View
220
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1CPV unicamp2012
MATEMÁTICA
13. Ovelocímetroéuminstrumentoqueindicaavelocidadedeumveículo.Afiguraabaixomostraovelocímetrodeumcarroquepodeatingir240km/h.Observequeoponteironocentrodovelocímetrogiranosentidohorárioàmedidaqueavelocidadeaumenta.
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional àvelocidade.Nessecaso,qualéoânguloentreaposiçãoatualdoponteiro(0km/h)esuaposiçãoquandoovelocímetromarca104km/h?
b) Determinadovelocímetrofornececorretamenteavelocidadedoveículoquandoeletrafegaa20km/h,masindicaqueoveículoestáa70km/hquandoavelocidaderealéde65km/h.Supondoqueoerrodeaferiçãodovelocímetrovarielinearmentecomavelocidadeporeleindicada,determineafunçãov(x)querepresentaavelocidaderealdoveículoquandoovelocímetromarcaumavelocidadedexkm/h.
Resolução: a)
210º 240km/h x 104km/h
x=91º
104km/h b)
Real Com erro 20km/h 20km/h 65 70 v(x) x
65 2020
70 2020
4520
5020
−−
=−−
⇒
−=−
⇒
v x x
v x x
( )
( )
45(x–20)=50(v(x)–20)
9x–180=10v(x)–200
v(x)=9 2010x +
v(x) = 9x10 + 2
20km/h
9 10
x
unicamp – 15/Janeiro/2012
cpV seu pé direito também na medicina
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina2
CPV unicamp2012
14. Aplantadeumcômodoquetem2,7mdealturaémostradaaolado.
a) Pornorma,emcômodosresidenciaiscomáreasuperiora6m2,deve-seinstalarumatomadaparacada5moufração(de5m)deperímetrodeparede, incluindoa larguradaporta.Determineonúmeromínimode tomadasdocômodorepresentado ao lado e o espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente peloperímetrodocômodo.
b) Umeletricistadesejainstalarumfioparaconectarumalâmpada,localizadanocentrodotetodocômodo,aointerruptor,situado a 1,0m do chão, e a 1,0m do canto do cômodo, como está indicado na figura. Supondo que o fio subiráverticalmentepela parede, e desprezando a espessura daparede e do teto, determineo comprimentomínimodefionecessárioparaconectarointerruptoràlâmpada.
Resolução:
a) Operímetroé2p=10,8m,logoonúmerodetomadasén≥ 10 85, \ n ≥ 2,16 \ n = 3 nomínimoeoespaçamento
entre eles é e = 10 83,
\ e = 3,6 m
b) SendoOocentrodoteto,OHadistânciadeOàparedequecontémointerruptorS,entãooΔAHOéretânguloemH,portanto OA2=AH2+OH2(TeoremadePitágoras)
LogoOA2=(0,5)2+(1,2)2 \ OA = 1,3 m OcomprimentodofioéC=SA+OA\C=1,7+1,3\ C = 3m
3,0 m
3,0 m
2,4 m2,4 m
1 m1 m
1,7 m
1
0
1,20,5
1,3
2,4
2,7 m
S
HA
3 cpV seu pé direito também na Medicina unicamp – 15/01/2012
unicamp2012 CPV
15. Onúmeroáureoéumaconstanterealirracional,definidacomoaraizpositivadaequaçãoquadráticaobtidaapartirde xx+ 1 =x
a) Reescrevaaequaçãoacimacomoumaequaçãoquadráticaedetermineonúmeroáureo. b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido
recursivamentepelafórmula
F(n)= 1,sen=1ou2; F(n–1)+F(n–2),sen>2
Podemosaproximaronúmeroáureo,dividindoumtermodasequênciadeFibonaccipelotermoanterior.Calculeo10ºeo11ºtermosdessasequênciaeuse-osparaobterumaaproximaçãocomumacasadecimalparaonúmeroáureo.
Resolução:
a) xx+ 1
=xÞ x2=x+1
Portanto, comoumaequaçãoquadrática,temos: x2–x–1=0.
Δ =5Þ x=1 52
+éonúmeroáureo.
b) Os11primeirostermosdasequênciadeFibonaccisão:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.
Portanto,o10o termo é 55 e o 11otermoé89.
Fazendo8955 =1,61818...
Portanto, 8955
@ 1,6.
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina4
CPV unicamp2012
16. Umacurvaemformatoespiral,compostaporarcosdecircunferência,podeser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dosarcos.Essesarcos,porsuavez,sãosemicircunferênciasqueconcordamsequencialmentenospontosdetransição,comoilustraafiguraaolado,naqualsupomosqueadistânciaentreA e B mede 1 cm.
a) Determineaáreadaregiãodestacadanafigura. b) Determineocomprimentodacurvacompostapelosprimeiros20arcos
decircunferência.
