(PPT) BRUNI Slides de apoio ao livro Todo o conteúdo dos slides está apresentado no livro A Matemática das Finanças, publicado pela Editora Atlas. Adriano Leal

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no livro no livro A A

Matemática das Matemática das

FinançasFinanças, publicado , publicado

pela Editora Atlas.pela Editora Atlas.

Adriano Leal BruniAdriano Leal Bruni

albruni@infinitaweb.com.bralbruni@infinitaweb.com.br

BRUNIBRUNIBibliografia auxiliarBibliografia auxiliar

LivroLivro

MatemáticaMatemática

FinanceiraFinanceiracom HP12C e Excelcom HP12C e Excel

Editora AtlasEditora Atlas

BRUNIBRUNIProgramação didáticaProgramação didática

ObjetivoObjetivo

Apresentar os Apresentar os

principais conceitos principais conceitos

e aplicações da e aplicações da

Matemática Matemática

Financeira, com uso Financeira, com uso

da HP 12C e do da HP 12C e do

Excel.Excel.

BRUNIBRUNIEmentaEmenta

Diagramas de fluxo Diagramas de fluxo de caixade caixa

Juros simplesJuros simples DescontoDesconto Juros compostosJuros compostos TaxasTaxas Séries uniformesSéries uniformes Séries não uniformesSéries não uniformes

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Conceitos iniciais e Conceitos iniciais e diagramas de fluxo dediagramas de fluxo de

caixacaixa

1

BRUNIBRUNIPara fixar o aprendizadoPara fixar o aprendizado

Todo o conteúdo dos slides está Todo o conteúdo dos slides está

apresentado com maior apresentado com maior

profundidade no profundidade no Capítulo 1Capítulo 1 do do

livro livro A Matemática das A Matemática das

FinançasFinanças, publicado pela , publicado pela

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BRUNIBRUNIBibliografia auxiliarBibliografia auxiliar

LivroLivro

MatemáticaMatemática

FinanceiraFinanceiracom HP12C e Excelcom HP12C e Excel

Editora AtlasEditora Atlas

BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender os propósitos Entender os propósitos

da Matemática Financeirada Matemática Financeira

Saber construir Saber construir

diagramas de fluxo de diagramas de fluxo de

caixacaixa

Compreender a evolução Compreender a evolução

do dinheiro no tempodo dinheiro no tempo

BRUNIBRUNIUma pergunta inicial …Uma pergunta inicial …

O que éO que éMatemáticaMatemáticaFinanceiraFinanceira??

BRUNIBRUNIUma resposta simples …Uma resposta simples …

RETORNORETORNO==

BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …

Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo

nono tempo!!!tempo!!!

BRUNIBRUNIPrimeiro passo …Primeiro passo …

Entendendo Entendendo

o o dinheiro dinheiro

nono tempo tempo!!!!!!

BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa

Uma Uma imagemimagem que vale que vale por por mil mil

palavraspalavras!!

BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa

Representação gráfica da Representação gráfica da evolução do dinheiro no evolução do dinheiro no tempotempo

SímbolosSímbolos

TempoTempo

Movimentações de $Movimentações de $

(+) Entradas(+) Entradas

(-) Saídas(-) Saídas

Taxa de juros = Taxa de juros = JurosJuros

Valor InicialValor Inicial

BRUNIBRUNIIlustrando o uso do DFCIlustrando o uso do DFC

Um investidor aplicou hoje $100,00 Um investidor aplicou hoje $100,00

por um mês, planejando resgatar por um mês, planejando resgatar

$108,00. Desenhe o diagrama de $108,00. Desenhe o diagrama de

fluxo de caixa da operação.fluxo de caixa da operação.

-100,00-100,00

+108,00+108,00

11

taxa = 8/100 = 8%taxa = 8/100 = 8%

juros = $8,00juros = $8,00

ao períodoao período

00 mesesmeses

BRUNIBRUNIPensando sobre os ...Pensando sobre os ...

Componentes Componentes do DFCdo DFC

BRUNIBRUNIComponentes do DFCComponentes do DFC

Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Tempo (n)Tempo (n) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i)

-400,00-400,00

+480,00+480,00

44

taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20%

VF - VPVF - VPjuros = $80,00juros = $80,00

ao períodoao período

00

VPVP

VFVF

nn

ii

BRUNIBRUNITome cuidado com alguns ...Tome cuidado com alguns ...

SinônimosSinônimos

BRUNIBRUNIPara ficar esperto!!!Para ficar esperto!!!

