Controle ótimo quadrático Sistemas Lineares Controle ótimo quadrático Santa Maria, junho de 2012...

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

Controle ótimo quadrático

Santa Maria, junho de 2012

Josemar de Oliveira QuevedoLucas Vizzotto Bellinaso

Prof. Dr. Vinícius Montagner

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Tópicos

• Introdução• Controle ótimo quadrático: equacionamento• Escolha de Q e R• Exemplo de projeto

– Projeto mal feito– Projeto bem feito

• Simulação de um conversor Buck• Conclusões

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Introdução

• Realimentação de estados:– Obtenção da resposta desejada para o sistema através do cálculo

do ganho K, onde u = R – K x.– Funciona se o sistema for controlável.

• Controle ótimo quadrático:– Técnica empregada para cálculo do ganho K.

u

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4

Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático

• Consiste na minimização de um índice de desempenho quadrático J.

• As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidas positivamente:– Q = Q’ e R = R’– v’Qv ≥ 0 e v’Rv ≥ 0 , onde v é um vetor como x e u.

• Se o sistema for controlável, a minimização de J sempre torna o sistema estável.

' '

0 0

,J L x u dt x Qx u Ru dt

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

5

Controle ótimo quadráticoDesenvolvimento matemático

Sendo u = - Kx, pode-se obter:

' ' '

0 0

'J x Qx u Ru dt x Q K RK xdt

' ' ' ' 'd

x Q K RK x x Px x Px x Pxdt

x A BK x

'' ' 'x Q K RK x x A BK P P A BK x

Se houver uma matriz P Hermitiana que:

Do sistema realimentado substitui-se:

O que leva a: ' 'A BK P P A BK Q K RK

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6

Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático

Sendo Q + K’RK sempre positivo, pela segunda Lei de Liapunov, se o sistema for estável, então existe P que satisfaça:

A BK P P A BK Q K RK

Se e separando os termos em K da equação acima:

1 11 ' 0A P PA PBR B P Q TK T B P TK T B P

Pode-se obter que a minimização de J em relação a K requer:

1 1 '0TK T B P K R B P

'R T T

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7

Controle ótimo quadrático Desenvolvimento matemático

• O cálculo de K é resumido nas seguintes etapas:– Encontrar P definida positivamente que satisfaça a

equação reduzida de Ricatti:

– Calcular K com a seguinte equação:

' 1 ' 0A P PA PBR B P Q

1 'K R B P

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Escolha de Q e R

• Matriz Q: – Relativa à importância do erro de cada estado do sistema.– Normalmente definida na forma diagonal, para que a

importância de cada estado seja definida de forma independente.

– Exemplo: q1 refere-se à importância do erro de x1. Quando maior q1, mais rápido será reduzido o erro de x1.

1

2

3

0 0

0 0

0 0

q

Q q

q

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

9

Escolha de Q e R

• Matriz R: – Relativa à energia necessária para cada entrada.– Normalmente definida na forma diagonal, para que cada entrada

seja tratada independentemente.– Exemplo: r1 refere-se à energia absorvida da entrada u1.

– Quanto maior é r1, menor é a energia absorvida de u1, e mais lento é o controle dependente dessa entrada.

– Quanto menor r1 maiores os ganhos relativos à entrada u1.

1

2

0

0

rR

r

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10

Escolha de Q e RComando do Matlab

• Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o seguinte comando:

K = lqr(A,B,Q,R) ou K = lqr(sys,Q,R)

• Exemplo:

A = [1 2 ; 3 4];B = [1 ; 0];Q = [10 0; 0 1];R = 1;K = lqr(A,B,Q,R)

Valor de K obtido no Matlab: K = [13.0812 22.4926]

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Exemplo de projeto: modelagem do sistema

Figura 1 - Sistema RLC proposto

• R=50Ω;• C=220uF;• L=886μH;• Vc (referência)=50V

uL

C R

iL

vc

L

c

L

c

L

i

vy

u

Li

v

L

CRCi

01

1

0

01

11vc

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12

Exemplo de projeto: sistema ampliado

• Sistema aumentado:

Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado

Cxrdte

Cxryre

ruL

dte

i

v

L

CRC

dte

Lic

v

L

c

1

0

0

0

1

0

001

001

011

.

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13

Exemplo de projeto: controlabilidade

• Controlabilidade:

– Valores numéricos da matriz aumentada

0

7,1128

0

001

007,1128

055,45490

aum

aum

B

A

aumaumaumaumaum BABABC 2

9

93

96

100051,000

107904,5010128,1

104664,01013,50

C

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Projeto adequado:– Objetivo: buscar a resposta que alie os menores

ganhos, menor energia de controle e resposta mais rápida do controlador sobre a planta.

• Ganhos: K = [-0,0223 11,1723 -79,0569];• Pólos = [-505 -12195].

