Capítulo 3 GEOMETRIA DE MASSAS 3.1 I NTRODUÇÃO · O teorema de Pappus-Gulding permite determinar...

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Capítulo 3

GEOMETRIA DE MASSAS

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo será feito o estudo de várias propriedades e características geométrico-mecânicas de linhas, superfícies e volumes, as quais constituirão uma ferramenta para a caracterização da massa, peso, distribuição da massa, inércia, etc., de sistemas de partículas discretos ou contínuos, cujo movimento será estudado nos capítulos seguintes ligados à dinâmica.

Para além das características geométricas naturais, como o comprimento, área e volume (e as suas características mecânicas de massas e pesos desses comprimentos, áreas e volumes) irá referir-se os conceitos de centro de massa, centro de gravidade, momento estático relativamente a um ponto, eixo ou plano, momento de inércia e produto de inércia também relativamente a um ponto, eixo ou plano.

3.2 CENTRO DE MASSA E CENTRO DE GRAVIDADE

O centro de massa corresponde ao centróide de massas de um sistema de partículas. Se o sistema for discreto (constituído por partículas com coordenadas

OAk − e massas mk), o centro de massa, GCM, localiza-se na posição determinada através da seguinte expressão:

∑∑==

=−⋅⋅=−n

kk

n

kkkCM mMOAm

MOG

11;1

(3.1)

Se o sistema for contínuo, a localização do centro de massa é obtida por:

Geometria de massas

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∫∫ =⋅=−MM

CM dmMzyxdmzyxRM

OG ;),,(),,(1 r (3.2)

Note-se que o integral ∫M

dm será simples,

duplo ou triplo, consoante o sistema de partículas seja unidimensional (1D), bidimensional (2D) ou tridimensional (3D), respectivamente.

Figura 3.1 – Centro de massa.

Se o sistema de partículas estiver sujeito a um campo gravítico, terrestre ou não, ele estará sujeito a forças de atracção gravítica (ou pesos) pontualmente localizadas (sistema de partículas discreto) ou distribuídas (sistema de partículas contínuo). Designa-se centro de gravidade ou baricentro do sistema de partículas ao centróide da distribuição, discreta ou contínua, de pesos do sistemas de partículas.

Num sistema discreto, a localização do centro de gravidade, G, é dado por:

∑∑==

=−⋅⋅=−n

kk

n

kkk ppOAp

pOG

11;1 (3.3)

Figura 3.2 – Peso da partícula de massa mk.

Num sistema contínuo, a localização do centro de gravidade, G, é dado por:

;),,(),,(1

),,(),,(1

∫

∫

⋅=

=⋅=−

M

P

dmzyxgzyxRp

zyxdpzyxRp

OG

rr

r

com ∫∫ ==Mp

dmgdpp (3.4)

Figura 3.3 – Peso elementar associado a uma parcela infinitesimal de massa dm.

Capítulo 3

87

NOTAS:

1. Se o sistema de partículas for homogéneo (isto é, de massa específica constante) e se o campo gravítico for uniforme (ou seja, a mesma aceleração gravítica para todos os pontos do sistema), então o centro de massa e o centro de gravidade localizam-se no mesmo ponto.

2. Se o sistema de partículas for homogéneo, então o centro de massa é coincidente com o centro geométrico. Se, além disso, o campo gravítico é uniforme, então o centro geométrico corresponde simultaneamente ao centro de massa e ao centro de gravidade.