Classifique as definições Classifique as definições em Valor presente (em Valor presente (PP) ou ) ou Valor futuro (Valor futuro (FF):):

a)a) MontanteMontante

b)b) Capital inicialCapital inicial

c)c) Valor por dentroValor por dentro

d)d) Valor por foraValor por fora

e)e) Valor nominalValor nominal

f)f) Valor líquidoValor líquido

g)g) Valor atualValor atual

FFPPPPFFFFPPPP

BRUNIBRUNIOutras expressões ...Outras expressões ...

h)h)PrincipalPrincipal

i)i) Valor de face Valor de face

PP

FF

BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...

DFCDFCem sériesem séries

BRUNIBRUNIAmpliando horizontes …Ampliando horizontes …

E se a operação for uma E se a operação for uma série?série?

Série = mais que dois Série = mais que dois capitais analisadoscapitais analisados

…… Exemplo:Exemplo:

A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00

Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00

BRUNIBRUNIDFC do televisorDFC do televisor

+1.000,00+1.000,00

1

-30

0,0

0-3

00

,00

A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00

Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00

2-3

00

,00

-30

0,0

03

-30

0,0

0-3

00

,00

4

-30

0,0

0-3

00

,00

BRUNIBRUNIComponentes de sériesComponentes de séries

Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i) Tempo (n)Tempo (n) Pagamento (PMT)Pagamento (PMT)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prestações

Taxa de juros (i)Valor Presente

Número de pagamentos (n)

BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...

SériesSériesantecipadasantecipadas

BRUNIBRUNIA simbologia do …A simbologia do …

1 + n1 + nCom entrada!!!Com entrada!!!

BRUNIBRUNIPara ilustrar …Para ilustrar …

A vista: 15% descA vista: 15% desc

1 + 91 + 9ouou

+85+85

……00 11 99

-10-10

Preço = $100,00Preço = $100,00

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios exercícios do livro!!!!do livro!!!!

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

A HP 12C e o ExcelA HP 12C e o Excel2

BRUNIBRUNIPara fixar o aprendizadoPara fixar o aprendizado

Todo o conteúdo dos slides está Todo o conteúdo dos slides está

apresentado com maior apresentado com maior

profundidade no profundidade no Capítulo 2Capítulo 2 do do

livro livro A Matemática das A Matemática das

FinançasFinanças, publicado pela , publicado pela

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BRUNIBRUNIBibliografia auxiliarBibliografia auxiliar

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MatemáticaMatemática

FinanceiraFinanceiracom HP12C e Excelcom HP12C e Excel

Editora AtlasEditora Atlas

BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender os mecanimos Entender os mecanimos

de funcionamento da HPde funcionamento da HP

Saber usar a notação RPN Saber usar a notação RPN

e as função da HPe as função da HP

Compreender os recursos Compreender os recursos

disponíveis no Exceldisponíveis no Excel

BRUNIBRUNIEntendendo a HP 12CEntendendo a HP 12C

Modelo Modelo

tradicionaltradicional

DouradoDourado

BRUNIBRUNIUm modelo novoUm modelo novo

Modelo novo, prateadoModelo novo, prateado

BRUNIBRUNITeste a sua platina!!!Teste a sua platina!!!

Alguns exemplares foram produzidos Alguns exemplares foram produzidos com erro! Teste o seu:com erro! Teste o seu:

218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g

Nj; 47000 g CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR

Resultado correto: 0,11104985Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C Platinum)

BRUNIBRUNIEmuladores para PalmEmuladores para Palm

BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC

HP 12C++HP 12C++

BRUNIBRUNIAlgumas características …Algumas características …

RPNRPNPilhas de Pilhas de registradoresregistradores

BRUNIBRUNIJan LukasiewiczJan Lukasiewicz

Uma idéia genial!Uma idéia genial! Simplificar a Simplificar a

notação matemática notação matemática para facilitar as para facilitar as contas em contas em máquinas!máquinas!

BRUNIBRUNIUma lógica reversa …Uma lógica reversa …

RRPPNN

eversaeversa

olonesaolonesa

otaçãootação

BRUNIBRUNIAlguns exemplos …Alguns exemplos …

Álgebra convencional …Álgebra convencional …

235235

Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121

121121++ ==

OperandosOperandosOperadorOperador InstruçãoInstrução

356356

Notação polonesa …Notação polonesa …

235235 121121 ++

OperandosOperandosOperadorOperadorInstruçãoInstrução

356356

EN

TE

R

BRUNIBRUNIObservação importanteObservação importante

A HP 12C não tem a teclaA HP 12C não tem a tecla

==A notação polonesaA notação polonesadispensa seu usodispensa seu uso

BRUNIBRUNIA pilha de registradoresA pilha de registradores

Registradores que processam Registradores que processam as operaçõesas operações

TT

ZZ

YY

XX Visor:Visor:Registrador XRegistrador X

Clear XClear XLimpa oLimpa o

registrador Xregistrador X

BRUNIBRUNIO funcionamento da pilhaO funcionamento da pilha

TT

ZZ

YY

XX

88

EnterEnter

88

44

++

1212

BRUNIBRUNIOperações com a pilhaOperações com a pilha

Limpa o registrador XLimpa o registrador X

Troca X por YTroca X por Y

Rola a pilha para baixoRola a pilha para baixo

Limpa a memóriaLimpa a memória

CLEAR

BRUNIBRUNIFunções especiaisFunções especiais

AzuisAzuis

AmarelasAmarelas

BRUNIBRUNIFunções especiais amarelasFunções especiais amarelas

Apenas teclas amarelasApenas teclas amarelas

BRUNIBRUNIO primeiro passo de sempreO primeiro passo de sempre

Limpa a memória da calculadoraLimpa a memória da calculadora

CLEARCLEAR

BRUNIBRUNIFunções especiais azuisFunções especiais azuis

Apenas teclas azuisApenas teclas azuis

BRUNIBRUNIUsando funções algébricasUsando funções algébricas

Calcula o logaritmo neperianoCalcula o logaritmo neperiano

BRUNIBRUNIFunções essenciaisFunções essenciais

Funções Funções financeirasfinanceiras

Serão discutidas com maiorSerão discutidas com maiorprofundidade a partir deprofundidade a partir de

Juros CompostosJuros Compostos

BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal

BRUNIBRUNIMatemática financeira no …Matemática financeira no …

ExcelExcel

BRUNIBRUNIFunções variadasFunções variadas

=VP()=VP() =VF()=VF() =NPER()=NPER() =TAXA()=TAXA() =PGTO()=PGTO()

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos os Entendemos os

mecanimos de mecanimos de

funcionamento da HPfuncionamento da HP

Sabemos usar a notação Sabemos usar a notação

RPN e as função da HPRPN e as função da HP

Compreendemos os Compreendemos os

recursos disponíveis no recursos disponíveis no

ExcelExcel

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios exercícios do livro!!!!do livro!!!!

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Juros SimplesJuros Simples3

BRUNIBRUNIConceito de juros simplesConceito de juros simples

Juros sempre Juros sempre

incidem sobre incidem sobre

o o

VALOR VALOR

PRESENTEPRESENTE

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros simplessimples

BRUNIBRUNIJuros simplesJuros simples

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100

2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP10% x $100

n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

Juros simples sempreincidem sobre valor presente

BRUNIBRUNIFórmula dos juros simplesFórmula dos juros simples

VF=VP (1+ i.n)Devem estar

em uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

BRUNIBRUNIAbreviaturas nas taxas Abreviaturas nas taxas

Abreviatura Significado

a.d. ao dia

a.d.u. ao dia útil

a.m. ao mês

a.m.o. ao mês over

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

a.a.o. ao ano over

BRUNIBRUNICuidado com os anosCuidado com os anos

ano civil ou exatoano civil ou exatoformado por 365 formado por 365

dias;dias;ano comercialano comercial

formado por 360 formado por 360 dias.dias.

BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A

Uma aplicação de $500,00 Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do 5% am. Qual o valor do resgate?resgate?

VFVF

-500-500

8 meses8 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)

VF = 700VF = 700

BRUNIBRUNICaracterísticas dos juros Características dos juros simplessimples

Valor uniforme dos Valor uniforme dos juros períodicosjuros períodicos

Valor futuro cresce Valor futuro cresce linearmentelinearmente

Capitalização LinearCapitalização Linear

Valor Futuro

Tempo

VP

BRUNIBRUNIExercícios de …Exercícios de …

Sala!Sala!

BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B

Sabina precisará de Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia para ter a quantia desejada? Considere uma desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am taxa simples igual a 5% am

1.200,001.200,00

-VP-VP

10 meses10 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)

VP = 800VP = 800

BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C

Neco aplicou $8.000,00 por Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente Qual a taxa mensal vigente na operação?na operação?

10.400,0010.400,00

-8000-8000

6 meses6 meses00

i = ?i = ?

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)

i = 5%i = 5%

BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D

A aplicação de $9.000,00 a A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? em meses dessa operação?

11.700,0011.700,00

-9000-9000

n=?n=?00

i = 6% a.m.i = 6% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)

n = 5n = 5

BRUNIBRUNIImportante!!!Importante!!!

Taxas são Taxas são sagradas!!!sagradas!!!

BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E

Calcule o valor futuro de Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 uma aplicação de $500,00

por 24 meses a 8% a.a.por 24 meses a 8% a.a.

-$500,00

0

24

VF

Taxa anual !!!

n em anosX

24 meses = 2 anos2 anos

BRUNIBRUNIAlterando o prazo …Alterando o prazo …

VF=VP (1+ i.n)

VF=500 (1+ 0,08.2)

VF=$580,00

BRUNIBRUNIDescontando em …Descontando em …

Juros Juros simples por simples por

dentrodentro

BRUNIBRUNIDesconto Racional Simples Desconto Racional Simples

Aplicar a fórmula dos Aplicar a fórmula dos juros simples para juros simples para calcular o valor presentecalcular o valor presente

Descontar significa extrair Descontar significa extrair os juros do valor futuro os juros do valor futuro para obter o valor para obter o valor presentepresente

Cuidado!!! Depois Cuidado!!! Depois veremos o descontoveremos o desconto

COMERCIALCOMERCIAL

BRUNIBRUNIDa fórmula dos juros simplesDa fórmula dos juros simples

VF = VP (1 + i.n)VF = VP (1 + i.n)

Como se deseja obter VPComo se deseja obter VP

niVF

VP

1

(1+in)(1+in)

BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F

Uma empresa precisa descontar Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?desconto?

VP

0 2

-$4.400,00-$4.400,00

Valor PresenteValor PresenteJurosJuros

VP = VF/ (1+i.n)VP = VF/ (1+i.n)

VP = 4400/(1+0,05.2)VP = 4400/(1+0,05.2)

VP = 4000VP = 4000

D = 4400-4000D = 4400-4000

D = 400D = 400Valor FuturoValor Futuro

BRUNIBRUNITaxa efetivaTaxa efetiva

É aquela que É aquela que incide sobre o incide sobre o valor presente valor presente no processo de no processo de capitalização. capitalização.

BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Ao antecipar em 30 dias o Ao antecipar em 30 dias o

recebimento de uma conta a recebimento de uma conta a

receber no valor de receber no valor de

$15.000,00, a Cia Cava Cava $15.000,00, a Cia Cava Cava

S. A. sofreu um desconto S. A. sofreu um desconto

igual a 1/3 (33,3333%) do igual a 1/3 (33,3333%) do

valor nominal. Calcule a taxa valor nominal. Calcule a taxa

efetiva mensal da operação.efetiva mensal da operação.

Taxa por fora = 33,3333%Taxa por fora = 33,3333%

BRUNIBRUNITaxa efetiva no DFC!Taxa efetiva no DFC!

$10.000,00

0 1

-$15.000,00-$15.000,00

Desconto = 1/3 de $15.000,00Desconto = 1/3 de $15.000,00

Desconto = $5.000,00Desconto = $5.000,00

Por fora =33,3333%Por fora =33,3333%

Por dentro =50%Por dentro =50%

VF = VP (1+i.n)VF = VP (1+i.n)

15000 = 10000 (1+i.1)15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.i = 50% a.m.

BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …

Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo

nono tempo!!!tempo!!!

Deve ser Deve ser somado somado

apenas em apenas em mesma data!mesma data!

BRUNIBRUNIA operação de equivalênciaA operação de equivalência

00 11 22 33 44

-4.0

00,0

0-4

.000

,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

2.00

0,00

2.00

0,00

X?

BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

Use a data focal 60 dias

0 30 60 dias

BRUNIBRUNITaxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.320,00

$14.420,00

$8.900,00

Capitalizando $22.000,00

VF = VP (1+in)

VF = 22000 (1+0,03.2)

VF = $23.320,00

Capitalizando $14.000,00

VF = VP (1+in)

VF = 14000 (1+0,03.1)

VF = $14.420,00

0 1 2 meses

BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um microondas a vista por microondas a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros simplessimples, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

Use a data focal zero

BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JS)i = 4% a.m. (JS)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.1)

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.2)

VP = 0,9259.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 X = 500/1,8874 = $264,91

$264,91$264,91 $264,91$264,91

BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J

Um refrigerador é vendido Um refrigerador é vendido

à vista por $ 1.800,00 ou à vista por $ 1.800,00 ou

então a prazo mediante então a prazo mediante

$800,00 de entrada e mais $800,00 de entrada e mais

uma parcela de $ 1.150,00 uma parcela de $ 1.150,00

após 90 dias. Qual a taxa após 90 dias. Qual a taxa

mensal de juros simples do mensal de juros simples do

financiamento? financiamento?

BRUNIBRUNISolução do Exemplo JSolução do Exemplo J

$1.800,00

0 3

-$800,00-$800,00 -$1.150,00-$1.150,00

$1.000,00

0 3

-$1.150,00-$1.150,00

VF = VP (1+in)

1150 = 1000 (1+i.3)

i = [(1150/1000) – 1] / 3)

i = 5%

BRUNIBRUNIProporcionalidade de taxasProporcionalidade de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = ib.(nb/na)ia = ib.(nb/na)Em juros Em juros

simples, vale simples, vale usar regra de usar regra de

três!!!três!!!Em juros Em juros

simples!!!simples!!!

BRUNIBRUNIExemplo LExemplo L

I. Determinar as taxas semestral e anual I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.3% ao mês.

II. Calcular a taxa mensal proporcional de II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

I. I.

3% a.m. = [__] % a.s.3% a.m. = [__] % a.s.

1 semestre = 6 meses1 semestre = 6 meses

3% x 6 = 18% a.s.3% x 6 = 18% a.s.

3% a.m. = [__] % a.a.3% a.m. = [__] % a.a.

1 ano = 12 meses1 ano = 12 meses

3% x 12 = 36% a.a.3% x 12 = 36% a.a.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

II. Cálculo de taxas mensaisII. Cálculo de taxas mensais

a) 1 semestre = 6 mesesa) 1 semestre = 6 meses

90% a.s. 90% a.s. ÷÷ 6 = 15% a.m. 6 = 15% a.m.

b) 1 ano = 12 mesesb) 1 ano = 12 meses

220,8% a.a. 220,8% a.a. ÷÷ 12 = 18,4% a.m. 12 = 18,4% a.m.

c) 1 biênio = 24 mesesc) 1 biênio = 24 meses

96% 96% ÷÷ 24 = 24 = 4% a.m. 4% a.m.

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos operações Entendemos operações

com juros simplescom juros simples

Sabemos usar a Sabemos usar a

proporcionalidade de proporcionalidade de

taxastaxas

Compreendemos as Compreendemos as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios exercícios do livro!!!!do livro!!!!

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Desconto comercial eDesconto comercial ebancáriobancário

4

BRUNIBRUNIO que é descontarO que é descontar

Obter valor presenteObter valor presente Retirando os juros do valor Retirando os juros do valor

futurofuturo

Desconto = JurosDesconto = Juros

BRUNIBRUNIExemplo genérico ...Exemplo genérico ...

Pagar no futuro, receber a vistaPagar no futuro, receber a vista

0 n

DescontarRetirar os juros

Valor nominal

Valor líquido

(-) Desconto

Preciso do dinheiro hoje!!!

SinônimosValor nominalValor futuro

Valor líquidoValor presente

DescontoJuros

BRUNIBRUNIUm exemplo usual …Um exemplo usual …

Uma empresa possui uma Uma empresa possui uma duplicata a receber no duplicata a receber no valor de $4.000,00 em três valor de $4.000,00 em três mesesmeses

Porém, precisa do dinheiro Porém, precisa do dinheiro hojehoje

Resolve descontar (trazer Resolve descontar (trazer a valor presente) o títuloa valor presente) o título

O banco cobra uma taxa O banco cobra uma taxa de desconto igual a 6% de desconto igual a 6% a.m.a.m.Qual o desconto sofrido?Qual o desconto sofrido?

$4.000,00

0 3

Situação original

-$4.000,00

VP

Nova situação

Usando odescontoracional

…

BRUNIBRUNIDiferentes tipos de descontoDiferentes tipos de desconto

Racional simples ou por Racional simples ou por dentrodentro Aplicação da fórmula dos Aplicação da fórmula dos

juros simplesjuros simples VF = VP.(1 + i.n)VF = VP.(1 + i.n) Assim …Assim … VP = VF / (1 + i.n)VP = VF / (1 + i.n) Ou …Ou … D = VF - VPD = VF - VP

BRUNIBRUNIDesconto racionalDesconto racional

D = VF – VPD = VF – VP VP = VF / (1+in)VP = VF / (1+in) D = VF – VF / (1+in)D = VF – VF / (1+in) D = VF{1 – [1 / (1+in)]}D = VF{1 – [1 / (1+in)]} Do enunciado:Do enunciado:

VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses

Desconto:Desconto: D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17

Comentário:Comentário:

Que trabalho!!!

Existe algumaExiste algumaforma maisforma mais

fácil?fácil?

DescontoDescontoComercialComercial

BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial

Comercial ou por Comercial ou por foraforaJuros são Juros são

calculados sobre calculados sobre Valor FuturoValor Futuro

É preciso ajustar É preciso ajustar a fórmula!a fórmula!

BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial

Nas operações de Nas operações de desconto comercial, com o desconto comercial, com o objetivo de tornar mais objetivo de tornar mais fácil os cálculos, a fácil os cálculos, a instituição financeira instituição financeira costuma fazer incidir a costuma fazer incidir a taxa sobre o taxa sobre o valor futurovalor futuro

D = id.n.VFD = id.n.VF

id = taxa de desconto por foraid = taxa de desconto por fora

Cuidado!Cuidado!O banco apenas O banco apenas simplifica contra simplifica contra

o bolso do o bolso do cliente!!!cliente!!!

BRUNIBRUNISegunda fórmula …Segunda fórmula …

D = id.n.VFD = id.n.VF

VP = VF – DVP = VF – DVP = VF – id.n.VFVP = VF – id.n.VFVP = VF (1– id.n)VP = VF (1– id.n)

BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial

D = id.n.VFD = id.n.VF Cuidado: Cuidado:

id = taxa de desc comercialid = taxa de desc comercial

Do enunciado:Do enunciado: VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses

Desconto:Desconto: D = id.n.VF D = id.n.VF D = 0,06.3.4000 = $720,00D = 0,06.3.4000 = $720,00 Obs: anterior (racional simples) Obs: anterior (racional simples)

foi igual a $610,17foi igual a $610,17

$4.000,00

0 3

-$4.000,00

0 3

VF = VP (1+in)

4000 = 3280 (1+i.3)

i = [(4000/3280)-1]/3

i = 7,32% a.m.

Situação original

Nova situação

Ta

xa e

feti

va

VP ou Líquido4000 – 720 = $3.280,00

E a taxa efetiva simples?

BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!

A taxa de desconto A taxa de desconto comercial incide sobre o comercial incide sobre o valor futuro!valor futuro!

O valor futuro é sempre O valor futuro é sempre maior que o valor maior que o valor presente!presente!

Cuidado!!!Cuidado!!! A taxa efetiva (que incide A taxa efetiva (que incide

sobre o valor presente) sobre o valor presente) será sempre maior!será sempre maior!

BRUNIBRUNIAlguns sinônimos importantesAlguns sinônimos importantes

Valor futuroValor futuro MontanteMontante Valor de faceValor de face Valor do títuloValor do título Valor nominalValor nominal

Valor presenteValor presente Capital inicialCapital inicial Valor líquidoValor líquido

BRUNIBRUNIFórmula do desconto comercialFórmula do desconto comercial

VP=VF (1- id.n)Devem estarem uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

id = taxa de descontocomercial

D=VF.id.n

BRUNIBRUNIDescontando comercialmenteDescontando comercialmente

Uma empresa quer descontar um Uma empresa quer descontar um

título a receber no valor de $10.000,00 título a receber no valor de $10.000,00

em 5 meses mediante desconto em 5 meses mediante desconto

comercial a 4%comercial a 4% a.m. Calcule: a) a.m. Calcule: a)

desconto; b) valor líquido; c) taxa desconto; b) valor líquido; c) taxa

efetiva mensal simples.efetiva mensal simples.

-10.000,00-10.000,00

+VP+VP

55

taxa = 2000/8000 = 25% ao períodotaxa = 2000/8000 = 25% ao período

D = VF.id.nD = VF.id.n

00 mesesmeses

D = 10000 x 0,04 x 5D = 10000 x 0,04 x 5

a) D = 2000a) D = 2000

b) VP = 8000b) VP = 8000

c) taxa = 5% ao mêsc) taxa = 5% ao mês

BRUNIBRUNIUma análise simplificada por…Uma análise simplificada por…

Prazos Prazos médios médios

BRUNIBRUNIAnalisando prazos médiosAnalisando prazos médios

É comum É comum

representar os representar os

fluxos por seus fluxos por seus

prazos médios e prazos médios e

valor totalvalor total

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar …Para sempre lembrar …

A Cia Melhor da A Cia Melhor da

Praça deseja Praça deseja

descontar um descontar um

borderô, com id = 5% borderô, com id = 5%

a.m. Calcule o valor a.m. Calcule o valor

líquido recebido por líquido recebido por

ela.ela.

BRUNIBRUNIO borderô …O borderô …

Borderô = conjunto de Borderô = conjunto de títulostítulos

TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo

203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias

305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias

440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias

0 30

500,00

45

600,00

60

400,00

Soma $1.500,00

nn

BRUNIBRUNIDesconto de BorderôDesconto de Borderô

TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo 203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias 305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias 440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias

SomaSoma $1.500,00$1.500,00

Prazo médio =Prazo médio =500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 = = 500 + 600 + 400500 + 600 + 400= 44 dias = 44 dias

44 dias44 dias

BRUNIBRUNISimplificando …Simplificando …

0 30

500,00

45

600,00

60

400,00

0 44

1.500,00Simplificando …Simplificando …

VP = VF (1-id.n)VP = VF (1-id.n)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = $1.390,00VP = $1.390,00

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos o significado Entendemos o significado

do desconto comercialdo desconto comercial

Sabemos distingüir taxas Sabemos distingüir taxas

de desconto por fora e de desconto por fora e

por dentropor dentro

Calculamos taxas efetivasCalculamos taxas efetivas

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios exercícios do livro!!!!do livro!!!!

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Juros compostosJuros compostos5

BRUNIBRUNIPara pensar ...Para pensar ...

"O juro composto é a "O juro composto é a

maior invenção da maior invenção da

humanidade, porque humanidade, porque

permite uma confiável permite uma confiável

e sistemática e sistemática

acumulação de acumulação de

riqueza”.riqueza”.

Albert EinsteinAlbert Einstein

BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender operações com Entender operações com

juros compostosjuros compostos

Saber usar a equivalência Saber usar a equivalência

de taxasde taxas

Compreender as Compreender as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais

BRUNIBRUNIConceito de juros compostosConceito de juros compostos

Juros sempre sobre o Juros sempre sobre o

MONTANTE MONTANTE

ANTERIORANTERIOR

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros compostoscompostos

BRUNIBRUNIJuros compostosJuros compostos

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP (1+i)10% x $100

2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i)10% x $110

n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n

Juros compostos sempreincidem sobre montante

BRUNIBRUNIUma constataçãoUma constatação

Juros sobre Juros sobre montantemontante

Montante inclui jurosMontante inclui juros

Juros sobre Juros sobre jurosjuros

BRUNIBRUNIFórmula dos juros compostosFórmula dos juros compostos

VF=VP (1+ i)n

Expoente!Desafio matemático …Contas mais difíceis …

BRUNIBRUNICalculando no braçoCalculando no braço

Um investidor aplicou Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do 8% a.m. Calcule o valor do resgate.resgate.

VFVF

-4000-4000

6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = 4000 (1+0,08)VF = 4000 (1+0,08)66

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

BRUNIBRUNIAs tabelas padronizadasAs tabelas padronizadas

Para facilitar as contas …Para facilitar as contas …

VF=VP (1+ i)n

(1+ i)n

linhalinhacolunacoluna

Tabelas padronizadasTabelas padronizadas

BRUNIBRUNIPara o exemploPara o exemplo

n\in\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000

2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100

3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310

4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641

5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716

7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487

8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436

9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

n=6n=6 i=8%i=8%

=1,5869

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

BRUNIBRUNISubstituindo aSubstituindo an,in,i

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

VF = 4000. (1,5869)VF = 4000. (1,5869)

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

BRUNIBRUNIPara facilitar as contas …Para facilitar as contas …

Recursos auxiliares de Recursos auxiliares de cálculos podem ser cálculos podem ser

empregados …empregados …

Calculadora Calculadora HP12CHP12C

Planilha ExcelPlanilha Excel

BRUNIBRUNIJuros compostos na HP 12CJuros compostos na HP 12C

BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal

BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC

HP 12C++HP 12C++

BRUNIBRUNINa HP 12CNa HP 12C

VFVF

-4000-4000

6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

f Regf Reg

4000 CHS PV4000 CHS PV

6 n6 n

8 I8 I

[FV] [FV] $6.347,50 $6.347,50

BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!

Ajuste a HP 12C para Ajuste a HP 12C para a convenção a convenção exponencial!!!exponencial!!!

Sempre trabalhar Sempre trabalhar com juros com juros compostos, mesmo compostos, mesmo nas partes nas partes fracionárias de n!fracionárias de n!

BRUNIBRUNIConfigurando a HP 12CConfigurando a HP 12C

CC

Ative o flag “C”!!!Ative o flag “C”!!!

BRUNIBRUNIPara ativar …Para ativar …

BRUNIBRUNIHP 12C configurada!!!HP 12C configurada!!!

CC

BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A

Pedro aplicou $400,00 por três meses a Pedro aplicou $400,00 por três meses a 5% a. m. (juros compostos). Qual o 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?valor de resgate?

Tempo

-400,00-400,00

VF?VF?

Mo

vim

enta

ções

de

$M

ovi

men

taçõ

es d

e $

n=3n=3

i=5% a.m.i=5% a.m.

