CAPÍTULO IX – RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL

CAPÍTULO IX – RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL

Rigidez Secante Adimensional

IX - 1

9. Rigidez Secante Adimensional

9.1. Caracterização da rigidez

Na análise dos deslocamentos laterais do eixo de um prisma solicitado a flexo-

compressão tem papel fundamental a sua rigidez. Essa rigidez tem a ver com a

capacidade das seções transversais desenvolverem esforços internos resistentes

que se opõem à deformação do prisma. Da equação diferencia da linha elástica de

peças solicitadas à flexão surge o entendimento da rigidez à flexão.

A equação diferencial da li nha elástica para as duas peças esquematizadas na

figura 9.1 é:

EIzM

dzyd )(2

2

+= (9.1)

Figura 9.1 – Esquematização das deformadas de um pilar em balanço e de um pilar bi-rotulado.

Z

Y

N

MB HB

q(z)

Z

Y

N

MB

z

y(z)

z

y(z)

f = yB

MA A

B B

A

a) 02

2

>dz

yd; M(z) > 0 b) 0

2

2

>dz

yd; M(z) > 0

q(z)

Y

Z

M(z) > 0

z

O

c) Convenção de sinais para os momentos

fletores


IX - 2

A direção positiva das cargas transversais será considerada aquela que produza

deformações no eixo da peça com concavidade voltada para o semi-eixo positivo de

X ou Y.

Com a orientação dos eixos coordenados como estão representados nas figuras

9.1.a e 9.1.b se tem, no caso da peça em balanço, para momentos fletores positivos

a concavidade da linha elástica voltada para o semi-eixo positivo de Y e

conseqüentemente a derivada segunda de y em relação à z também é positiva,

assim, sendo os dois membros da equação positivos o sinal da equação diferencial

da linha elástica resulta positivo. No caso da peça bi-rotulada da figura 9.1.b,

também para momentos fletores positivos a concavidade da peça é voltada para o

semi-eixo positivo de Y, assim, a segunda derivada de y em relação à z é de novo

positiva, portanto também neste caso o sinal da equação diferencial da linha elástica

é positivo.

A derivada 2

2

dzyd da equação 9.1 representa a curvatura da linha elástica. Essa

curvatura é definida como sendo o inverso do raio de curvatura (curvatura = 1/r), de

modo que, se tem rdzyd 1

2

2

= .

Da equação diferencial da linha elástica, agora escrita

EIzM

rdzyd )(12

2

+== (9.2)

resulta a rigidez à flexão dada por:

r

zMEI

1)(

= (9.3)

Ou seja, a rigidez a flexão é igual a razão entre o momento fletor solicitante e a

correspondente curvatura da peça.

O concreto armado é um composto que apresenta não linearidade física, ou seja, as

deformações não são linearmente proporcionais às tensões. Mesmo o aço, quando

empregado no concreto armado, é um material com comportamento físico não linear,

já que se considera esse material trabalhando muitas vezes plastificado após atingir


IX - 3

a tensão de escoamento e nessa situação as deformações deixam de ser

linearmente proporcionais às tensões.

Devido a esse comportamento físico não linear, as curvaturas dadas por

2

21

dzyd

r = deixam de ser linearmente proporcionais aos momentos fletores M(z).

Conseqüentemente, quando se considera a não linearidade física dos materiais no

estudo das deformações de peças de concreto armado, mesmo que a seção

transversal da peça se mantenha constante e com a mesma armadura em todo o

seu comprimento, as curvaturas não são linearmente proporcionais aos momentos

fletores. A existência de uma força normal reforça essa afirmação.

De modo que, a rigidez, quanto às rotações das seções de peças de concreto

armado solicitadas à flexão composta, dada pela equação 9.3, não é constante ao

longo do comprimento da peça.

A rigidez de cada seção depende da intensidade das solicitações de flexão e de

compressão ou tração. No caso dos pilares é mais comum a combinação das

solicitações de flexão e de compressão (flexo-compressão normal ou oblíqua).

