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Cálculo Diferencial e Integal I
Curso de Matemática
Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
Contents-5ETMV.pptContents-5ETSV.ppt
Regra da Substituição
Utilizamos a regra da substituição para calcular integrais do tipo
2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥
Podemos fazer a seguinte relação:
A antiderivada da função que foi obtida a partir da regra da cadeia é dada pela regra da substituição.
Regra da Substituição
Regra da Substituição: Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo 𝐼, então
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Para ilustrar tomemos o exemplo anterior
2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥
2) 𝑥2 cos(𝑥3−5) 𝑑𝑥
Exercício
Resolva as integrais
𝑎) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
𝑏) sec2 𝑥 𝑑𝑥
𝑐) cos(5𝑥) 𝑑𝑥
𝑑) 3𝑥2 + 𝑥 + 1 10 𝑑𝑥
e) tg 𝑥 𝑑𝑥
Integral Definida
Para tratarmos do conceito de integral definida, abordaremos o problema da área de uma região 𝑆 abaixo da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 de 𝑎 até 𝑏.
Integral Definida
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .
Para determinarmos a área da
região 𝑆 abaixo da curva
𝑦 = 𝑓 𝑥 em 𝑎, 𝑏 , dividimos
𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos
𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏
Note que a amplitude de cada
subintervalo será ∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛
Integral Definida
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .
Agora consideremos um ponto
amostral 𝑐𝑖 em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
qualquer.
Ao fazermos 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥 obtemos
a área do retângulo 𝑅𝑖
determinado pelas retas
𝑥 = 𝑥𝑖−1 , 𝑥 = 𝑥𝑖 , 𝑦 = 0 e
𝑦 = 𝑓 𝑐𝑖 .
Integral Definida
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .
Fazendo o mesmo para cada
retângulo e somando todas as
áreas, teremos uma
aproximação da área de 𝑆.
𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
Integral Definida
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .
Fazendo o mesmo para cada
retângulo e somando todas as
áreas, teremos uma
aproximação da área de 𝑆.
𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
SOMA DE RIEMANN
Integral Definida
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .
Observe que se a quantidade
de retângulos aumentar,
obtemos uma área cada vez
mais aproximada da área de 𝑆.
Assim, fazendo 𝑛 → ∞ teremos
a área exata de 𝑆, isto é,
𝐴𝑆 = lim𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
Integral Definida
Definição: Seja 𝑓 uma função contínua definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 . Dividindo 𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos
iguais ∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
onde 𝑐𝑖 é um ponto amostral tomado em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
Note que se 𝑓 ≥ 0 então:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒
𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
Integral Definida
• Se admitirmos valores positivos e negativos para 𝑓 em 𝑎, 𝑏 , obtemos a diferença entre as áreas (acima do eixo 𝑥
e abaixo deste eixo).
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= A1 − A2
Integral Definida
O Teorema que veremos a seguir nos fornece um método para calcular a área e integrais muito mais facilmente, sem que seja necessário calculá-las como limite das somas.
Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2): Se 𝑓 for contínua em um intervalo fechado [a,b], então
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝑓(𝑎)𝑏
𝑎
onde 𝐹 é qualquer antiderivada de 𝑓, isto é, uma função 𝐹′ = 𝑓.
Exemplo: Calcule a integral definida
3𝑥5 − 𝑒𝑥𝑑𝑥1
0
Integral Definida
Encontre a área da região e faça o gráfico:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 0 , 3
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −2 , 2
Aplicações de Integral
Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:
• Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.
Uma aplicação de Integral
Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:
• Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Uma aplicação de Integral
Exemplos:
1. Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙𝟐 em [−𝟏, 𝟏] é girada em torno do eixo x.
2. Ache o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙 em [𝟏, 𝟒] é girada em torno do eixo x.
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