800

500000000

01000000

001

R

Q

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0];Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000]; R = [800];Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R)K = Kah(1:2)Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0];BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0];

t = 0:0.0001:0.12;[y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t);[y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t);x1 = [1 0 0]*x'; x2 = [0 1 0]*x'; x3 = [0 0 1]*x'; subplot(2,2,1); plot(t,x1,'LineWidth',2); gridhold onplot(t,y2,'r');subplot(2,2,2); plot(t,x2,'LineWidth',2); gridsubplot(2,2,3); plot(t,x3,'LineWidth',2); griderro=1-x1;subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid

% tensão de saída% corrente% erro integrado

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

2x1 (tensão) versus t

t Sec

x1

x1 (tensão)Vc malha aberta

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.005

0.01

0.015

0.02x2 (corrente) versus t

t Sec

x2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.005

0.01

0.015

0.02x3 (erro integrado) versus t

t Sect

x3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1erro

t Sec

erro

Tempo de acomodação: 40 ms

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

104

105

106

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sistema em malha abertaSistema controlado

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Projeto inadequado:– Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados

menos relevantes para a resposta do sistema. • Valores elevados reduzem o erro em relação à referência, mas

aumentam o esforço de controle.• Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço de

controle;

– Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da matriz R;

• A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que podem não ser implementáveis na prática;

• O aumento eleva o erro.

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Exemplo: priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q.

– Ganhos: K = [30,3201 15,9441 -3,1623];– Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; -9043,3 – j*8974,3]. 1

1000

0100

001000

R

Q

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2x1 (tensão) versus t

t Sec

x1

x1 (tensão)Vc malha aberta

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2x 10

-3 x2 (corrente) versus t

t Sec

x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1x3 (erro integrado) versus t

t Sect

x3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1erro

t Sec

erro

)

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes para a resposta do sistema na matriz Q

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)10

210

310

410

510

6-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Sistema em malha abertaSistema controlado

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R.– Ganhos: K = [38,4 1000,2 -7071,1];– Pólos = [-300; -1,1287*10^6].

1.0

500000000

01000000

001

R

Q

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

2x1 (tensão) versus t

t Sec

x1

x1 (tensão)Vc malha aberta

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03x2 (corrente) versus t

t Sec

x2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01x3 (erro integrado) versus t

t Sect

x3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

erro

t Sec

erro

)

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Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da matriz R

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

104

105

106

107

108

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sistema em malha abertaSistema controlado

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R.– Ganhos: K = [-0.0118 0.6362 -5 ];– Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6].

200000

500000000

01000000

001

R

Q

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2x1 (tensão) versus t

t Sec

x1

x1 (tensão)Vc malha aberta

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02x2 (corrente) versus t

t Sec

x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2x3 (erro integrado) versus t

t Sect

x3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1erro

t Sec

erro

)

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da matriz R

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sistema em malha abertaSistema controlado

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Exemplo de projeto: definição de Q e R

• Comparação dos projetos:

Tabela 1 – Comparação das características dos projetos

pólos ganhos p1 p2 k1 k2 klSistema em malha aberta - 4,55 + j*2264,6 -4,55 - j*2264,6 --- --- ---Projeto adequado -505 -12195 -0,0223 11,1723 -79,0569priorização inadequada dos estados em Q -9043,3 +j*8974,3 -9043,3 -j*8974,3 30,3201 15,9441 -3,1623Redução excessiva dos valores de R -300 -1128700 38,4 1000,2 -7071,1

Aumento excessivo dos valores de R -404,5+j*2229,6 -404,5-j*2229,6 -0,0118 0,6362 -5

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Simulação: conversor Buck

Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais

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Simulação: conversor Buck

• Condições nominais:

Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

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Simulação: conversor Buck

Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado

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Simulação: conversor Buck

Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Simulação: conversor Buck

• Redução de 50% da carga:

Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Simulação: conversor Buck

Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Simulação: conversor Buck

• Aumento de 100% da carga:

Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e com o LQR (azul)

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Simulação: conversor Buck

Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência

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Simulação: conversor Buck

• Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V:

Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Simulação: conversor Buck

Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico

Controle ótimo quadráticoSistemas Lineares

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Simulação: conversor Buck

• Conversor buck alimentado por retificador monofásico:

Figura 18 – Tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho. (a) malha fechada (b) malha aberta

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Conclusões

• O controle LQR oferece uma forma metódica de cálculo dos ganhos de realimentação de estados a partir da minimização de um fator de desempenho quadrático J;

• A resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle, respectivamente;

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Conclusões

• As matrizes Q e R são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto;

• O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema;

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Conclusões

• Vantagens do conversor LQR: – Permite a minimização da energia demandada

pelo sistema, resultando em melhor rendimento do sistema de controle;

• Desvantagens do conversor LQR: – Limitação da técnica relacionada à maneira

aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.

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Considerações finais

• Josemar de Oliveira Quevedo:– josemar.oliveira.quevedo@gmail.com

• Lucas Vizzotto Bellinaso:– lbellinaso@gmail.com