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Aula 8
Sinais e Sistemas – Capítulo 2
Simon Haykin
Aula 8
Resposta ao Degrau
kknukhns
nunhns *
kn
knknu
,0
,1
A resposta de um sistema LTI ao degrau caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada.
Como
então
n
kkhns
Ou seja, a resposta ao degrau é a soma corrente da resposta ao impulso.
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Resposta ao Degrau
tdhts
Similarmente, a resposta ao degrau de um sistema LTI de tempo contínuo é
Podemos inverter a relação e expressar a resposta ao impulso em termos da resposta ao degrau, como segue:
ou
tsdt
dth
1 nsnsnh
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Resposta ao Degrau
tueRC
th RCt1
Exemplo: Encontre a resposta ao degrau do circuito RC da figura abaixo, que tem resposta ao impulso dada por
Solução: Como
Simplificando a integral, temos
tRC
tdue
RCdhts 1
0,1
0,0
0,1
0,0
0
te
tts
tdeRC
tts
RCt
tRC
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Resposta Senoidal em Estado Estacionário
njenx
Sinais de entrada senoidais frequentemente são usados para caracterizar a resposta de um sistema. Aqui, iremos examinar a relação entre a resposta ao impulso e a resposta em estado estacionário ou permanente de um sistema LTI com uma entrada senoidal complexa. Considere h[n] a resposta ao impulso e uma entrada complexa de amplitude unitária dada por
logo
k
knj
k
ekhny
knxkhny
nxnhny *
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onde
njj
k
kjnj
eeHny
ekheny
k
kjj ekheH
Consequentemente, a saída do sistema é uma senóide complexa que tem a mesma frequência que a entrada multiplicada por jeH
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Resposta Senoidal em Estado Estacionário
frequência Ω , sendo denominada de Resposta em Frequência.
tjetx
A quantidade jeH não é uma função do tempo, n, mas sim da
Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo contínuo, onde h(t) é a resposta ao impulso e
é uma entrada senoidal.
tj
jtj
tj
ejHty
dehety
dehty
dehjH j
onde
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jbac
U ma interpretação intuitiva da resposta senoidal em estado estacionárioé obtida escrevendo o número complexo H(jω) na forma polar. Sabendoque
é um número complexo, então, sua forma polar é dada por ccc
jHjejHjH
onde22 bac e abarctgc
Logo
jH
jH
Resposta em módulo ou magnitude do sistema
Resposta em fase do sistema
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Resposta Senoidal em Estado Estacionário
Assim,
Observe que o sistema modifica a amplitude da entrada por jH
e a fase por
jHtjejHty
jH
Considere agora
Usando a linearidade, obtemos
tjtj eA
eA
tx
tAtx
22
cos
jHtjjHtj eA
jHeA
jHty 22
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Supondo que h(t) tenha valor real, então H(jω) possui simetria conjugada,isto é, jHjH *
Isto implica que jH
é uma função ímpar de ω.
Explorando essas condições de simetria, podemos simplificar a resposta
jH é uma função par de ω e
jHtAjHty cos
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jHtAjHty cos
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Resultados similares são obtidos para sistemas de tempo discreto,Considerando a forma polar de jeH
Especificamente, para a entrada njenx então
jeHnjj eeHny
Além disso, se
jj eHnAeHny cos
nAnx cos
então
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A resposta em frequência caracteriza a resposta em estado estacionário do sistema para entradas senoidais como uma função da frequência da senóide. Dizemos que esta é uma resposta em estado estacionário porque se presume que a senóide de entrada exista em todos os instantes de tempo, estando o sistema em condição de equilíbrio, ou estacionário. A resposta em frequência fornece uma grande quantidade de informações e é útil tanto para entendermos quanto analisarmos sistemas. É uma prática padrão representar a resposta em frequência graficamente, exibido separadamente as resposta em módulo e em fase como função da frequência.
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Exemplo: As respostas ao impulso de dois sistemas de tempo discreto são dadas por
12
1
12
1
2
1
nnnh
nnnh
Encontre a resposta em frequência de cada sistema e trace graficamente a resposta em módulo
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Solução: sabendo que então
k
kjj ekheH
2
1
2
1
2
11
2
1 101
jjj
k
kjj eeeekkeH
que pode ser reescrito como
2cos2
222
21
j
jjjj e
eeeeH
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Logo, a resposta em módulo é
2cos1 jeH
e a resposta em fase é
02cospara,2
02cospara,21
jeH
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Solução: sabendo que então
k
kjj ekheH
2
1
2
1
2
1
12
1
10
2
jjj
k
kjj
eee
ekkeH
que pode ser reescrito como
2sen2
222
22
j
jjjj je
j
eejeeH
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Logo, a resposta em módulo é
2sen2 jeH
e a resposta em fase é
02senpara,22
02senpara,222
jeH
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Observe nas respostas em módulo que h1 deixa passar as frequências baixas e atenua as frequências altas, enquanto que h2 faz o inverso. Logo, h1 caracteriza um filtro passa-baixas e h2 um passa-altas.
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Exemplo: A resposta ao impulso do sistema que relaciona a tensão de entrada com a tensão no capacitor da figura abaixo é dada por
tueRC
th RCt1
Encontre uma expressão para a resposta em frequência e trace graficamente a resposta em módulo e em fase.
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Solução: sabendo que então
dehjH j
RCj
RC
RCjRC
eRCjRC
deRC
deueRC
jH
RCj
RCjjRC
1
110
1
11
01
11
11
1
0
1
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A resposta em módulo é
22 1
1
1
1
RC
RC
RCj
RCjH
A resposta em fase é
RCRCRCj
RCjH
arctgarctg0
1
1
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Resposta Senoidal em Estado Estacionário
A resposta em módulo indica que o circuito RC tende a atenuar senóides de alta frequência, ou seja, o circuito é incapaz de responder a mudanças rápidas na tensão de entrada. Além disso, as senóides de baixa frequência experimentam pouco deslocamento de fase.
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