Comprimento de Arco - UNEMAT – Campus...

Comprimento de Arco

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Comprimento de Arco

1.Introdução

2.Resolução de Exemplos

3.Função Comprimento de Arco

4.Resolução de Exemplo

3

1. Introdução

O que queremos dizer com o comprimentode uma curva? Podemos pensar em colocar umpedaço de barbante sobre a curva, como na figuraabaixo, e então medir o comprimento do barbantecom uma régua.

4

1. Introdução

Mas isso pode ser difícil de fazer com muitaprecisão se tivermos uma curva complicada.Precisamos de uma definição exata para ocomprimento de um arco de uma curva, da mesmamaneira como desenvolvemos definições para osconceitos de área e volume.

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1. Introdução

Se a curva é um polígono, podemosfacilmente encontrar seu comprimento; apenassomamos os comprimentos dos segmentos de retaque formam o polígono. (Podemos usar a fórmula dedistância para encontrar a distância entre osextremos de cada segmento).

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1. Introdução

Definiremos o comprimento de uma curvageral primeiro aproximando-a por um polígono eentão tomando o limite quando o número desegmentos do polígono aumenta. Esse processo ésimilar para o caso de um círculo, onde acircunferência é o limite dos comprimentos dospolígonos inscritos, conforme a figura a seguir.

7

1. Introdução

8

1. Introdução

Agora suponha que uma curva C sejadefinida pela equação y = f(x), onde f é contínua ea ≤ x ≤ b. Obtemos um polígono de aproximaçãopara C dividindo o intervalo [a, b] em nsubintervalos com os extremos x0, x1, …, xn e comlarguras iguais a ∆x. Se yi = f(xi), então o ponto Pi(xi, yi) está em C e o polígono com vértices P0, P1, …,Pn, ilustrado na figura seguinte, é uma aproximaçãopara C.

9

1. Introdução

10

1. Introdução

O comprimento L de C é aproximadamente omesmo desse polígono e a aproximação fica melhorquando n aumenta. Veja a figura a seguir, onde oarco da curva entre Pi-1 e Pi foi ampliado e asaproximações com sucessivos valores menores para∆x são mostradas.

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1. Introdução

12

1. Introdução

Portanto, definimos o comprimento L dacurva C com a equação y = f(x), a ≤ x ≤ b, como olimte dos comprimentos desses polígonos inscritos(se o limite existir).

11

limn

i ini

L P P−→∞ =

= ∑

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1. Introdução

Note que o procedimento para a definiçãode comprimento de arco é muito similar àquele queusamos para definir a área e o volume: dividimos acurva em um grande número de partes pequenas.Então encontramos os comprimentos aproximadosdas partes pequenas e os somamos. Finalmente,tomamos o limite quando n → ∞.

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1. Introdução

A definição de comprimento de arco dadapela equação anterior não é muito conveniente paraos propósitos computacionais, mas podemos derivaruma fórmula integral para L onde f tem umaderivada contínua. Essa função f é chamada suave,porque uma pequena mudança em x produz umapequena mudança em f’(x).

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1. Introdução

Se tomarmos ∆yi = yi – yi-1, então

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1i i i i i i iP P x x y y x y− − −= − + − = ∆ + ∆

Considerando a existência de um número xi*

entre xi-1 e xi, tal que

*1 1( ) ( ) ( )( )i i i i if x f x f x x x− −′− = −

*( )i iy f x x′∆ = ∆

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1. Introdução

Então temos

( ) ( )2 2

1i i iP P x y− = ∆ + ∆

( ) 22 *1 ( )i i iP P x f x x− ′= ∆ + ∆

( )2 2*1 1 ( )i i iP P f x x− ′= + ⋅ ∆

2*1 1 ( )i i iP P f x x− ′= + ⋅ ∆

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1. Introdução

Portanto

2*1

1 1

lim lim 1 ( )n n

i i in ni i

L P P f x x−→∞ →∞= =

′= = + ⋅ ∆ ∑ ∑

Assim sendo, essa expressão é igual a

[ ]21 ( )

b

a

L f x dx′= +∫

pela definição de integral definida.

