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CAPÍTULO IX – RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL
Rigidez Secante Adimensional
IX - 1
9. Rigidez Secante Adimensional
9.1. Caracterização da rigidez
Na análise dos deslocamentos laterais do eixo de um prisma solicitado a flexo-
compressão tem papel fundamental a sua rigidez. Essa rigidez tem a ver com a
capacidade das seções transversais desenvolverem esforços internos resistentes
que se opõem à deformação do prisma. Da equação diferencia da linha elástica de
peças solicitadas à flexão surge o entendimento da rigidez à flexão.
A equação diferencial da li nha elástica para as duas peças esquematizadas na
figura 9.1 é:
EIzM
dzyd )(2
2
+= (9.1)
Figura 9.1 – Esquematização das deformadas de um pilar em balanço e de um pilar bi-rotulado.
Z
Y
N
MB HB
q(z)
Z
Y
N
MB
z
y(z)
z
y(z)
f = yB
MA A
B B
A
a) 02
2
>dz
yd; M(z) > 0 b) 0
2
2
>dz
yd; M(z) > 0
q(z)
Y
Z
M(z) > 0
z
O
c) Convenção de sinais para os momentos
fletores
Rigidez Secante Adimensional
IX - 2
A direção positiva das cargas transversais será considerada aquela que produza
deformações no eixo da peça com concavidade voltada para o semi-eixo positivo de
X ou Y.
Com a orientação dos eixos coordenados como estão representados nas figuras
9.1.a e 9.1.b se tem, no caso da peça em balanço, para momentos fletores positivos
a concavidade da linha elástica voltada para o semi-eixo positivo de Y e
conseqüentemente a derivada segunda de y em relação à z também é positiva,
assim, sendo os dois membros da equação positivos o sinal da equação diferencial
da linha elástica resulta positivo. No caso da peça bi-rotulada da figura 9.1.b,
também para momentos fletores positivos a concavidade da peça é voltada para o
semi-eixo positivo de Y, assim, a segunda derivada de y em relação à z é de novo
positiva, portanto também neste caso o sinal da equação diferencial da linha elástica
é positivo.
A derivada 2
2
dzyd da equação 9.1 representa a curvatura da linha elástica. Essa
curvatura é definida como sendo o inverso do raio de curvatura (curvatura = 1/r), de
modo que, se tem rdzyd 1
2
2
= .
Da equação diferencial da linha elástica, agora escrita
EIzM
rdzyd )(12
2
+== (9.2)
resulta a rigidez à flexão dada por:
r
zMEI
1)(
= (9.3)
Ou seja, a rigidez a flexão é igual a razão entre o momento fletor solicitante e a
correspondente curvatura da peça.
O concreto armado é um composto que apresenta não linearidade física, ou seja, as
deformações não são linearmente proporcionais às tensões. Mesmo o aço, quando
empregado no concreto armado, é um material com comportamento físico não linear,
já que se considera esse material trabalhando muitas vezes plastificado após atingir
Rigidez Secante Adimensional
IX - 3
a tensão de escoamento e nessa situação as deformações deixam de ser
linearmente proporcionais às tensões.
Devido a esse comportamento físico não linear, as curvaturas dadas por
2
21
dzyd
r = deixam de ser linearmente proporcionais aos momentos fletores M(z).
Conseqüentemente, quando se considera a não linearidade física dos materiais no
estudo das deformações de peças de concreto armado, mesmo que a seção
transversal da peça se mantenha constante e com a mesma armadura em todo o
seu comprimento, as curvaturas não são linearmente proporcionais aos momentos
fletores. A existência de uma força normal reforça essa afirmação.
De modo que, a rigidez, quanto às rotações das seções de peças de concreto
armado solicitadas à flexão composta, dada pela equação 9.3, não é constante ao
longo do comprimento da peça.
A rigidez de cada seção depende da intensidade das solicitações de flexão e de
compressão ou tração. No caso dos pilares é mais comum a combinação das
solicitações de flexão e de compressão (flexo-compressão normal ou oblíqua).