Para cada terno de esforços solicitante (NSd – MSxd – MSyd) corresponde uma

determinada curvatura, 1/rα, normal à linha neutra da seção. Se pode também

trabalhar com as componentes 1/rx e 1/ry da curvatura. Nos diagramas momento-

curvatura da figura 9.2, construídos para uma determinada força normal NSd, para

cada par de momentos solicitantes, MSxd e MSyd, se tem um par de componentes de

curvatura diferente. Os gráficos mostram a não linearidade dessa relação Assim,

sendo variáveis os esforços solicitantes ao longo do comprimento da peça, serão

diferentes as curvaturas de seção para seção. Lembrando ainda que essa

dependência entre curvatura e flexo-compressão não segue uma lei linear (não

linearidade física), o que fica claro ao se observar os diagramas da figura 9.2.

No estudo dos deslocamentos transversais de pilares, o “método geral”, mais

preciso, faz uso da rigidez determinada ponto a ponto. Isto é, para cada seção se

tem um terno de esforços solicitantes (NSd – MSxd – MSyd) e em função desses

esforços se determinam a curvatura e a rigidez, essa última dada pela equação 9.3.

Portanto para cada seção se terá uma curvatura e uma rigidez.


IX - 4

Mxd - 1/rx

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

1/rx (1/1000 cm)

Mxd

(kN

.m)

Myd - 1/ry

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

1/ry (1/1000 cm)

Myd

(kN

.m)

Figura 9.2 – Diagramas “Momento-Curvatura” para as direções X e Y

correspondentes a um determinado valor da força normal Nd.

Assim, a rigidez, embora representada por “EI”, não é calculada pelo produto de um

módulo de elasticidade por um momento de inércia, mas pela razão entre momento

solicitante e curvatura correspondente. Embora se conserve a notação.

Desta forma, é de fundamental importância para o obtenção dos efeitos de 2ª ordem

em peças comprimidas o cálculo das curvaturas decorrentes das solicitações em

cada seção da peça.

Da consideração das curvaturas de todas as seções ao longo do comprimento do

pilar se determinam as rotações.

Figura 9.3 – Deformação de um pilar em balanço solicitado à flexo-

compressão.

L

NBd

MBd

B

A

dz Segmento i

NBd

MBd

B

A

Segmento i

a) Peça indeformada a) Peça deformada


IX - 5

Considerando o pilar esquematizado na figura 9.3, o segmento i deformado está

representado na figura 5.1 para o caso de flexo-compressão normal na direção Y, na

figura 5.2 para o caso de flexo-compressão normal na direção X e na figura 5.3 para

flexão oblíqua composta.

A curvatura da peça em determinada seção está intimamente ligada à rotação

relativa entre duas seções infinitamente próximas. De modo que, as rotações são

obtidas da integração das curvaturas ao longo do eixo da peça.

Da equação diferencial da linha elástica se obtém as rotações integrando-se aquela

equação uma vez.

12

2

)()(

)( CdzzEIzM

dzdz

yddzdy

z +=== ∫∫ϕ (9.4)

Tendo em vista a expressão (9.2), se pode escrever:

1

2

01

].)(1[)( Cdzzrz

zz

z

+= ∫=

=

ϕ (9.5)

A constante de integração C1 deve ser determinada pelas condições de contorno do

problema.

Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nula a rotação no engaste, ou

seja:

para z = 0 → ϕ = ϕA = 0 (9.6)

A integral da equação (9.5) representa a área do diagrama de curvaturas entre as

ordenadas z1 e z2. Essa integral realizada de z1=0 até z2=0 naturalmente é nula

0)()(02

0

=∫=

=

dzzEIzMz

z

(9.7)

donde resulta de (9.5) C1 = 0. Portanto, as rotações de um pilar em balanço resultam

determinadas por:

dzzr

zzz

z

.)(

1)(

2

01∫=

=

=ϕ (9.8)


IX - 6

ou dzzr

zzz

z

.)(

1)()(

11 ∫

+= ϕϕ (9.9)

A integral da expressão (9.8) representa a área do diagrama de curvaturas entre as

ordenadas z1 e z2. Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito (∆L),

aquela integral pode ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas.