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1. Introdução

Fórmula do Comprimento de Arco

Se f’ for contínua em [a, b], então o comprimento dacurva y = f(x), a ≤ x ≤ b, é

[ ]21 ( )

b

a

L f x dx′= +∫

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1. Introdução

Se usarmos a notação de Leibniz para asderivadas, poderemos escrever a fórmula docomprimento de arco como a seguir:

2

1b

a

dyL dx

dx = +

∫

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2. Resolução de exemplos

Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco daparábola semicúbica y2 = x3 entre os pontos (1, 1) e(4, 8).

21

2. Resolução de exemplos

Para a porção superior da curva, temos

( ) ( )1 1 32 3 2 32 2 2y x y x y x= ⇒ = ⇒ =

123

2dy

xdx

=

22

2. Resolução de exemplos

e assim a fórmula do comprimento de arcodá

24 4

1 1

91 1

4dy

L dx x dxdx = + = +

∫ ∫

23

2. Resolução de exemplos

Se substituirmos

9 91

4 4u x du dx= + ⇒ =

Quando

131 e 4 10

4x u x u= ⇒ = = ⇒ =

24

2. Resolução de exemplos

Portanto10 103

2

13/413/4

4 4 29 9 3

L u du u = = ⋅∫

( )3

2328 13

1027 4

L = −

180 10 13 13

27L = −

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2. Resolução de exemplos

Se uma curva tem a equação x = g(y), c ≤ y ≤ de g’(y) é contínua, então, pela mudança dos papéisde x e y, obtemos a seguinte fórmula para seucomprimento.

[ ]2

21 ( ) 1

d d

c c

dxL g y dy dy

dy ′= + = +

∫ ∫

26

2. Resolução de exemplos

Exemplo 2: Calcule o comprimento de arco daparábola y2 = x de (0, 0) a (1, 1).

27

2. Resolução de exemplos

Solução: Como x = y2, temos dx/dy = 2y.

( )1 1

2 2

0 0

1 2 1 4L y dy y dy= + = +∫ ∫

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2. Resolução de exemplos

Fazendo a substituição trigonométrica

1tg

2y = θ

que resulta em

2 2 21sec e 1 4 1 tg sec

2dy d y= + = + =θ θ θ θ

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2. Resolução de exemplos

Quando y = 0, tg θ = 0, logo θ = 0

Quando y = 1, tg θ = 2, logo θ = tg-1 2 = α.

Então:

2 3

0 0

1 1sec sec sec

2 2L d d= ⋅ =∫ ∫

α α

θ θ θ θ θ

0

1 1sec tg ln sec tg

2 2 = ⋅ + +

αθ θ θ θ

( )1sec tg ln sec tg

4= + +α α α α

30

2. Resolução de exemplos

Como tg α = 2, temos:

2 2sec 1 tg sec 5= + ⇒ =α α α

Portanto

( )12 5 ln 5 2

4L = + +

( )ln 5 252 4

L+

= +

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2. Resolução de exemplos

A figura a seguir mostra o arco de umaparábola cujo comprimento é calculado noexercício anterior, junto com as aproximaçõespolinomiais tando n = 1 e n = 2 segmentos de reta,respectivamente.

32

2. Resolução de exemplos

1

1

2

33

2. Resolução de exemplos

Para n = 1 o comprimento aproximado é

1 2 1,414L = = …

a diagonal de um quadrado

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2. Resolução de exemplos

1/2 1/2

22

1

35

2. Resolução de exemplos

Para n = 2 o comprimento aproximado é

2 1,445L = …

A tabela seguinte mostra as aproximaçõesLn que obtemos dividindo [0, 1] em n subintervalosiguais. Note que cada vez que duplicamos o númerode lados do polígono nos aproximamos docomprimento exato, que é dado pela expressão

( )ln 5 251,478943

2 4L

+= + = …

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2. Resolução de exemplos

n Ln

1 1,414

2 1,445

4 1,464

8 1,472

16 1,476

32 1,478

64 1,479

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2. Resolução de exemplos

Por causa da presença da raiz quadrada nafórmula do comprimento de arco, os cálculosfrequentemente nos levam a integrais muitodifíceis ou mesmo impossíveis de se avaliarexplicitamente.

