Curva Circular Simples

Estradas I Curso de Graduação em Engenharia Civil Prof. George Wilton Albuquerque Rangel

ESTRADAS I

Curva circular simples - Grau de curva, deflexão por

metro e locação da curva


Estaqueamento

• No projeto dos elementos planimétricos as distâncias

devem ser expressas em metros, com precisão

padronizada de 0,01 m;

• O ponto de início do projeto constitui a estaca 0 (zero),

sendo representada por 0=PP (ponto de partida);

• A marcação das estacas ao longo das tangentes não

deve oferecer dificuldades, pois não ocorre perda de

precisão teórica quando se medem distâncias ao longo

de linhas retas;

• Já nos trechos curvos ocorre alguma perda de precisão,

pois as distâncias entre as estacas correspondem a

comprimentos de arcos de curvas.


Estaqueamento

• Visando a minimizar esses erros de mensuração, as

normas do DNIT estabelecem a obrigatoriedade de se

marcar, nos trechos em curva, além dos pontos

correspondentes às estacas inteiras, estacas

intermediárias, de forma a melhorar a precisão na

caracterização do eixo da curva, tem-se então:

Raios de curva (R) Corda máxima (c)

R < 100,00 m 5,00 m

100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m

R > 600,00 m 20,00 m


Concordância horizontal

• As curvas de concordância horizontal são os elementos

utilizados para concordar os alinhamentos retos

(tangentes);

• Essas curvas podem ser classificadas em:

• Curvas simples;

• Curvas compostas;

• Curvas reversas.

• É dada a preferência à curva circular, devida às boas

propriedades que a oferece, tanto para o tráfego como

para o próprio projeto e execução em campo.


Curvas simples

• Possui um único raio na curva circular. Podem ter curva

de transição ou não:


Curvas compostas

• Quando se utilizam dois ou mais arcos de curvas

circulares de raios diferentes, para concordar os

alinhamentos retos;


Curvas reversas

• Quando duas curvas se cruzam em sentidos opostos com

o ponto de tangência em comum:


Concordância com curva circular simples

• PC = ponto de começo;

• T = tangente externa;

• PT = ponto de término;

• O = centro da curva;

• PI = ponto de interseção das tangentes;

• E = afastamento;

• D = desenvolvimento da curva;

• G = grau da curva;

• I = ângulo de deflexão;

• c = corda;

• AC = ângulo central da curva;

• d = deflexão sobre a tangente;

• R = raio da curva circular.

I


Tangente externa e desenvolvimento

• Tangente externa (T): • Segmento de reta que une os pontos de curva (PC) e de tangente

(PT) ao ponto de interseção (PI);

• I = AC.

t𝑔𝐼

2=𝑇

𝑅→ 𝑇 = 𝑅. t𝑔

𝐼

2

• Desenvolvimento (D): • É o comprimento do arco de círculo, desde o (PC) até o (PT).

𝐷 = 𝐴𝐶. 𝑅(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠) =𝜋. 𝑅. 𝐼

180°(𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠)

AC = X

180º = 𝜋 X = 𝜋.AC/180º


Grau da curva

• O grau da curva (Gc) para uma determinada corda (c) é

por definição o ângulo central que corresponde à corda

considerada:


Grau da curva

• Traçando a bissetriz desse ângulo, define-se o triângulo

retângulo OPM, a partir do qual se pode estabelecer a

seguinte relação:

𝑠𝑒𝑛𝐺𝑐

2=𝐶/2

𝑅→ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

𝐶

2. 𝑅=𝐺𝑐

2

2. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝐶

2. 𝑅= 𝐺𝑐

𝐺𝑐 =180°. 𝑐

𝜋. 𝑅


Deflexões de uma curva circular

• A deflexão (dc) de uma curva circular, para uma corda c,

é o ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva

em uma das extremidades da corda:


Deflexões de uma curva circular

• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz

perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta

sempre numericamente igual à medida do ângulo central

correspondente à corda:

𝑑𝑐 =𝐺𝑐2


Deflexão por metro

• É o ângulo formado entre a tangente T e uma corda de

comprimento c = 1,00 m.

𝑑𝑐 =𝐺𝑐2, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐺 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑐 = 1

ou

𝑑1 = 𝑑𝑚 =𝑑𝑐𝑐


Elementos da curva circular simples

• Raio da curva (R):

• É o raio do arco do círculo empregado na concordância,

normalmente expresso em metros;

• É um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com

as características técnicas da rodovia e a topografia da região.

• Ângulo central (AC):

• É o ângulo formado pelos raios que passam pelo PC e PT e que se

interceptam no ponto O;

• Estes raios são perpendiculares nos pontos de tangência PC e PT;

• Este ângulo é numericamente igual a deflexão (I) entre os dois

alinhamentos.


Elementos da curva circular simples

• Afastamento (E):

• É a distância entre o PI e a curva.