Para cada terno de esforços solicitante (NSd – MSxd – MSyd) corresponde uma
determinada curvatura, 1/rα, normal à linha neutra da seção. Se pode também
trabalhar com as componentes 1/rx e 1/ry da curvatura. Nos diagramas momento-
curvatura da figura 9.2, construídos para uma determinada força normal NSd, para
cada par de momentos solicitantes, MSxd e MSyd, se tem um par de componentes de
curvatura diferente. Os gráficos mostram a não linearidade dessa relação Assim,
sendo variáveis os esforços solicitantes ao longo do comprimento da peça, serão
diferentes as curvaturas de seção para seção. Lembrando ainda que essa
dependência entre curvatura e flexo-compressão não segue uma lei linear (não
linearidade física), o que fica claro ao se observar os diagramas da figura 9.2.
No estudo dos deslocamentos transversais de pilares, o “método geral”, mais
preciso, faz uso da rigidez determinada ponto a ponto. Isto é, para cada seção se
tem um terno de esforços solicitantes (NSd – MSxd – MSyd) e em função desses
esforços se determinam a curvatura e a rigidez, essa última dada pela equação 9.3.
Portanto para cada seção se terá uma curvatura e uma rigidez.
Rigidez Secante Adimensional
IX - 4
Mxd - 1/rx
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
1/rx (1/1000 cm)
Mxd
(kN
.m)
Myd - 1/ry
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
1/ry (1/1000 cm)
Myd
(kN
.m)
Figura 9.2 – Diagramas “Momento-Curvatura” para as direções X e Y
correspondentes a um determinado valor da força normal Nd.
Assim, a rigidez, embora representada por “EI”, não é calculada pelo produto de um
módulo de elasticidade por um momento de inércia, mas pela razão entre momento
solicitante e curvatura correspondente. Embora se conserve a notação.
Desta forma, é de fundamental importância para o obtenção dos efeitos de 2ª ordem
em peças comprimidas o cálculo das curvaturas decorrentes das solicitações em
cada seção da peça.
Da consideração das curvaturas de todas as seções ao longo do comprimento do
pilar se determinam as rotações.
Figura 9.3 – Deformação de um pilar em balanço solicitado à flexo-
compressão.
L
NBd
MBd
B
A
dz Segmento i
NBd
MBd
B
A
Segmento i
a) Peça indeformada a) Peça deformada
Rigidez Secante Adimensional
IX - 5
Considerando o pilar esquematizado na figura 9.3, o segmento i deformado está
representado na figura 5.1 para o caso de flexo-compressão normal na direção Y, na
figura 5.2 para o caso de flexo-compressão normal na direção X e na figura 5.3 para
flexão oblíqua composta.
A curvatura da peça em determinada seção está intimamente ligada à rotação
relativa entre duas seções infinitamente próximas. De modo que, as rotações são
obtidas da integração das curvaturas ao longo do eixo da peça.
Da equação diferencial da linha elástica se obtém as rotações integrando-se aquela
equação uma vez.
12
2
)()(
)( CdzzEIzM
dzdz
yddzdy
z +=== ∫∫ϕ (9.4)
Tendo em vista a expressão (9.2), se pode escrever:
1
2
01
].)(1[)( Cdzzrz
zz
z
+= ∫=
=
ϕ (9.5)
A constante de integração C1 deve ser determinada pelas condições de contorno do
problema.
Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nula a rotação no engaste, ou
seja:
para z = 0 → ϕ = ϕA = 0 (9.6)
A integral da equação (9.5) representa a área do diagrama de curvaturas entre as
ordenadas z1 e z2. Essa integral realizada de z1=0 até z2=0 naturalmente é nula
0)()(02
0
=∫=
=
dzzEIzMz
z
(9.7)
donde resulta de (9.5) C1 = 0. Portanto, as rotações de um pilar em balanço resultam
determinadas por:
dzzr
zzz
z
.)(
1)(
2
01∫=
=
=ϕ (9.8)
Rigidez Secante Adimensional
IX - 6
ou dzzr
zzz
z
.)(
1)()(
11 ∫
+= ϕϕ (9.9)
A integral da expressão (9.8) representa a área do diagrama de curvaturas entre as
ordenadas z1 e z2. Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito (∆L),
aquela integral pode ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas.