Então algumas vezes temos de nos contentarem achar uma aproximação do comprimento dacurva, como no exemplo a seguir.

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2. Resolução de exemplos

Exemplo 3: (a) Monte uma integral para ocomprimento de arco de uma hipérbole xy = 1 doponto (1, 1) ao ponto (2, 1/2). (b) Use a Regra deSimpson com n = 10 para estimar o comprimento dearco.

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2. Resolução de exemplos

(a) Temos

2

1 1

dyy

x dx x= = −

e assim o comprimento do arco é

22 2 2 4

4 21 1 1

1 11 1

dx xL dx dx dx

dy x x += + = + =

∫ ∫ ∫

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2. Resolução de exemplos

(b) Usando a Regra de Simpson com

4

11 2 10 ( ) 1a b n f x

x= = = = +

obtemos

[ ](1) 4 (1,1) 2 (1,2) 2 (1,8) 4 (1,9) (2)3

b aL f f f f f f

n−≈ + + + + + +…

1,1321L ≈

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3. Função comprimento de arco

É útil termos uma função que mede ocomprimento de arco de uma curva a partir de umponto inicial particular até outro ponto qualquer nacurva.

Então, se a curva suave C tem a equaçãoy = f(x), a ≤ x ≤ b, seja s(x) a distância ao longo deC do ponto inicial P0 (a, f(a)) ao ponto Q (x, f(x)).Então s é uma função, chamada função compri-mento de arco, dada pela fórmula abaixo.

[ ]2

0

( ) 1 ( )x

s x f x dx′= +∫

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3. Função comprimento de arco

Derivando a expressão anterior, obtemos:

[ ]2

2

0

1 ( ) 1xds dy

f xdx dx

′= + = +

∫

A equação anterior mostra que a taxa devariação de s em relação a x é sempre pelo menosigual a 1, e é igual a 1 quando f’(x), a inclinação dacurva, é 0.

2

1dy

ds dxdx = +

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3. Função comprimento de arco

e essa equação é escrita algumas vezes naforma simétrica, cuja interpretação geométrica émostrada na figura abaixo.

( ) ( ) ( )2 2 2ds dx dy= +

44

4. Resolução de exemplo

Exemplo 4: Determine a função comprimento dearco para a curva

2 1ln

8y x x= −

tomando P0 (1, 1) como o ponto inicial.

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4. Resolução de exemplo

Solução:

2 1 1( ) ln ( ) 2

8 8f x x x f x x

x′= − ⇒ = −

[ ]2

2 22

1 1 11 ( ) 1 2 1 4

8 2 64f x x x

x x ′+ = + − = + − +

22

2

1 1 14 2

2 64 8x x

x x = + + = +

[ ]2 11 ( ) 2

8f x x

x′= + = +

46

4. Resolução de exemplo

Assim, a função comprimento de arco é dadapor

[ ]2

1

( ) 1 ( )x

s x f x dx′= +∫

2

11

1 12 ln

8 8

xx

x dx x xx

= + = + ∫

2 1ln 1

8x x= + −

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4. Resolução de exemplo

Por exemplo, o comprimento de arco aolongo da curva de (1, 1) a (3, f(3)) é

2 1 ln3(3) 3 ln3 1 8

8 8s = + − = +

(3) 8,1373s ≈

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4. Resolução de exemplo

A figura abaixo mostra a interpretação dafunção comprimento de arco do exemplo anterior.

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4. Resolução de exemplo

A figura abaixo mostra o gráfico de suafunção comprimento de arco. Observe que s(x) énegativo quando x é menor que 1.