Processo esse chamado “integração numérica”. Assim, pode-se escrever (ver figura

9.4):

ϕi = ϕi-1 + Ac,i-1 (9.10)

Integrando a equação diferencial da linha elástica uma segunda vez obtém-se os

deslocamentos transversais representados por ax na direção x e ay da direção y.

Integrando a (9.8), se tem:

2

2

01

).()( Cdzzzazz

z

+= ∫=

=

ϕ (9.11)

Figura 9.4 – Pilar em balanço. a) Linha elástica; b) Diagrama de momentos; c) Diagrama de curvaturas; d) Diagrama de rotações; e) Diagrama de deslocamentos.

A constante de integração C2 deve ser determinada pelas condições de contorno do

problema. Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nulo o deslocamento

no engaste, ou seja:

para z = 0 → a(0) = 0 (9.12)

Md 1/r ϕ a

L ∆L

MTd

Nd

HTd

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

a) b) c) d) e)

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

(1/r)1

(1/r)2

(1/r)3

(1/r)4

(1/r)5

(1/r)6

(1/r)7

ϕ1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

ϕ7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

Ac,1

Ac,2

Ac,3

Ac,4

Ac,5

Ac,6

Aϕ,1

Aϕ,2

Aϕ,3

Aϕ,4

Aϕ,5

Aϕ,6


IX - 7

A integral da equação (9.11) representa a área do diagrama de rotações entre as

ordenadas z1 e z2. Essa integral realizada de z1=0 até z2=0 naturalmente é nula

0).(02

01

=∫=

=

dzzz

z

ϕ (9.13)

donde resulta de (9.11) C2 = 0.

Portanto, os deslocamentos transversais de um pilar em balanço resultam

determinados por:

dzzzazz

z∫=

=

=2

01

).()( ϕ (9.14)

A integral da expressão (9.14) representa a área do diagrama de rotações.

Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito (∆L), aquela integral pode

ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas. Assim, pode-se

escrever:

ai = a i-1 + Aϕ,i-1 (9.14)

Para o caso do pilar bi-rotulado, como o da figura 9.1.b, a condição que determina o

valor da constante C2 é

para z = 0 → a(0) = 0 (9.15)

donde resulta C2 = 0.

Da equação (9.5), primeira derivada da equação diferencial da linha elástica, sendo

nula a integral entre z1=0 e z2=0, por representar a área do diagrama de curvaturas,

se tem que a constante C1 representa a rotação em z=0:

ϕ1 = C1 (9.16)

A resolução numérica da integração da equação diferencial da linha elástica para o

pilar bi-rotulado pode ser feita considerando-se inicialmente em cada iteração o pilar

como se fosse um pilar em balanço, estrutura essa que será aqui chamada de

“estrutura fundamental”. Calculam-se os deslocamentos para essa estrutura

fundamental e se obtém a sua linha elástica conforme a figura 9.5.b. Para a estrutura


IX - 8

real, bi-rotulada, o deslocamento do topo, seção B onde z = L, é nulo. Portanto,

deve-se dar uma rotação na estrutura toda, sem deformá-la (movimento de corpo

rígido), em torno da extremidade da base de

ϕB = -arc.tg(yT*/L) (9.17)

onde yT* representa o deslocamento do topo do pilar calculado considerando-se a

estrutura fundamental com o diagrama de momentos fletores original do pilar bi-

rotulado e a mesma força normal de compressão Nd. É de se destacar aqui que o

diagrama de momentos a ser utilizado no cálculo dos deslocamentos é o diagrama

obtido para a peça bi-rotulada (figura 9.5.a).