Processo esse chamado “integração numérica”. Assim, pode-se escrever (ver figura
9.4):
ϕi = ϕi-1 + Ac,i-1 (9.10)
Integrando a equação diferencial da linha elástica uma segunda vez obtém-se os
deslocamentos transversais representados por ax na direção x e ay da direção y.
Integrando a (9.8), se tem:
2
2
01
).()( Cdzzzazz
z
+= ∫=
=
ϕ (9.11)
Figura 9.4 – Pilar em balanço. a) Linha elástica; b) Diagrama de momentos; c) Diagrama de curvaturas; d) Diagrama de rotações; e) Diagrama de deslocamentos.
A constante de integração C2 deve ser determinada pelas condições de contorno do
problema. Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nulo o deslocamento
no engaste, ou seja:
para z = 0 → a(0) = 0 (9.12)
Md 1/r ϕ a
L ∆L
MTd
Nd
HTd
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
a) b) c) d) e)
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
(1/r)1
(1/r)2
(1/r)3
(1/r)4
(1/r)5
(1/r)6
(1/r)7
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
ϕ7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Ac,1
Ac,2
Ac,3
Ac,4
Ac,5
Ac,6
Aϕ,1
Aϕ,2
Aϕ,3
Aϕ,4
Aϕ,5
Aϕ,6
Rigidez Secante Adimensional
IX - 7
A integral da equação (9.11) representa a área do diagrama de rotações entre as
ordenadas z1 e z2. Essa integral realizada de z1=0 até z2=0 naturalmente é nula
0).(02
01
=∫=
=
dzzz
z
ϕ (9.13)
donde resulta de (9.11) C2 = 0.
Portanto, os deslocamentos transversais de um pilar em balanço resultam
determinados por:
dzzzazz
z∫=
=
=2
01
).()( ϕ (9.14)
A integral da expressão (9.14) representa a área do diagrama de rotações.
Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito (∆L), aquela integral pode
ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas. Assim, pode-se
escrever:
ai = a i-1 + Aϕ,i-1 (9.14)
Para o caso do pilar bi-rotulado, como o da figura 9.1.b, a condição que determina o
valor da constante C2 é
para z = 0 → a(0) = 0 (9.15)
donde resulta C2 = 0.
Da equação (9.5), primeira derivada da equação diferencial da linha elástica, sendo
nula a integral entre z1=0 e z2=0, por representar a área do diagrama de curvaturas,
se tem que a constante C1 representa a rotação em z=0:
ϕ1 = C1 (9.16)
A resolução numérica da integração da equação diferencial da linha elástica para o
pilar bi-rotulado pode ser feita considerando-se inicialmente em cada iteração o pilar
como se fosse um pilar em balanço, estrutura essa que será aqui chamada de
“estrutura fundamental”. Calculam-se os deslocamentos para essa estrutura
fundamental e se obtém a sua linha elástica conforme a figura 9.5.b. Para a estrutura
Rigidez Secante Adimensional
IX - 8
real, bi-rotulada, o deslocamento do topo, seção B onde z = L, é nulo. Portanto,
deve-se dar uma rotação na estrutura toda, sem deformá-la (movimento de corpo
rígido), em torno da extremidade da base de
ϕB = -arc.tg(yT*/L) (9.17)
onde yT* representa o deslocamento do topo do pilar calculado considerando-se a
estrutura fundamental com o diagrama de momentos fletores original do pilar bi-
rotulado e a mesma força normal de compressão Nd. É de se destacar aqui que o
diagrama de momentos a ser utilizado no cálculo dos deslocamentos é o diagrama
obtido para a peça bi-rotulada (figura 9.5.a).
Figura 9.5 – Obtenção da deformada de pilar bi-rotulado através da
estrutura fundamental (pilar em balanço).