𝐸 = 𝑇. 𝑡𝑔 (𝐴𝐶

4)

• Estaca dos pontos notáveis:

• Estaca do PC E(PC) = E(PI) – (T);

• Estaca do PT E(PT) = E(PC) + (D) – Obs: Não se usa E(PI) + T.


Exemplo 1

• Considerando a figura a seguir, determine as estacas PC

e PT para as curvas 1 e 2:


Exemplo 1

• 𝑇1 = 𝑅. t𝑔𝐼

2= 200. t𝑔

24,2111

2= 42,90 𝑚;

• 𝑇2 = 250. t𝑔32,8306

2= 73,65 𝑚;

• 𝐷1 =𝜋.𝑅.𝐼

180°=𝜋.200.24,2111

180°= 84,51 𝑚;

• 𝐷2 =𝜋.250.32,8306

180°= 143,25 𝑚;

• 𝑃𝐶1 = 𝑑0, 𝑃𝐼1 − 𝑇1 = 133,97 − 42,90 = 91,07 𝑚 = 4 + 11,07 𝑚;

• 𝑃𝑇1 = 𝑃𝐶1 + 𝐷1 = 91,07 + 84,51 = 175,58 𝑚 = 8 + 15,58 𝑚;

• 𝑃𝐶2 = 𝑃𝑇1 + 𝑑𝑃𝐼1, 𝑃𝐼2 − 𝑇1 − 𝑇2 =175,58 + 199,49 − 42,90 − 73,65 = 258,52 𝑚 = 12 + 18,52 𝑚

• 𝑃𝑇2 = 𝑃𝐶2 + 𝐷2 = 258,52 + 143,25 = 401,77 𝑚 = 20 + 1,77 𝑚


Exemplo 2

• Determine o grau de curva necessário para locar uma

curva com um raio de 200,00 m. Calcule a deflexão

correspondente.


Exemplo 2

• Para uma curva de 200,00 m, a corda máxima é de 10 m;

• 𝐺𝑐 =180°.𝑐

𝜋.𝑅=180°.10

𝜋.200= 2,8649 ° = 2°51′54“

• A deflexão para a locação dessa curva é:

• 𝑑10 =𝐺10

2=2,8649

2= 1,4324 ° = 1°25′57“

• Ou seja, varia-se essa angulação de ponto a ponto com uma corda

de 10,00 m.

• A deflexão por metro para a locação dessa curva é:

• 𝑑1 = 𝑑𝑚 =1,4324

10= 0,1432 ° = 0°08′36“


Locação de curvas circulares

• O processo de materialização de pontos do eixo no

terreno é denominado locação do eixo;

• Dentre os processos utilizados para a locação pode-se

citar o de locação por deflexões acumuladas ou locação

por coordenadas cartesianas ou polares;

• Tal método consiste basicamente no posicionamento de

pontos na curva (piquetes) a partir das medidas dos

ângulos de deflexão em relação à tangente à curva onde

está instalado o teodolito, e as respectivas distâncias,

medidas ao longo da curva, desde o teodolito até os

pontos em questão.


Locação por deflexões acumuladas


Locação por estaca fracionária

• Marcam-se, a partir do PC, pontos equidistantes,

compreendendo cordas (arcos) iguais à corda máxima (c)

e com angulação conforme ângulo de deflexão calculado,

geralmente correspondendo a estacas fracionárias.


Exemplo 3

• Considerando três pontos em uma curva circular: X, Y e

Z. Uma corda de 10,00 m, raio R = 200,00 m e estaca PC

igual a 4 + 11,07 m; Calcular a as deflexões para os três

pontos da curva.


Exemplo 3

• Tem-se:

𝐺𝑐 =180°. 𝑐

𝜋. 𝑅=180°. 10

𝜋. 200= 2,8649 ° = 2°51′54“

• Em X (5 + 1,07 m):

𝑑𝑥 = 𝑑10 =𝐺102=2,8649

2= 1,4324 ° = 1°25′57“

• Em Y (5 + 11,07 m): 𝑑𝑦 = 2. 𝑑10 = 𝑑𝑥 + 𝑑10 = 2.1,4324 ° = 2,8648 ° = 2°51

′53“

• Em Z (6 + 1,07 m): 𝑑𝑧 = 3. 𝑑10 = 𝑑𝑦 + 𝑑10 = 3.1,4324 ° = 4,2972 ° = 4°17

′50“


Fechamento da curva

• Ao se chegar no final da curva poderá haver a

necessidade de se trabalhar com um arco fracionário;

• No Exemplo 3, na a curva em questão, a estaca PT é a 8

+ 15,58 m, remanescendo um arco fracionário de 4,51 m;

• Nesse caso, a deflexão correspondente a essa distância

pode ser obtida através da equação:

𝑑4,51 = 𝑑𝑚. 4,51 =𝑑1010. 4,51 =

1,4324 °

10. 4,51 = 0,1432°. 4,51 = 0°38′47“


Tabela de locação da curva


Sobre a tabela de locação da curva

• Verificar que a somatória das DEFLEXÕES SUCESSIVAS

deve ser igual a metade do ângulo de deflexão (I);