Resolução:
a)
Aáreapedidaédadapor:
A=A AsemicírculoEF semicírculoDE� �+
A=π π. .42
32
2 2+
A=252p
cm2
b) Ocomprimentototalédadopor:
C=12 2π . 1 +
12 2π .2+
12 2π . 3 +
12 2π .4+...+
12 2π .20)
C=π(1+2+3+...+20)
C=π ( )1 20 202
+
C = 210π cm
PA� �������� ��������
E F D
5 cpV seu pé direito também na Medicina unicamp – 15/01/2012
unicamp2012 CPV
17. Umbrilhanteéumdiamantecomumalapidaçãoparticular,que tornaessagemaamais apreciada dentre todas as pedras preciosas.
a) Emgemologia,umquilateéumamedidademassa,quecorrespondea200mg.Considerandoqueamassaespecíficadodiamanteédeaproximadamente3,5g/cm3, determineovolumedeumbrilhantecom0,7quilate.
b) Afiguraao ladoapresentaa seção transversaldeumbrilhante.Comoémuitodifícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pelasomadovolumedeumtroncodecone(partesuperior)comodeumcone(parteinferior).Determine,nessecaso,ovolumeaproximadodobrilhante.
Dica: ovolumedeumtroncodeconepodeserobtidoempregando-seafórmula
V=p3 h(R2 + Rr + r2),emqueRersãoosraiosdasbasesehéaalturadotronco.
Resolução:
a) Segundooenunciado:
1quilate 200mg 0,7quilate M
M=0 7 2001
, .
SendoM=140mgamassade0,7quilate,temos:
3,5g 1cm3
140mg V
V=140 13500
.
Portanto,ovolumedeumbrilhantecom0,7quilateéiguala0,04cm3.
b) V=Vtronco + Vcone
V=p3 .0,6(12 + 1 .2+22) +
13 p . 22 .1,8
V=p . 0,2(7)+2,4p
V =1,4p +2,4p
V=3,8p mm3
0,6
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina6
CPV unicamp2012
18. Omostradordedeterminadorelógiodigital indicahoraseminutos,comoilustraafiguraaolado,naqualodígitodaunidadedosminutosestádestacado.
Odígito emdestaquepode representarqualquerumdosdezalgarismos,bastandopara isso que se ative ou desative as sete partes que o compõem, como se mostra abaixo.
a) Atribuindoasletrasa, b, c, d, e, f,gaostrechosdodígitodestacadodorelógio,comoseindicaaolado,pintenográficodebarrasabaixoaporcentagemdetempoemquecadaumdostrechosficaaceso.Observequeasporcentagensreferentesaostrechosf e gjáestãopintadas.
b) Supondo, agora,queodígito emdestaquepossuadois trechosdefeituosos,quenãoacendem,calcule aprobabilidadedoalgarismo3serrepresentadocorretamente.
Resolução:
a) Asfrequênciasdostrechossão: Entãoográficoserá:
a →8 b→ 6 c →7 d →4 e →7 f→9 g→8
b) PodemosterdoistrechosdefeituososdeC7,2=21maneirasdiferentes. Paraqueonúmero3apareçadeformacorreta,sóháumaúnicamaneira,ondeb e dcomdefeitos.
Portanto,aprobabilidadedeoalgarismo3serrepresentadocorretamenteéP = 121 .
7 cpV seu pé direito também na Medicina unicamp – 15/01/2012
unicamp2012 CPV
19. Umsupermercadovendedoistiposdecebola,conformesedescrevenatabelaabaixo:
a) Umaconsumidoraselecionoucebolaspequenasegrandes, somando40unidades,quepesaram1700g.Formuleumsistemalinearquepermitaencontraraquantidadedecebolasdecadatipoescolhidaspelaconsumidoraeresolva-oparadeterminar esses valores.
b) Geralmente,ascebolassãoconsumidassemcasca.Determineaáreadecascacorrespondentea600gdecebolaspequenas,supondoqueelassejamesféricas.Sabendoque600gdecebolasgrandespossuem192π cm2deáreadecasca,indiquequetipodecebolaforneceomenordesperdíciocomcascas.
Resolução:
a) Sejaosistema: p+g=40 Escalonando,temos:p+g=40 25p+200g=1700 g=4
Portanto,são4cebolasgrandese36cebolaspequenas.
b) 600gcorrespondema24cebolaspequenas,pois60025
24= .
Então,S=24.4π .4=384π cm2éaáreadacascadascebolaspequenas.
600gcorrespondema3cebolasgrandes,cujaáreadacascaé192π cm2.
Logo,ascebolasgrandesfornecemmenordesperdíciocomcascas.
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina8
CPV unicamp2012
20. Considereafunçãof(x)=2x+|x+p|,definidaparaxreal.
a) Afiguraaoladomostraográficodef(x)paraumvalorespecíficodep.Determineessevalor. b) Supondo,agora,quep=–3,determineosvaloresdexquesatisfazemaequaçãof(x)=12.
Resolução:
a) Observandoográfico:
Sex=1Þ f(1)=2
Portanto,2(1)+| 1 + p |=2
Logo,p = –1
b) Parap=–3,f(x)=2x+|x–3| Comof(x)=12,2x+|x–3|=12
Vamosconsiderardoiscasos:
I) sex≥ 3,então2x+x–3=12 Logo,x = 5
II) sex<3,então2x–x+3=12 Logo,x = 9 (não convém)
Portanto, se f (x) = 12, x = 5.
9 cpV seu pé direito também na Medicina unicamp – 15/01/2012
unicamp2012 CPV
21. Umabateriaperdepermanentementesuacapacidadeaolongodosanos.Essaperdavariadeacordocomatemperaturadeoperaçãoearmazenamentodabateria.Afunçãoqueforneceopercentualdeperdaanualdecapacidadedeumabateria,deacordocomatemperaturadearmazenamento,T(em°C),temaforma
P(T)=a.10bT,
emqueaebsãoconstantesreaispositivas.Atabelaabaixofornece,paraduastemperaturasespecíficas,opercentualdeperdadeumadeterminadabateriadeíonsdeLítio.
CombasenaexpressãodeP(T)enosdadosdatabela,
a) esboce,abaixo,acurvaquerepresentaafunçãoP(T),exibindoopercentualexatoparaT=0eT=55; b) determineasconstantesaebparaabateriaemquestão.Senecessário,use log10(2)» 0,30, log10(3)» 0,48e
log10(5)» 0,70.
Resolução:
a)
b) T=0Þ a .10b. 0=1,6Þ a = 1,6
T=55Þ 1,6.10b. 55=20 Þ 1055b=12510
log1055b=log510
3 Þ55blog10=3log5–log10
55b=3(1–log2)–1
55b=3(1–0,30)–1Þb=1 155,
Þ b = 150
P(T) = 1,6 . 10bT
1,6
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina10
CPV unicamp2012
22. SejadadaamatrizA=, em que xéumnúmeroreal.
a) Determineparaquaisvaloresdex o determinante de A é positivo. b) Tomando
C=341−
esupondoque,namatrizA,x=–2,calculeB=AC.
Resolução:
a) A=xx
x
2 02 60 6 16
detA>0Þ 16x3–36x–64x>0 16x3–100x>0 4x(4x2–25)>0
P(x)=16x3–100xpossui3raízreais
quesãox=0,x=52 ex=
-52
portantoográficodeP(x)será
ComoP(x)>0entãoS= −
∪ +∞
520 5
2; ;
b) Sex=–2então
A e C=−
−−
=−
2 2 02 2 62 6 32
341
B= AC
B=−
−−
−
2 2 02 2 60 6 32
341
B=
2856−
xx
x
2 02 60 6 16
-52
520
– –
+ +
11 cpV seu pé direito também na Medicina unicamp – 15/01/2012
unicamp2012 CPV
23. Umcírculoderaio2foiapoiadosobreasretasy=2xey=–x/2,conformemostraafiguraabaixo.
a) Determineascoordenadasdopontodetangênciaentreocírculoearetay=–x/2.
b) DetermineaequaçãodaretaquepassapelaorigemepelopontoC,centrodo círculo.
Resolução:
a) Asretasy=-x2ey=2xsãoperpendiculares.
Portanto,OB=OT=2,sendoTeBospontosdetangência.
SeTpertenceàreta(r)y=-x2 ,entãoT
k k;−
2 .
No ΔAOT,tem-se:OT2=AT2 + AO2
22= −
k2
2+k2 Þk=-
4 55 e -
k2 =
2 55
Logo,T −
4 55
2 55
;
b) Sejamasretas(r)x+2y=0 (s)2x–y=0 e dCr=dCs=2,então:
x y x yx y x y
+
+=
−
+ −( )⇒ + = −
2
1 2
2
2 12 2
2 2 2
x y x y x y não convémx y x y x y y x+ = − ⇒ − =+ =− + ⇒ =− ⇒ =−
2 2 3 02 2 3 3
( )
22
T
A
B
O
(s)y=2x
2 2
-x2(r) y=
●
●
●
●
●
●
unicamp – 15/01/2012 cpV seu pé direito também na Medicina12
CPV unicamp2012
24.Umtopógrafodesejacalcularadistânciaentrepontossituadosàmargemdeumriacho,comomostraafiguraaseguir.Otopógrafodeterminouasdistânciasmostradasnafigura,bemcomoosângulosespecificadosnatabelaabaixo,obtidoscomaajudadeumteodolito.
a) CalculeadistânciaentreAeB. b) CalculeadistânciaentreBeD.
Resolução:
a) TemosqueoΔABCéisósceles:
Se AH é a altura do ΔABC,temosqueCH=HB= 152 m.
No ΔABH,temos:cos π6
152 3
2153
5 3= = ⇒ = ⇒ =x
x x
A distância AB vale 5 3 m .
b) AplicandoaLeidosCossenosnoΔBCD,temos:
y2=102 + 152–2.10. 15 . cos p3
y2=100+225–2.150. 12 y2=175
y= 5 7 A distância BD vale 5 7 m .
A
x x
H●C B
152
152
p6
p6
A
B
D
C
x
x
y
15 m
10m
p6
p6
p3
Recommended