Figura 9.5 – Obtenção da deformada de pilar bi-rotulado através da

estrutura fundamental (pilar em balanço).

Todos os deslocamentos transversais obtidos para a estrutura fundamental sofrerão,

então, uma correção e resultarão com os valores dados por:

zLy

zyzy T .)()(*

* −= (9.18)

O “método geral” para cálculo dos deslocamentos transversais é caracterizado por

se utilizar a curvatura em cada seção determinada em função das solicitações

c) deformada do pilar bi-rotulado

Nd

MTd

MBd

B

T

Nd

Md

B

T

Md y*T

L

B

T

a) Pilar bi-rotulado b) Estrutura fundamental, com o diagrama de momentos original, e a sua deformada

rotação da deformada (movimento de corpo rígido)

y*(z)

z


IX - 9

naquela seção. Essas curvaturas podem ser obtidas com auxílio dos diagramas

momento curvatura. Neste trabalho, as curvaturas, para a finalidade de cálculo dos

deslocamentos transversais, estão sendo calculadas utilizando-se o diagrama

tensão-deformação parábola – retângulo para o concreto , com a tensão do pico do

diagrama dada por fc = 0,85x1,3xfcd = 1,1.fcd e a força normal dada por Nd = NSd/γf3,

com γf3 = 1,1. Quando se utiliza o diagrama “momento-curvatura” para a obtenção

das curvaturas, ele deve ser gerado considerando esses parâmetros.

9.2. Rigidez Secante

É possível simplificar o cálculo dos deslocamentos e rotações do eixo do prisma,

introduzindo uma aproximação no processo, com a definição da “rigidez secante”

dada por:

( ) ( )sec

3sec 1

r

M

EI f

Rdγ

= (9.19)

onde MRd é o momento último da seção, ou seja, sua capacidade resistente,

considerando a força normal atuante, ou seja, o momento resistente calculado no

estado limite último, considerando o diagrama tensão-deformação do concreto da

NBR 6118:2004, com a tensão do patamar horizontal fc = 0,85.fcd e levando em

conta a força normal NSd com seu valor integral.

No gráfico mostrado na figura 9.6 a curva inferior foi obtida considerando o diagrama

tensão deformação para o concreto da NBR 6118:2004 com tensão de pico dada por

fc = 0,85.fcd e a força normal Nd = NSd. A curva superior foi obtida com o diagrama

tensão deformação da NBR 6118:2004 com tensão de pico dada por fc = 1,1.fcd e Nd

= NSd/γf3.

A rigidez secante é definida como sendo o coeficiente angular da reta s da figura

9.6, determinada pela origem do sistema de eixos e pelo ponto da curva superior

com ordenada MRd/γf3.

(EI)sec = tgΦ (9.20)


IX - 10

De novo se tem a rigidez definida através do gráfico não pelo produto de um módulo

de elasticidade por um momento de inércia, apesar da notação continuar sendo:

rigidez = EI.

Define-se uma rigidez secante para cada direção:

( )α

α

γ

r

M

EI f

Rd

13

sec, = (9.21)

( )x

f

Rxd

x

r

M

EI1

3sec,

γθ = (9.22)

( )y

f

Ryd

y

r

M

EI1

3sec,

γθ = (9.23)

Diagrama My - 1/ry

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

1/ry (%o)

Myd

(kN

.m)

GamaF3=1.0 GamaF3=1,1 MRd/GamaF3 Rig. Secante

Figura 9.6 – Diagramas “momento – curvatura” para: a) fc = 0,85.fcd e Nd = NSd; b) fc = 1,1.fcd e Nd = NRd/γf 3 com γf 3 = 1,1.

