Aula 4 Divisao de Areas Por Coordenadas

Engenharia Civil

Engº Civil - Euzir Chagas

Topografia II

Centro Universitário

Luterano de Palmas

Engenharia Civil

Engº Civil - Euzir Chagas

Divisão de Áreas

Centro Universitário

Luterano de Palmas

Divisão de áreas

A divisão de uma propriedade ocorre em situações

diversas como por venda de parte do terreno, por

espólio e divisão entre os herdeiros ou por

loteamento da área.

Para resultar numa divisão de terra confiável é

necessário um levantamento exato do que vai ser o

objeto de divisão.

Divisão de áreas

Divisão de terras triangulares em duas partes

proporcionais.

Processos Analítico

Seja dividir analiticamente uma poligonal ABCDEF, em

três partes proporcionais, (m, n, p).

Processos Analítico

Pelo processo analítico, calcula-se a área total do

polígono.

Processos Analítico

A área A1, A2 e A3 calcula-se conforme abaixo:

Divisão de áreas

Através das coordenadas dos vértices da poligonal,

obtidas a partir dos dados de campo, pode-se calcular

a área dos triângulos ABF e CDE, que comparadas

com as áreas A1 e A3 a separar, dará as áreas dos

triângulos suplementares BFP (q1) e CEQ (q2).

Pela geometria analítica sabemos que a distância de

um ponto (x’, y’) a uma reta ( y = ax + b) é dada por:

Divisão de áreas

A equação da reta que passa por dois pontos:

Ângulo formado por duas retas, é obtido pela equação:

Podemos com isso determinar, em primeiro lugar, a

altura (h) do triângulo BFP que é igual a distância do

ponto B a reta EF, dada pela seguinte equação:

Divisão de áreas

As coordenadas do ponto B são Xb e Yb e a equação

da reta EF é:

Temos ainda que:

Fazendo-se:

ou

Divisão de áreas

Para o cálculo do alinhamento FP, base do triângulo

FBP utiliza-se a fórmula:

Onde b é igual ao alinhamento FP e daí temos:

Analogamente, pode-se efetuar o mesmo raciocínio

para o triângulo suplementar QCE.

Divisão de áreas

A determinação das coordenadas do ponto P sobre a

reta EF pode ser obtida através da determinação das

projeções x e y do alinhamento FP, através das

equações:

Divisão de áreas

Exercício 1

Dividir o polígono abaixo, em duas partes iguais.

Ponto Este Norte

1 5.000,00 5.000,00

2 5.432,40 4.833,22

3 5.984,21 4.936,10

4 6.048,33 5.736,20

5 5.483,10 6.022,60

6 5.521,10 5.461,20

7 5.083,10 5.722,10

Exercício 1

Desenho do polígono (croqui)

1

2

3

45

6

7

Exercício 1

Área total = 836.166,680 m²

Área 1 = 418.083,340 m²

Área 1 = 418.083,340 m²

Observar o polígono e traçar uma linha que divida de forma

aproximada.

Daí, calcula-se a área de uma das partes dividida para

prosseguir com o ajuste da divisão da área, conforme segue:

Exercício 1

Procede o cálculo da área Sa, conforme demonstrado

abaixo:

1

2

3

45

6

7

Sa

Sb

Exercício 1

Calcular a área do polígono, considerando os pontos: 1, 2,

3, 6, 7.Ponto Este Norte

1 5.000,00 5.000,00

2 5.432,40 4.833,22

3 5.984,21 4.936,10

6 5.521,10 5.461,20

7 5.083,10 5.722,10

Resulta na área total igual a : 480.846,358 m²

Subtraindo esta pela área que deseja dividir tem-se:

Sa = 62.763,018 m²

Exercício 1

Conclui que, a área do triângulo 6M3, é igual a:

1

2

3

45

6

7

Sa

Sb

M62.763,018 m²

Exercício 1

Procede com o cálculo do triângulo conforme demonstrado

a seguir:

1

2

3

45

6

7

M

Sa

Exercício 1

Calcula-se a distância 6-3 do triângulo a partir das

coordenadas e a altura “h”, conforme figura abaixo:

6

3

2M

h

h = 2*Sa / d1

h = 179,286 m

h =2 x 62.763,018 m²

700,143m

Exercício 1

A partir daí, calcula-se o azimute 2-3 (azimute do ponto

dois ao ponto três), bem como o azimute 3-6.

6

3

2M

h

Az 2-3 = 79°26’20”

Az 3-6 = 318°35’24”

O ângulo 236 é, igual a

59°09’04”

59°09’04”

Exercício 1

Com o ângulo 236, calcula-se a distância 3M, por funções

trigonométricas.

6

3

2M

h

Sen a = Cateto oposto / hipotenusa

Sen a = h / 3M

Sen a = 0,8585226

h = 179,286m

3M = 208,831m

Exercício 1

Agora calcula-se a coordenada do ponto M, pela

expressão:

6

3

2M

h

XM = X3 + ( 3M x sen Az 3-2 )

YM = Y3 + ( 3M x cos Az 3-2 )

XM = 5.778,917 m

YM = 4.897,826 m

Exercício 1

Então, as coordenadas da poligonal, dividida será:

Ponto Este Norte

1 5.000,00 5.000,00

2 5.432,40 4.833,22

M 5.778,917 4.897,826

6 5.521,10 5.461,20

7 5.083,10 5.722,10

Com área igual a : 418.083,861 m²

A diferença ocorre em função dos arredondamentos

decimais.

Exercício.

Dividir o polígono abaixo, em duas áreas iguais.

Ponto Este Norte

1 500,00 500,00

2 673,20 508,42

3 822,93 322,16

4 928,70 501,14

5 821,14 633,22

6 804,33 923,21

7 582,13 914,16

8 423,91 631,16

Área = 164.384,001 m²

Exercício.

Dividir o polígono abaixo, em três áreas iguais.

Ponto Este Norte

1 100,00 100,00

2 688,665 13,309

3 656,078 235,184

4 342,643 279,414

5 331,349 239,856

6 108,074 239,856

Área = 109.202,976 m²