Considerando o caso de um sistema de partículas contínuo, o centro geométrico, GCG, é dado por:

∫∫ =⋅=−VV

CG dVVdVRV

OG ;1 r (3.5)

Por sua vez, o centro de massa, GCM, é dado por:

∫∫∫∫ ==⋅⋅=⋅=−VMVM

CM dVdmMdVRM

dmRM

OG ρρ ;11 rr (3.6)

onde ρ representa a massa específica do sistema que pode ser constante ou variável no interior do seu volume. Se a massa específica for constante (ρ = constante) então o centro de massa pode ser também definido por:

OGdVRV

dVRdV

OG CGVV

V

CM −=⋅=⋅⋅=− ∫∫∫rr 11 ρ

ρ (3.7)

ou seja, quando ρ = constante o centro de massa coincide com o centro geométrico. Quanto ao centro de gravidade, G, ele é dado por:

∫∫∫∫ ==⋅⋅=⋅=−VPVP

dVdppdVRp

dpRp

OG γγ ;11 rr (3.8)

onde,

g⋅= ργ (3.9)

Geometria de massas

88

representa o peso específico do sistema que, também, pode ser constante ou variável no interior do sistema. Se o peso específico do sistema for constante (γ = ρ · g = constante) então o centro de gravidade pode ser também definido por:

OGdVRV

dVRdV

OG CGVV

V

−=⋅=⋅⋅=− ∫∫∫rr 11 γ

γ (3.10)

ou seja, quando γ = constante o centro de gravidade coincide com o centro geométrico.

3.3 MOMENTOS ESTÁTICOS OU DE 1ª ORDEM

Considere-se uma superfície plana homogénea num campo gravítico uniforme. Nestas condições, o centro geométrico da superfície coincide com o centro de massa e com o centro de gravidade e é dado por:

=

=

====−

∫

∫∫

A

dayy

A

daxx

A

daryxrOG

SG

AG

AGGG

r

r ),( (3.11)

Designa-se momento estático, ou de 1ª ordem, Sy, da superfície A relativamente ao eixo OY a:

GA

y xAdaxS ⋅== ∫ (3.12)

Figura 3.4 – Momento estático em relação a OY.

Identicamente, o momento estático, ou de 1ª ordem, Sx, da superfície A relativamente ao eixo OX é:

Capítulo 3

89

GA

x yAdayS ⋅== ∫ (3.13)

Figura 3.5 – Momento estático em relação a OX.

Por intermédio do conceito de momento estático é possível referir algumas características e propriedades de secções planas:

1ª) Se um dos eixos, OX ou OY, for baricentrico, isto é, se contiver o centro de gravidade, G, o respectivo momento estático relativamente a esse eixo é nulo.

Exemplo:

Se OY é baricentrico, então:

00 ==⇒=== ∫∫

Ay

yAG daxS

AS

A

daxx (3.14)

Figura 3.6 – Eixo OY baricentrico.

2ª) Qualquer eixo de simetria de uma secção plana é baricentrico:

( ) ( ) =+== ∫ direitaesquerda yyA

y SSdaxS

( ) =+=+= ∫∫∫ +−+−

AAA

daxxadxdax

00 == ∫A

da (3.15)

Figura 3.7 – Eixo de simetria.

3ª) Quando se decompõe uma superfície A em duas superfícies A1 e A2 de baricentros G1 e G2, o baricentro de A pertence à recta que passa por G1 e G2:

( ) ( )∆∆∆∆∆ +=+=

21

2121 GG

AA dAdASSS

como ( ) ( ) 021

==∆∆ GG dd

Figura 3.8 – Decomposição da superfície.

Geometria de massas

90

( ) ( ) 00 =⇒=⋅= ∆∆∆ GG ddAS (3.16)

4ª) Se uma superfície tiver duas linhas de simetria, o centro de gravidade está no ponto de intersecção dessas linhas:

Figura 3.9 – Superfície com duas linhas de simetria.

3.4 TEOREMA DE PAPPUS-GULDING

O teorema de Pappus-Gulding permite determinar centróides de linhas e superfícies planas e ainda as suas correspondentes linhas e superfícies massificadas e pesadas. Mas cada parcela a que este teorema se aplica terá que ser homogénea.

3.4.1 Teorema de Pappus-Gulding – versão superfícies

A área da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha curva em torno de um eixo do seu plano, e que não a intersecta, é igual ao produto do comprimento da linha curva pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade G durante a revolução:

( )GAB dLA π2lateral sup. ⋅= (3.17)

Figura 3.10 – Determinação do centróide

de uma linha.