MRyd /γf3

(1/ry) Φ

(a)

(b)

reta s


IX - 11

O cálculo das rotações e deslocamentos laterais das seções de um pilar pode ser

feito, com aproximação, considerando-se no cálculo das curvaturas de cada seção a

rigidez secante fazendo:

sec)()(1

EIzM

r=

α

(9.24)

sec,)()(1

θx

x

x EIzM

r= (9.25)

sec,)(

)(1

θy

y

y EI

zM

r= (9.26)

como se a rigidez fosse constante e igual em todas as seções.

A notação (EI)xθ,sec representa a rigidez secante na direção x considerando a flexão

oblíqua composta , com θ ≠ 0° e θ ≠ 90°. O ângulo θ representa a inclinação do eixo

de solicitação. Para os casos em que θ = 0° ou θ = 90° se tem a notação (EI)yy,sec e

(EI)xx,sec respectivamente. São os casos de flexão normal composta nas direções y e

x.

Em peças de seção, armadura e o esforço normal constantes, com a consideração

da rigidez secante já se faz uma aproximação, como ficou explicado acima. Além

deste inconveniente em termos de precisão de resultado (embora válido em termos

práticos) a utilização da rigidez secante particulariza o cálculo tornando-o válido

apenas para pilares de seção constante inclusive a armadura.

Para pilares com seção variável ou força normal variável é necessária a

consideração da rigidez a flexão calculada ponto a ponto, ou seja, determinando o

valor da rigidez em cada seção, em função das características geométricas e dos

esforços solicitantes naquela seção.


IX - 12

9.3. Rigidez Secante Adimensional

Para cálculos manuais é muito conveniente a utilização de ábacos e tabelas. A

construção desses ábacos e tabelas só se torna viável com a utilização de

grandezas adimensionais. Assim, como se definem as solicitações adimensionais:

Força normal reduzida: cdc

d

fAN.

=υ (9.27)

Momentos reduzidos: cdxc

xdx fhA

M..

=µ (9.28)

cdyc

ydy fhA

M

..=µ (9.29)

define-se a “Rigidez Secante Adimensional” em cada direção por:

cdc fhA

EI

..

)(2

sec

αακ = (9.30)

cdxc

xx

fhA

EI

..

)(2

sec,θθκ = (9.31)

cdyc

yy

fhA

EI

..

)(2

sec,θθκ = (9.32)

onde:

κα é a rigidez secante adimensional na direção perpendicular à da linha

neutra da seção;

κxθ é a rigidez secante adimensional na direção X, considerando-se a

solicitação de flexão OBLÍQUA composta;

κyθ é a rigidez secante adimensional na direção Y, considerando-se a

solicitação de flexão OBLÍQUA composta;

Na prática do cálculo dos deslocamentos o que se utiliza são as rigidezes secantes

(EI)sec em cada direção principal x e y. Com auxílio das rigidezes secantes

adimensionais tabeladas ou obtidas em ábacos de iteração, as rigidezes secantes


IX - 13

resultam determinadas pelas expressões 9.33 e 9.34 derivadas das expressões 9.31

e 9.32.

(EI)xθ,sec = κxθ.Ac.hx2.fcd (9.33)

(EI)yθ,sec = κyθ.Ac.hy2.fcd (9.34)

Quando a seção transversal é solicitada à flexão normal composta, as rigidezes são

especificadas por: (EI)xx,sec , (EI)yy,sec , κxx, κyy, indicando, com a duplicidade do índice

da direção, que na direção normal não existe solicitação de flexão.

9.4. Variação da rigidez secante adimensional com as solicitações

9.4.1. Exemplo 9.1

Já foi visto que a rigidez à flexão ou à flexão composta de uma seção transversal é

função dos esforços solicitantes. A seguir se passa a analisar a variação da rigidez

em uma direção em função da solicitação de flexão na direção ortogonal.

Essa análise será desenvolvida através de um exemplo numérico.