[f] [Reg][f] [Reg]

400 [CHS] [PV]400 [CHS] [PV]3 [n]3 [n]

5 [i]5 [i]

[FV] 463,05[FV] 463,05

BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B

Qual o valor presente obtido Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a para um valor futuro igual a $800,00 no ano 4 a uma taxa $800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a. a.? igual a 8% a. a.?

[f] [Reg][f] [Reg]

800 [FV]800 [FV]4 [n]4 [n]

8 [i]8 [i]

[PV][PV]

BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C

[f] [Reg][f] [Reg]

500 [CHS] [PV]500 [CHS] [PV]

3 [n]3 [n]

600 [FV]600 [FV]

[i][i]

-500,00-500,00

+600,00+600,00

33

i = ?i = ?

BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D

[f] [Reg][f] [Reg]

1200 [FV]1200 [FV]

4 [n]4 [n]

2 [i]2 [i]

[PV][PV]

-VP-VP

+1.200,00+1.200,00

44

i = 2%i = 2%

BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E

[f] [Reg][f] [Reg]

800 [CHS] [PV]800 [CHS] [PV]

6 [n]6 [n]

3 [i]3 [i]

[FV][FV]

-800,00-800,00

+VF+VF

66

i = 3%i = 3%

BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F

[f] [Reg][f] [Reg]

580 [CHS] [PV]580 [CHS] [PV]

750 [FV]750 [FV]

8 [n]8 [n]

[i][i]

-580,00-580,00

+750,00+750,00

88

i = ?i = ?

BRUNIBRUNICaracterísticas dos compostosCaracterísticas dos compostos

Juros incidem sobre jurosJuros incidem sobre juros Valor futuro cresce Valor futuro cresce

exponencialmenteexponencialmente

Capitalização ExponencialCapitalização Exponencial

Valor Futuro

Tempo

VP

BRUNIBRUNICompostos superam simples?Compostos superam simples?

Valor Futuro

Tempo

VP

Juros simples maioresque compostos

Juros compostos maioresque simples

N = 1

BRUNIBRUNIPara valor de n …Para valor de n …

N < 1 N < 1 Juros simples são maiores Juros simples são maiores

que juros compostosque juros compostos

N = 1N = 1 Juros simples são iguais a Juros simples são iguais a

juros compostosjuros compostos

N>1N>1 Juros compostos são Juros compostos são

maiores que juros simplesmaiores que juros simples

BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

(mesmo conceito em juros simples)(mesmo conceito em juros simples)

BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa Taxa compostacomposta igual a 3% a.m. igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

BRUNIBRUNITaxa composta igual a 3% a.m.Taxa composta igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.339,80

$14.420,00

$8.919,80

Capitalizando $22.000,00

VF = VP (1+i)n

VF = 22000 (1+0,03)2

VF = $23.339,80

Capitalizando $14.000,00

VF = VP (1+i)n

VF = 14000 (1+0,03)1

VF = $14.420,00

0 1 2

BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um produto a vista por produto a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros compostacomposta, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JC)i = 4% a.m. (JC)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)1

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)2

VP = 0,9246.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 X = 500/1,8861 = $265,10

$264,91$264,91 $264,91$264,91

BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?

BRUNIBRUNIEquivalência de taxasEquivalência de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = [(1+ib)ia = [(1+ib)(nb/na)(nb/na)]-1]-1

BRUNIBRUNIÉ mais fácil …É mais fácil …

Usar a HP12CUsar a HP12C

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12CEnganando a HP 12C

Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C

-100,00-100,00

VF?VF?

1212

i = 79,59% a.a.i = 79,59% a.a.

i = 5% a. m. = ____ % a. a.?i = 5% a. m. = ____ % a. a.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]12 [n]12 [n]

5 [i]5 [i]

[FV] [FV] 179,59179,59

179,59179,59

Suponha VP = 100Suponha VP = 100

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)

Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C

-100,00-100,00

180,00180,00

1212

i = 5,02% a. m.i = 5,02% a. m.

i = 80% a. a. = ____ % a. m.?i = 80% a. a. = ____ % a. m.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]

180 [FV]180 [FV]

12 [n]12 [n]

[i] [i] 5,025,02

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)

Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C

-100,00-100,00

160,00160,00

1212

i = 3,99% a. m.i = 3,99% a. m.

i = 60% a. a. = ____ % a. m.?i = 60% a. a. = ____ % a. m.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]

160 [FV]160 [FV]

12 [n]12 [n]

[i] [i] 3,993,99

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios do exercícios do

livro!!!!livro!!!!

BRUNIBRUNIUsando as antigas e funcionais Usando as antigas e funcionais

TabelasTabelas

BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%