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Caractersticas Geomtricas das Figuras Planas
CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DAS FIGURAS PLANAS.
Produto de Inrcia de uma Figura Plana, em relao a Eixos de Referncias:
INCORPORAR PBrush
Definio:(Murat, S.D.)
Seja uma figura plana qualquer(fig.1), posicionada em relao a um par de eixos de referncia. Define-se:
dIxy = x.y.da
Aplicando-se as definies acima para todos os da, e somando-os temos:
Ixy = (((A) x.y.da
Pela anlise dimensional dessas definies, teremos como unidades para o PRODUTO DE INRCIA : m4, cm4, pol4, etc.
Ser adotada a unidade de m4 (metro a quarta).
Exerccio Aplicativo para Cculo de Produto de Inrcia:
Aplicar as definies acima para o Retngulo, posicionado em relao aos eixos, nas seguintes situaes:
Situao 1:
INCORPORAR PBrush Situao 2:
INCORPORAR PBrush Clculo:
da = dx.dy
dIxy = x.y.da Ixy = (((A)x.y.da
Integrando a equao, fica:
Ixy = ((A)x.dx. ((A)y.dy
Ixy = (x2/2)0(B. (y2/2)0(H
Logo: Ixy = (B2. H2)/4Clculo:
Consideraes:
O Produto de Inrcia calculado simultaneamente em relao ao par de eixos de referncia.
De acordo com a distribuio da rea da figura plana ao redor dos eixos de referncia, o Produto de Inrcia poder resultar em um nmero positivo, negativo ou nulo.
O Teorema de Steiner tambm vlido para o Produto de Inrcia.
Se, pelo menos um eixo de referncia for eixo de simetria, o Produto de Inrcia resultar nulo.
O resultado do Produto de Inrcia de uma figura composta, em relao a um par de eixos, igual soma dos Produtos de Inrcia das Figuras Planas, componentes da figura composta, em relao ao mesmo par de eixos.
Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)
Baricentro ou centro de gravidade = G.
Eixos de referncia = X e Y.
Eixos baricntricos = XG e YG.
Produtos de Inrcia = Ixy e Ixgyg.
Pontos do baricentro = xg e yg.
rea da Figura Plana = A
Teorema de Steiner Aplicado ao Produto de Inrcia:
(Murat, S.D.)
Admitindo a figura plana (fig.1) posicionada em relao a um par de eixos de referncia (X e Y), pode-se definir seu Produto de Inrcia, de coordenadas (x ; y), como sendo que, obedece simultaneamente a duas condies:
Ixy = Ixgyg+A.(x.y)
Ixgyg = Ixy -A.(x.y)
Da definio acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:
Ixy = Ixgyg+A.(xg.yg)
Se a figura plana for composta por diversas figuras bsicas, o resultado do Produto de Inrcia ser a soma algbrica dos Produtos de Inrcia das figuras componentes:
Ixy = Ixy1 + Ixy2 + Ixy3 +...........+ Ixyn
Referncia de Sinais para Produtos de Inrcia:
(Murat, S.D.)
1 e 3 quadrantes(Ixy > 0
2 e 4 quadrantes(Ixy < 0
Veja no desenho esquemtico abaixo, notar a posio dos pontos (x ; y) em relao a origem do sistema de eixos.
Y
- xx
y y
0X
-y -y
-xx
PRODUTOS DE INRCIA DE ALGUMAS FIGURAS BSICAS
FigurasreasProduto de InrciaRetngulo
INCORPORAR PBrush A = B.HIxgyg = zero
Ixy = B2.H2/4Tringulo Retngulo
INCORPORAR PBrush A = (B.H)/2Ixgyg = - B2.H2/72
Ixy = B2.H2/24Quarto de Crculo
INCORPORAR PBrush A = ((.R2)/4Ixgyg = - 0,0165.R4
Ixy = R4/8Semi Crculo
INCORPORAR PBrush A = ((.R2)/2Ixgyg = zero
Ixy = zeroCrculo
INCORPORAR PBrush A = (.R2Ixgyg = zero
Ixy = zero(Miranda, 2000)
Exerccios e Exemplos:
Determinar, os momentos de inrcia em relao aos Eixos Baricntricos, bem como, os Produtos de Inrcia em relao aos Eixos Baricntricos, das seguintes figuras:
Exemplo 19:
Resposta: G = ( -4,12 cm ; 1,35 cm)
Ixg = 8,41 cm4 e Iyg = 14,68 cm4
Ixgyg = -3,35 x 10-8 m4Exerccio 19:
Resposta: G = ( 2,5566 cm ; 6,6886 cm)
Ixg = 327,97 cm4 e Iyg = 97,71 cm4
Ixgyg = 103,09 x 10-8 m4
Unisanta - Mecnica Geral - Prof. Damin - Aula n._____ - Data ___/____/______
PGINA
PGINA 57
Pgina n
3x10-2m 3x10-2m
Y
X
6 cm
3 cm
3 cm
Y
Y
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