Determinação das rigidezes secantes adimensionais para a seção retangular

indicada na figura 9.7 (a mesma da figura 8.1)

Figura 9.7 – Exemplo de seção transversal para análise da variação da rigidez a flexão em uma direção (p.ex. κy θ) em função da solicitação de flexão na direção ortogonal (Mxd).

O diagrama “Nd – Mxd – Myd” característico da seção, para o estado limite último,

construído considerando o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118:2004 para o

concreto, é apresentado na figura 9.8.

fck = 25 MPa; γc = 1,4

fyk = 500 MPa; γs = 1,15

Nd = 1785,7 kN; ν = 0,8

As = 10 φ 20 ω=0,612

d’ = 4 cm d’/hy = 0,16

25 cm

50 cm

X

Y

L.N

E.θ

α


IX - 14

Diagrama "Nd - Mxd - Myd"

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 9.8 – Diagrama “Nd – Mxd – My d” da seção transversal da figura 9.7,

considerando o diagrama σc x ε c parábola-retângulo da NBR 6118:2004 para o concreto.

Os diagramas “momento - curvatura” para as solicitações de flexão normal composta

para as direções “x” e “y” estão apresentados na figura 9.9 e 9.10.

Mxd - 1/rx

0

50

100

150

200

250

300

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

1/rx (%o)

Mxd

(kN

.m)

GamaF3=1,0

GamaF3=1,1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez secante

Figura 9.9 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “x”. rx em

centímetros.

MRxd

Φ

Curva (a)

Curva (b)

1/r = 4,517x10-5


IX - 15

Myd - 1/ry

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0,00 0,03 0,05 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25

1/ry (%o)

Myd

(kN

.m)

GamaF3=1.0

GamaF3=1.1

Reta MRd/GamaF3

Rigidez Secante

Figura 9.10 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”. ry em

centímetros.

Para a direção “x” obteve-se:

MRxd = 211,82 kN.m ordenada da extremidade da curva (a)

mkNM

f

Rxd .56,1921,182,218

3

==γ

Do gráfico

510517,41 −= xrx

Da expressão (9.22)

(EI)xx,sec = tg Φ = 426.316.400 kN.cm2


κxx = 76,40

Para a direção “y” obteve-se:

MRyd = 118,22 kN.m

mkNM

f

Ryd .47,1071,122,118

3

==γ



IX - 16

(EI)yy,sec = tg Φ = 117.284.800 kN.cm2


κyy = 84,07

9.4.2. Análise da Rigidez Secante

Na figura 9.11 se apresenta o diagrama momento - curvatura para a direção y (de

menor rigidez) da seção da figura 9.7 para diversos valores de Mxd.

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Mxd=0 Mxd=0 Mxd=25 Mxd=50

Mxd=75 Mxd=100 (EI)sec

Figura 9.11 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”, para diversos valores de Mxd.

Na flexão normal composta (Mxd=0) a rigidez secante resultou (EI)yy,sec =

117.308.900 kN.cm2. Para o momento Myd = 60 kN.m, considerando a rigidez

secante, a curvatura resulta 1/ry = 5,1147x10-5 cm-1.

Quando além do momento Myd = 60 kN.m atuar também o momento Mxd = 100 kN.m,

se terá então flexão oblíqua composta, a curvatura pontual na direção y será 1/ry =

4,6814x10-5 cm-1. Entenda-se por curvatura pontual aquela obtida para um

determinado ponto da curva “momento-curvatura” e não da reta s. Valor menor que o

MRd / γf3

E.L.U.

Curva a

reta s


IX - 17

anterior. Destaca-se aqui que este último valor da curvatura foi obtido da curva

“momento-curvatura” e não da consideração da rigidez secante. Na flexão oblíqua

composta citada se tem para rigidez (EI)yθ = 6000/4,6814x10-5 = 127.892.767

kN.cm2. Valor maior que a da rigidez secante da flexão normal composta.

