dos
dados existentes.
Não resulta em ganho de
informação.
Sinais e Sistemas Discretos
Sinais úteis em tempo discreto:
Impulso δ[n] discreto no tempo
Degrau unitário u[n] discreto no tempo
Exponencial γn discreta no tempo
Senóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo
Exponencial complexa ejΩn discreta no tempo
Sinais e Sistemas Discretos
Impulso δ[n] discreto no
tempo
0n 0
0n 1][n
][n
]3[ n
Sinais e Sistemas Discretos
Degrau unitário u[n]
discreto no tempo
0n 0
0n 1][nu
n todo
]8[2]1[]5[4]5[][][
para
nnununununnx
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Sinais e Sistemas Discretos
Exponencial γn discreta no tempo
No caso continuo, eλt = γt usamos a forma eλt .
No caso discreto, eλn = γn usamos a forma γn .
Mas sempre é possível realizar a equivalência da função
exponencial na base natural, pois:
Exemplo: 4n = e1.386n pois ln 4 = 1.386
lnou e
Sinais e Sistemas Discretos
Exponencial γn discreta no tempo
e
e
ee
1 como
e
eee
eeee
mjmj
mjmj
10e
10e
10e
se
se
se
Sinais e Sistemas Discretos
Mapeamento entre os planos λ e γ
Sinais e Sistemas Discretos
(0,8)n
(0,5)n (1,1)n
(-0,8)n
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Sinais e Sistemas Discretos
Exercício: E3.6
Fazer os gráficos dos sinais
(0,5) -n
(-0,5) n
(-0,5)-n
Gráfico de (0,5)n
Sinais e Sistemas Discretos
Exercício: E3.7
Mostre que e-2n = (0.1353)n
e-2n = ( e-2 )n
e-2 = 0,1353 e ln(0,1353) = -2 pois
lnou e
Sinais e Sistemas DiscretosSenóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo
Exemplo: cos(πn ∕ 12 + π ∕ 4)
Ω=π ∕ 12 rad por amostra ou
ƒ=1 ∕ 24 ciclos por amostra
Existem 24 amostras em um ciclo de senóide.
2 tempono discreta frequência a é
)cos(
fonde
nC
Sinais e Sistemas Discretos
Senóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo
Observações: Como cos(-x)= cos(x),
cos(-Ωn+θ) = cos(+Ωn-θ)
Logo cos(-Ωn+θ) e cos(+Ωn+θ) possuem a mesma
freqüência | Ω | .
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Sinais e Sistemas Discretos
Senóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo
Observações: Nem toda senóide discreta é periódica.
Para ser periódica Ω múltiplo racional de 2π.
Ω ≤ π pois qualquer senóide com Ω > π pode ser descrita
por uma senoide com Ω ≤ π.
Além disso o período da senoide deve ser um numero
inteiro
Sinais e Sistemas Discretos
Exponencial complexa ejΩn discreta no tempo
Usando a formula de Euler podemos descrever ejΩn em
termos de senóides cos(Ωn+θ) e vice-versa.
njsenne nj cos
é de frequencia a nje
Sinais e Sistemas Discretos
Classificação de sistemas discretos:
Linearidade;
Invariância no tempo;
Causalidade: sistema físico e não antecipativo;
Inversibilidade;
Estabilidade;
Memória.
Sinais e Sistemas Discretos
Inversibilidade:
O sinal de entrada pode ser reconstruído a partir do sinal de
saída.
Não existe perda de informação.
Compressão de um sinal não é inversível porque essa
operação geralmente perde informação.
Exercício E3.9:
Y[n]=ax[n]+b é inversível
Y[n]=(x[n])2 não é inversível
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Sinais e Sistemas Discretos Vantagens do sistema discreto:
Precisão;
Reprodução em escala;
Flexibilidade;
Armazenamento de informações;
Codificação e Multiplexação.
Desvantagens:
Aumento da complexidade do sistema;
Faixa de freqüência limitada;
Aumento da potência.
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.5: Estimativa de vendas
Em um semestre n, x[n] estudantes se inscreveram em um
curso que precisa de um livro-texto. A Livraria da
universidade vendeu y[n] cópias do livro no n-ésimo
semestre. Na média, um quarto dos estudantes
revendem seus livros no final do semestre, sendo que a
vida média destes livros de três semestres.