Todos os deslocamentos transversais obtidos para a estrutura fundamental sofrerão,
então, uma correção e resultarão com os valores dados por:
zLy
zyzy T .)()(*
* −= (9.18)
O “método geral” para cálculo dos deslocamentos transversais é caracterizado por
se utilizar a curvatura em cada seção determinada em função das solicitações
c) deformada do pilar bi-rotulado
Nd
MTd
MBd
B
T
Nd
Md
B
T
Md y*T
L
B
T
a) Pilar bi-rotulado b) Estrutura fundamental, com o diagrama de momentos original, e a sua deformada
rotação da deformada (movimento de corpo rígido)
y*(z)
z
Rigidez Secante Adimensional
IX - 9
naquela seção. Essas curvaturas podem ser obtidas com auxílio dos diagramas
momento curvatura. Neste trabalho, as curvaturas, para a finalidade de cálculo dos
deslocamentos transversais, estão sendo calculadas utilizando-se o diagrama
tensão-deformação parábola – retângulo para o concreto , com a tensão do pico do
diagrama dada por fc = 0,85x1,3xfcd = 1,1.fcd e a força normal dada por Nd = NSd/γf3,
com γf3 = 1,1. Quando se utiliza o diagrama “momento-curvatura” para a obtenção
das curvaturas, ele deve ser gerado considerando esses parâmetros.
9.2. Rigidez Secante
É possível simplificar o cálculo dos deslocamentos e rotações do eixo do prisma,
introduzindo uma aproximação no processo, com a definição da “rigidez secante”
dada por:
( ) ( )sec
3sec 1
r
M
EI f
Rdγ
= (9.19)
onde MRd é o momento último da seção, ou seja, sua capacidade resistente,
considerando a força normal atuante, ou seja, o momento resistente calculado no
estado limite último, considerando o diagrama tensão-deformação do concreto da
NBR 6118:2004, com a tensão do patamar horizontal fc = 0,85.fcd e levando em
conta a força normal NSd com seu valor integral.
No gráfico mostrado na figura 9.6 a curva inferior foi obtida considerando o diagrama
tensão deformação para o concreto da NBR 6118:2004 com tensão de pico dada por
fc = 0,85.fcd e a força normal Nd = NSd. A curva superior foi obtida com o diagrama
tensão deformação da NBR 6118:2004 com tensão de pico dada por fc = 1,1.fcd e Nd
= NSd/γf3.
A rigidez secante é definida como sendo o coeficiente angular da reta s da figura
9.6, determinada pela origem do sistema de eixos e pelo ponto da curva superior
com ordenada MRd/γf3.
(EI)sec = tgΦ (9.20)
Rigidez Secante Adimensional
IX - 10
De novo se tem a rigidez definida através do gráfico não pelo produto de um módulo
de elasticidade por um momento de inércia, apesar da notação continuar sendo:
rigidez = EI.
Define-se uma rigidez secante para cada direção:
( )α
α
γ
r
M
EI f
Rd
13
sec, = (9.21)
( )x
f
Rxd
x
r
M
EI1
3sec,
γθ = (9.22)
( )y
f
Ryd
y
r
M
EI1
3sec,
γθ = (9.23)
Diagrama My - 1/ry
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
1/ry (%o)
Myd
(kN
.m)
GamaF3=1.0 GamaF3=1,1 MRd/GamaF3 Rig. Secante
Figura 9.6 – Diagramas “momento – curvatura” para: a) fc = 0,85.fcd e Nd = NSd; b) fc = 1,1.fcd e Nd = NRd/γf 3 com γf 3 = 1,1.
MRyd /γf3
(1/ry) Φ
(a)
(b)
reta s
Rigidez Secante Adimensional
IX - 11
O cálculo das rotações e deslocamentos laterais das seções de um pilar pode ser
feito, com aproximação, considerando-se no cálculo das curvaturas de cada seção a
rigidez secante fazendo:
sec)()(1
EIzM
r=
α
(9.24)
sec,)()(1
θx
x
x EIzM
r= (9.25)
sec,)(
)(1
θy
y
y EI
zM
r= (9.26)
como se a rigidez fosse constante e igual em todas as seções.
A notação (EI)xθ,sec representa a rigidez secante na direção x considerando a flexão
oblíqua composta , com θ ≠ 0° e θ ≠ 90°. O ângulo θ representa a inclinação do eixo
de solicitação. Para os casos em que θ = 0° ou θ = 90° se tem a notação (EI)yy,sec e
(EI)xx,sec respectivamente. São os casos de flexão normal composta nas direções y e
x.
Em peças de seção, armadura e o esforço normal constantes, com a consideração
da rigidez secante já se faz uma aproximação, como ficou explicado acima. Além
deste inconveniente em termos de precisão de resultado (embora válido em termos
práticos) a utilização da rigidez secante particulariza o cálculo tornando-o válido
apenas para pilares de seção constante inclusive a armadura.
Para pilares com seção variável ou força normal variável é necessária a
consideração da rigidez a flexão calculada ponto a ponto, ou seja, determinando o
valor da rigidez em cada seção, em função das características geométricas e dos
esforços solicitantes naquela seção.
Rigidez Secante Adimensional
IX - 12
9.3. Rigidez Secante Adimensional
Para cálculos manuais é muito conveniente a utilização de ábacos e tabelas. A
construção desses ábacos e tabelas só se torna viável com a utilização de
grandezas adimensionais. Assim, como se definem as solicitações adimensionais:
Força normal reduzida: cdc
d
fAN.
=υ (9.27)
Momentos reduzidos: cdxc
xdx fhA
M..
=µ (9.28)
cdyc
ydy fhA
M
..=µ (9.29)
define-se a “Rigidez Secante Adimensional” em cada direção por:
cdc fhA
EI
..
)(2
sec
αακ = (9.30)
cdxc
xx
fhA
EI
..
)(2
sec,θθκ = (9.31)
cdyc
yy
fhA
EI
..
)(2
sec,θθκ = (9.32)
onde:
κα é a rigidez secante adimensional na direção perpendicular à da linha
neutra da seção;
κxθ é a rigidez secante adimensional na direção X, considerando-se a
solicitação de flexão OBLÍQUA composta;
κyθ é a rigidez secante adimensional na direção Y, considerando-se a
solicitação de flexão OBLÍQUA composta;
Na prática do cálculo dos deslocamentos o que se utiliza são as rigidezes secantes
(EI)sec em cada direção principal x e y. Com auxílio das rigidezes secantes
adimensionais tabeladas ou obtidas em ábacos de iteração, as rigidezes secantes
Rigidez Secante Adimensional
IX - 13
resultam determinadas pelas expressões 9.33 e 9.34 derivadas das expressões 9.31
e 9.32.
(EI)xθ,sec = κxθ.Ac.hx2.fcd (9.33)
(EI)yθ,sec = κyθ.Ac.hy2.fcd (9.34)
Quando a seção transversal é solicitada à flexão normal composta, as rigidezes são
especificadas por: (EI)xx,sec , (EI)yy,sec , κxx, κyy, indicando, com a duplicidade do índice
da direção, que na direção normal não existe solicitação de flexão.
9.4. Variação da rigidez secante adimensional com as solicitações
9.4.1. Exemplo 9.1
Já foi visto que a rigidez à flexão ou à flexão composta de uma seção transversal é
função dos esforços solicitantes. A seguir se passa a analisar a variação da rigidez
em uma direção em função da solicitação de flexão na direção ortogonal.
Essa análise será desenvolvida através de um exemplo numérico.
Determinação das rigidezes secantes adimensionais para a seção retangular
indicada na figura 9.7 (a mesma da figura 8.1)
Figura 9.7 – Exemplo de seção transversal para análise da variação da rigidez a flexão em uma direção (p.ex. κy θ) em função da solicitação de flexão na direção ortogonal (Mxd).
O diagrama “Nd – Mxd – Myd” característico da seção, para o estado limite último,
construído considerando o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118:2004 para o
concreto, é apresentado na figura 9.8.
fck = 25 MPa; γc = 1,4
fyk = 500 MPa; γs = 1,15
Nd = 1785,7 kN; ν = 0,8
As = 10 φ 20 ω=0,612
d’ = 4 cm d’/hy = 0,16
25 cm
50 cm
X
Y
L.N
E.θ
α
Rigidez Secante Adimensional
IX - 14
Diagrama "Nd - Mxd - Myd"
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
Figura 9.8 – Diagrama “Nd – Mxd – My d” da seção transversal da figura 9.7,
considerando o diagrama σc x ε c parábola-retângulo da NBR 6118:2004 para o concreto.
Os diagramas “momento - curvatura” para as solicitações de flexão normal composta
para as direções “x” e “y” estão apresentados na figura 9.9 e 9.10.
Mxd - 1/rx
0
50
100
150
200
250
300
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
1/rx (%o)
Mxd
(kN
.m)
GamaF3=1,0
GamaF3=1,1
Reta MRd/GamaF3
Rigidez secante
Figura 9.9 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “x”. rx em
centímetros.
MRxd
Φ
Curva (a)
Curva (b)
1/r = 4,517x10-5
Rigidez Secante Adimensional
IX - 15
Myd - 1/ry
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0,00 0,03 0,05 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25
1/ry (%o)
Myd
(kN
.m)
GamaF3=1.0
GamaF3=1.1
Reta MRd/GamaF3
Rigidez Secante
Figura 9.10 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”. ry em
centímetros.
Para a direção “x” obteve-se:
MRxd = 211,82 kN.m ordenada da extremidade da curva (a)
mkNM
f
Rxd .56,1921,182,218
3
==γ
Do gráfico
510517,41 −= xrx
Da expressão (9.22)
(EI)xx,sec = tg Φ = 426.316.400 kN.cm2
Da expressão (9.31)
κxx = 76,40
Para a direção “y” obteve-se:
MRyd = 118,22 kN.m
mkNM
f
Ryd .47,1071,122,118
3
==γ
Da expressão (9.23)
Rigidez Secante Adimensional
IX - 16
(EI)yy,sec = tg Φ = 117.284.800 kN.cm2
Da expressão (9.32)
κyy = 84,07
9.4.2. Análise da Rigidez Secante
Na figura 9.11 se apresenta o diagrama momento - curvatura para a direção y (de
menor rigidez) da seção da figura 9.7 para diversos valores de Mxd.
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
160,00
180,00
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Mxd=0 Mxd=0 Mxd=25 Mxd=50
Mxd=75 Mxd=100 (EI)sec
Figura 9.11 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”, para diversos valores de Mxd.
Na flexão normal composta (Mxd=0) a rigidez secante resultou (EI)yy,sec =
117.308.900 kN.cm2. Para o momento Myd = 60 kN.m, considerando a rigidez
secante, a curvatura resulta 1/ry = 5,1147x10-5 cm-1.
Quando além do momento Myd = 60 kN.m atuar também o momento Mxd = 100 kN.m,
se terá então flexão oblíqua composta, a curvatura pontual na direção y será 1/ry =
4,6814x10-5 cm-1. Entenda-se por curvatura pontual aquela obtida para um
determinado ponto da curva “momento-curvatura” e não da reta s. Valor menor que o
MRd / γf3
E.L.U.
Curva a
reta s
Rigidez Secante Adimensional
IX - 17
anterior. Destaca-se aqui que este último valor da curvatura foi obtido da curva
“momento-curvatura” e não da consideração da rigidez secante. Na flexão oblíqua
composta citada se tem para rigidez (EI)yθ = 6000/4,6814x10-5 = 127.892.767
kN.cm2. Valor maior que a da rigidez secante da flexão normal composta.
O que se está mostrando é que considerando a rigidez secante, (EI)yy,sec , da direção
Y, mesmo se tratando de flexão oblíqua composta, se obterá para essa direção
deformações maiores do que as que se obtém considerando a curva “momento-
curvatura” da flexão oblíqua composta, ou seja, a favor da segurança.
Portanto, utilizar a rigidez secante da flexão normal composta leva à obtenção de
maiores deslocamentos (efeitos de 2ª ordem) do que considerar a curva “momento-
curvatura” da flexão oblíqua composta.
Portanto, para esse caso, a rigidez na flexão oblíqua é maior que a rigidez secante
da flexão normal composta. Assim, seriam menores os efeitos de 2ª ordem na flexão
oblíqua do que na flexão normal considerando para este último caso a rigidez
secante.
O que se está pretendendo é mostrar que a consideração da rigidez secante para a
direção de maior esbeltez [(EI)yy,sec ] leva a efeitos de 2ª ordem maiores que a
consideração exata da rigidez na flexão oblíqua. Sendo assim, pode-se tratar a
flexão oblíqua como se se tratasse de duas flexões normais composta e ao final
compor as duas componentes de momentos para se fazer a análise da segurança
considerados os efeitos de 2ª ordem.
Nos capítulos 12 e 13 é analisada grande quantidade de pilares solicitados a flexão
oblíqua composta. São comparados resultados obtidos considerando os efeitos de
flexão desacoplados com a consideração da flexão oblíqua composta.
O desacoplamento referido significa que os efeitos de 2ª ordem na direção Y são
calculados como se não houvesse solicitação de flexão na direção X. Em uma
segunda etapa são calculados os efeitos de 2ª ordem na direção X sem levar em
consideração as solicitações de flexão na direção Y. Assim, se obterão os momentos
totais (1ª ordem mais 2ª ordem) em cada direção para depois compor essas duas
componentes e obter a solicitação final de flexão oblíqua composta.
A seguir são mostrados gráficos para algumas seções para se observar que as
curvas “momento-curvatura” na flexão oblíqua composta estão em grande parte
Rigidez Secante Adimensional
IX - 18
acima da reta que define a rigidez secante da flexão normal composta. Neste
capítulo são considerados para todos os exemplos: concreto com fck = 25 MPa e γc =
1,4 e aço com fyk = 500 MPa e γs = 1,15.
9.4.3. Exemplo 9.2
Seção quadrada com quatro barras de 20 mm.
Nud = 0,85.fcd.hx.hy + σ2%o.As
Nud = 1.476 kN
NSd = 0,7.Nud = 590 kN
Diagrama "Nd - Mxd - Myd"
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
Figura 9.12 – Seção quadrada com quatro barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.
Myd - 1/ry
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
1/ry (1/1000cm)
Myd
(kN
.m)
Mxd=0 Mxd=10 Mxd=20 Mxd=30 MRd/1,1 (EI)sec
Figura 9.13 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.12.
hx=25 cm
hy =25
Armadura: 4 Φ 20 mm
ω = 0,489
d’/hy = 0,16
Rigidez Secante Adimensional
IX - 19
9.4.4. Exemplo 9.3
Seção quadrada com 8 barras de 16 mm
Nud = 0,85.fcd.hx.hy + σ2%o.As
Nud = 1.620 kN
NSd = 0,7.Nud = 1.134 kN
Diagrama "Nd - Mxd - Myd"
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
Figura 9.14 – Seção quadrada com oito barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.
Myd - 1/ry
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
1/ry (1/1000cm)
Myd
(kN
.m)
Mxd=0 Mxd=10 Mxd=20 Mxd=30 MRd/1,1 (EI)sec
Figura 9.15 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.14.
hx=25 cm
hy =25
Armadura: 8 Φ 16 mm
ω = 0,623
d’/h y = 0,16
Rigidez Secante Adimensional
IX - 20
9.4.5. Exemplo 9.4
3) Seção retangular com hx = 2hy.
Nud = 0,85.fcd.hx.hy + σ2%o.As
Nud = 3.073 kN
NSd = 0,7.Nud = 2.151 kN
Diagrama "Nd - Mxd - Myd"
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Mxd (kN.m)
Myd
(kN
.m)
Figura 9.16 – Seção retangular com relação hx/hy = 2 com quatorze barras.
Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.
Myd - 1/ry
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
1/ry (1/1000cm)
Myd
(kN
.m)
Mxd=0 Mxd=30 Mxd=60 Mxd=90 MRd/1,1 (EI)sec
Figura 9.17 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.16.
hx=50 cm
hy =25
Armadura: 14 Φ 16 mm
ω = 0,545
d’/hy = 0,16
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