A versão superfícies massificadas ou pesadas (corolário do anterior) diz que a massa ou o peso da superfície lateral gerada pela revolução de uma linha plana em torno de um eixo do seu plano, que não a intersecte, é igual ao produto da massa ou do peso da linha plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro G durante a revolução.

perímetro percorrido pelo centro de gravidade

Capítulo 3

91

3.4.2 Teorema de Pappus-Gulding – versão volumes

O volume do sólido gerado pela revolução de uma secção plana em torno de um eixo do seu plano, e que não a intersecte, é dado pelo produto da área da superfície plana pelo perímetro percorrido pelo seu centro de gravidade G durante a sua revolução:

( ) AdV G ⋅= π2sólido (3.18)

Figura 3.11 – Determinação do centróide de uma superfície.

Também neste teorema se pode desenvolver um corolário para volumes massificados ou pesados.

Exercícios de aplicação

perímetro percorrido pelo centro de gravidade

Geometria de massas

92

3.5 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SECÇÕES PLANAS

3.5.1 Momentos de inércia de área e de massa

Considere-se uma secção plana e um eixo ∆, que tem área A e massa M.

Designa-se momento de inércia ou de 2ª ordem, da área A em relação ao eixo ∆, à quantidade:

( ) ∫=∆A

darI 2área (3.19)

Figura 3.12 – Momento de inércia em relação

a um eixo ∆ qualquer.

Designa-se momento de inércia, ou de 2ª ordem, da massa M (com superfície A) relativamente ao eixo ∆, à quantidade expressa por:

( ) ∫∫ ⋅==∆A

AM

dardmrI ρ22massa (3.20)

onde ρA é a massa específica superficial.

Se a secção for homogénea (isto é, ρA = constante), então:

( ) ( )área2

massa ∆∆ ⋅=⋅= ∫ IdarI AA

A ρρ (3.21)

Em relação a um referencial OXY tem-se:

Momento de inércia em relação ao eixo OX:

∫=A

x dayI 2 (3.22)

Momento de inércia em relação ao eixo OY:

∫=A

y daxI 2 (3.23)

Figura 3.13 – Momentos de inércia.

Capítulo 3

93

As dimensões dos momentos de inércia de área e de massa são as seguintes:

( )[ ] 4área m=∆I

( )[ ] 2massa mkg ⋅=∆I (3.24)

Note-se que enquanto os momentos de 1ª ordem podem ser positivos, ou negativos, ou nulos, consoante o valor da distância do centro ao eixo ∆, os momentos de inércia são sempre positivos porque correspondem à soma (ou ao integral) de produtos de áreas por distâncias quadráticas.

Exercícios de aplicação

3.5.2 Teorema dos eixos paralelos – Teorema de Steiner

O teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia relaciona os momentos de inércia relativos a dois quaisquer eixos paralelos:

'2' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ (3.25)

Geometria de massas

94

Considere-se uma superfície A e os eixos ∆ e ∆' paralelos. Os momentos de inércia da superfície A relativamente a esses eixos estão relacionados por:

∫=∆A

dalI 2 (3.26)

como l' = l + d, então:

⇒+= ∫∆A

dadlI 2)'( (3.27a)

Figura 3.14 – Teorema dos eixos paralelos.

∫∫∫ ⋅⋅++=∆AAA

dadldaddalI '2' 2 (3.27b)

sendo o momento estático dado por:

'' ' G

A

dAdalA ⋅== ∫∆ (3.28)

então a equação (3.25) é verificada, isto é: '2' 2 GddAdAII ⋅⋅⋅+⋅+= ∆∆ .

Quando o eixo ∆' é baricentrico, isto é, quando ∆' ≡ ∆G // ∆, o teorema dos eixos paralelos designa-se por teorema de Steiner, vindo expresso por:

(como ∆' ≡ ∆G ⇒ 0' =Gd ): 2dAIIG

⋅+= ∆∆ (3.29)

ou seja, o teorema de Steiner mostra que o momento de inércia da área de uma secção plana, relativamente a um eixo qualquer, é igual à soma do momento de inércia da área da mesma secção relativamente a um eixo baricêntrico paralelo ao dado, com o produto da área da superfície pelo quadrado da distância entre os dois referidos eixos.

I∆' d2·A '2'2 ∆=∫ Addald

Capítulo 3

95

Exemplo:

3.5.3 Momento de inércia polar

Trata-se também de um momento de 2ª ordem relativamente a um eixo perpendicular ao plano da secção num ponto fixado, sendo definido por:

∫=A

O darI 2 (3.30)

como r2 = x2 + y2, então o momento de inércia polar pode ser obtido por:

Figura 3.15 – Momento de inércia polar.

xyAAA

O IIdaydaxdayxI +=+=+= ∫∫∫ 2222 )( (3.31)

ou seja, o momento de inércia polar é igual à soma dos momentos de inércia relativos a dois eixos do plano da secção perpendiculares entre si e centrados em O:

⇒+=+=+= 2222222 ""'' yxyxyxr

""'' yxyxyxO IIIIIII +=+=+= (3.32)

ou seja, o momento de inércia polar, IO, é invariante, isto é, não depende da escolha de qualquer par de eixos ortogonais centrados em O.

Geometria de massas

96

Exemplo:

3.5.4 Raio de giração

O raio de giração refere-se à posição da superfície A onde se pode considerar que concentrando toda a superfície nesse ponto, pode-se obter o mesmo momento de inércia que essa superfície origina.

⇒=⋅= ∫∆∆A

dadrAI 22

⇒ AIr ∆

∆ = (3.33)

Figura 3.16 – Raio de giração.

Capítulo 3

97

Num sistema de eixos OXY, os raios de giração são obtidos por:

AIr x

x = (3.34)

AI

r yy = (3.35)

3.5.5 Produto de inércia

O produto de inércia é um momento de 2ª ordem, correspondendo ao produto da área da secção S (ou da massa M) relativamente ao par de eixos ortogonais OX e OY e é dado por:

( ) ∫ ⋅=A

xy dayxIárea

(3.36)

( ) ∫∫ ⋅⋅=⋅=A

AM

xy dayxyxdmyxI ),(massa

ρ (3.37)

Figura 3.17 – Produto de inércia.

Se o corpo é homogéneo, então:

( ) ( )áreamassa xyAxy II ⋅= ρ (3.38)

Os valores dos momentos de inércia relativamente a um eixo qualquer são sempre positivos. O produto de inércia Ixy de qualquer secção plana poderá ser positivo, nulo ou negativo, consoante a localização dessa superfície relativamente ao sentido dos eixos coordenados.

Figura 3.18 – Sinais para o produto de inércia.

Geometria de massas

98

Aplicação dos teoremas dos eixos paralelos e de Steiner para produtos de inércia

Conhecido o produto de inércia em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY, é possível, pela aplicação do teorema dos eixos paralelos, obter o produto de inércia em relação a um sistema de eixos O'X'Y' paralelo ao anterior:

⇒+⋅+=

⋅=

∫

∫

A

Ayx

adaybx

adyxI

)()(

''''

∫∫

∫∫⋅+⋅=

+⋅+⋅=⇒

AA

AAyx

adxaadyb

adbaadyxI ''

(3.39)

Figura 3.19 – Aplicação do teorema dos eixos paralelos.

Considerando as seguintes igualdades:

∫ ⋅=A

xy adyxI (3.40a)

∫ ⋅=⋅⋅A

adbaAba (3.40b)

GxAA

yAbSbadybadyb ⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ (3.40c)

GyAA

xAbSaadxaadxa ⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ (3.40d)

Assim, o teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia é expresso por:

GGxyyx yAbxAaAbaII ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+='' (3.41)

Quando os eixos OX e OY são baricentricos, este teorema converte-se na versão do teorema de Steiner para produtos de inércia:

(se x≡xG e y≡yG ⇒ Sx=Sy=0): AbaIIGG yxyx ⋅⋅+='' (3.42)

Capítulo 3

99

3.5.6 Variação dos momentos de 2ª ordem Ix, Iy e Ixy resultante da rotação dos eixos de referência

)sen,(cos1 αα=ir

(3.43)

)cos,sen(1 αα−=jr

(3.44)

αααα

sencos),()sen,(cos' 1

⋅+⋅==⋅=⋅=

yxyxOMix

r

(3.45)

αααα

cossen),()cos,sen(' 1

⋅+⋅−==⋅−=⋅=

yxyxOMjy

r

(3.46)

Figura 3.20 – Rotação dos eixos de referência.

O momento de inércia em relação ao eixo O'X' , Ix', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:

⇒⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅=

=⋅+⋅−==

∫∫∫

∫∫αααα

αα

cossen2cossen

)cossen('

2222

22'

AAA

AAx

dayxdayadx

dayxdayI (3.47a)

ααα 2sensencos 22' ⋅−⋅+⋅= xyyxx IIII (3.47b)

Identicamente, o momento de inércia em relação ao eixo O'Y' , Iy', pode ser obtido a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:

⇒⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅==

∫∫∫

∫∫αααα

αα

cossen2sencos

)sencos('

2222

22'

AAA

AAy

dayxdayadx

dayxdaxI (3.48a)

ααα 2sencossen 22' ⋅+⋅+⋅= xyyxy IIII (3.48b)

E ainda, de forma análoga, se obtém o produto de inércia em relação ao eixo O'Y' , Ix'y', a partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem definidos no sistema de eixos ortogonal OXY (Ix, Iy e Ixy) pela seguinte relação:

Geometria de massas

100

⇒−⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅+⋅−⋅⋅+⋅=⋅=

∫

∫∫

∫∫

)sen(cos

cossencossen

)cossen()sencos(''

22

22

''

αα

αααα

αααα

A

AA

AAyx

dayx

dayadx

dayxyxdayxI

(3.49a)

)sen(coscossen)( 22'' αααα −⋅+⋅⋅−= xyyxyx IIII (3.49b)

Atendendo às seguintes relações trigonométricas:

ααα 2cossencos 22 =− (3.50a)

2

2cos1cos2 αα += (3.50b)

2

2cos1sen2 αα −= (3.50c)

então as expressões (3.47) a (3.49) podem-se reescrever da seguinte forma:

αα 2sen2cos22' ⋅−⋅−

++

= xyyxyx

x IIIII

I (3.51)

αα 2sen2cos22' ⋅+⋅−

−+

= xyyxyx

y IIIII

I (3.52)

αα 2cos2sen2'' ⋅+⋅−

= xyyx

yx III

I (3.53)

Note-se que as expressões (3.51) e (3.52) verificam a seguinte condição: Ix' + Iy' = Ix + Iy (ver expressão 3.32).

Capítulo 3

101

Exemplo:

3.5.7 Momentos principais de inércia – momentos de 2ª ordem máximo e mínimo. Eixos principais de inércia

O objectivo é determinar o valor do ângulo α para o qual os momentos de inércia são extremos, ou seja, a definição da direcção dos eixos principais; e, os momentos de inércia, máximo I1 e mínimo I2, que lhes estão associados.

Figura 3.21 – Eixos principais de inércia.

Geometria de massas

102

Como Ix + Iy = Ix1 + Iy2, então se Ix1 é máximo então Iy1 é mínimo e vice-versa. Para determinar os extremos, determina-se o zero da derivada de Ix1 ou Iy1:

⇒=⋅⋅−⋅−⋅−

== 02cos2)2sen2(2

11 αααα xy

yxyx III

ddI

ddI

⇒ yx

xy

III−⋅

−=2

2tg α (3.54)

Como a função tangente é periódica, com período π, a expressão anterior resulta em dois valores distintos de α que anulam a derivada αddI x1

: um torna Ix1(α) máximo e outro Iy1(α+π/2) mínimo, ou vice-versa.

Conhecendo as seguintes relações trigonométricas:

α

αα2tg1

2tg2sen2+

±= (3.55)

α

α2tg1

12cos2+

±= (3.56)

pode-se obter os valores de sen2α e cos2α a partir da expressão (3.54). Substituindo nas expressões de Ix' e Iy', (3.51) e (3.52), obtém-se as seguintes expressões que permitem calcular os momentos principais de inércia:

221 4)(

21

2 xyyxyx III

III ⋅+−⋅+

+= (3.57)

222 4)(

21

2 xyyxyx III

III ⋅+−⋅−

+= (3.58)

onde I1 representa o momento principal de inércia máximo e I2 representa o momento principal de inércia mínimo.

Se os eixos principais de inércia, definidos pelo ângulo α definido pela expressão (3.54), contiverem o centro de gravidade, então estes designam-se por eixos principais centrais de inércia.

Note que: O produto de inércia, I12, associado aos eixos principais de inércia é nulo: I12 = 0.

Capítulo 3

103

3.5.8 Determinação dos eixos principais de inércia por métodos gráficos

3.5.8.1 Círculo de inércia de Land

A partir do conhecimento dos momentos de 2ª ordem (Ix, Iy e Ixy) é possível construir o círculo de Land e definir os momentos de 2ª ordem em relação a outro qualquer sistema de eixos e, inclusive, determinar os eixos que conduzem aos momentos principais de inércia.

Figura 3.22 – Círculo de inércia de Land.

BEDECDBCIIIII

I xyyxyx

x =−+=⋅−⋅−

++

= αα 2sen2cos22' (3.59)

AEDECDACIIIII

I xyyxyx

y =+−=⋅+⋅−

−+

= αα 2sen2cos22' (3.60)

EIIGDGIII

I xyyx

yx =+=⋅+⋅−

= αα 2cos2sen2'' (3.61)

Sabendo que os eixos principais são orientados de forma a que o correspondente produto de inércia é nulo, então a definição das suas orientações no círculo de Land começa por ser feita iniciando com o traçado da linha, onde se mede os momentos de inércia (neste caso I1 e I2), que une o centro do círculo e o ponto principal I. Os eixos principais de inércia são então definidos unindo a origem do sistema de eixos com os pontos onde a linha referida intersecta com a circunferência (ver figura 3.23).

Geometria de massas

104

Figura 3.23 – Determinação dos eixos principais de inércia pelo círculo de Land.

3.5.8.2 Círculo de inércia de Mohr

O círculo de Mohr, vulgarmente utilizado para estudar estados planos de tensão (σx, σy, τxy), permite também obter os momentos de 2ª ordem em qualquer sistema de eixos ortogonais. A figura 3.24 ilustra como se constrói o círculo de Mohr e como se pode determinar os momentos de 2ª ordem noutro referencial ortogonal qualquer, conhecida a sua orientação, ou como se determina as direcções principais de inércia.

O traçado do círculo de Mohr é obtido, conhecido Ix, Iy e Ixy, percorrendo os seguintes passos:

1º) Traça-se um sistema de eixos ortogonal, em que na abcissa (com sentido positivo para a direita) se marca os valores dos momentos de inércia e nas ordenadas (com sentido positivo para baixo) se marca os valores dos produtos de inércia.

2º) Marca-se o ponto X, por onde passará o eixo OX, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a Ix e ordenada –Ixy, ou seja, X(Ix, –Ixy).

3º) Marca-se o ponto I, por onde passará o eixo OY, com as seguintes coordenadas: abcissa igual a Iy e ordenada Ixy, ou seja, Y(Iy, Ixy).

Capítulo 3

105

4º) O segmento de recta que une os pontos X a Y corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr, sendo o seu centro, C, definido pela intersecção do segmento XY com o eixo das abcissas.

5º) Depois de se efectuar o traçado da circunferência, define-se o pólo P (que está associado ao ponto que define a origem dos eixos de inércia representados no círculo de Mohr) fazendo o seguinte: traça-se uma linha paralela ao eixo OX (geralmente horizontal) que passe no ponto X, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência; ou, em alternativa, traça-se uma linha paralela ao eixo OY (geralmente vertical) que passe no ponto Y, o pólo P encontra-se no outro ponto de intersecção com a circunferência.

Figura 3.24 – Círculo de Mohr.

Os valores dos momentos principais de inércia, I1 e I2, determinam-se medindo a abcissa dos pontos que se encontram na intersecção da circunferência com o eixo das abcissas. Os respectivos eixos principais de inércia são traçados ligando o pólo P com cada um desses pontos de intersecção.

Geometria de massas

106

3.6 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE ELEMENTOS DE

CONSTRUÇÃO METÁLICA

A determinação da resistência e da deformabilidade de elementos estruturais, vulgarmente utilizados na construção civil, exige o conhecimento das suas características mecânicas associadas à geometria de massas. Dado que as secções correntemente utilizadas em elementos estruturais de construção metálica não apresentam geometrias elementares, é vulgar a utilização de tabelas que indicam os valores associados às diferentes grandezas abordadas neste capítulo. Assim, nesta secção apresenta-se a nomenclatura e as convenções que são utilizadas nas tabelas correntes de perfis (secções) usados na construção metálica e a sua utilização de forma a extrair a informação necessária para as caracterizar mecanicamente.

Os elementos de construção metálica (figura 3.25) consistem em perfis em aço laminado a quente. Os perfis correntemente utilizadas têm a forma de I, L, U, T e Z, para secções abertas (figura 3.26); e, perfis tubulares de secção circular, quadrada ou rectangular (figura 3.27).

Figura 3.25 – Sistemas de eixos de referência segundo o EC3 e EC4.

a) Perfil I b) Perfil L c) Perfil U d) Perfil T e) Perfil Z

Figura 3.26 – Perfis de elementos metálicos de secção aberta.

Capítulo 3

107

a) Secção circular b) Secção quadrada c) Secção rectangular

Figura 3.27 – Perfis tubulares de elementos metálicos.

As características geométricas destes tipos de perfis encontram-se tabeladas (ver figura 3.28 e anexo 1). O sistema de eixos de referência utilizado nessas tabelas é definido de acordo com as normas europeias de projecto de estruturas, nomeadamente, o Eurocódigo 3 (Projecto de estruturas de aço) e o Eurocódigo 4 (Projecto de estruturas mistas aço-betão). Assim, o sistema de eixos de referência é definido de forma que (ver figura 3.25):

– a sua origem passa pelo centro de gravidade;

– o eixo OY (ou yy na nomenclatura da tabela) é o eixo de maior inércia;

– o eixo OZ (ou zz) é o eixo de menor inércia; e,

– o eixo OX (ou xx) é o eixo longitudinal da barra, perpendicular à secção.

Exemplo:

Determinar o momento de inércia do perfil IPE-140 relativamente ao eixo ∆ que passa pela fibra inferior da secção.

Da tabela que está na figura 3.28 tira-se que: Iy=541cm4, A=16.4cm2 e a distância entre os eixos yy e ∆∆ é

∆−yd =7cm. Então, aplicando o teorema de Steiner, expressão (3.29), calcula-se o momento de inércia I∆:

254

22

m1034.1cm6.1344

74.16541−

∆−∆

×==

=×+=⋅+= yy dAII

108

Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.

Geom

etria de massas

Figura 3.28 – Características geométricas de perfis metálicos do tipo IPE (NP-2116 e DIN-1025).