Escreva equação que relaciona y[n], os novos livros
vendidos pela editora, com x[n], o numero de estudantes
inscritos no n-ésimo semestre.
Considere que todos os estudantes compram livros na
livraria da universidade.
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.5: Estimativa de vendas
x[n] = y[n] + livros reutilizados pelos alunos até dois
semestres anteriores.
No semestre anterior (n-1) foram vendidos y[n-1] livros
novos e um quarto destes livros foram revendidos no
semestre n, logo: (1\4)y[n-1]
No semestre anterior a esse (n-2) foram vendidos y[n-2]
livros novos e um quarto destes livros foram revendidos
no semestre n-1, (1\4)y[n-2] e um quarto destes livros
serão revendidos no semestre n, logo no semestre n
teremos (1\16)y[n-2] dos livros que forma vendidos a dois
semestres atrás.
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.5: Estimativa de vendas
.
Como a equação é valida para qualquer valor de n,
substituído n =n+2
][]2[16
1]1[
4
1][ nxnynyny
]2[][16
1]1[
4
1]2[ nxnynyny
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Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.5: Estimativa de vendas
Como a variável que se deseja identificar é o numero de
livros novos que a editora vai vender no semestre n, Já
que x[n], y[n-1] e y[n-2] são conhecidos.
Equação diferença na forma de atraso.
][]2[16
1]1[
4
1][ nxnynyny
Sinais e Sistemas Discretos
Representação gráfica da equação de diferença
.
Sinais e Sistemas Discretos
Representação gráfica da equação de diferença
. ][]2[16
1]1[
4
1][ nxnynyny
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.6: Diferenciador digital.
Projete um sistema em tempo discreto para diferenciar
sinais contínuos no tempo. Esse diferenciador é utilizado
em sistemas de áudio com uma largura de faixa do sinal
de entrada inferior a 20kHz
TnxnTxT
dt
dxnTy
nTt
11
lim
)(
0T
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Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.6: Diferenciador digital.
TnxnTxT
nTy 11
lim )(0T
]1[][1
][ nxnxT
ny
s2540000
1
alta mais freqüência x 2
1T
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.6: Diferenciador digital.
]1[][1
][ nxnxT
ny
Sinais e Sistemas Discretos
Exemplo 3.6: Diferenciador digital.
Forma atrasada: Para calcular a derivada de y(t) foi usado o valor a diferença entre o valor atual e o valor
anterior.
Forma adiantada: Usa-se a diferença entre o valor atual e
o valor da proxima amostra.
]1[][1
][ nxnxT
ny
][]1[1
]1[ nxnxT
ny
Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.7: Integrador digital.
Forma acumulativa do integrador digital
Forma recursiva do integrador digital.
t
-
)((t) dxy
n
k
kxTy ][[n]
n
k
kxTy ][[n] ]1[][][ nynTxny
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Sinais e Sistemas Discretos
Relação entre a Equação diferença e Equação diferencial
Considerando o tempo de amostragem T -> 0
x(t)cy(t))(
dt
tdy
][][]1[][
nxncyT
nyny
x[n]cT1
T]1[
1
1][
ny
cTny
Sinais e Sistemas Discretos
Equações diferença.
Em tempo discretos utiliza-se as equações diferença para
descrever um sistema linear, causal e invariante no
tempo.
Principio da causalidade: A saída não pode depender de
valores futuros da entrada.
Portanto o numero de atrasos (ou avanços) do sinal de
entrada não pode ser maior que o considerado no sinal
de saída.
A ordem da equação diferença é em função do numero
de atrasos (ou avanços) considerados do sinal de saída.
Sinais e Sistemas Discretos
Equações diferença.
A equação diferença pode ser implementada com termos
em avanço:
Uma outra representação alternativa da equação
diferença utiliza termos em atraso:
][]1[]1[][
][]1[]1[][
110
11
nxbnxbNnxbNnxb
nyanyaNnyaNny
NN
NN
][]1[]1[][
][]1[]1[][
110
11
NnxbNnxbnxbnxb
NnyaNnyanyany
NN
NN
Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.8: Solução recursiva da equação diferença
125.224)25.12(5.0]4[]3[5.0]4[
25.123)5.6(5.0]3[]2[5.0]3[
5.62)5(5.0]2[]1[5.0]2[
51)8(5.0]1[]0[5.0]1[
80)16(5.0]0[]1[5.0]0[
0n instante no começando n x[n]entrada de sinal
e 16y[-1] inicial Codição
][]1[5.0][
2
2
2
2
2
xyy
xyy
xyy
xyy
xyy
nxnyny
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Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.8: Solução recursiva da equação diferença
Sinais e Sistemas DiscretosForma discreta da equação de espaço de estados
Considerando que os sinais do sistema sejam amostrados com um
período T, utilizar essas relações para obter a equação de estados
equivalente para o tempo discreto.
)()(
)()(
)()(
)(
11
2
1
1211
21
11
2
1
2221
1211
2
1
tudtx
txccty
tub
b
tx
tx
aa
aa
dt
dxdt
dx
T
nxnx
dt
dx
nxtx
][]1[
y[n] e u[n] ],[y(t) e u(t) ),(
Sinais e Sistemas DiscretosForma discreta da equação de espaço de estados
)()(
)()(
)()(
)(
11
2
1
1211
21
11
2
1
2221
1211
2
1
tudtx
txccty
tub
b
tx
tx
aa
aa
dt
dxdt
dx
][][
][][
][][
][
1
1
]1[
]1[
11
2
1
1211
21
11
2
1
2221
1211
2
1
nudnx
nxccny
nuTb
Tb
nx
nx
TaTa
TaTa
nx
nx
Sinais e Sistemas DiscretosForma discreta da equação de espaço de estados
Exemplo:
Considerando que o período de amostragem:
T=0.01 ou T=0,1
)(
)(11)(
)(1
0
)(
)(
32
10
2
1
2
1
2
1
tx
txty
tutx
tx
dt
dxdt
dx
][
][11][
][01.0
0
][
][
97,002.0
01.01
]1[
]1[
2
1
2
1
2
1
nx
nxny
nunx
nx
nx
nx
][
][11][
][1.0
0
][
][
7,02.0
1.01
]1[
]1[
2
1
2
1
2
1
nx
nxny
nunx
nx
nx
nx
Tópico: Sinais e Sistemas Discretos
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Sinais e Sistemas DiscretosSolução recursiva da equação de espaço de estados
Exemplo: Calcular y[n]
Considerar:
O período de amostragem: T=0.1 s
O sinal de entrada u[n] =1 para n ≥ 0
As condições iniciais x1[0] = 1 e x2[0] = 0
][
][01][
][1.0
0
][
][
7,02.0
1.01
]1[
]1[
2
1
2
1
2
1
nx
nxny
nunx
nx
nx
nx
Sinais e Sistemas Discretos
No instante n = 0, u[0]=1, x1[0]=1, x2[0]=0
No instante n = 1, u[1]=1, x1[1]=1, x2[1]=-0.1
10111]0[
1.011.007.012.0]1[
11001.011]1[
0
111][
1 1.0
0
0
1
7,02.0
1.01
]1[
]1[
0 2
1
2
1
y
x
x
ny
x
x
n
9.0)1.0(111]1[
107.011.0)1.0(7.012.0]2[
99,010)1.0(1.011]2[
1.0
111][
1 1.0
0
1.0
1
7,02.0
1.01
]2[
]2[
1 2
1
2
1
y
x
x
ny
x
x
n
Sinais e Sistemas Discretos
No instante n = 2, u[2]=1, x1[2]=0.99, x2[2]=-0,107
No instante n = 3, u[3]=1, x1[3]=0.9793, x2[3]=-0,1729
Para os demais instantes repetir o procedimento, calculando o valor do
sinal de saída y[n] e calculando os valores dos estados x[n+1] para ser
utilizados no próximo instante.
883.0)107.0(199.01]1[
1729.011.0)107.0(7.099.02.0]2[
9793.010)107.0(1.099.01]2[
107.0
99.011][
1 1.0
0
107.0
99.0
7,02.0
1.01
]2[
]2[
2 2
1
2
1
y
x
x
ny
x
x
n
Sinais e Sistemas Discretos
Exercícios: Livro Lathi
3.1-1 a 3.1-5: energia e potencia, sinal par e impar
3.2-1 a 3.2-4: operações com sinal
3.3-1 a 3.3-7: gráficos de sinal
3.4-1 a 3.4-6: montagem
3.4-7 a 3.4-11: classificação de sistemas
3.5-1 a 3.5-5: solução recursiva
Tópico: Sinais e Sistemas Discretos
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Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 14
Sinais e Sistemas Discretos
Exercícios: Livro HSU
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