• As colunas das deflexões acumuladas trata-se do grau de

curva:

𝐴𝑧𝑖 = ±𝐺𝑐𝑖 → 𝑑𝑐 =𝐺𝑐2

• Quando a curva for à direita, soma-se os graus de curva do

azimute inicial (deflexões positivas). Para curvas à esquerda

subtrai-se os graus de curva do azimute inicial (deflexões

negativas);

• Sabe-se ainda que:

• 𝐴𝑧1−2 = 𝐴𝑧0−1 + 𝐼1 = 55°00′00“ + 24°12′40“ ≅ 79°12′46“


Locação por estaca inteira – Exemplo 4

• Em uma curva circular à esquerda são conhecidos os

seguintes elementos: Azimute da tangente inicial =

85º00’00”; E(PI) = 148 + 5,60 m; AC = I = 22º36´ e R =

600,00 m.

• Calcular o grau de curva (G) em graus minutos e

segundos para uma corda de 20 m, a tangente (T), o

desenvolvimento (D) e as estacas E(PC) e E(PT), sendo

uma estaca igual a 20 metros. Preparar também a Tabela

de Locação.


Exemplo 4

𝑇 = 600. t𝑔22,60

2= 119,89 𝑚 (5 estacas + 19,89 m)

𝐷=𝜋. 600.22,60

180°= 236,67𝑚 (11 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 + 16,67 𝑚)

• Sendo E(PI) = 148 + 5,60 m:

• E(PC) = E(PI) – T = [148-5] + [5,60–19,89]m = 142 + 5,71

m

• E(PT) = E(PC) + D = E[142+11] + [5,71+16,67] = 154 +

2,38 m


Exemplo 4

𝐺 =180°. 𝑐

𝜋. 𝑅= 180°. 1

𝜋. 600= 0,0955° 𝑝𝑎𝑟𝑎 20 𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0,0955𝑥20

= 1,9099° = 1° 54′ 36“

𝑑𝑚=𝐺1

2= 0,0955

2= 0,0477 °


Exemplo 4 Estacas Deflexões sucessivas Grau de curva Azimute

PC = 142 + 5,71 m -- --- 85,0000 °

143 d14,29 = 0,6816° G14,29 = 1,3632 ° 83,6368 °

144 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 81,7288 °

145 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 79,8208 °

146 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 77,9128 °

147 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 76,0048 °

148 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 74,0968 °

149 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 72,1888 °

150 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 70,2808 °

151 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 68,3728 °

152 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 66,4648 °

153 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 64,5568 °

154 d20 = 0,9540° G20 = 1,9080 ° 62,6488 °

PT = 154 + 2,38 m d2,38 = 0,1135° G2,38 = 0,2270 ° 62,4218 °

Somatória = 11,2891 ° 22,5782 °


Deflexões inteiras

• Para facilitar a locação da curva em campo e evitar erros

com cálculos numéricos, principalmente erros de

arredondamento, pode ser necessário o arredondamento

da deflexão calculada para determinada curva;

• Na maioria dos casos, a alteração da deflexão para

valores inteiros não impacta no custo na obra, uma vez

que tal arredondamento também altera o raio da curva

(em pequenos valores);

• Nesse caso, o cuidado que deve-se ter, é para não alterar

o limite de utilização de determinada corda: 5 m, 10 m ou

20 m.


Deflexões inteiras

• Uma deflexão de 1° 25′ 57“, correspondente a um raio de

curva de 200 m e uma corda de 10 m, resultando uma

deflexão por metro de 0° 08′ 36“ (arredondado), por

exemplo, pode muito bem ser arredondada para

0° 08′ 00“, resultando uma deflexão de 1° 20′ 00“;

• Para tanto, a expressão utilizada é a seguinte:

𝑅 =𝑐

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑑𝑐)


Deflexões inteiras

• Para o exemplo anterior, raio inicial de 200 m e deflexão

1° 20′ 00“, tem-se:

𝑅 =10,00

2. 𝑠𝑒𝑛(1° 20′ 00“)= 214,88 𝑚

• 14,88 m a mais em relação ao raio inicial, compatível com

o valor de corda utilizado: • 100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m


Referências

• Shu Han Lee;. Introdução ao Projeto Geométrico de Rodovias. 3ª ed. Editora UFSC. Florianópolis, 2008;

• DNER. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. Ministério dos Transportes, 1999. 228 p;

• Departamento de estradas de rodagem, Notas técnicas de projeto geométrico. São Paulo, 2006. 185 p;

• Macedo E. L.; Noções de Topografia Para Projetos Rodoviários, 2010. Disponível em < http://www.topografiageral.com/Curso/capitulo%2005.php>. Acesso em 31 de Agosto de 2010.

• PASTANA C. E. T. Pavimentações de estradas I - anotações de aula. 2006. UNIMAR - Universidade De Marília. Faculdade De Engenharia, Arquitetura E Tecnologia. 89 p.

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