O que se está mostrando é que considerando a rigidez secante, (EI)yy,sec , da direção

Y, mesmo se tratando de flexão oblíqua composta, se obterá para essa direção

deformações maiores do que as que se obtém considerando a curva “momento-

curvatura” da flexão oblíqua composta, ou seja, a favor da segurança.

Portanto, utilizar a rigidez secante da flexão normal composta leva à obtenção de

maiores deslocamentos (efeitos de 2ª ordem) do que considerar a curva “momento-

curvatura” da flexão oblíqua composta.

Portanto, para esse caso, a rigidez na flexão oblíqua é maior que a rigidez secante

da flexão normal composta. Assim, seriam menores os efeitos de 2ª ordem na flexão

oblíqua do que na flexão normal considerando para este último caso a rigidez

secante.

O que se está pretendendo é mostrar que a consideração da rigidez secante para a

direção de maior esbeltez [(EI)yy,sec ] leva a efeitos de 2ª ordem maiores que a

consideração exata da rigidez na flexão oblíqua. Sendo assim, pode-se tratar a

flexão oblíqua como se se tratasse de duas flexões normais composta e ao final

compor as duas componentes de momentos para se fazer a análise da segurança

considerados os efeitos de 2ª ordem.

Nos capítulos 12 e 13 é analisada grande quantidade de pilares solicitados a flexão

oblíqua composta. São comparados resultados obtidos considerando os efeitos de

flexão desacoplados com a consideração da flexão oblíqua composta.

O desacoplamento referido significa que os efeitos de 2ª ordem na direção Y são

calculados como se não houvesse solicitação de flexão na direção X. Em uma

segunda etapa são calculados os efeitos de 2ª ordem na direção X sem levar em

consideração as solicitações de flexão na direção Y. Assim, se obterão os momentos

totais (1ª ordem mais 2ª ordem) em cada direção para depois compor essas duas

componentes e obter a solicitação final de flexão oblíqua composta.

A seguir são mostrados gráficos para algumas seções para se observar que as

curvas “momento-curvatura” na flexão oblíqua composta estão em grande parte


IX - 18

acima da reta que define a rigidez secante da flexão normal composta. Neste

capítulo são considerados para todos os exemplos: concreto com fck = 25 MPa e γc =

1,4 e aço com fyk = 500 MPa e γs = 1,15.

9.4.3. Exemplo 9.2

Seção quadrada com quatro barras de 20 mm.

Nud = 0,85.fcd.hx.hy + σ2%o.As

Nud = 1.476 kN

NSd = 0,7.Nud = 590 kN


-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 9.12 – Seção quadrada com quatro barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.

Myd - 1/ry

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

1/ry (1/1000cm)

Myd

(kN

.m)

Mxd=0 Mxd=10 Mxd=20 Mxd=30 MRd/1,1 (EI)sec

Figura 9.13 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.12.

hx=25 cm

hy =25

Armadura: 4 Φ 20 mm

ω = 0,489

d’/hy = 0,16


IX - 19

9.4.4. Exemplo 9.3

Seção quadrada com 8 barras de 16 mm


Nud = 1.620 kN

NSd = 0,7.Nud = 1.134 kN


-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 9.14 – Seção quadrada com oito barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.

Myd - 1/ry

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

1/ry (1/1000cm)

Myd

(kN

.m)



hx=25 cm

hy =25


ω = 0,623

d’/h y = 0,16


IX - 20

9.4.5. Exemplo 9.4

3) Seção retangular com hx = 2hy.


Nud = 3.073 kN

NSd = 0,7.Nud = 2.151 kN


-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Mxd (kN.m)

Myd

(kN

.m)

Figura 9.16 – Seção retangular com relação hx/hy = 2 com quatorze barras.

Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U.

Myd - 1/ry

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

1/ry (1/1000cm)

Myd

(kN

.m)



hx=50 cm

hy =25


ω = 0,545

d’/hy = 0,16

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CAPÍTULO IX – RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL