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Estradas I Curso de Graduação em Engenharia Civil Prof. George Wilton Albuquerque Rangel
ESTRADAS I
Curva circular simples - Grau de curva, deflexão por
metro e locação da curva
Estradas I Curso de Graduação em Engenharia Civil Prof. George Wilton Albuquerque Rangel
Estaqueamento
• No projeto dos elementos planimétricos as distâncias
devem ser expressas em metros, com precisão
padronizada de 0,01 m;
• O ponto de início do projeto constitui a estaca 0 (zero),
sendo representada por 0=PP (ponto de partida);
• A marcação das estacas ao longo das tangentes não
deve oferecer dificuldades, pois não ocorre perda de
precisão teórica quando se medem distâncias ao longo
de linhas retas;
• Já nos trechos curvos ocorre alguma perda de precisão,
pois as distâncias entre as estacas correspondem a
comprimentos de arcos de curvas.
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Estaqueamento
• Visando a minimizar esses erros de mensuração, as
normas do DNIT estabelecem a obrigatoriedade de se
marcar, nos trechos em curva, além dos pontos
correspondentes às estacas inteiras, estacas
intermediárias, de forma a melhorar a precisão na
caracterização do eixo da curva, tem-se então:
Raios de curva (R) Corda máxima (c)
R < 100,00 m 5,00 m
100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m
R > 600,00 m 20,00 m
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Concordância horizontal
• As curvas de concordância horizontal são os elementos
utilizados para concordar os alinhamentos retos
(tangentes);
• Essas curvas podem ser classificadas em:
• Curvas simples;
• Curvas compostas;
• Curvas reversas.
• É dada a preferência à curva circular, devida às boas
propriedades que a oferece, tanto para o tráfego como
para o próprio projeto e execução em campo.
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Curvas simples
• Possui um único raio na curva circular. Podem ter curva
de transição ou não:
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Curvas compostas
• Quando se utilizam dois ou mais arcos de curvas
circulares de raios diferentes, para concordar os
alinhamentos retos;
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Curvas reversas
• Quando duas curvas se cruzam em sentidos opostos com
o ponto de tangência em comum:
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Concordância com curva circular simples
• PC = ponto de começo;
• T = tangente externa;
• PT = ponto de término;
• O = centro da curva;
• PI = ponto de interseção das tangentes;
• E = afastamento;
• D = desenvolvimento da curva;
• G = grau da curva;
• I = ângulo de deflexão;
• c = corda;
• AC = ângulo central da curva;
• d = deflexão sobre a tangente;
• R = raio da curva circular.
I
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Tangente externa e desenvolvimento
• Tangente externa (T): • Segmento de reta que une os pontos de curva (PC) e de tangente
(PT) ao ponto de interseção (PI);
• I = AC.
t𝑔𝐼
2=𝑇
𝑅→ 𝑇 = 𝑅. t𝑔
𝐼
2
• Desenvolvimento (D): • É o comprimento do arco de círculo, desde o (PC) até o (PT).
𝐷 = 𝐴𝐶. 𝑅(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠) =𝜋. 𝑅. 𝐼
180°(𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠)
AC = X
180º = 𝜋 X = 𝜋.AC/180º
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Grau da curva
• O grau da curva (Gc) para uma determinada corda (c) é
por definição o ângulo central que corresponde à corda
considerada:
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Grau da curva
• Traçando a bissetriz desse ângulo, define-se o triângulo
retângulo OPM, a partir do qual se pode estabelecer a
seguinte relação:
𝑠𝑒𝑛𝐺𝑐
2=𝐶/2
𝑅→ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝐶
2. 𝑅=𝐺𝑐
2
2. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝐶
2. 𝑅= 𝐺𝑐
𝐺𝑐 =180°. 𝑐
𝜋. 𝑅
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão (dc) de uma curva circular, para uma corda c,
é o ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva
em uma das extremidades da corda:
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Deflexões de uma curva circular
• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz
perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta
sempre numericamente igual à medida do ângulo central
correspondente à corda:
𝑑𝑐 =𝐺𝑐2
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Deflexão por metro
• É o ângulo formado entre a tangente T e uma corda de
comprimento c = 1,00 m.
𝑑𝑐 =𝐺𝑐2, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐺 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑐 = 1
ou
𝑑1 = 𝑑𝑚 =𝑑𝑐𝑐
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Elementos da curva circular simples
• Raio da curva (R):
• É o raio do arco do círculo empregado na concordância,
normalmente expresso em metros;
• É um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com
as características técnicas da rodovia e a topografia da região.
• Ângulo central (AC):
• É o ângulo formado pelos raios que passam pelo PC e PT e que se
interceptam no ponto O;
• Estes raios são perpendiculares nos pontos de tangência PC e PT;
• Este ângulo é numericamente igual a deflexão (I) entre os dois
alinhamentos.
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Elementos da curva circular simples
• Afastamento (E):
• É a distância entre o PI e a curva.
𝐸 = 𝑇. 𝑡𝑔 (𝐴𝐶
4)
• Estaca dos pontos notáveis:
• Estaca do PC E(PC) = E(PI) – (T);
• Estaca do PT E(PT) = E(PC) + (D) – Obs: Não se usa E(PI) + T.
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Exemplo 1
• Considerando a figura a seguir, determine as estacas PC
e PT para as curvas 1 e 2:
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Exemplo 1
• 𝑇1 = 𝑅. t𝑔𝐼
2= 200. t𝑔
24,2111
2= 42,90 𝑚;
• 𝑇2 = 250. t𝑔32,8306
2= 73,65 𝑚;
• 𝐷1 =𝜋.𝑅.𝐼
180°=𝜋.200.24,2111
180°= 84,51 𝑚;
• 𝐷2 =𝜋.250.32,8306
180°= 143,25 𝑚;
• 𝑃𝐶1 = 𝑑0, 𝑃𝐼1 − 𝑇1 = 133,97 − 42,90 = 91,07 𝑚 = 4 + 11,07 𝑚;
• 𝑃𝑇1 = 𝑃𝐶1 + 𝐷1 = 91,07 + 84,51 = 175,58 𝑚 = 8 + 15,58 𝑚;
• 𝑃𝐶2 = 𝑃𝑇1 + 𝑑𝑃𝐼1, 𝑃𝐼2 − 𝑇1 − 𝑇2 =175,58 + 199,49 − 42,90 − 73,65 = 258,52 𝑚 = 12 + 18,52 𝑚
• 𝑃𝑇2 = 𝑃𝐶2 + 𝐷2 = 258,52 + 143,25 = 401,77 𝑚 = 20 + 1,77 𝑚
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Exemplo 2
• Determine o grau de curva necessário para locar uma
curva com um raio de 200,00 m. Calcule a deflexão
correspondente.
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Exemplo 2
• Para uma curva de 200,00 m, a corda máxima é de 10 m;
• 𝐺𝑐 =180°.𝑐
𝜋.𝑅=180°.10
𝜋.200= 2,8649 ° = 2°51′54“
• A deflexão para a locação dessa curva é:
• 𝑑10 =𝐺10
2=2,8649
2= 1,4324 ° = 1°25′57“
• Ou seja, varia-se essa angulação de ponto a ponto com uma corda
de 10,00 m.
• A deflexão por metro para a locação dessa curva é:
• 𝑑1 = 𝑑𝑚 =1,4324
10= 0,1432 ° = 0°08′36“
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Locação de curvas circulares
• O processo de materialização de pontos do eixo no
terreno é denominado locação do eixo;
• Dentre os processos utilizados para a locação pode-se
citar o de locação por deflexões acumuladas ou locação
por coordenadas cartesianas ou polares;
• Tal método consiste basicamente no posicionamento de
pontos na curva (piquetes) a partir das medidas dos
ângulos de deflexão em relação à tangente à curva onde
está instalado o teodolito, e as respectivas distâncias,
medidas ao longo da curva, desde o teodolito até os
pontos em questão.
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Locação por deflexões acumuladas
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Locação por estaca fracionária
• Marcam-se, a partir do PC, pontos equidistantes,
compreendendo cordas (arcos) iguais à corda máxima (c)
e com angulação conforme ângulo de deflexão calculado,
geralmente correspondendo a estacas fracionárias.
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Exemplo 3
• Considerando três pontos em uma curva circular: X, Y e
Z. Uma corda de 10,00 m, raio R = 200,00 m e estaca PC
igual a 4 + 11,07 m; Calcular a as deflexões para os três
pontos da curva.
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Exemplo 3
• Tem-se:
𝐺𝑐 =180°. 𝑐
𝜋. 𝑅=180°. 10
𝜋. 200= 2,8649 ° = 2°51′54“
• Em X (5 + 1,07 m):
𝑑𝑥 = 𝑑10 =𝐺102=2,8649
2= 1,4324 ° = 1°25′57“
• Em Y (5 + 11,07 m): 𝑑𝑦 = 2. 𝑑10 = 𝑑𝑥 + 𝑑10 = 2.1,4324 ° = 2,8648 ° = 2°51
′53“
• Em Z (6 + 1,07 m): 𝑑𝑧 = 3. 𝑑10 = 𝑑𝑦 + 𝑑10 = 3.1,4324 ° = 4,2972 ° = 4°17
′50“
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Fechamento da curva
• Ao se chegar no final da curva poderá haver a
necessidade de se trabalhar com um arco fracionário;
• No Exemplo 3, na a curva em questão, a estaca PT é a 8
+ 15,58 m, remanescendo um arco fracionário de 4,51 m;
• Nesse caso, a deflexão correspondente a essa distância
pode ser obtida através da equação:
𝑑4,51 = 𝑑𝑚. 4,51 =𝑑1010. 4,51 =
1,4324 °
10. 4,51 = 0,1432°. 4,51 = 0°38′47“
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Tabela de locação da curva
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Sobre a tabela de locação da curva
• Verificar que a somatória das DEFLEXÕES SUCESSIVAS
deve ser igual a metade do ângulo de deflexão (I);
• As colunas das deflexões acumuladas trata-se do grau de
curva:
𝐴𝑧𝑖 = ±𝐺𝑐𝑖 → 𝑑𝑐 =𝐺𝑐2
• Quando a curva for à direita, soma-se os graus de curva do
azimute inicial (deflexões positivas). Para curvas à esquerda
subtrai-se os graus de curva do azimute inicial (deflexões
negativas);
• Sabe-se ainda que:
• 𝐴𝑧1−2 = 𝐴𝑧0−1 + 𝐼1 = 55°00′00“ + 24°12′40“ ≅ 79°12′46“
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Locação por estaca inteira – Exemplo 4
• Em uma curva circular à esquerda são conhecidos os
seguintes elementos: Azimute da tangente inicial =
85º00’00”; E(PI) = 148 + 5,60 m; AC = I = 22º36´ e R =
600,00 m.
• Calcular o grau de curva (G) em graus minutos e
segundos para uma corda de 20 m, a tangente (T), o
desenvolvimento (D) e as estacas E(PC) e E(PT), sendo
uma estaca igual a 20 metros. Preparar também a Tabela
de Locação.
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Exemplo 4
𝑇 = 600. t𝑔22,60
2= 119,89 𝑚 (5 estacas + 19,89 m)
𝐷=𝜋. 600.22,60
180°= 236,67𝑚 (11 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 + 16,67 𝑚)
• Sendo E(PI) = 148 + 5,60 m:
• E(PC) = E(PI) – T = [148-5] + [5,60–19,89]m = 142 + 5,71
m
• E(PT) = E(PC) + D = E[142+11] + [5,71+16,67] = 154 +
2,38 m
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Exemplo 4
𝐺 =180°. 𝑐
𝜋. 𝑅= 180°. 1
𝜋. 600= 0,0955° 𝑝𝑎𝑟𝑎 20 𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0,0955𝑥20
= 1,9099° = 1° 54′ 36“
𝑑𝑚=𝐺1
2= 0,0955
2= 0,0477 °
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Exemplo 4 Estacas Deflexões sucessivas Grau de curva Azimute
PC = 142 + 5,71 m -- --- 85,0000 °
143 d14,29 = 0,6816° G14,29 = 1,3632 ° 83,6368 °
144 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 81,7288 °
145 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 79,8208 °
146 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 77,9128 °
147 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 76,0048 °
148 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 74,0968 °
149 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 72,1888 °
150 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 70,2808 °
151 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 68,3728 °
152 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 66,4648 °
153 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 64,5568 °
154 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 62,6488 °
PT = 154 + 2,38 m d2,38 = 0,1135° G2,38 = 0,2270 ° 62,4218 °
Somatória = 11,2891 ° 22,5782 °
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Deflexões inteiras
• Para facilitar a locação da curva em campo e evitar erros
com cálculos numéricos, principalmente erros de
arredondamento, pode ser necessário o arredondamento
da deflexão calculada para determinada curva;
• Na maioria dos casos, a alteração da deflexão para
valores inteiros não impacta no custo na obra, uma vez
que tal arredondamento também altera o raio da curva
(em pequenos valores);
• Nesse caso, o cuidado que deve-se ter, é para não alterar
o limite de utilização de determinada corda: 5 m, 10 m ou
20 m.
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Deflexões inteiras
• Uma deflexão de 1° 25′ 57“, correspondente a um raio de
curva de 200 m e uma corda de 10 m, resultando uma
deflexão por metro de 0° 08′ 36“ (arredondado), por
exemplo, pode muito bem ser arredondada para
0° 08′ 00“, resultando uma deflexão de 1° 20′ 00“;
• Para tanto, a expressão utilizada é a seguinte:
𝑅 =𝑐
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑑𝑐)
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Deflexões inteiras
• Para o exemplo anterior, raio inicial de 200 m e deflexão
1° 20′ 00“, tem-se:
𝑅 =10,00
2. 𝑠𝑒𝑛(1° 20′ 00“)= 214,88 𝑚
• 14,88 m a mais em relação ao raio inicial, compatível com
o valor de corda utilizado: • 100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m
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Referências
• Shu Han Lee;. Introdução ao Projeto Geométrico de Rodovias. 3ª ed. Editora UFSC. Florianópolis, 2008;
• DNER. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. Ministério dos Transportes, 1999. 228 p;
• Departamento de estradas de rodagem, Notas técnicas de projeto geométrico. São Paulo, 2006. 185 p;
• Macedo E. L.; Noções de Topografia Para Projetos Rodoviários, 2010. Disponível em < http://www.topografiageral.com/Curso/capitulo%2005.php>. Acesso em 31 de Agosto de 2010.
• PASTANA C. E. T. Pavimentações de estradas I - anotações de aula. 2006. UNIMAR - Universidade De Marília. Faculdade De Engenharia, Arquitetura E Tecnologia. 89 p.
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