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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
GABRIELA PEREIRA LUBKE
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE VIGAS
ALVEOLARES DE AÇO
Vitória 2017
1
GABRIELA PEREIRA LUBKE
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE VIGAS
ALVEOLARES DE AÇO
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Estruturas do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Élcio Cassimiro Alves
Coorientador: Macksuel Soares de Azevedo
Vitória 2017
2
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Setorial Tecnológica,
Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Lubke, Gabriela Pereira, 1992- L929d Dimensionamento otimizado de vigas alveolares de aço /
Gabriela Pereira Lubke. – 2017. 203 f. : il. Orientador: Élcio Cassimiro Alves. Coorientador: Macksuel Soares de Azevedo. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade
Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico. 1. Vigas. 2. Otimização estrutural. 3. Aço – Estruturas. 4.
Vigas alveolares. I. Alves, Élcio Cassimiro. II. Azevedo, Macksuel Soares de. III. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro Tecnológico. IV. Título.
CDU: 624
3
4
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos:
Ao Professor Élcio Cassimiro Alves, pela orientação prestada, pelo apoio, paciência,
compreensão, por estar sempre presente e disponível, e por me dar a liberdade e
segurança necessária para a construção do trabalho.
Ao Professor Macksuel Soares de Azevedo pela coorientação prestada, pelo apoio,
pela contribuição significativa para a elaboração deste trabalho.
Aos meus pais Mauro Lubke e Dulcinéia Pereira da Silva, que me educaram, me
apoiaram e me incentivaram a ser quem eu sou hoje.
Ao meu namorado, Sidineidy Izoton, pelo apoio, por me incentivar e ajudar com as
correções e revisões necessárias.
Aos professores, funcionários e colegas do PPGEC que contribuíram de forma direta
ou indireta para a elaboração deste trabalho.
A CAPES, pela bolsa de estudo concedida, que possibilitou a realização deste
trabalho.
5
RESUMO
Vigas alveolares são elementos estruturais, obtidos por meio de corte em
ziguezague de perfis laminados. As partes são deslocadas e soldadas novamente
de forma a obter perfis com maior altura sem aumento de peso. As aberturas,
acompanhadas do acréscimo da altura útil do perfil, tornam esse tipo de viga
suscetível a novos modos de colapso, bem como potencializa modos de colapso já
existentes. O presente trabalho propõe uma formulação para o dimensionamento
otimizado de vigas alveolares de aço, utilizando as equações desenvolvidas por
Cimadevilla (2000), Abreu (2011), Silveira (2011) e Veríssimo et al. (2012), levando
em consideração as restrições de geometria estabelecidas por Oliveira (2012). A
validação do programa de computador desenvolvido foi realizada a partir da
comparação com os resultados obtidos através de exemplos resolvidos
manualmente utilizando como base a formulação descrita por Veríssimo et al.
(2012), uma vez que a norma brasileira não define os parâmetros de
dimensionamento para vigas alveolares. O programa foi desenvolvido na plataforma
do Matlab, e para a solução dos problemas de otimização foram utilizados os
algoritmos internos do Matlab, tais como pontos interiores, programação quadrática
e algoritmos genéticos. Exemplos iniciais apontam que o dimensionamento pode ser
melhorado e no caso de fabricação de perfil uma nova linha de corte pode ser
definida.
Palavras Chave: Dimensionamento. Vigas alveolares. Otimização. Estruturas de
aço.
6
ABSTRACT
Open web-expanded steel beams are structural elements achieved by cutting the
web of the root beam in a certain pattern and then welding two parts each other. As a
result of these processes the overall beam depth increases which in return causes
increase in the capacity of the original section. The openings, together with the
addition of useful profile height, make this type of beam susceptible to new ways of
collapse, and increases existing failure modes. This paper proposes a formulation for
the design of cellular beams steel optimally using the formulations developed by
Cimadevilla (2000), Abreu (2011), Silveira (2011) and Veríssimo et al. (2012), taking
into account the geometry of restrictions set by Oliveira (2012). The validation of the
computer program developed for the accomplishment of results with results obtained
through manually solved examples as the basis of a descriptive formulation by
Veríssimo et al. (2012), as the Brazilian standard does not define the design
parameters for this type of profile. The program was developed in the Matlab
platform, and for a solution of the optimization problems were used in internal Matlab
algorithms, such as interior points, quadratic programming and genetic algorithms.
Initial examples point out that the sizing can be improved and no case of profiling a
new cut line can be defined.
Keywords: Design.Cellular beams.Optimization.
7
SUMÁRIO
RESUMO..................................................................................................................... 5
ABSTRACT ................................................................................................................. 6
SUMÁRIO.................................................................................................................... 7
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 12
1.1 JUSTIFICATIVAS ......................................................................................... 13
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................. 13
1.2.1 Objetivo geral......................................................................................... 13
1.2.2 Objetivos específicos ............................................................................. 13
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................... 14
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................... 16
2.1 HISTÓRICO ................................................................................................. 16
2.2 FABRICAÇÃO DAS VIGAS DE AÇO ALVEOLARES .................................. 19
2.2.1 Vigas Casteladas ................................................................................... 19
2.2.2 Vigas Celulares ...................................................................................... 20
2.2.3 Outros tipos de vigas alveolares ............................................................ 21
2.3 VANTAGENS E DESVANTAGENS ............................................................. 22
2.4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS ........................................................ 23
2.4.1 Vigas casteladas .................................................................................... 26
2.4.2 Vigas celulares ...................................................................................... 29
2.5 MÉTODOS DE PREVENÇÃO DE COLAPSO ............................................. 31
2.5.1 Fechamento das aberturas com chapa ................................................. 31
2.5.2 Enrijecimento dos alvéolos .................................................................... 32
2.5.3 Enrijecimento do montante da alma ...................................................... 32
2.5.4 Absorção de cargas concentradas ........................................................ 33
2.6 MODOS DE COLAPSO ............................................................................... 33
8
2.6.1 Formação de mecanismo plástico ......................................................... 33
2.6.2 Formação de rótula plástica .................................................................. 34
2.6.3 Ruptura da solda e escoamento do metal base entre as aberturas....... 34
2.6.4 Flambagem do montante de alma devido ao cisalhamento ................... 35
2.6.5 Flambagem lateral do montante de alma devida à compressão ........... 35
2.6.6 Flambagem lateral com torção .............................................................. 36
3 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ALVEOLARES ............................................. 37
3.1 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS .................................................................. 37
3.2 CONSIDERAÇÕES PRÉVIAS PARA O DIMENSIONAMENTO .................. 37
3.3 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS APLICÁVEIS .............................................. 39
3.3.1 Formação de mecanismo Vierendeel .................................................... 39
3.3.2 Escoamento do montante de alma por cisalhamento ............................ 57
3.3.3 Escoamento do montante de alma por flexão ....................................... 59
3.3.4 Flambagem lateral do montante de alma .............................................. 64
3.3.5 Flambagem lateral com torção .............................................................. 65
3.3.6 Rasgamento da solda de emenda do montante .................................... 67
3.4 ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO DE DESLOCAMENTO EXCESSIVO ........ 68
3.4.1 Flecha devida ao momento fletor........................................................... 68
3.4.2 Flecha devida ao esforço cortante ......................................................... 71
4 PROCESSOS DE OTIMIZAÇÃO ....................................................................... 80
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 80
4.2 DEFINIÇÕES ............................................................................................... 80
4.3 TIPOS DE OTIMIZAÇÃO ............................................................................. 80
4.3.1 Programação Matemática ...................................................................... 81
4.3.2 Algoritmos Genéticos ............................................................................. 82
5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ....................................................................... 84
9
5.1 VARIÁVEIS DO PROBLEMA ....................................................................... 84
5.2 FUNÇÃO OBJETIVO ................................................................................... 86
5.2.1 Vigas Celulares ...................................................................................... 86
5.2.2 Vigas Casteladas ................................................................................... 88
5.3 FUNÇÕES DE RESTRIÇÃO ........................................................................ 90
5.3.1 Critério dos limites geométricos: ............................................................ 90
5.3.2 Vigas Celulares ...................................................................................... 91
5.3.3 Vigas Casteladas ................................................................................... 92
5.4 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA ................................................................... 93
5.5 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ...................................................................... 94
5.5.1 Vigas celulares ...................................................................................... 94
5.5.2 Vigas casteladas .................................................................................... 95
5.6 ESCOLHA DO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO .......................................... 97
6 METODOLOGIA .............................................................................................. 100
6.1 O PROGRAMA DESENVOLVIDO ............................................................. 100
6.2 VERIFICAÇÃO DO PROGRAMA ............................................................... 105
6.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS ........................... 105
6.3.1 Viga Celular ......................................................................................... 105
6.3.2 Viga Castelada Padrão Peiner............................................................. 108
6.3.3 Viga Castelada Padrão Litzka ............................................................. 112
6.3.4 Viga Castelada Padrão Anglo-Saxão .................................................. 115
6.4 COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS FORNECIDOS POR
PROGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO DISPONÍVEIS NO MERCADO.......... 119
6.4.1 Programa Computacional ACB+ 3.11 .................................................. 119
6.4.2 Programa computacional CYPECAD 2014 .......................................... 121
6.5 COMPARAÇÃO COM TRABALHOS DESENVOLVIDOS POR OUTROS
PESQUISADORES .............................................................................................. 124
10
6.6 LIMITAÇÕES DO PROGRAMA DESENVOLVIDO .................................... 125
7 RESULTADOS ................................................................................................. 128
7.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS PELOS
PROGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO E OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDOS . 128
7.1.1 Vigas Celulares .................................................................................... 129
7.1.2 Vigas casteladas .................................................................................. 130
7.2 COMPARAÇÃO ENTRE OS TIPOS DE VIGA ALVEOLARES. ................. 134
7.3 ANÁLISE DOS MODOS DE COLAPSO COMO RESTRIÇÕES ATIVAS NO
PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................... 135
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................. 137
8.1 CONCLUSÕES .......................................................................................... 137
8.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................... 138
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 139
APÊNDICE .............................................................................................................. 142
A.1 EXEMPLO 1 – VIGA CELULAR .................................................................... 142
A.1.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DE PERFIS DA TABELA .................. 142
A.1.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO
PROGRAMA DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO ............................................. 150
A.2 EXEMPLO 2 – VIGA CASTELADA PADRÃO PEINER ................................. 157
A.2.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS .................. 157
A.2.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO
PROGRAMA DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO ............................................. 165
A.3 EXEMPLO 3 – VIGA CASTELADA PADRÃO LITZKA .................................. 173
A.3.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS .................. 173
A.3.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO
PROGRAMA DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO ............................................. 180
A.4 EXEMPLO 4 – VIGA CASTELADA PADRÃO ANGLO-SAXÃO .................... 188
11
A.4.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS .................. 188
A.4.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO
PROGRAMA DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO ............................................. 196
12
1 INTRODUÇÃO
As vigas com aberturas sequenciais na alma são pouco utilizadas no Brasil,
entretanto são bastante empregadas em outros países. As vigas são denominadas
vigas celulares quando as aberturas possuem formato circular e vigas casteladas
quando as aberturas tem a forma de hexágonos ou octógonos.
Os perfis alveolares de aço geralmente são originados de perfis laminados tipo “I” ou
“H”, nos quais são efetuados um ou dois cortes em ziguezague ao longo da alma,
dependendo do padrão adotado, castelado ou celular. As duas metades obtidas são
então defasadas e soldadas entre si. Como resultado obtém-se uma viga cerca de
50% mais alta, sem acréscimo de peso ao perfil, que possui maior capacidade
resistente à flexão decorrente do aumento do momento de inércia e da rigidez à
flexão da seção transversal. Além da eficiência estrutural juntamente com a
economia de aço, as vigas alveolares também oferecem vantagens arquitetônicas e
de interatividade com as instalações.
O dimensionamento das estruturas em geral, se dá por meio de processos iterativos,
com base em uma geometria inicial estabelecida pelo projetista. Em seguida são
feitas as verificações de resistência e comparadas com as solicitações atuantes para
decidir se a solução adotada é satisfatória, ou se uma nova geometria deverá ser
verificada. Com isso, o tempo de projeto torna-se longo e não há garantias de que a
solução encontrada é a melhor solução do problema.
Dessa forma faz-se necessário o emprego de técnicas de otimização, juntamente
com a programação computacional, para sistematizar e encontrar a melhor solução
para os problemas de dimensionamento estrutural. Essa técnica utiliza uma função
objetivo em que se pretende encontrar a solução ótima (como o custo, o peso, a
área da seção transversal ou qualquer outro parâmetro desejado), podendo as
variáveis relacionadas a essa função terem restrições ou não. A otimização pode ser
aplicada em diversas situações ou problemas que se deseja obter o desempenho
máximo. Por isso, esses métodos aplicados no dimensionamento de estruturas
também são válidos e trazem benefício comprovado na busca de melhores
resultados.
13
1.1 JUSTIFICATIVAS
Com a automatização dos processos de corte e solda, as vigas alveolares de aço
tornaram-se uma alternativa construtiva que concilia ganho de resistência com
diminuição do peso próprio da estrutura.
Atualmente, diversos estudos sobre o comportamento estrutural de vigas alveolares
vêm sendo desenvolvidos, no entanto, essas vigas ainda não possuem prescrições
normativas específicas. No mercado já estão disponíveis ábacos e softwares de
dimensionamento fornecidos por fabricantes das vigas, porém os perfis ainda devem
ser escolhidos por meio de tentativas, e abrangem um número restrito de soluções
construtivas.
Desta forma, o presente trabalho poderá contribuir para que o dimensionamento de
vigas alveolares de aço seja realizado de forma automatizada, visando à redução do
peso próprio da estrutura e a melhor combinação de perfil e linha de corte, para
cada situação de projeto.
1.2 OBJETIVOS
Nesta seção definem-se os objetivos gerais e os objetivos específicos tratados neste
texto.
1.2.1 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo geral estudar os processos de otimização mais
apropriados para o dimensionamento estrutural de vigas alveolares de aço, bem
como aprofundar o estudo do dimensionamento das mesmas.
1.2.2 Objetivos específicos
Podem ser destacados os objetivos específicos deste trabalho que são:
14
Elaborar um estudo sobre o dimensionamento de estruturas alveolares de
aço, dando ênfase às vigas celulares e verificando os possíveis estados
limites aplicáveis;
Fazer um estudo dos diferentes métodos de otimização conhecidos para
determinar qual o mais adequado ao problema estudado;
Desenvolver um programa computacional de otimização de vigas alveolares
de aço na plataforma Matlab.
Definir e resolver exemplos de otimização de vigas alveolares de aço;
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
No Capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica do histórico, do processo de
fabricação das vigas alveolares, as vantagens e desvantagens de sua aplicação,
suas características geométricas e os modos de prevenção de colapso.
No Capítulo 3 é mostrada a origem dos modos de colapso existentes nas vigas
alveolares e também é realizada a descrição do processo de dimensionamento de
vigas casteladas e celulares com base nos estudos analíticos feitos por Cimadevila
(2000), Abreu (2011), Silveira (2011) e Veríssimo (2012) seguindo as prescrições da
ABNT NBR 8800:2008.
No Capítulo 4 é realizado um estudo sobre os tipos de otimização disponíveis para
melhor escolha do tipo a ser utilizado para o desenvolvimento do trabalho.
No Capítulo 5 é apresentada a formulação do problema de otimização envolvendo
as vigas alveolares de aço, apontando a função objetivo e restrições técnicas que
irão delimitar o problema.
No Capitulo 6 é realizada a validação do programa computacional, com base em
exemplos resolvidos manualmente, comparação com outros programas de
computador e estudos realizados por outros pesquisadores.
15
No Capítulo 7 é realizada uma análise comparativa dos resultados obtidos por meio
do programa de dimensionamento e otimização desenvolvidos, verificando a eficácia
do processo de otimização. Também é feita uma análise dos modos de colapso que
mais aparecem como restrição ativa durante o processo de otimização de vigas
alveolares de aço.
O Capítulo 8 apresenta as conclusões finais e as considerações sobre o programa
de dimensionamento e otimização desenvolvido e sugestões para trabalhos futuros.
16
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo serão apresentados os conceitos básicos sobre vigas alveolares de
aço incluindo suas características geométricas, evolução histórica, seu processo de
fabricação e modos de prevenção de colapso. Também serão enumeradas as
vantagens e desvantagens dessa técnica construtiva.
2.1 HISTÓRICO
O desenvolvimento das vigas alveolares de aço, na década de 1920, está ligado à
evolução do processo de solda elétrica na construção de aço. Um dos primeiros
empreendimentos a utilizar vigas de aço alveolares, foi realizado na década de
1930, pela fábrica Skoda, em Pilsner, na República Tcheca, a fim de servir como
vigas de telhado para vãos de 12 metros em uma fábrica em Doudlevec
(GRUNBAÜER, 2016).
Outro registro afirma que as vigas alveolares de aço foram idealizadas por Geoffrey
Murray Boyd, que solicitou patente das vigas alveolares de aço em 1937. O primeiro
projeto desenvolvido por Boyd foi em 1935, para uma construção em Buenos Aires
na Argentina. Esse projeto necessitava de vigas que vencessem grandes vãos, e
como não havia disponibilidade de perfis com as dimensões necessárias, Boyd teve
a ideia de realizar um corte longitudinal na alma da viga, sobrepor as partes, e soldá-
las a fim de aumentar a altura útil do perfil. Apenas em 1939 a patente foi
reconhecida, e nela as vigas alveolares de aço são definidas como vigas obtidas a
partir de perfis de aço cortados de forma sinuosa ou na forma de dentes com suas
metades soldadas de modo a obter perfis com maior altura. Porém, devido aos altos
custos de produção e à segunda guerra mundial, a comercialização de vigas
casteladas tornou-se inviável, Assim, os direitos da patente foram cedidos para a
United Steel Companies Limited. Essa patente expirou há muitos anos, o que
permitiu a produção de vigas alveolares por qualquer fabricante de estruturas de aço
(KNOWLES, 1991).
No final da década de 1970 existiam tecnologias que permitiram a automatização
total do processo de fabricação das vigas alveolares de aço. A utilização de
computadores no meio de produção permitiu, com qualidade e rapidez, que as vigas
17
casteladas fossem cada vez mais difundidas em projetos estruturais em aço,
possibilitando também o desenvolvimento das vigas celulares, que possuem
aberturas circulares, conforme mostra a Figura 2.1 (GRUNBAUER, 2016).
Figura 2.1 - Processo de corte automatizado na fabricação de vigas celulares
Fonte: Disponível em: <http://sections.arcelormittal.com/library>. Acesso em: 03 mar. 2016
De acordo com Paiva (2009), durante a década de 1970, as vigas de aço casteladas
eram bastante utilizadas no Brasil devido à pouca disponibilidade de peças com
alturas maiores, uma vez que eram produzidos apenas perfis laminados de abas
inclinadas. Com a inserção de perfis soldados no mercado nacional, as vigas
alveolares de aço ficaram esquecidas, e só voltaram ao mercado em 2002, quando a
Gerdau Açominas passou a produzir perfis laminados com abas paralelas.
Cimadevilla (2000) aborda em sua obra um desenvolvimento teórico sobre os
aspectos de cálculo, para esforços resistentes e para o cálculo de deformações.
Estabelecendo equações consistentes para o dimensionamento das vigas alveolares
de aço.
Erdal et al. (2011) realizaram um estudo sobre a capacidade última de carregamento
de vigas de aço celulares otimamente dimensionadas. Foram feitos ensaios em
protótipos de vigas celulares variando as dimensões dos perfis de aço. Para isso
utilizou-se o método de dimensionamento da norma britânica BS 5920 (2000) e
como procedimento de otimização foi realizada a procura harmônica.
Adicionalmente, foi usado o método de elementos finitos para simular os resultados
18
experimentais e investigar os modos não lineares de colapso como a flambagem do
montante da alma e o mecanismo Vierendeel.
Bezerra (2011) propôs um procedimento para a determinação do momento fletor
resistente nominal de vigas casteladas, de padrão Peiner e anglo saxônico, para o
estado-limite último de flambagem lateral com torção, para os casos em que as vigas
possuem vínculo de garfo (empenamento livre e torção impedida) nas extremidades
e estejam submetidas a momento uniforme, a carga uniformemente distribuída e a
carga concentrada na seção central.
Abreu (2011) obtêm em seu estudo o momento fletor resistente à flambagem lateral
com torção de vigas celulares, duplamente simétricas, biapoiadas, através do
método dos elementos finitos utilizando o programa ABAQUS/CAE versão 6.7, ano
2007. A análise numérica considera a não-linearidade do material, o efeito das
tensões residuais e a não-linearidade geométrica do elemento estrutural. Os
resultados da análise são comparados com os momentos fletores resistentes obtidos
para as vigas originais de alma cheia (perfil I laminado) e com os obtidos de vigas
hipotéticas de alma cheia de mesma altura das celulares. Além disso, os resultados
são comparados com os obtidos por um método de cálculo em que se usa o
procedimento da ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia em conjunto com
a recomendação da British Standard BS 5950-1:2000. Este método consiste na
aplicação das expressões de cálculo para vigas de perfil “I”, porém considerando as
propriedades geométricas da seção transversal da viga celular no centro da abertura
da alma. A precisão do método é validada e algumas considerações práticas para
determinação do momento resistente da viga celular são apresentadas.
Silveira (2011) realizou uma análise numérica para avaliar o comportamento de
vigas alveolares de aço enfatizando os modos de colapso por plastificação. Em seu
trabalho foram desenvolvidos modelos numéricos para vigas alveolares obtidas a
partir de perfis brasileiros, para a observação dos modos de colapso e do
carregamento último. De acordo com Silveira (2011) os resultados da análise
numérica permitiram identificar situações para as quais foi possível modificar
algumas expressões de cálculo ou propor novas expressões para a verificação do
desempenho estrutural de vigas casteladas e celulares.
19
Oliveira (2012) desenvolve em seu trabalho critérios e procedimentos para o pré-
dimensionamento de vigas alveolares de aço, apresentando uma serie de exemplos
de aplicação dos critérios e procedimentos propostos, para diversas situações
possíveis nas estruturas de edificações estruturadas em aço.
Veríssimo (2012) elabora um estudo analítico-numérico generalizado objetivando
reavaliar o comportamento de vigas alveolares com variadas geometrias, incluindo
as obtidas a partir dos perfis I laminados produzidos no Brasil a partir de 2002,
propor um procedimento para dimensionamento dessas vigas.
Sonck e Belis (2015) estudaram o comportamento das vigas celulares de aço em
relação à flambagem lateral com torção, utilizando um modelo numérico validado
com base em resultados experimentais. Neste modelo, o efeito do estresse residual
foi levado em consideração. Utilizando os resultados do estudo paramétrico, propôs-
se uma abordagem de projeto preliminar.
2.2 FABRICAÇÃO DAS VIGAS DE AÇO ALVEOLARES
As vigas alveolares de aço são feitas a partir de perfis com seção I ou H. No Brasil
são utilizados os perfis laminados de abas paralelas, fabricados pela Gerdau
Açominas, onde são realizados cortes longitudinais na alma em formatos pré-
estabelecidos. Após o corte, as duas metades são defasadas uma em relação à
outra, em meio passo, e por fim são soldadas pelo eixo, originando vigas com
aberturas sequenciais na alma de mesmo peso, porém com maior inércia (PAIVA,
2009).
2.2.1 Vigas Casteladas
Na confecção de vigas casteladas é realizado um corte em formato de ziguezague
trapezoidal, o corte é simétrico em relação ao eixo longitudinal do perfil, resultando
em vigas com aberturas sequenciais hexagonais conforme mostra a Figura 2.2.
Essas vigas receberam o nome de vigas casteladas devido a sua semelhança com
as ameias das muralhas dos castelos. O processo de produção automatizado
20
permite que as perdas de material se limitem apenas às rebarbas provenientes do
deslocamento das peças nas extremidades.
Figura 2.2 - Esquema de corte e montagem de uma viga castelada com chapa expansora
(a) (b)
Fonte: Disponível em: <www.grunbauer.nl>. Acesso em: 03 mar. 2016.
Em certos casos, são utilizadas pequenas chapas incorporadas à viga, entre as
duas partes, denominadas chapas expansoras (Figura 2.2 (b)). Desse modo a viga
passa a ter aberturas octogonais, e com o aumento na altura da viga, há também
ganho de rigidez, além de permitir a passagem de dutos e tubulações de maiores
diâmetros.
2.2.2 Vigas Celulares
Para a confecção de vigas celulares, é necessária a execução de duas linhas de
corte, sendo cada corte constituído por módulos contínuos formados por uma
semicircunferência seguida de um pequeno segmento reto (Figura 2.3). O processo
resulta em uma viga com uma pequena redução de massa, e aumento significativo
da capacidade resistente à flexão devido ao aumento de até 60% da altura da seção
transversal.
21
Figura 2.3 - Esquema de corte e montagem de uma viga celular
Fonte: Disponível em: <http://sections.arcelormittal.com/library>. Acesso em: 03 mar. 2016
2.2.3 Outros tipos de vigas alveolares
Devido ao avanço tecnológico e às maquinas de corte com comando numérico
computadorizado foi possibilitada a criação de diversos tipos de cortes, criando uma
infinidade de possibilidades no que diz respeito à geometria das aberturas (Figura
2.4), às variações de altura ao longo da viga (Figura 2.6) e às curvaturas das vigas
alveolares (Figura 2.5).
Figura 2.4 - Diversas tipologias de vigas alveolares
Fonte: Silveira (2011)
22
Figura 2.5 – Viga alveolar com curvatura
Fonte: Disponível em: <www.grunbauer.nl>. Acesso em: 03 mar. 2016.
Figura 2.6 – Viga alveolar com inércia variável
Fonte: Disponível em: <http://www.steelconstruction.info/images>. Acesso em: 3 mar. 2016
2.3 VANTAGENS E DESVANTAGENS
De acordo com Paiva (2009), as vigas alveolares possuem as seguintes vantagens:
Mais resistentes e menos sensíveis a deformações, as vigas alveolares
podem ter uma altura até 50% maior que seu perfil de origem,
consequentemente, possuem maior momento de inércia em relação ao plano
de flexão, suportando cargas maiores ou atingindo vãos livres mais extensos,
sem aumento de peso.
23
Por ser mais leve que uma viga de alma cheia de mesma altura, as vigas
alveolares possibilitam uma redução do peso médio da estrutura. Entretanto
uma avaliação de custos deve ser feita levando em consideração o tempo
adicional para a confecção, os custos de corte, solda e montagem da viga
alveolar, em comparação a uma viga laminada equivalente disponível no
mercado.
Apesar de mais altas que as vigas laminadas originais, as vigas alveolares
possuem aberturas significativas na alma, possibilitando a passagem da
maior parte dos dutos e tubulações por dentro da própria viga,
consequentemente reduzindo pé direito dos pavimentos.
Por permitirem maiores vãos livres, o número de pilares e fundações pode ser
reduzido. No entanto, é necessário avaliar a melhor situação vão livre/número
de bases em relação ao desempenho estrutural.
Entretanto, algumas restrições ao emprego de vigas alveolares são apontadas
Grünbauer (2016):
Ao optar pela utilização de vigas em balanço ou contínuas, na região dos
apoios, onde há uma combinação de altos valores de esforço cortante e
momento fletor, as vigas alveolares são mais suscetíveis aos modos de
colapso provenientes da combinação destes esforços, fazendo necessário o
fechamento das aberturas nas seções mais solicitadas.
Outra desvantagem é o fato de elas serem menos resistentes a temperaturas
elevadas, como em situações de incêndio. O dimensionamento das vigas
alveolares quanto à resistência ao fogo sugere que elas sejam cerca de 20%
mais espessas para atingir o mesmo módulo de resistência que uma viga
convencional com as mesmas dimensões.
2.4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS
A determinação das características geométricas das seções alveolares de aço é um
fator essencial no dimensionamento de vigas com aberturas sequenciais na alma.
24
Também são pouco comuns, as empresas fabricantes de vigas alveolares de aço
apresentarem catálogos com as dimensões da seção transversal de cada perfil.
Os elementos associados às vigas alveolares de aço e sua seção transversal estão
representados na Figura 2.7 e Figura 2.8 e, na sequência, são apresentadas as
expressões definidas por Silveira (2011) para o cálculo das propriedades da seção
transversal, Equações 2.1 a 2.11.
Figura 2.7 – Propriedades geométricas da seção transversal das vigas alveolares
Fonte: Adaptado de Veríssimo et al., 2012
Figura 2.8 - Propriedades das vigas alveolares
Fonte: Autora
dg = k. d + 2b (2.1)
h0 = 2[d(k − 1) + b] = D0 (2.2)
25
ht = dg − h0
2, para vigas casteladas;
ht =d − a
2, para vigas celulares.
(2.3)
a = d(k − 1), para vigas casteladas;
a =D0
2, para vigas celulares.
(2.4)
At = tw(ht − tf) + bftf (2.5)
y0 =h0
2+ ht − y̅
(2.6)
y̅ =bftf
2 + ht2tw − tf
2tw2(bftf + httw − tftw)
(2.7)
Wx0 =4 y0
2 At
dg (2.8)
Zx0 = 2Aty0 (2.9)
Ix0 = 2(It + Aty0
2) (2.10)
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf2)
2
+tw(ht − tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht + tf2
)2
(2.11)
Onde:
a é a altura do lado inclinado em aberturas hexagonais ou octogonais;
a0 é a maior largura do alvéolo;
At é a área da seção transversal de um cordão;
b é metade da altura da chapa de expansão;
bf é a largura da mesa;
bw é a menor largura do montante de alma;
d é a altura do perfil original;
26
D0 é o diâmetro do alvéolo (no caso de alvéolo circular);
dg é a altura total do perfil alveolar;
h0 é a altura do alvéolo;
ht é a altura do cordão;
It é o momento de inércia de um cordão em relação ao seu eixo baricêntrico;
Ix0 é o maior momento de inércia da seção vazada;
k é a razão de expansão do perfil alveolar;
Mpl é o momento de plastificação da viga na seção do alvéolo;
p é o passo (distância entre os centros de alvéolos adjacentes);
tf é a espessura da mesa;
tw é a espessura da alma;
y0 é a distância do centro de gravidade do cordão ao eixo da viga;
ya é a distância do centro de gravidade do cordão à borda superior do alvéolo;
y̅ é a distância do centro de gravidade do cordão à face externa da mesa
superior;
Wx0 é o módulo resistente elástico da seção vazada;
Zx0 é o módulo resistente plástico da seção vazada.
2.4.1 Vigas casteladas
Alguns padrões de vigas casteladas foram consagrados pelo uso nos mercados
europeu e americano em décadas passadas. Esses padrões buscam geometrias
ótimas de acordo com os equipamentos de corte, os tipos de perfis disponíveis na
época, e com as considerações sobre os modos de colapso.
27
Figura 2.9 – Viga de aço castelada
Fonte: Disponível em: <www.gunungsteel.com/>. Acesso em: 04 mar. 2016
2.4.1.1 Padrão Litzka
O padrão Litzka (Figura 2.10) foi desenvolvido por Hubert Litzka, e é caracterizado
por apresentar aberturas hexagonais regulares e proporções relacionadas com o
passo, sendo dividido em seis partes iguais. O ângulo interno em vigas com padrão
Litzka é de 60° e a razão de expansão mais comum é de 1,4.
Figura 2.10 – Geometria do padrão Litzka
Fonte: Autora
2.4.1.2 Padrão Peiner
O padrão Peiner, representado na Figura 2.11, é similar ao padrão Litzka, no entanto
o alvéolo não é um hexágono regular. Neste padrão a altura (h0) e a largura (a0) do
alvéolo são iguais, resultando num ângulo interno de 63,4°. De forma similar ao
padrão Litzka, as dimensões estão relacionadas ao passo.
28
Figura 2.11- Geometria do padrão Peiner
Fonte: Autora
2.4.1.3 Padrão Anglo-Saxão
Neste padrão, as aberturas apresentam um ângulo interno de aproximadamente 60°,
e as proporções são tomadas de forma que o passo tenha um valor, considerado
ótimo de 1,08d (Figura 2.12). O padrão Anglo-Saxão foi difundido no reino Unido e
está descrito na BS 5950:2000.
Figura 2.12 Geometria do padrão Anglo-Saxão
Fonte: Autora
Segundo Dougherty (1993) apud Demirdjian (1999), no padrão Anglo-Saxão, o valor
do passo foi ajustado de modo que a largura do montante seja suficiente para não
ocorrer rompimento da solda, e ao mesmo tempo, pequena a fim de evitar a
formação de mecanismo plástico nos cordões.
29
2.4.2 Vigas celulares
Nas vigas celulares existe uma maior flexibilidade para variar o espaçamento entre
as aberturas quando comparadas às vigas casteladas, uma vez que não há uma
interdependência entre a dimensão dos alvéolos e a largura do montante. Portanto é
comum que seja dada preferência ao padrão circular com alvéolos de grandes
diâmetros em locais onde a solicitação é baixa como em coberturas e passarelas
(Figura 2.13).
Figura 2.13 - Simbologia relacionada às dimensões dos elementos das vigas celulares
Fonte: Autora
Com a possibilidade de variar o tamanho dos alvéolos, assim como o espaçamento,
a viga celular é mais flexível quanto à aplicação, permitindo configurar vigas mais
apropriadas para coberturas ou sistemas de piso. Também há uma maior liberdade
de projeto, permitindo definir a posição dos alvéolos visando reduzir detalhes
construtivos associados às ligações.
No catálogo da ArcelorMittal são apresentadas diferentes razões de expansão e
correlações entre D0/d e p/D0 para sistemas de piso e para sistemas de cobertura.
Estas relações estão resumidas na Tabela 2.1.
Tabela 2.1- Relações propostas para vigas celulares
Sistemas de Piso Sistemas de Cobertura
K 1,3 a 1,4 1,4 a 1,6
D0/d 0,8 a 1,1 1,0 a 1,3
p/D0 1,2 a 1,7 1,1 a 1,3 Fonte: Oliveira et al. (2012)
30
Oliveira (2012) verificou por meio de desenho digital que algumas combinações
entre estes valores se mostram inviáveis sob o ponto de vista da fabricação (Figura
2.14). Outros padrões poderiam acarretar em uma grande perda de aço devido ao
perfil original usado na fabricação (Figura 2.15).
Figura 2.14 – Exemplo de um caso inviável sobre o ponto de vista da fabricação.
Fonte: Oliveira 2012
Figura 2.15 – Exemplo de um caso com perda maior de aço na fabricação.
Fonte: Oliveira 2012
Buscando garantir que as combinações de k, D0/d e p/D0 sejam possíveis de
fabricação, foram estabelecidas as correlações expostas nas Equações 2.12 a 2.17:
μ =D0
d (2.12)
𝜂 =
𝑝
𝐷0 (2.13)
bw = D0 (η − 1)
(2.14)
he0 = √(D0
2)2
− (bw
2)2
(2.15)
dg = d + he0
(2.16)
31
k =dg
d (2.17)
2.5 MÉTODOS DE PREVENÇÃO DE COLAPSO
Existem situações em que as aberturas na alma das vigas alveolares podem
comprometer sua estabilidade. Nos alvéolos próximos a regiões onde as solicitações
comprometem a estabilidade da viga, é comum a utilização de alguns recursos
buscando evitar o surgimento de determinados modos de colapso
(ARCELORMITTAL, 2014).
2.5.1 Fechamento das aberturas com chapa
Em pontos onde a viga está sujeita a elevadas cargas concentradas, como no caso
dos apoios e na ligação com outras vigas, ou por motivos de segurança contra
incêndio, pode ser necessário o fechamento de algumas aberturas (Figura 2.16).
Este enchimento é realizado pela soldagem de uma placa de aço com espessura
escolhida de acordo com as tensões locais (ARCELORMITTAL, 2014).
Figura 2.16 - Fechamento total na região de apoio
Fonte: Disponível em: <http://sections.arcelormittal.com/library>. Acesso em: 03 mar. 2016
32
2.5.2 Enrijecimento dos alvéolos
Em situações onde não é possível realizar o fechamento das aberturas por motivos
arquitetônicos, ou há a necessidade de furos alongados próximos aos apoios, o
enrijecimento da seção pode ser realizado através da inserção de um aro soldado,
geralmente com a mesma espessura da mesa, no perímetro do alvéolo (Figura
2.17). Devido aos altos custos de produção esta solução só é utilizada em situações
onde é indispensável.
Figura 2.17 - Viga castelada com enrijecimento dos alvéolos
Fonte: Mendonça (2014)
2.5.3 Enrijecimento do montante da alma
Com o aumento da altura útil da viga, o montante de alma torna-se mais vulnerável à
flambagem. Eventualmente faz-se necessário o enrijecimento do montante da alma
em alguns pontos da viga. O enrijecimento pode ser feito pela soldagem do
enrijecedor no montante ou na borda dos alvéolos próximos às seções criticas
(Figura 2.18).
Figura 2.18 - Enrijecimento do montante de alma e das bordas dos alvéolos circulares
Fonte: Disponível em: <http://sections.arcelormittal.com/library>. Acesso em: 04 mar.2016
33
2.5.4 Absorção de cargas concentradas
Quando há aplicação de cargas concentradas na região alveolar pode ocorrer
plastificação da viga na seção solicitada. Por este motivo, um método simples e
eficaz de evitar essa ocorrência é a soldagem de chapas enrijecedoras acima e
abaixo da abertura (Figura 2.19).
Figura 2.19 - Enrijecimento acima e abaixo do alvéolo crítico
Fonte: Disponível em: <http://sections.arcelormittal.com/library>. Acesso em: 04 mar.2016
2.6 MODOS DE COLAPSO
A presença de aberturas sequenciais na alma provoca variações no comportamento
estrutural destas vigas em relação às vigas de alma cheia. Além dos modos de
colapso presentes nas vigas de alma cheia, o aumento da esbeltez da viga
resultante do aumento da altura total cria novos modos de colapso. Podem ser
observadas mudanças na distribuição de tensões e nos deslocamentos devido à
mudança periódica da seção transversal. A alma fica mais suscetível a fenômenos
de instabilidade com a borda livre dos alvéolos.
2.6.1 Formação de mecanismo plástico
O mecanismo plástico, também chamado de mecanismo Vierendeel, consiste na
formação de rótulas plásticas nos cantos da abertura devido à presença de altos
valores de esforço cortante. Quando há a formação deste mecanismo, as aberturas
sofrem uma distorção, e se deformam em forma de um paralelogramo na zona
crítica da viga. Este mecanismo é encontrado principalmente em combinações de
34
vãos curtos com aberturas mais alongadas e em vigas cujos cordões possuem
pequena atura (Figura 2.20).
Figura 2.20- Formação do mecanismo Vierendeel em vigas celular mista
Fonte: Durif et al. (2012)
2.6.2 Formação de rótula plástica
A formação de rótula plástica ocorre quando acontece simultaneamente o
escoamento do cordão inferior por tração e do cordão superior por compressão. De
acordo com Bezerra (2011), o momento resistente da seção solicitada em relação a
este modo de colapso é igual ao momento de plastificação no centro da abertura,
encontrado pelo produto entre modulo resistente plástico da seção vazada e a
resistência ao escoamento do aço (Mpl = Zx0fy).
2.6.3 Ruptura da solda e escoamento do metal base entre as aberturas
Conforme Silveira (2011), quando se reduz o comprimento da abertura (𝑎0) com o
objetivo de evitar a formação de mecanismo plástico, pode ocorrer a ruptura na
região da solda. No entanto Toprac e Cooke (1959) demonstraram por meio de
ensaios que é comum este modo resultar numa deformação no entorno da solda
sem que haja um ruptura propriamente dita da seção.
35
Figura 2.21 - Colapso da solda entre aberturas
Fonte: Tsavdaridis e D’mello (2011)
2.6.4 Flambagem do montante de alma devido ao cisalhamento
A flambagem do montante da alma por cisalhamento é proveniente de uma
combinação de esforços quando se faz um recorte do quadro de uma viga.
Conforme ilustrado na Figura 2.22.
Figura 2.22 - Flambagem do montante de alma devido ao cisalhamento
Fonte: Adaptado de Bezzerra (2011)
O esforço cortante que atua ao longo da solda provoca um momento no montante da
alma, equilibrado pela força cortante V/2 atuante nos cordões. Deste modo a face
AB está submetida à tração enquanto a face CD está comprimida. Esse modo de
colapso é caracterizado pelo giro em torno do eixo xx’. (BEZERRA, 2011).
2.6.5 Flambagem lateral do montante de alma devida à compressão
Foi observado por Kerdal e Nethercot (1984), que a flambagem lateral do montante
de alma devida à compressão ocorre nos pontos de aplicação de carga
concentradas ou nos apoios, ou seja, onde o montante se comporta como um
36
elemento axialmente comprimido. Neste tipo de flambagem, o montante sofre um
deslocamento para fora do plano da viga, mas não ocorre torção (VIEIRA, 2014).
Figura 2.23 - Flambagem por compressão do montante da alma
Fonte: Erdal et al. (2011)
2.6.6 Flambagem lateral com torção
Segundo o estudo realizado por Abreu (2011), as vigas alveolares possuem
comportamento similar ao das vigas de alma cheia na flambagem lateral com torção.
Figura 2.24 – Flambagem lateral com Torção
Fonte: Erdal et al. (2011)
37
3 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ALVEOLARES
3.1 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS
Por se tratar de um elemento estrutural ainda pouco utilizado no mercado nacional,
as vigas alveolares de aço não possuem um padrão de dimensionamento
estabelecido pelas normas. Entretanto, no Anexo I da ABNT NBR 8800:2008 são
apresentadas condições às quais o dimensionamento deve estar submetido:
i. Devem ser levados em conta no dimensionamento de vigas de aço e de vigas mistas de aço e concreto os efeitos das aberturas na alma dos perfis.
ii. No dimensionamento, devem ser verificados os estados-limites últimos e de serviço aplicáveis, considerando a influência das aberturas nas almas das vigas e de eventuais reforços dessas aberturas. Deve ser usado um método que se baseie em princípios reconhecidos da engenharia de estruturas. [...]
3.2 CONSIDERAÇÕES PRÉVIAS PARA O DIMENSIONAMENTO
Por se tratar de um tipo de estrutura com pouca bibliografia disponível, Cimadevilla
(2000) sugere uma avaliação rigorosa e precisa. Os cálculos apresentados são
baseados em estudos publicados por Delesques (1969) que considera algumas
simplificações consagradas pela experiência e avaliadas por estudos experimentais.
Segundo Silveira (2011), estas simplificações originam-se das seguintes
propriedades:
A seção transversal da viga possui dupla simetria;
os cordões superior e inferior possuem seções iguais;
as seções dos cordões e montantes se mantêm constantes em todo o
comprimento da viga.
A primeira simplificação faz uma analogia entre o comportamento de uma viga
alveolar e uma viga Vierendeel com cargas concentradas nos nós superiores.
Por se tratar de um caso de hiperestaticidade múltipla em que a análise rigorosa
38
é trabalhosa, Cimadevilla (2000) buscou simplificar o problema propondo as
hipóteses:
A força cortante entre montantes consecutivos é constante e possui
mesma intensidade nos cordões superior e inferior;
Há uma variação linear do momento fletor entre os montantes, e
apresenta mesma magnitude em ambos os cordões;
No centro de cada trecho entre dois montantes consecutivos, há um ponto
de inflexão, onde o momento fletor é nulo.
Como consequência dessas hipóteses, o equilíbrio em um dos quadros, permite
estabelecer que no montante, o esforço cortante será de valor constante e o
momento fletor irá variar linearmente e será nulo em seu ponto médio.
Adotando todas estas simplificações, uma viga alveolar é convertida em uma viga
Vierendeel com articulações no centro dos montantes dos cordões de cada quadro,
permitindo que a análise seja feita de forma análoga a de uma treliça isostática,
onde os nós coincidem com as seções de momento nulo conforme mostra a Figura
3.1 (SILVEIRA 2011).
Figura 3.1- Analogia de viga Vierendeel para vigas alveolares
Fonte: Veríssimo et al. (2012)
39
Para efeito de cálculo o carregamento é lançado como cargas concentradas
aplicadas nos nós do banzo superior da viga fictícia. O modelo adotado por
Cimadevilla (2000) apresenta valores bastante confiáveis nas zonas críticas.
3.3 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS APLICÁVEIS
Nesta seção definem-se os estados limites últimos a ser verificados para o
dimensionamento de vigas alveolares de aço.
3.3.1 Formação de mecanismo Vierendeel
A notável descontinuidade na alma é, sob o ponto de vista estrutural, a característica
mais relevante para o dimensionamento sendo uma região suscetível à plastificação
da viga.
Para fazer uma análise das forças atuantes nos cordões, podem-se isolar os
elementos situados entre duas rótulas virtuais consecutivas, como demonstrado na
Figura 3.2.
Figura 3.2 - Elementos adotados para análise de tensões na seção transversal de uma viga castelada
Fonte: Veríssimo et al. (2012)
Um estudo detalhado das tensões na seção 1, indicada na Figura 3.2 e na Figura
3.3 é apresentado neste item. Nessa seção o perfil apresenta a menor área de
40
seção transversal e está sujeito a tensões normais provocadas pelo momento fletor
(M) e tensões de cisalhamento originadas pela força cortante (V).
O estudo realizado por Silveira (2011) mostra que no regime elástico, a tensão
normal (σM) originada pelo momento fletor sofre variação com a distância y entre a
fibra solicitada e a linha média da seção e pode ser calculada da forma a seguir:
σM =M
Ix0y (3.1)
Onde Ix0 é o momento de inércia na seção 1.
Figura 3.3 - Forças atuantes no alvéolo de uma viga castelada
Fonte: Veríssimo et al. 2012
Da equação 3.1, temos:
σM =
M
Ix0∙dg
2=
M
Wx0≤ fy (3.2)
Onde Wx0 é o módulo resistente elástico na seção 1.
Como a seção resistente é admitida em seções onde os cordões possuem pequena
altura, ou seja, ht é muito menor que 𝑑𝑔, é possível aproximar a distribuição de
tensões normais na seção para um valor constante. Esta hipótese foi comprovada
por Halleux (1966) para aproximações em escala real e escala reduzida, admitindo
41
que a força resulte do esforço normal que age no centro de gravidade dos cordões e
é equivalente a 𝑀/(2𝑦0), sendo 2𝑦0 o braço de alavanca do binário provocado pelo
momento.
σM =
M
2y0∙1
At=
M
Zx0≤ fy (3.3)
Onde 𝑍𝑥0 é o modulo resistente plástico na seção 1.
Quando ocorre a plastificação total da seção de aço, 𝜎𝑀 = 𝑓𝑦 e 𝑀 = 𝑀𝑝𝑙, sendo 𝑀𝑝𝑙,
o momento fletor de plastificação da seção.
Ao comparar as Equações 3.2 e 3.3, desprezando a possível influência das tensões
de cisalhamento devidas ao esforço cortante, é possível avaliar o ganho de
capacidade resistente que se consegue ao admitir a plastificação total da seção.
Segundo a hipótese da distribuição variável de tensões, temos:
M
fyWx0≤ 1 (3.4)
Neste ponto é feita uma aproximação para o cálculo do modulo resistente elástico da
seção na zona do alvéolo, desconsiderando a própria inércia da seção. E, segundo a
hipótese da distribuição uniforme de tensões (HALLEUX, 1966) temos:
M
fyZx0≤ 1 (3.5)
Isolando os momentos resistentes de cada equação, é possível relacioná-los por
meio da expressão:
Zx0
Wx0=
2y0At
Wx0 (3.6)
Onde: Wx0 =
2y02At
dg
2
=4y0
2At
dg (3.7)
42
Substituindo 3.7 em 3.6 e simplificando, temos:
Zx0
Wx0=
dg
2y0= 𝐾 > 1 (3.8)
A simplificação realizada despreza a própria inércia dos cordões e, de acordo com
Cimadevilla (2000), a diferença encontrada ao utilizar a expressão simplificada
(Equação 3.8) e a expressão exata é inferior a 1%.
Mendonça (2014) realizou uma comparação gráfica entre os módulos resistentes
dos perfis laminados de seções I e H produzidos pela Gerdau Açominas de acordo
com as hipóteses apontadas por Cimadevilla (2000). Essa comparação é mostrada
na Figura 3.4.
Figura 3.4 - Variação dos módulos resistentes dos perfis castelados a partir de perfis I e H laminados tipos W e HP fabricados pela Gerdau Açominas.
Fonte: Mendonça (2014)
Na Figura 3.6 é indicada a diferença, que varia entre 5,5% e 8,8%, entre o módulo
plástico e o elástico.
Ao admitir uma distribuição variável de tensões normais, a tensão máxima ocorre
nos pontos mais distantes da linha neutra da seção (pontos A da Figura 3.2). A
tensão cisalhante é nula nestes pontos, portanto a verificação do momento fletor
deve ser feita separadamente da verificação ao esforço cortante, utilizando a
Equação 3.2.
43
Figura 3.5 - Relação entre os módulos resistentes a partir dos perfis I e H laminados tipos W e HP fabricados pela Gerdau Açominas.
Fonte: Mendonça (2014)
Neste caso a verificação do cortante será efetuada pela expressão:
τmáx =
𝑉𝑚á𝑥
𝐴𝑤 ≤ 0,6𝑓𝑦 (3.9)
Onde 𝐴𝑤 é a área da alma, considerando que o esforço cortante máximo ocorre nos
apoios, onde o momento fletor é nulo.
No entanto a hipótese de distribuição constante de tensões normais pode conduzir a
tensões equivalentes mais altas, nas seções onde o momento máximo e o esforço
cortante assumem valores significativos.
Seja: σ =
M
Zx0=
𝑀
𝐾 ∙ 𝑊𝑥0=
𝑓𝑦
𝐾 (3.10)
quando a tensão elástica atinge o limite de escoamento.
Utilizando o critério de von Mises, tem-se:
√σ2 + 3τ2 ≤ 𝑓𝑦 (3.11)
44
Substituindo a Equação 3.10 na Equação 3.11, temos:
𝑓𝑦2
𝐾2+ 3𝜏2 ≤ 𝑓𝑦 ⇒ 𝜏 ≤
√𝐾2 − 1
𝐾√3∙ 𝑓𝑦 ≤
√𝐾2 − 1
𝐾∙ 𝜏𝑦 (3.12)
Onde:
τy =
fy
√3≅ 0,60𝑓𝑦
(3.13)
Como já foi exposto, o estudo realizado por Mendonça (2014) aponta que o valor da
razão K varia entre 5,5% e 8,5%. Deste modo, os limites de tensão de cisalhamento
são dados pelas seguintes expressões:
K = 1,055 ⇒ τ ≤ 0,32τy ≅ 18,4%fy (3.14)
K = 1,085 ⇒ τ ≤ 0,39τy ≅ 22,4%fy (3.15)
Esses resultados são importantes sob o ponto de vista qualitativo e indicam que
contanto que a tensão de cisalhamento máxima de cálculo não supere um valor que
oscila na faixa de 18,4% a 22,4% da tensão normal de cálculo, dependendo do
perfil, a seção 1 indicada na Figura 3.2 estará segura.
Outro fator relevante é o estudo da distribuição de tensões de cisalhamento nas
seções dos cordões (Figura 3.6).
Figura 3.6 - Elementos da seção transversal para o estudo da distribuição das tensões de cisalhamento na alma de um cordão da seção alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
45
Ao aplicar a fórmula de Zhuravskii (Equação 3.21) é possível concluir que a
distribuição de tensões cisalhantes na alma tem formato parabólico e obedece às
Equações 3.16, 3.17 e 3.18 como mostrado na Figura 3.7.
.Se 𝑠 = 0 ⇒ 𝜏 = 0 (3.16)
Se 𝑦𝑎 ≤ ℎ𝑡 − 𝑡𝑓 ⇒ 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉𝑦𝑎2
4𝐼𝑡 em 𝑠 = 𝑦𝑎 (3.17)
Se 𝑦𝑎 > ℎ𝑡 − 𝑡𝑓 ⇒ 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑉
4𝐼𝑡 (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)[2𝑦𝑎 − (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)] em 𝑠 = ℎ𝑡 − 𝑡𝑓 (3.18)
Figura 3.7 - Elementos da seção transversal para o estudo da distribuição das tensões na alma de um
cordão da seção alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
De forma similar é possível determinar o fluxo de tensões cisalhantes na mesa. A
distribuição de tensões segue um padrão linear e é dado pelas Equações 3.19 e
3.20.
Se 𝑠 = 0 ⇒ 𝜏 = 0 (3.19)
Se 𝑠 =𝑏𝑓
2 ⇒ 𝜏 =
𝑉
4𝐼𝑡(2𝑦𝑏 − 𝑡𝑓)
𝑏𝑓
2 (3.20)
46
Na Figura 3.8 é apresentada uma representação gráfica da distribuição de tensões
cisalhantes na seção de uma viga alveolar.
Figura 3.8 - Distribuição das tensões de cisalhamento no cordão da seção alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
De acordo com a fórmula de Zhuravskii (Equação 3.21) a tensão cisalhante é
proporcional à razão 𝑆𝑥∗/𝑏𝑦, onde 𝑆𝑥
∗ é o momento estático da região da seção
isolada pela normal à sua linha média, no ponto onde se pretende determinar a
tensão, e 𝑏𝑦 é a espessura da seção neste ponto.
𝜏 =
𝑉𝑆𝑥∗
𝑏𝑦𝐼𝑡 (3.21)
Note-se que o fluxo de tensões de cisalhamento na alma, no ponto onde a alma
encontra a mesa (ponto B da Figura 3.9), deve ser o dobro do que há na mesa
(ponto A da Figura 3.9), pois neste ponto se somam os fluxos horizontais de tensões
de cisalhamento procedentes das duas abas da mesa. Além disso, a espessura da
alma geralmente é menor que a espessura da mesa, fazendo com que ocorram
grandes concentrações de tensão cisalhantes nessa área. A situação descrita pode
ser visualizada nas expressões correspondentes às tensões cisalhantes nos pontos
A e B da Figura 3.9.
47
Figura 3.9 - Pontos importantes para o estudo da distribuição das tensões de cisalhamento na seção 1 do cordão da seção alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
τA =
V
4It(2yb − tf)
bf
2 (3.22)
τB =
V
4It(2yb − tf)bf
tftw
(3.23)
De acordo com Silveira (2011), ao considerar a hipótese de Halleux e que 𝑦𝑎 < ℎ𝑡 −
𝑡𝑓 (situação recorrente para perfis usuais), as máximas tensões normais serão dadas
por:.
σmax = σM =
M
2y0At (3.24)
τ =
Vya2
4It (3.25)
E, aplicando o critério de Von Mises:
σM
2 + 3τ2 ≤ fy2 ⇒ [
M
2y0At]2
+ 3 [Vya
2
4It]
2
≤ fy2 (3.26)
Simplificando a Equação 3.26, obtém-se a seguinte equação:
[
M
2y0Atfy]
2
+ 3 [Vya
2
4Itfy]
2
≤ 1,0 (3.27)
48
O esforço cortante na seção 2 da Figura 3.3 é igual ao esforço cortante da seção 1,
entretanto existe um acréscimo de momento ocasionado por este esforço, dado pela
equação a seguir:
MV =
V
2∙bw
2=
V bw
4 (3.28)
A tensão máxima será encontrada na fibra mais afastada da seção (ponto D da
Figura 3.3) por se tratar de uma seção simétrica, o valor encontrado pode ter o sinal
ignorado, visto que as tensões terão o mesmo módulo e em um dos pontos de
estudo as tensões normais provocadas pelo momento e pelo cortante serão
somadas (Figura 3.11). Logo:
σV =
V bw
4∙ya
It (3.29)
Os pontos indicados na Figura 3.10 serão utilizados para o cálculo das tensões na
seção 2.
Figura 3.10 - Pontos chave para o estudo da distribuição de tensões na seção 2 do cordão da seção alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
a) Análise de tensões no ponto 1
As tensões atuantes no ponto 1 são dadas pelas Equações 3.30 a 3.33.
σM =
M
2y0At (3.30)
49
σV =
Vbw
4∙ya
It (3.31)
τ = 0 (3.32)
σ1 = σM + σV ≤ fy (3.33)
Ao substituir As Equações 3.30 e 3.31 na Equação 3.33 encontra-se:
M
2 y0 At+
V bw
4∙ya
It≤ fy (3.34)
Visando obter o momento de plastificação da seção, multiplica-se a Equação 3.34
por 2 𝑦0𝐴𝑡:
M +
V bw y0ya At
2It≤ 2 y0At fy = Mpl (3.35)
Reescrevendo a equação tem-se:
M + cV ≤ Mpl (3.36)
Onde,
c =
bw y0ya At
2 It (3.37)
A variável 𝑐 concentra as características geométricas encontradas na Equação 3.36.
Desta forma seu valor varia conforme o perfil escolhido e com o padrão de expansão
adotado (SILVEIRA, 2011), podendo inclusive ser tabelado.
Outra opção é isolar as dimensões da seção nos componentes de tensão gerada
pelo momento e pelo cortante de acordo com as equações 3.38 e 3.39:
K1 =
1
2y0At (3.38)
K2 =
bwya
4It (3.39)
50
Desta forma, a Equação 3.33 pode ser reescrita conforme seguinte equação:
σ1 = K1M + K2V ≤ fy (3.40)
Assim como na simplificação anterior, os valores de K1 e K2 podem ser tabelados.
Na Figura 3.11 estão representadas as distribuições de tensões normais atuantes na
seção 2.
Figura 3.11 - Tensões atuantes no alvéolo de uma viga alveolar.
Fonte: Silveira (2011)
A determinação da seção mais solicitada de uma viga alveolar é difícil de ser
encontrada, especialmente nos casos onde há uma distribuição não uniforme dos
carregamentos. Por esse motivo, Delesques (1969) propôs que a seção critica da
viga seja obtida graficamente, traçando os diagramas de momento fletor e esforço
cortante multiplicado por c, que converte o esforço cortante em um momento fletor
equivalente atuante na seção 2 da Figura 3.3, um sobre o outro e, posteriormente,
tomando a maior distância entre as curvas (Figura 3.12).
51
Figura 3.12 - Método gráfico para determinação da seção mais desfavorável em uma viga alveolar
Fonte: Silveira (2011)
Nos casos onde a viga é biapoiada e o carregamento é uniformemente distribuído, é
possível determinar a seção de forma analítica conforme a formulação a seguir:
dσ1
dx= 0 =
dM
dx+ c
dV
dx (3.41)
Figura 3.13- Viga alveolar biapoiada submetida a um carregamento distribuído
Fonte: Silveira (2011)
De acordo com estas condições, a viga apresenta as Equações 3.42 e 3.43 para
momento e cortante, respectivamente.
52
M(x) =qL
2x −
qx2
2 (3.42)
V(x) =qL
2− qx (3.43)
Derivando as Equações 3.42 e 3.43, temos:
dM
dx=
qL
2− qx (3.44)
dV
dx= −q (3.45)
Substituindo as Equações 3.44 e 3.45 na Equação 3.41:
qL
2− qx + c ∙ (−q) = 0 ⇒ x =
L
2− c (3.46)
O resultado encontrado na Equação 3.46 demonstra que a seção mais desfavorável
em uma viga alveolar não coincide com a seção de momento máximo, como ocorre
nas vigas de alma cheia. Este fator é um motivo de erro frequente no
dimensionamento de vigas alveolares.
b) Análise de tensões no ponto 2
As tensões atuantes no ponto 2 são dadas pelas equações 3.47, 3.48 e 3.49.
σM =M
2y0At (3.47)
σV = 0 (3.48)
τ =Vya
2
4It (3.49)
Na figura 4.12, é possível observar que a tensão normal é nula no centro dos
cordões.
Como condições para o dimensionamento é dada por meio da seguinte expressão:
53
σM
2 + 3τ2 ≤ fy2 (3.50)
Substituindo as Equações 3.47 e 3.49 na Equação 3.50, temos:
[M
2y0At]2
+ 3 [Vya
2
4It]
2
≤ fy2 (3.51)
Assim como feito na análise do ponto 1, multiplicamos a Equação 3.51 por (2y0Ac)2
para calcular o momento de plastificação conforme seguintes equações:
M2 + 3 [2y0ya
2At
4It∙ V]
2
≤ (2y0Atfy)2
= Mpl2 (3.52)
Portanto,
√M2 + cV2 ≤ Mpl (3.53)
Onde,
c =√3y0ya
2At
2It (3.54)
Como 𝑐 depende exclusivamente das características geométricas da seção pode ser
tabelado de acordo com o perfil.
Analisando o ponto 2 para verificar se este é desfavorável em relação ao ponto 1.
Sejam c1 e c2 as constantes c dos pontos 1 e 2, respectivamente.
No ponto 1, tem-se:
M + c1V ≤ Mpl ⇒ M2 + 2c1MV + c1
2V2 ≤ Mpl2 (3.55)
No ponto 2:
M2 + c2
2V2 ≤ Mpl2 (3.56)
54
E a correlação entre c2 e c1 fornece:
c22
c12 =
[ √3y0ya
2At
2Itbwy0yaAt
2It ] 2
= 3ya
2
bw2
⇒ c22 = 3
ya2
bw2
c12 (3.57)
Segundo Silveira (2011), ao analisar os valores de ya e bw para perfis alveolares a
partir de perfis I e H laminados padronizados, comprova-se que:
– Em vigas casteladas padrão Litzka, Peiner e celular, o coeficiente 3ya2/bw
2
da Equação 4.56 assume valores que, no caso mais desfavorável, são
aproximadamente 1,0. Essa comprovação indica que o ponto 1 será mais
restritivo que o Ponto 2 para qualquer combinação entre M e V;
– Para vigas padrão Anglo-Saxão o coeficiente 3ya2/bw
2 assume valores
superiores a 1,0. Portanto, a condição de dimensionamento no ponto 2
será mais restritiva.
c) Análise de tensões no ponto 3
O ponto 3 está localizado sobre a divisão entre alma e mesa e nele atuam as
tensões indicadas pelas Equações 3.58, 3.59 e 3.60.
σM =M
2y0At (3.58)
σV =Vbw
4∗
yb − tfIt
(3.59)
τ =V
4It(ht − tf)[2ya − (ht − tf)] (3.60)
Tendo como condição para o dimensionamento as Inequações 3.61 e 3.62:
σM
2 + 3τ2 ≤ fy2 (3.61)
55
[M
2y0At+
Vbw
4∙yb − tf
It]2
+ 3 [V
4It(ht − tf) ∙ [2ya − (ht − tf)]]
2
≤ fy2 (3.62)
Para identificar a relevância do ponto 3 no dimensionamento da viga analisou-se a
equação 3.62.
Nas vigas alveolares é possível identificar que ℎ𝑡 − 𝑡𝑓 tem um valor próximo ao valor
de 𝑦𝑎. Isto quer dizer que o centro de gravidade do cordão se encontra sempre muito
próximo da junção entre a mesa e a alma. Ao substituir ℎ𝑡 − 𝑡𝑓 por 𝑦𝑎 na equação
(3.62) é encontrada a expressão que representa a tensão cisalhante máxima na linha
neutra do cordão. Entretanto, quando ht − tf se aproxima de ya, o valor de yb tende a
tf, ou seja, a segunda parcela do primeiro colchetes tende a zero. Concluindo que se
tem uma situação análoga à do ponto 2 que, como visto anteriormente, é menos
desfavorável para efeito de dimensionamento que a seção 1.
d) Análise de tensões no ponto 4
No ponto 4 são encontradas as seguintes tensões expressas pelas equações 3.63,
3.64 e 3.65.
σM =M
2y0At (3.63)
σV =V bw
4∙yb
It (3.64)
τ = 0 (3.65)
Como ya > yb em qualquer caso, o ponto 1 sempre será mais desfavorável.
Após todas estas considerações, podemos resumir o dimensionamento da viga a
partir do limite de escoamento dos cordões dado por:
M + cV ≤ Mpl (3.66)
Onde,
56
c =bwy0yaAt
2It
para os perfis Peiner, Litzka e circulares onde 3ya
2
bw2
≤ 1 (3.67)
c =√3y0ya
2At
2It
para os perfis Anglo − Saxão e circulares onde3ya
2
bw2
> 1 (3.68)
Ou também pelas seguintes equações:
σ1 = K1M + K2V ≤ fy (3.69)
Onde,
K1 =1
2y0At (3.70)
K2 =bwya
4It (3.71)
A formulação encontrada para o dimensionamento teve como base a hipótese de
Halleux, na qual a distribuição de tensões no cordão é uniforme, por encontrar
solicitações maiores que aquelas encontradas pela hipótese da distribuição variável
de tensões.
Caso adotada a hipótese da distribuição variável de tensões, Cimadevilla (2000)
afirma que a condição de restrição do dimensionamento é aplicada para o ponto B,
indicado na Figura 3.9, uma vez que a tensão normal originada do cortante no ponto
A é muito baixa. Como consequência a comparação entre qual das hipóteses deverá
ser adotada é realizada a partir do ponto B.
No ponto B as tensões de flexão provocadas pelo esforço cortante são as mesmas
qualquer que seja a hipótese adotada para a distribuição de tensões normais. Como
neste ponto as tensões originadas pelo momento fletor são menores quando se
considera a distribuição variável de tensões, é possível concluir que esta hipótese
resulta num dimensionamento menos conservador que na hipótese de Halleux,
contrariando o que foi encontrado na seção 1.
57
As tensões normais devidas ao momento fletor segundo cada hipótese são:
Halleux:
σM,B =M
2y0At (3.72)
Distribuição variável de tensões:
σM,B′ =
M
Ix0(dg
2− ht) =
M
Ix0
(y0 − ya) (3.73)
A relação entre as tensões normais é dada por:
σM,B
′
σM,B=
2y0(y0 − ya)At
Ix0=
2y0(y0 − ya)At
2y02At
=y0 − ya
y0 (3.74)
Com isso, as tensões normais no ponto B, supondo a distribuição variável, são
dadas por:
σM,B
′ =y0 − ya
y0σM,B (3.75)
De acordo com Cimadevilla (2000), conforme o perfil adotado, a diferença entre os
valores oscila entre 55 e 72%. Portanto a utilização de uma ou outra das hipóteses
dependerá da importância da tensão normal gerada pelo cortante no somatório final
das tensões, de qualquer forma, a hipótese de Halleux apresenta uma solicitação
superior. Nos casos mais usuais, este incremento gira em torno de 20%.
Desta forma, a expressão que define o estado limite último de plastificação da seção
crítica, seguindo o que recomenda a ABNT NBR 8800:2008, é dada pela expressão:
M + cV ≤Mpl
γa1 (3.76)
Onde 𝛾𝑎1é o coeficiente de resistência.
3.3.2 Escoamento do montante de alma por cisalhamento
58
De acordo com a geometria adotada para uma viga alveolar e o carregamento
atuante, o montante de alma pode atingir o colapso por cisalhamento. A primeira
etapa para determinar a resistência do montante ao cisalhamento é identificar qual
padrão geométrico será adotado. Feito isso, é possível calcular o esforço cortante
que atua na seção localizada no meio do montante por meio do equilíbrio de
momentos no ponto O, representado na Figura 3.15.
O equilíbrio de momento em torno do ponto O é dado por.
Vh ∙ y0 −V
2∙p
2−
V + F
2∙p
2= 0 ⇒ Vh = (V +
F
2)
p
2y0 (3.77)
A tensão cisalhante na seção mais solicitada é calculada da pela equação a seguir:
τmax =3
2∙
Vh
bwtw=
3
4∙(V +
F2) ∙ p
bwtwy0≤ τy =
fy
√3 (3.78)
Logo,
V +F
2≤
4
3√3∙bwtwy0fy
p (3.79)
Figura 3.14 - Elementos para o estudo dos esforços no montante de alma em vigas (a) casteladas e (b) celulares
Fonte: Veríssimo et al. 2012
A verificação da inequação 3.79 deverá ser realizada na seção sujeita ao maior
esforço cortante, e como na maioria dos casos, as vigas são solicitadas por cargas
distribuídas, a parcela F/2 é pequena em relação ao esforço cortante V e, portanto
59
pode ser desprezada. A equação 3.79 pode ser rescrita conforme a seguinte
equação:
VRk1 ≤4
3√3∙bwtwy0fy
p (3.80)
Com isso, seguindo o que recomenda a ABNT NBR 8800:2008, o esforço cortante
resistente de cálculo devido ao escoamento do montante de alma por cisalhamento,
é dado por.
VRd1 =VRk1
γa1 (3.81)
3.3.3 Escoamento do montante de alma por flexão
3.3.3.1 Vigas Casteladas
Nas vigas casteladas, a força cortante 𝑉ℎ, representada na Figura 3.14 (a) produz
um momento fletor a uma distância 𝑦, e esse, provoca uma tensão normal na seção
solicitada dada por.
σ =Vhy
twbm2
6
= 3(V +
F2)
y0twbm2
p ∙ y (3.82)
Com isso podem ser encontradas duas possíveis situações:
a) A tensão normal crítica ocorre quando 𝑏𝑚 = 𝑏𝑤
Na seção do montante onde 𝑏𝑚 = 𝑏𝑤 tem-se que y ≤ b e a máxima tensão normal
assume valor nulo na seção onde atua o cortante 𝑉ℎ e cresce de forma linear ao
longo do trecho até atingir seu valor máximo quando 𝑦 = 𝑏. Com isso a equação
3.82 pode ser reescrita da forma a seguir:
60
σmax = 3(V +
F2) b
y0twbw2
p (3.83)
De forma análoga ao item anterior, a parcela F/2 será desprezada. Sendo assim, a
condição de escoamento da seção é dada por.
3V b
y0twbw2
p ≤ fy (3.84)
Desta forma é possível identificar previamente o esforço cortante máximo que a
seção suporta. Para isto, basta que V seja isolado do restante das constantes
geométricas do perfil alveolar.
Vmax ≤y0twbw
2
3bpfy (3.85)
- A tensão crítica ocorre na seção do montante onde a largura assume valores
variáveis em função de 𝑦 (𝑏𝑚(𝑦)).
Para a verificação de uma possível seção crítica na região do montante onde 𝑏𝑚
varia em função de 𝑦, tem-se que 𝑏 < 𝑦 ≤ 𝑎 + 𝑏 nesta região, a área da seção
também muda de acordo com a posição.
Silveira (2011) caracterizou a variação de largura do montante para os padrões
Peiner e Litzka (que possuem a mesma variação de 𝑏𝑚em função de y) e do padão
Anglo Saxão.
- Padrões Peiner e Litzka:
bm =bw
a(y + a − b) (3.86)
- Padrão Anglo-Saxão:
bm =bw
a[a + 2,312(y − b)] (3.87)
61
Para identificar onde é encontrada a tensão máxima de acordo com o padrão, é
necessário substituir as Equações 3.86 e 3.87 na equação de tensão em função de
𝑏𝑚, derivá-las e igualá-las a zero. Fazendo isso, obtém-se as seguintes equações.
- Para os padrões Peiner e Litzka:
y = a − b (3.88)
- Para o padrão Anglo-Saxão:
y =a − 2,312b
2,312 (3.89)
Ao substituir os valores de bm e y correspondentes a cada padrão geométrico na
Equação 3.82 e desprezando F/2 pelo motivo já mencionado, calcula-se a tensão
normal máxima provocado pelo esforço cortante no montante (Equações 3.90 e
3.91).
- Para os padrões Peiner e Litzka:
σmax =0,75a2pV
y0twbw2 (a − b)
≤ fy (3.90)
- Para o padrão Anglo-Saxão:
σmax =0,324a2pV
y0twbw2 (a − 2,312b)
≤ fy (3.91)
Assim, de acordo com as condições de limites de escoamento dadas nas Equações
3.90 e 3.91, o esforço cortante máximo pode ser expresso pelas Equações 3.92 e
3.93.
- Para os padrões Peiner e Litzka:
Vmax ≤y0twbw
2 (a − b)
0,75a2pfy (3.92)
62
- Para o padrão Anglo-Saxão:
Vmax ≤y0twbw
2 (a − 2,312b)
0,324a2pfy (3.93)
No entanto as equações 3.92 e 3.93 não são válidas para valores de y inferiores a b.
Para este intervalo, deve ser considerada a equação 3.85, na qual a tensão crítica é
atingida quando 𝑦 = 𝑏.
- para os padrões Peiner e Litzka:
𝑆𝑒 0 ≤ 𝑏 <𝑎
2
VRk2 ≤y0twbw
2 (a − b)
0,75a2pfy (3.94)
𝑆𝑒 𝑏 ≥𝑎
2
VRk2 ≤y0twbw
2
3bpfy (3.95)
- para o padrão Anglo-Saxão:
𝑆𝑒 0 ≤ 𝑏 <𝑎
4,624
VRk2 ≤y0twbw
2 (a − 2,312b)
0,324a2pfy (3.96)
𝑆𝑒 𝑏 ≥𝑎
4,624
VRk2 ≤y0twbw
2
3bpfy (3.97)
3.3.3.2 Vigas celulares
De forma análoga às vigas casteladas, o esforço cortante 𝑉ℎ indicado na Figura
3.15(b) também provoca momentos fletores no montante de alma das vigas
celulares a uma distância y do seu ponto de aplicação, causando tensões normais
por todo o trecho. No entanto, nas vigas celulares, a largura do montante 𝑏𝑚(𝑦) varia
desde a origem 𝑦 = 0 até a distância correspondente ao raio do alvéolo 𝑅0. Com
isso, a tensão normal é dada pela Equação 3.98.
63
σ =Vhy
twbm2
6
=6Vhy
twbm2
(3.98)
Analisando a Figura 3.15, pode-se deduzir que:
R0 =p
2−
bw
2 (3.99)
bm
2=
p
2− R0 cos(θ) ⇒ bm = p − 2R0cos(θ) (3.100)
y = R0sen(θ) (3.101)
Assim, a equação 3.98 pode ser reescrita conforme a seguinte equação:
σ =6Vh
tw
R0sen(θ)
(p − 2R0cos(θ))2 (3.102)
A tensão máxima ocorrerá na seção onde (dσ/dθ) = 0.
Derivando a Equação 3.102 e igualando a zero, e tomando η = p/D0 obtém-se:
σmax =
3ηV
y0tw
√4 − (η − √η2 + 8)2
(3η − √η2 + 8)2 ≤ fy (3.103)
Ou seja,
Vmax = VRk2 ≤y0twfy
3η
(3η − √η2 + 8)2
√4 − (η − √η2 + 8)2 (3.104)
Desta forma, seguindo o que recomenda a ABNT NBR 8800:2008, o esforço
cortante resistente de cálculo devido ao escoamento do montante de alma (em vigas
casteladas ou celulares) por flexão é dado por:
VRd2 =VRk2
γa1 (3.105)
64
3.3.4 Flambagem lateral do montante de alma
Resultados experimentais demonstram que a partir de certos valores de
carregamentos o montante da alma pode apresentar problemas de instabilidade
causando flambagem lateral. Em estudos realizados por Delesques (1968), foi
deduzida uma expressão geral com a qual esse esforço pode ser calculado.
Vcr =Etw
3
1,18y0[1 + (1 −
2bw
p) ∙ (
y0 − 0,8a − 2b
y0)] (3.106)
Aplicando a Equação 3.106 para os padrões geométricos mais usuais, temos:
- Para os padrões Peiner e Litzka:
Vcr =E(4y0 − 0,8a − 2b)tw
3
3,54y02 (3.107)
- Para o padrão Anglo-Saxão:
Vcr =E(2,86y0 − 0,8a − 2b)tw
3
2,2y02 (3.108)
-Para as vigas celulares:
Vcr =E(y0 − 0,4(2 − η)a)tw
3
0,59ηy02 (3.109)
Onde y0, a e b são valores indicados na Figura 3.15. Como Vcr depende somente da
geometria da seção, seu valor pode ser tabelado.
Delesques (1968) sugere que o estado-limite último de instabilidade do montante de
alma seja calculado pelas seguintes equações:
Se Vcr
VRk2< 1,
Vsd ≤2
3Vcr (3.110)
65
Se 1 ≤Vcr
VRk2< 2,
Vsd ≤VRk2 + Vcr
3 (3.111)
Se Vcr
VRk2≥ 2, Vsd ≤ VRk2 (3.112)
Onde 𝑉𝑟𝑘2 é o esforço cortante resistente de cálculo para o estado limite último de
escoamento do montante da alma por flexão, calculado conforme o padrão
geométrico da viga.
Este modo de colapso é mais comum em perfis que possuem chapas expansora,
provocado pelo incremento na altura útil da viga, que aumenta o comprimento de
flambagem do montante. Portanto, a viabilidade econômica do emprego de vigas
alveolares com chapa expansora deve ser avaliada cuidadosamente.
3.3.5 Flambagem lateral com torção
Para a verificação do estado limite ultimo de flambagem lateral com torção, Abreu
(2011) elaborou uma formulação com base nas recomendações da ABNT NBR
8800:2008 para vigas de alma cheia que também foi desenvolvido por Bezerra
(2011).
São considerados os comprimentos destravados Lp e Lr em vez dos parâmetros de
esbeltez λp e λr que correspondem à plastificação e ao inicio do escoamento,
respectivamente. São feitas as seguintes considerações:
abordar a seção líquida no centro das aberturas como zona crítica de
flambagem, adotando suas propriedades geométricas para o cálculo da
constante de empenamento determinada por Kohnehpooshi e Showkati
(2009) por meio de:
Cw =h2Iy
4 (3.113)
– substituir o valor de Lr por um valor corrigido Lr,cor = 1,2Lr;
66
assumir o valor do momento fletor resistente como 90% do momento de
plastificação.
Os limites Lp e Lr,cor são dados pelas equações a seguir:
Lp = 1,76ry√E
fy (3.114)
Lr,cor =
1,66√IyJ
Jβ1
√1 + √1 +27Cwβ1
2
Iy (3.115)
Onde,
J é a constante de torção;
Cw é a constante de empenamento da seção transversal;
β1 é dado pela Equação 3.116.
β1 =0,7fyWx
EJ (3.116)
Desta forma, o momento resistente em função do comprimento destravado Lb é
calculado pelas Equações 3.117, 3.118 e 3.119.
- seLb > Lr,cor,
MRk = Mcr =Cbπ
2EIy
Lb2 √
Cw
Iy(1 + 0,039
JLb2
Cw) (3.117)
- se Lp < Lb ≤ Lr,cor,
MRk = Mcr = Cb [0,90Mpl − (0,90Mpl − Mr,cor)Lb − Lp
Lr,cor − Lp] ≤ 0,90Mpl (3.118)
67
- se Lb ≤ Lp,
MRk = 0,90Mpl (3.119)
Onde,
Cb é o coeficiente que leva em conta o efeito favorável do momento não ser
uniforme no segmento Lb, conforme indicado na ABNT NBR 8800:2008;
Mpl é o momento de plastificação da seção transversal;
Mr,cor é o momento fletor correspondente ao início do escoamento, ajustado em
função do valor de Lr,cor dado por:
Mr,cor =0,31E
Lr,cor2
√Iy(1000Cw + 39JLb2 ) (3.120)
Desta forma, seguindo o que recomenda a ABNT NBR 8800:2008, o momento fletor
resistente de cálculo, é dado por:
MRd =MRk
γa1 (3.121)
3.3.6 Rasgamento da solda de emenda do montante
Admitindo-se que a solda de emenda penetre em toda a espessura da alma, as
áreas da superfície de ruptura da solda e do metal base serão praticamente iguais, e
com isso a ruptura ocorrerá preferencialmente no metal base, visto que esse possui
limite de escoamento inferior ao do metal utilizado na solda. E com isso, a
verificação da solda estará satisfeita, caso sejam obedecidas as condições
propostas para a verificação quanto ao cisalhamento do montante (SILVEIRA,
2011).
68
3.4 ESTADO-LIMITE DE SERVIÇO DE DESLOCAMENTO EXCESSIVO
Para o cálculo das flechas em vigas de alma cheia, normalmente a influência do
esforço cortante é desprezada, no entanto, no caso de vigas alveolares, a flecha
devida ao esforço cortante pode apresentar valores significativos e, portanto deve
ser considerada.
As parcelas correspondentes à flecha devida ao esforço cortante e devido ao
momento fletor, serão consideradas separadamente, e a flecha total será dada pela
soma das duas parcelas.
f = fM + fV (3.122)
3.4.1 Flecha devida ao momento fletor
Uma vez que as vigas alveolares não possuem um valor de momento de inércia
constante ao longo de seu vão, é necessário admitir uma interpolação, denominada
inércia equivalente (𝐼𝑒) para que seja possível determinar a flecha utilizando a
equação da linha elástica.
Evidentemente, o valor da inércia equivalente estará compreendido entre o momento
de inércia mínimo (na região do alvéolo) e o momento de inércia máximo (na região
de alma cheia).
O momento de inércia mínimo é dado por:
Ia = 2[Aty0
2 + It] (3.123)
onde a expressão entre colchetes representa o momento de inércia de um dos
cordões em relação ao eixo da viga.
Por sua vez, o momento de inércia máximo é dado por:
Im = 2 [Aty02 + It +
tw(a + b)3
12+ tw(a + b) (
a + b
2)2
] (3.124)
69
Desenvolvendo a Equação 3.124, temos:
Im = 2 [Aty02 + It +
tw(a + b)3
3] (3.125)
O momento de inércia equivalente, Equação 3.126, neste caso, será obtido por meio
da integração da função do momento de inércia para meio passo (𝑝/2), e da divisão
do valor encontrado por esta distancia.
Ie =∫ I(x) ∙ dx
p20
p2
(3.126)
Figura 3.15 - Subdivisões ao longo do passo para integração da função de inércia equivalente
Fonte: Silveira (2011)
A Equação 3.126 poderá ser reescrita, de acordo com as subdivisões mostradas na
Figura 3.16, da forma a seguir:
Ie =2
p[A + B + C] (3.127)
Onde:
A = ∫2(Aty0
2 + It)dx
p2
0
= 2(Aty02 + It)
p
2= (Aty0
2 + It)4. p (3.128)
B = ∫ 2 ∙ [
tw12
∙ (ax
(p2 − bw)
)
3
+ tw ∙ax
p2 − bw
∙ (a + b −ax
p2 − bw
)
2
]
p2−bw
0
dx (3.129)
70
B =twa (
p2 − bw)
12∙ (3a2 + 8ab + 6b2) (3.130)
C = ∫ 2 ∙
tw(a + b)3
3dx
bw2
0
=twbw(a + b)3
3 (3.131)
Desta forma a inércia equivalente será dada pelas Equações 3.132, 3.133 e 3.134.
Ie =2
p[(Aty0
2 + It)p +twa (
p2
− bw)
12(3a2 + 8ab + 6b2) +
twbw(a + b)3
3] (3.132)
Ie = 2(Aty0
2 + It) +tw
6p[(
p
2− bw) (3a3 + 8a2b + 6ab2) + 4bw(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)] (3.133)
Ie = 2(Aty0
2 + It) +tw6
[1
2(3a3 + 8a2b + 6ab2) +
bw
p(a3 + 4a2b + 6ab2 + 4b3)] (3.134)
Dos parâmetros geométricos apresentados anteriormente, obtém-se as Equações
3.135 e 3.136, conforme os padrões das vigas casteladas.
- para os padrões Peiner e Litzka:
bw
p=
1
3 (3.135)
- para o padrão Anglo-Saxão:
bw
p= 0,23 (3.136)
Assim, a inércia equivalente pode ser escrita em função apenas das características
geométricas do perfil alveolar castelar.
- para os padrões Litzka e Peiner:
Ie = 2(Aty02 + It) +
tw36
(11a3 + 32a2b + 30ab2 + 8b3) (3.137)
71
- para o padrão Anglo-Saxão:
Ie = 2(Aty02 + It) +
tw6
(1,73a3 + 4,92a2b + 4,38ab2 + 0,92b3) (3.138)
Em um estudo realizado por Veríssimo et al. (2012), é proposta a Equação 3.139
para cálculo da inércia equivalente em vigas celulares.
Ie = 2(Aty02 + It) +
twD03
48(2,5 −
1
η) (3.139)
A flecha devida ao momento fletor em vigas biapoiadas com carregamento
uniformemente distribuído é indicada pela Equação 3.140:
fM =5qL4
384EIe (3.140)
Onde L é o comprimento do vão e E é o módulo de elasticidade do aço.
3.4.2 Flecha devida ao esforço cortante
Delesques (1969) mostrou que o cisalhamento produz diversos efeitos que
promovem deformações na região entre dois alvéolos adjacentes, conforme ilustrado
na Figura 3.16.
A deformação total produzida pelo cisalhamento é dada por:
Δy = (fMM + fMV)
p
y0+ 2(fCM + fCV) (3.141)
Onde,
fMM é a deformação devida à flexão do montante;
fMV é a deformação devida ao cisalhamento do montante;
fCM é a deformação devida à flexão dos cordões;
fCV é a deformação devida ao cisalhamento dos cordões.
72
Figura 3.16 - Parcelas de deformação num painel da viga provocadas pelo esforço cortante
Fonte: Silveira (2011)
3.4.2.1 Deformação devida à flexão do montante
Os elementos geométricos da metade superior do montante de alma submetido a
um esforço cortante que provoca flexão nesta região da viga estão representados na
Figura 3.17.
Figura 3.17 - Elementos geométricos do montante da alma para o cálculo da deformação devida à flexão do montante.
Fonte: Silveira (2011)
O esforço cortante 𝑉ℎ provoca um momento na seção cuja largura do montante é
bm(y) é dado pela equação a seguir:
M1 = Vh(a + b − y) =Vp(a + b − y)
2y0 (3.142)
73
Uma vez que bm =2bw−p
ay + p − bw, a inércia da seção resistente no trecho onde
0 < y ≤ a pode ser expressa por:
I1 =twbw
3
12=
tw12
(2bw − p
ay + p − bw)
3
(3.143)
De posse das equações 3.142 e 3.143, é possível aplicar a equação da linha
elástica para calcular a rotação de um ponto de coordenada y.
θ(y) = ∫M
EIdy
y
0
(3.144)
Desenvolvendo 3.144, temos:
θ(y) =6aVhy{(2a2 + 2ab)(p − bw) + [(3a + 2b)bw − (2a + b)p]y}
Etw(−bw + p)2(abw − ap − 2bwy + py)2 (3.145)
Quando y = a obtém-se:
θy=a =6aVh(abw + bp)
Etwbw2 (−bw + p)2
(3.146)
Ao integrar a equação 3.145, encontra-se a equação que determina a flecha na
coordenada 𝑦. Com isso, para 𝑦 = 𝑎, a flecha é dada por:
xy=a =6a2Vh
Ebwtw∙−8bw
3 (a + b) + 2bw2 p(5a + 6b) − 3bwp2(a + 2b) + bp3 + 2abw(bw − p)2 ln (
pbw
− 1)
(−2bw + p)3(−bw + p)2 (3.147)
No trecho de inércia constante (a < y < 𝑎 + 𝑏), temos:
I2 =twbw
3
12 (3.148)
x2 =Vhb
3
3EI2=
4Vhb3
Etwbw3
(3.149)
A deformação que o montante sofre na direção x é dada por:
fMM = xy=a + bθy=a + x2 (3.150)
74
Ou seja,
fMM =6a2Vh
Ebwtwk +
6abVh(abw + bp)
Etwbw2 (−bw + p)2
+4Vhb
3
Etwbw3
(3.151)
Onde,
k =−8bw
3 (a + b) + 2bw2 p(5a + 6b) − 3bwp2(a + 2b) + bp3 + 2abw(bw − p)2 ln (
pbw
− 1)
(−2bw + p)3(−bw + p)2 (3.152)
Assumindo Vh = Vp/(2y0) em 3.151.
fMM =Vp
Ey0bwtw[3a2k +
3ab(abw + bp)
bw(−bw + p)2+
2b3
bw2
] (3.153)
Nos casos onde bw = p/3, a flecha é dada pela equação a seguir:
fMM =27V
4Ey0twp2(1,6a3 + 6a2b + 9ab2 + 8b3) (3.154)
3.4.2.2 Deformação devida ao cisalhamento do montante
A deformação originada pelo esforço cortante de acordo com a equação da linha
elástica é dada pela seguinte expressão.
dx
dy=
Vh
GArm (3.155)
Onde:
G é o módulo de elasticidade transversal;
Arm é a área reduzida da seção transversal do montante.
O estudo realizado por Cimadevilla (2000) admite uma superposição dos efeitos na
viga, e com isso, a área da reduzida da seção transversal é consequência da
rotação adicional que uma seção transversal fletida, antes normal à linha neutra,
sofre devido ao esforço cortante (TIMOSHENKO, 1955).
75
Nos casos onde a seção do montante é retangular, devido à distribuição parabólica
de tensões, é admitido um fator de redução K = 5/6. Dessa forma:
Arm =
5
6Am (3.156)
Substituindo a Equação 3.156 na Equação 3.155, obtêm-se:
dx
dy=
1,2Vh
GAm (3.157)
Integrando a Equação 3.157 para encontrar a deformação em y = a + b:
fMV = xy=a+b = ∫1,2Vh
Gtwbm(y)dy = ∫
1,2Vh
Gtw (bw + 2b0 (1 −y
a))
dy +
a
0
∫1,2Vh
Gtwbw
dy
a+b
a
(3.158)
fMV =1,2Vh
Gtw[∫
1
bw + 2b0 (1 −ya)
dy
a
0
+ ∫1
bwdy
a+b
a
] (3.159)
fMV =
1,2Vh
Gtw[−
a
2b0ln
bw
bw + 2b0+
b
bw] (3.160)
OndeVh = Vp/(2y0) e bw = p/3:
fMV =
1,8V
Gy0tw(0,7a + b)
(3.161)
3.4.2.3 Deformação devida à flexão dos cordões
A deformação em um cordão é obtida de forma similar a de uma peça em balanço
submetida a uma carga na extremidade com valor igual a V/2.
Deste modo, temos:
fCM =
V2 l3
3EIt=
Vl3
6EIt (3.162)
76
Onde l = p − (bw + 2b0).
Para bw = p/3:
fCM =
Vp3
1296EIt (3.163)
Figura 3.18 - Representação da zona de influência da flexão provocada pelo cortante no cordão.
Fonte: Mendonça 2014.
3.4.2.4 Deformação devida ao cisalhamento dos cordões
Para realizar cálculo da deformação causada pelo cisalhamento provocada por V/2
(indicado na Figura 3.19), deve-se calcular primeiramente a área da seção reduzida,
uma vez que os cordões possuem seção transversal em T.
Figura 3.19 - Elementos geométricos de um cordão do alvéolo para o cálculo da área da seção reduzida.
Fonte: Mendonça 2014.
77
A área reduzida da seção transversal do cordão é calculada, de acordo com os
dados indicados na Figura 3.19, como mostrado por:
Arc =
It2
∫Sx
2
twdy
(3.164)
Onde Sx é o momento estático da seção.
O valor de It varia de acordo com o perfil alveolar adotado; e o momento estático é
dado por:
Sx = ∫ twy ∙ dy
ya
y
=tw2
(ya2 − y2)
(3.165)
Substituindo 3.163 em (3.162) temos:
Arc =It2
2∫[tw2
(ya2 − y2)]
2
tw
ya
0dy
=It2
2∫
tw2
4(ya
2 − y2)2
tw
ya
0dy
=It2
12∫ tw(ya
4 + y4 − 2ya2y2)
ya
0dy
=2It
2
tw [ya4y +
y5
5−
23 ya
2y3]0
ya=
15
4
It2
twya5
(3.166)
Ou seja, a área reduzida da seção transversal dos cordões pode ser encontrada por.
Arc = 3,75
Wt2
twya3 (3.167)
Onde Wt é o módulo resistente elástico do cordão.
Uma vez calculada a área reduzida, é possível determinar a flecha decorrente do
cisalhamento dos cordões, conforme:
dy
dx=
V2
GArc⇒ fCV = ∫
V
2GArcdx
l
0
=Vl
2G3,75It
2
twya5
(3.168)
78
Portanto,
fCV =
2
15
Vltwya5
GIt2 (3.169)
Para bw = p/3:
fCV =
Vptwya5
45GIt2 (3.170)
Substituindo as Equações 3.154, 3.161, 3.163 e 3.170 na Equação 3.140, temos:
Δy =
27
4
V
Ey02twp
(1,6a3 + 6a2b + 9ab2 + 8b3) +1,8Vp
Gtwy02(0,7a + b) +
Vp3
648EIt+
Vptwya5
22,5GIt2 (3.171)
Considerando, para o aço, E = 2,6G:
Δy =
2,6V
Gy02twp
[1,6a3 + 6a2b + 9ab2 + 8b3] +1,8Vp
Gtwy02(0,7a + b) +
Vp3
1684,8GIt+
Vptwya5
22,5GIt2 (3.172)
O deslocamento vertical do trecho de uma viga de alma cheia com comprimento p e
área equivalente Ae é dado por.
Δy =
Vp
GAe (3.173)
Ao igualar as Equações 3.172 e 3.173 e realizar as devidas manipulações, encontra-
se a Equação 3.174 que define a área equivalente do perfil:
1
Ae=
2,6
y02twp2
[1,6a3 + 6a2b + 9ab2 + 8b3] +1,8
twy02(0,7a + b) +
p2
1684,8It+
twya5
22,5It2 (3.174)
A área equivalente de vigas sem uso de chapa expansora (b = 0) se resume a:
1
Ae=
4,2a3
y02twp2
+1,3a
twy02 +
p2
1684,8It+
twya5
22,5It2 (3.175)
A flecha provocada pelo esforço cortante em vigas biapoiadas com carregamento
uniformemente distribuído é dada por:
79
fV =
qL2
8GAe (3.176)
Segundo Cimadevilla (2000), a realização de exemplos concretos indica que a
parcela da flecha oriunda da força cortante em vigas alveolares varia de 5 a 20% da
flecha total. Com isso, é comum que alguns autores encontrem a flecha resultante
calculando apenas a parcela correspondente à deformação provocada pelo
momento fletor multiplicada por um fator que varia de acordo com o comprimento da
viga. Assim, as Equações 3.174 e 3.175 que expressam as áreas equivalentes para
os padrões Peiner e Litzka, onde bw = p/3,também podem ser utilizadas para os
padrões Anglo-Saxão e celular, uma vez a influência da parcela correspondente a
flecha provocada pelo esforço cortante é pequena.
Considera-se para efeito de dimensionamento que a flecha admissível para vigas de
piso prevista na ABNT NBR 8800:2008 equivalente a L/350, e para coberturas igual
a 𝐿/250. Ou seja:
- Para sistemas de piso:
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 = 𝐿/250 (3.177)
- Para sistemas de Piso:
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 = 𝐿/350 (3.178)
80
4 PROCESSOS DE OTIMIZAÇÃO
4.1 INTRODUÇÃO
De acordo com Vanderplaats (1984) a otimização consiste na busca da melhor
solução para uma operação, enquanto certas restrições são atendidas. O problema
é chamado de objetivo, e pode representar uma quantidade, qualidade ou qualquer
fator que possa ser apresentado como número.
4.2 DEFINIÇÕES
Para a definição de um problema de otimização, é importante a definição de um
conjunto de variáveis, que variam na busca da solução ótima, uma função objetivo e
um conjunto de restrições que devem ser respeitadas.
As variáveis de projeto são os parâmetros que definem o sistema, ou seja, são todas
as características que tem seu valor modificado durante a modelagem do processo
de otimização. Essas variáveis podem representar características geométricas,
propriedades dos materiais, etc.
A função objetivo é o resultado da modelagem do sistema, composta por uma ou
mais funções das variáveis de projeto para encontrar um valor para o objetivo do
processo.
As restrições representam as exigências de qualquer natureza que o processo de
otimização deve satisfazer. Podem representas características geométricas,
restrições construtivas, ou até mesmo critérios de resistência.
4.3 TIPOS DE OTIMIZAÇÃO
É importante definir as características de otimização serão utilizadas. Algumas
dessas definições e parâmetros são enumerados por Chaves (2004).
81
Otimização discreta e contínua: a otimização discreta trata de problemas
onde a solução é procurada em um número restrito de pontos, ou seja, há um
conjunto finito de soluções possíveis, já na otimização continua a função
objetivo possui um número infinito de soluções no espaço de busca.
Otimização restrita e não-restrita: o processo de otimização é considerado
restrito quando um conjunto de valores não pode ser assumido pelas
variáveis de projeto, representando por meio de equações as restrições
presentes na aplicação prática. Quando não são impostas quaisquer
restrições às variáveis de projeto, o processo de otimização é considerado
não-restrito.
Otimização linear e não-linear: quando a função objetivo e todas as suas
restrições são funções lineares, o processo de otimização também será linear,
porém se a função objetivo, ou qualquer uma das restrições não for linear,
tem-se um problema de otimização não-linear.
Otimização local e global: uma solução local é a melhor solução entre os
possíveis pontos na vizinhança, essa solução não é necessariamente a
melhor possível no espaço de busca, que é a solução global.
Método probabilístico e determinístico: quando a solução é encontrada por
meio de uma solução matemática exata, são chamados métodos
determinísticos, esses métodos são indicados para funções simples e com
poucas variáveis, por serem menos eficientes sob o ponto de vista do esforço
computacional requerido. Já nos casos onde o processo de otimização se
baseia em probabilidades de eventos e refinamento dos possíveis conjuntos
de solução é chamado de estocásticos, ou probabilísticos.
4.3.1 Programação Matemática
Um problema de otimização é composto por uma função objetivo, que é descrita em
função de um conjunto de variáveis, e limitada a um conjunto de restrições .
Na maioria das vezes, em processos determinísticos de programação matemática
são utilizadas operações sobre as funções que utilizam a derivada primeira e por
82
vezes a derivada segunda da função objetivo, isto faz com que seja necessário que
a função seja contínua e diferenciável no espaço de busca.
Existem inúmeros tipos de algoritmos baseados na programação matemática,
adequados às peculiaridades das diferentes funções objetivo e suas restrições.
- Método Dos Pontos Interiores :
Segundo Rodrigues Junior (2005), o método dos pontos interiores é caracterizado
por gerar uma sequência de pontos contidos no interior da região viável, possuindo
valores decrescentes, até convergir para a solução do problema, ou ocasionalmente
para um mínimo local.
- Programação Quadrática Sequencial:
De acordo com Sias (2014), o método de programação quadrática sequencial (PQS)
consiste num método de otimização baseado na resolução das condições
necessárias de primeira ordem. Esse método tem como ideia principal se aproximar
do Método de Newton, visto que esse possui uma convergência quadrática muito
boa. Porém o Método de Newton só pode ser utilizado em problemas sem restrição.
E é neste ponto que se desenvolve a técnica da PQS que pode ser considerado
como o resultado da aplicação do método de Newton à minimização da função
Lagrangiana do problema.
4.3.2 Algoritmos Genéticos
Bastos (2004) afirma que o método dos Algoritmos Genéticos foi desenvolvido com
base na teoria de evolução das espécies, uma vez que segundo os princípios
darwinianos somente os indivíduos mais aptos sobrevivem no processo de
reprodução. Dessa forma o algoritmo trabalha com uma população de elementos,
realizando operações de mutação, de cruzamento entre eles e de seleção, gerando
desta forma indivíduos novos criados a partir da necessidade de seleção dos
83
indivíduos reprodutores mais aptos para realizarem as mesmas operações e desta
forma prosseguir no processo de busca da solução ideal.
84
5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O dimensionamento otimizado das vigas alveolares de aço envolve uma série de
variáveis e restrições para respeitar os critérios de dimensionamento estabelecidos
pelas pesquisas realizadas até o momento. Para a minimização do peso do perfil,
devem ser levadas em conta as recomendações do fabricante, os critérios de
dimensionamento, seções de aço disponíveis, entre outros. Lubke, Alves e Azevedo
(2016) apresentam a formulação e exemplos de aplicação para o problema
envolvendo vigas alveolares.
Deste modo, esta seção tem por objetivo definir as variáveis, função objetivo,
restrições e recomendações que serão utilizadas no programa computacional de
dimensionamento ótimo de vigas alveolares de aço.
5.1 VARIÁVEIS DO PROBLEMA
Nesta seção são tratadas as principais variáveis que definem todos os parâmetros
de resistência e peso relacionados ao dimensionamento de vigas alveolares de aço.
A partir dessas variáveis são estabelecidas as funções objetivo e restrições que
definem de fato o problema. É importante ressaltar que se trata de tipos diferentes
de vigas alveolares, as celulares e as casteladas, e as diferenças entre estes tipos
de vigas refletem em diferentes variáveis e restrições para o problema de
otimização.
Para o desenvolvimento deste problema considerou-se o aço como uma variável de
entrada, uma vez que a utilização de determinados tipos de aço depende da
disponibilidade do mesmo na região de utilização e fatores econômicos, entre
outros. Em função do algoritmo utilizado para a programação e a busca por
soluções mais próximas da ideal trabalhou-se com variáveis continuas, e não com
variáveis discretas que imitariam o numero de soluções à uma tabela de perfis.
As variáveis para as vigas celulares são:
𝑥1= Altura (d) do perfil de aço;
85
𝑥2 = Largura da mesa (bf) do perfil de aço;
𝑥3= Espessura da mesa (tf) do perfil de aço;
𝑥4 = Espessura da alma (tw) do perfil de aço;
𝑥5 = Razão entre o diâmetro dos alvéolos e a altura do perfil (𝜇 = D0/d);
𝑥6 = Razão entre o passo e o diâmetro dos alvéolos (𝜂 = p/D0).
Figura 5.1 – Variáveis do problema vigas celulares
Fonte: Autora
As variáveis para vigas casteladas são:
𝑥1= Altura (d) do perfil de aço;
𝑥2 = Largura da mesa (bf) do perfil de aço;
𝑥3= Espessura da mesa (tf) do perfil de aço;
𝑥4 = Espessura da alma (tw) do perfil de aço;
𝑥5 = Razão de expansão (𝑘);
𝑥6 = Altura da chapa expansora (ℎ𝑐).
86
Figura 5.2 – Variáveis do problema vigas celulares
Fonte: Autora
5.2 FUNÇÃO OBJETIVO
A função objetivo é o que se pretende minimizar, neste caso, o peso por metro de
um perfil de aço (𝑃𝑎), de acordo com as solicitações dadas. Outras opções para
função objetivo poderiam levar em conta o custo do perfil, do corte e da solda, o que
melhoraria ainda mais qualidade do programa, entretanto tornaria o programa
dependente de entrada de dados de custo de cada um destes elementos, e esses
custos nem sempre são facilmente levantados.
5.2.1 Vigas Celulares
O peso do perfil celular de aço varia de acordo com a seção transversal (𝐴𝑎), o
diâmetro das aberturas (𝐷0) e o número de aberturas por metro (𝑛).
O peso do perfil de aço é encontrado pelo produto entre o volume de aço e sua
massa específica. No entanto, uma viga alveolar apresenta variações de seção ao
longo do comprimento, dificultando o estabelecimento de uma equação para o
cálculo de seu volume. Com essa mudança constante de seção é conveniente
calcular o volume de aço da viga celular (𝑉𝑎) como o volume de uma viga de alma
cheia (𝑉𝑡) e descontar o volume das aberturas (𝑛 ∙ 𝑉𝑣) como mostra a Equação 5.1.
87
𝑉𝑎 = 𝑉𝑡 − 𝑉𝑣 (5.1)
O volume de aço de uma viga de alma cheia, com altura do perfil expandido será
dado pelo produto entre a área da seção de aço (𝐴𝑎) e seu comprimento, Equação
5.2. As expressões serão desenvolvidas para comprimento unitário.
𝑉𝑡 = 𝐴𝑎 ∙ 1 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑𝑔 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 (5.2)
O volume de uma abertura circular é dado pela Equação 5.3:
𝑉𝑣 =𝜋𝐷0
2
4 (5.3)
Em uma unidade de comprimento teremos um número (𝑛) de aberturas dado em
função do tamanho de um passo (𝑝), que é a distância entre o centro de duas
aberturas consecutivas (Equação 5.4).
𝑛 =1
𝑝 (5.4)
Substituindo as Equações 5.2, 5.3 e 5.4 na Equação 5.1 temos:
𝑉𝑎 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑𝑔 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 − 𝑛𝜋𝐷0
2
4 (5.5)
Assim, o peso (𝑃𝑎) de uma unidade de comprimento é expresso por:
𝑃𝑎 = (2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑𝑔 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 − 𝑛𝜋𝐷0
2
4) ∙ 𝜌𝑎 (5.6)
Onde 𝜌𝑎 é a massa específica do aço, equivalente a 7850 kg/m³.
O diâmetro das aberturas pode ser expresso por meio de:
μ =D0
d⇒ 𝐷0 = 𝜇 ∙ 𝑑 (5.7)
O tamanho de um passo pode ser definido por meio das equações 5.7 como:
88
η =p
D0⇒ 𝑝 = 𝜂 ∙ 𝐷0 = 𝜂 𝜇 𝑑 (5.8)
Com isso, o número de aberturas em uma unidade de comprimento, será expresso
por:
𝑛 =1
𝜂 𝜇 𝑑 (5.9)
Substituindo, sucessivamente, as equações 2.14, 2.13, 2.12 e 5.7 na Equação 2.15,
a altura do perfil expandido é dada pela equação a seguir:
𝑑𝑔 = 𝑑 + √(𝑑𝜇
2)2
− (𝑑𝜇(𝜂 − 1)
2)
2
(5.10)
Substituindo as Equações 5.7, 5.9 e 5.10 em 5.6, encontra-se o peso de aço em
função das variáveis do problema, conforme a seguinte expressão:
𝑃𝑎 = (2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 + √(𝑑𝜇
2)2
− (𝑑𝜇(𝜂 − 1)
2)
2
− 2𝑡𝑓) 𝑡𝑤 −1
𝜂 𝜇 𝑑∙𝜋(𝜇 ∙ 𝑑)2
4) ∙ 𝜌𝑎 (5.11)
Ou, em termos das variáveis do problema:
𝑃𝑎 = (2𝑥2𝑥3 + (𝑥1 + √(
𝑥1𝑥5
2)
2
− (𝑥1𝑥5(𝑥6 − 1)
2)
2
− 2𝑥3) ∙ 𝑥4 −1
𝑥6𝑥5𝑥1
∙𝜋(𝑥5 ∙ 𝑥1)
2
4)
∙ 𝜌𝑎
(5.12)
Que será a função objetivo que este trabalho irá utilizar nos problemas para
minimizá-la de acordo com cada situação de solicitações.
5.2.2 Vigas Casteladas
Para as vigas casteladas, em função da existência de uma única linha de corte, não
há perdas de material, no entanto, para esse modelo de vigas é considerada a
possibilidade de utilizar chapas expansoras, podendo então haver um acréscimo no
peso final das vigas. Entretanto, para este trabalho, o acréscimo de peso devido às
soldas não foi levado em consideração.
89
Analogamente o peso de aço (𝑃𝑎) pode ser encontrado por meio do produto entre o
volume de aço da seção alveolar (𝑉𝑎) e o peso específico do aço (𝜌𝑎).
O volume de aço unitário para um perfil castelado é encontrado pela soma entre o
volume de aço do perfil original (𝑉) e o volume de aço das chapas expansoras (𝑉𝑐ℎ)
encontradas na viga. O número de chapas expansoras em um comprimento unitário
da viga (𝑛) é dado pela equação 5.13 onde 𝑝 é o comprimento de um passo e o
volume aço encontrado em uma chapa expansora é dado pela equação 5.14.
𝑛 =1
𝑝 (5.13)
𝑉𝑐ℎ = 𝑏𝑤. 𝑡𝑤.ℎ𝑐 (5.14)
O volume do perfil de alma cheia (𝑉) é dado pelo produto entre a área da seção de
aço e o comprimento, neste caso será calculado o volume para um comprimento
unitário.
𝑉 = 𝐴𝑎 ∙ 1 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 (5.15)
Desta forma o volume total para um comprimento unitário da viga castelada é dado
por:
𝑉𝑎 = 𝑉 + 𝑛. 𝑉𝑐ℎ (5.16)
E, substituindo as Equações 5.13, 5.14 e 5.15 na Equação 5.16, temos:
𝑉𝑎 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 +1
𝑝∙ 𝑏𝑤𝑡𝑤ℎ𝑐 (5.17)
E finalmente, chega-se ao peso de aço unitário da viga de aço castelada, dado por:
𝑃𝑎 = (2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 +1
𝑝∙ 𝑏𝑤𝑡𝑤ℎ𝑐) . 𝜌𝑎 (5.18)
90
5.3 FUNÇÕES DE RESTRIÇÃO
Para uma definição completa do problema são determinadas as restrições,
determinando, desta forma, os limites nos quais o algoritmo utilizado irá trabalhar
para obter o ponto ótimo.
5.3.1 Critério dos limites geométricos:
Para a utilização da função de otimização “fmincon” do Matlab, trabalhou-se com a
otimização de variáveis contínuas. No entanto, os perfis de aço disponíveis no
mercado, são tabelados, portanto, configuram como variáveis discretas. Para
estabelecer as dimensões da seção de aço, foram impostas como restrições do
problema, o menor e o maior valor para cada uma das dimensões (d, bf, tf, e tw),
encontrados na tabela de perfis I da Gerdau Açominas. Essa tabela foi escolhida por
estar disponível no mercado nacional, e por indicar os possíveis limites máximos e
mínimos do laminador que produz esses perfis. As restrições das dimensões dos
perfis são dadas pelas Inequações 5.19 a 5.22.
148 ≤ 𝑑 ≤ 617 (5.19)
100 ≤ 𝑏𝑓 ≤ 325 (5.20)
4,9 ≤ 𝑡𝑓 ≤ 22,2 (5.21)
4,3 ≤ 𝑡𝑤 ≤ 14,0 (5.22)
Para encontrar seções mais condizentes com a realidade também foram limitadas as
relações entre estas características geométricas dos perfis de acordo com a tabela
utilizadas, conforme as inequações 5.23 a 5.26.
91
1,00 ≤
𝑡𝑓
𝑡𝑤≤ 1,79 (5.23)
0,96 ≤
𝑑
𝑏𝑓≤ 3,22 (5.24)
17,08 ≤
𝑑
𝑡𝑤≤ 62,34 (5.25)
9,42 ≤
𝑏
𝑡𝑓≤ 27,82 (5.26)
As restrições apresentadas nas equações 5.19 a 5.26 são válidas tanto para perfis
celulares quanto para perfis castelados, entretanto, existem ainda restrições
geométricas distintas para cada tipo de viga alveolar.
5.3.2 Vigas Celulares
O catálogo de perfis alveolares da ArcelorMittal estabelece restrições diferentes para
sistemas de piso e cobertura em relação às razões entre o passo e o diâmetro das
aberturas e entre o diâmetro das aberturas e a altura do perfil original, e também
para a razão de expansão do perfil.
A expressão para o cálculo da razão de expansão (𝑘) é definida substituindo a
Equação 5.10 na Equação 2.17 obtendo:
𝑘 =𝑑𝑔
𝑑=
𝑑 + √(𝑑𝜇2 )
2
− (𝑑𝜇(𝜂 − 1)
2 )2
𝑑
(5.27)
Para sistemas de piso, são estabelecidas como restrições, as Inequações 5.28, 5.29
e 5.30.
0,8 ≤ 𝜇 ≤ 1,1 (5.28)
1,2 ≤ 𝜂 ≤ 1,7 (5.29)
92
1,3 ≤ 𝑘 ≤ 1,4 (5.30)
Para sistemas de cobertura, são estabelecidas como restrições as Inequações 5.31,
5.32 e 5.33:
1,0 ≤ 𝜇 ≤ 1,3 (5.31)
1,1 ≤ 𝜂 ≤ 1,3 (5.32)
1,4 ≤ 𝑘 ≤ 1,6 (5.33)
Também são estabelecidas dimensões mínimas e máximas para a largura do
montante da alma (𝑏𝑤), definidas por:
𝑏𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 {𝐷0
12=
𝑑𝜇
1250𝑚𝑚
(5.34)
𝑏𝑤,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑏𝑤 ≤ 0,75𝐷0 = 0,75𝑑𝜇 (5.35)
5.3.3 Vigas Casteladas
Para vigas casteladas, é necessário estabelecer como restrição a razão de
expansão máxima possível para o perfil. Essa restrição foi estabelecida
considerando que a maior expansão possível, sem o acréscimo de chapas
expansoras, ocorrerá quando a altura livre da alma do perfil expandido for o dobro
da altura livre da alma do perfil original, conforme as equações a seguir:
𝑑𝑔 − 2𝑡𝑓 − 2𝑟 ≤ 2(𝑑 − 2𝑡𝑓 − 2𝑟) (5.36)
Desenvolvendo:
𝑑𝑔 ≤ 2𝑑 − 2𝑡𝑓 − 2𝑟 (5.37)
Uma vez que 𝑘 = 𝑑𝑔/𝑑, podemos escrever como restrição:
93
𝑘 ≤2𝑑 − 2𝑡𝑓 − 2𝑟
𝑑 (5.38)
5.4 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
A verificação dos critérios de resistência é o mais importante no dimensionamento
de estruturas. Através de um conjunto de critérios é garantida a estabilidade do
elemento, implicando que o esforço solicitante aplicado à estrutura seja menor que o
esforço que a mesma é capaz de resistir. Para o estabelecimento dos critérios de
resistência foram utilizados os critérios desenvolvidos na seção 3.3. Estes critérios
foram resumidos através das Inequações 5.39 a 5.43, e são os mesmos tanto para
vigas celulares quanto para as vigas casteladas.
1 −
𝑀𝑝𝑙/𝛾𝑎1
𝑀𝑆𝑑𝑥≤ 0 (5.39)
1 −
𝑉𝑅𝑑1
𝑉𝑆𝑑≤ 0 (5.40)
1 −
𝑉𝑅𝑑2
𝑉𝑆𝑑≤ 0 (5.41)
1 −
𝑉𝑎𝑑
𝑉𝑆𝑑≤ 0 (5.42)
1 −
𝑀𝑅𝑑
𝑀𝑆𝑑≤ 0 (5.43)
Para o caso de vigas também é importante que sejam verificados os estados limites
de serviço, definidos na seção 3.4 e também pela Inequação 5.44.
1 −
𝑓𝑎𝑑𝑚
𝑓≤ 0 (5.44)
94
5.5 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Uma vez expostas todas as variáveis e funções relacionadas ao problema, é
possível descrevê-lo conforme as formulações definidas a nesta seção. O algoritmo
implementado irá utilizar estas informações para que, por meio da técnica escolhida,
consiga calcular o resultado otimizado do peso de um perfil alveolar.
5.5.1 Vigas celulares
Minimizar:
𝑃𝑎 = (2𝑥2𝑥3 + (𝑥1 + √(𝑥1𝑥5
2)
2
− (𝑥1𝑥5(𝑥6 − 1)
2)
2
− 2𝑥3) ∙ 𝑥4 −1
𝑥6𝑥5𝑥1
∙𝜋(𝑥5 ∙ 𝑥1)
2
4) ∙ 𝜌
𝑎 (5.12)
Sujeito a:
148 ≤ 𝑥1 ≤ 617 (5.19)
100 ≤ 𝑥2 ≤ 325 (5.20)
4,9 ≤ 𝑥3 ≤ 22,2 (5.21)
4,3 ≤ 𝑥4 ≤ 17,40 (5.22)
1,00 ≤𝑥3
𝑥4≤ 1,79 (5.23)
0,96 ≤ 𝑥1
𝑥2≤ 3,22 (5.24)
17,08 ≤𝑥1
𝑥4≤ 62,34 (5.25)
9,42 ≤𝑥4
𝑥3≤ 27,82 (5.26)
𝑏𝑤,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑏𝑤 ≤ 0,75𝑥1𝑥5 (5.35)
95
𝑀𝑝𝑙/𝛾𝑎1
𝑀𝑆𝑑𝑥− 1 ≥ 0 (5.39)
𝑉𝑅𝑑1
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.40)
𝑉𝑅𝑑2
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.41)
𝑉𝑎𝑑
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.42)
𝑀𝑅𝑑
𝑀𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.43)
𝑓𝑎𝑑𝑚
𝑓− 1 ≥ 0 (5.44)
Para sistemas de piso: 0,8 ≤ 𝑥5 ≤ 1,1 (5.28)
1,2 ≤ 𝑥6 ≤ 1,7 (5.29)
1,3 ≤ 𝑘 ≤ 1,4 (5.30)
Para sistemas de cobertura: 1,0 ≤ 𝑥5 ≤ 1,3 (5.31)
1,1 ≤ 𝑥6 ≤ 1,3 (5.32)
1,4 ≤ 𝑘 ≤ 1,6 (5.33)
5.5.2 Vigas casteladas
Minimizar:
𝑃𝑎 = (2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 2𝑡𝑓)𝑡𝑤 +1
𝑝∙ 𝑏𝑤𝑡𝑤ℎ𝑐) . 𝜌𝑎 (5.18)
Sujeito a:
96
148 ≤ 𝑥1 ≤ 617 (5.19)
100 ≤ 𝑥2 ≤ 325 (5.20)
4,9 ≤ 𝑥3 ≤ 22,2 (5.21)
4,3 ≤ 𝑥4 ≤ 17,40 (5.22)
1,00 ≤𝑥3
𝑥4≤ 1,79 (5.23)
0,96 ≤ 𝑥1
𝑥2≤ 3,22 (5.24)
17,08 ≤𝑥1
𝑥4≤ 62,34 (5.25)
9,42 ≤𝑥4
𝑥3≤ 27,82 (5.26)
𝑘 ≤
2𝑑 − 2𝑡𝑓 − 2𝑟
𝑑 (5.38)
𝑀𝑝𝑙/𝛾𝑎1
𝑀𝑆𝑑𝑥− 1 ≥ 0 (5.39)
𝑉𝑅𝑑1
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.40)
𝑉𝑅𝑑2
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.41)
𝑉𝑎𝑑
𝑉𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.42)
𝑀𝑅𝑑
𝑀𝑆𝑑− 1 ≥ 0 (5.43)
𝑓𝑎𝑑𝑚
𝑓− 1 ≥ 0 (5.44)
97
5.6 ESCOLHA DO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO
Para a escolha do algoritmo a ser utilizado foram testados alguns exemplos apenas
para as vigas celulares, utilizando o software Matlab e seus pacotes de otimização.
Foram utilizados os métodos de programação quadrática sequencial, o método dos
pontos interiores e o método dos algoritmos genéticos.
Os exemplos testes desenvolvidos foram nove vigas para sistemas de piso,
sujeitas ao peso próprio, cargas permanentes iguais a 9 kN/m e cargas variáveis
igual a 12 kN/m de comprimentos 7,50m a 11,50m e seis vigas para sistemas de
cobertura, sujeitas ao peso próprio, cargas permanentes iguais a 3 kN/m e cargas
variáveis igual a 9 kN/m de comprimentos 12,00m a 15,00m.
Cada uma dessas Vigas foi dimensionada através de um programa comercial,
através do programa de dimensionamento desenvolvido e através do programa de
otimização, sendo esse último realizado por meio de três processos de otimização
distintos, sendo eles o Método dos Pontos Interiores, a Programação Quadrática
Sequencial e o Método dos Algoritmos Genéticos. Na Tabela 5.1 estão listados os
pesos por metro linear de perfil encontrado para cada método.
Tabela 5.1 – Pesos por metro linear encontrados
PESOS ENCONTRADOS OTIMIZAÇÃO
(kg/m) PESOS ENCONTRADOS
DIMENSIONAMENTO (kg/m)
PONTOS
INTERIORES PQS
ALGORITMOS GENÉTICOS
CYPECAD DIMENS.
CONVENCIONAL
V1 71,04 72,22 71,70 79,00 72,00
V2 77,75 77,74 79,42 92,00 79,00
V3 84,81 84,81 85,84 101,00 92,00
V4 92,07 92,20 93,39 113,00 101,00
V5 99,54 99,54 100,57 155,00 113,00
V6 107,21 107,21 108,53 155,00 122,00
V7 115,12 115,12 116,04 155,00 122,00
V8 124,17 124,17 130,66 155,00 155,00
V9 133,55 133,55 132,77 155,00 155,00
V10 92,59 92,59 92,89 155,00 93,00
98
V11 98,84 98,84 98,43 155,00 101,00
V12 105,41 105,41 104,50 155,00 107,00
V13 112,14 112,14 110,54 155,00 115,00
V14 119,24 119,05 115,84 155,00 117,00
V15 126,13 126,13 122,78 155,00 155,00
V16 133,37 133,37 129,52 174,00 155,00
Na Tabela 5.2 está indicada a redução percentual do peso dos perfis. Nas
quatro primeiras colunas é indicada a redução percentual dos três métodos de
otimização e do programa de dimensionamento desenvolvido em relação ao peso do
perfil indicado pelo programa de dimensionamento comercial. Nas três últimas
colunas estão indicadas as reduções percentuais de peso perfis encontrados através
dos métodos de otimização em relação ao programa desenvolvido.
Tabela 5.2 - Reduções percentuais de peso por metro linear
Redução percentual em relação ao peso obtido
através do software comercial
Redução percentual em relação ao peso obtido através do
software desenvolvido
Pontos
Interiores PQS
Algoritmos Genéticos
Programa de Dimensionamento
Pontos Interiores
PQS Algoritmos Genéticos
V1 10,08% 8,58% 9,24% 8,86% 1,33% -0,31% 0,42%
V2 15,49% 15,50% 13,67% 14,13% 1,58% 1,60% -0,53%
V3 16,03% 16,03% 15,01% 8,91% 7,82% 7,82% 6,69%
V4 18,52% 18,40% 17,35% 10,62% 8,84% 8,71% 7,53%
V5 35,78% 35,78% 35,12% 27,10% 11,91% 11,91% 11,00%
V6 30,83% 30,83% 29,98% 21,29% 12,12% 12,12% 11,04%
V7 25,73% 25,73% 25,14% 21,29% 5,64% 5,64% 4,88%
V8 19,89% 19,89% 15,70% 0,00% 19,89% 19,89% 15,70%
V9 13,84% 13,84% 14,34% 0,00% 13,84% 13,84% 14,34%
V10 40,26% 40,26% 40,07% 40,00% 0,44% 0,44% 0,12%
V11 36,23% 36,23% 36,50% 34,84% 2,14% 2,14% 2,55%
V12 32,00% 32,00% 32,58% 30,97% 1,49% 1,49% 2,34%
V13 27,65% 27,65% 28,68% 25,81% 2,48% 2,48% 3,88%
V14 23,07% 23,19% 25,27% 24,52% -1,91% -1,75% 0,99%
V15 18,63% 18,63% 20,79% 0,00% 18,63% 18,63% 20,79%
V16 23,35% 23,35% 25,56% 10,92% 13,96% 13,96% 16,44%
Nota-se uma redução significativa para algumas situações, de até 40% para o
caso da viga V10, quando comparamos o método de dimensionamento proposto
99
neste trabalho com o resultado encontrado com o programa comercial. Quando se
compara apenas a redução de peso dos perfis otimizados em relação aos pesos
encontrados pelo dimensionamento proposto, encontram-se reduções de até 20%,
no caso da viga V8. Na Figura 5.3 é possível visualizar melhor a diferença de peso
entre as seções de aço encontradas.
Figura 5.3 - Pesos dos perfis
Fonte: Autora
Para o conjunto de exemplos avaliados o método dos Pontos Interiores
apresentou um número médio de 43 iterações, enquanto o método da Programação
Quadrática Sequencial este número foi de 24 iterações. Para o Método dos
Algoritmos Genéticos foi encontrado um número médio de 6 gerações para a
convergência, porém foram necessárias varias tentativas de taxa de mutação e
crossover para encontrar uma solução, tornando este método mais trabalhoso. E, a
partir dos resultados obtidos, determinou-se que o método da programação
quadrática sequencial foi o que melhor se adaptou à proposta deste trabalho,
portanto, prosseguiu-se o desenvolvimento do programa final apenas para este
método.
60,0
110,0
160,0
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16
Pe
so (
Kg)
Pontos Interiores PQS
Algoritmos Genéticos CYPECAD I
100
6 METODOLOGIA
A formulação presente neste trabalho tanto para o dimensionamento convencional,
quanto para o dimensionamento otimizado foi desenvolvida no Matlab 2013.
O programa computacional desenvolvido para o dimensionamento e otimização de
vigas de aço alveolares biapoiadas sujeitas a cargas uniformemente distribuídas,
tem como base formulações propostas por Cimadevilla (2000), Silveira (2011),
Veríssimo et al (2012) uma vez que a ABNT NBR 8800:2008 não inclui dentro do
seu texto o dimensionamento de vigas alveolares.
Os programas computacionais de dimensionamento de Vigas Alveolares existentes
no mercado têm como base estudos e normas internacionais, portanto uma
comparação direta com tais programas seria ineficiente para avaliar o desempenho
do programa desenvolvido neste trabalho. Portanto para realizar a verificação do
programa, quatro exemplos foram resolvidos manualmente e os resultados
encontrados foram comparados com aqueles fornecidos pelo programa de
otimização desenvolvido. Adicionalmente, os resultados obtidos para a flambagem
lateral com torção foram comparados com Abreu (2011).
6.1 O PROGRAMA DESENVOLVIDO
O programa computacional desenvolvido neste trabalho utilizou a plataforma do
MatLab (2013). A Figura 6.1 mostra a tela inicial onde o usuário pode escolher se
prosseguirá realizando o dimensionamento convencional por meio de tentativas, ou
se optará por realizar a otimização do perfil alveolar.
A Figura 6.2 mostra a tela do programa de dimensionamento desenvolvido, onde o
usuário pode escolher o tipo de viga a ser dimensionado, o tipo de aço a sser
utilizado dentre as opções disponíveis (ASTM A36, ASTM A572 Gr 50, ASTM A572
Gr 60 ou ASTM A588), o comprimento da viga e as solicitações atuantes. O
programa realiza as verificações e retorna para o usuário se o perfil está aprovado
ou reprovado para cada um dos modos de colapso possíveis.
101
Figura 6.1 – Tela inicial do programa desenvolvido
Fonte: Autora
Figura 6.2 – Tela do programa de dimensionamento de vigas alveolares
Fonte: autora
Quando o usuário opta por realizar um processo de otimização é exibida a tela da
Figura 6.3.
102
Figura 6.3 – Entrada de dados do programa de otimização
Fonte: autora
Nesta tela da Figura 6.3 o usuário devera escolher o tipo de aço, o tipo de viga, se
será um elemento de piso ou de cobertura, informar o comprimento e as condições
de contenção lateral, o tipo de otimização escolhida, e por fim as solicitações e os
coeficientes de ponderação adotados. Ao clicar em prosseguir com a otimização é
mostrada a tela da Figura 6.4.
Figura 6.4 – Resultados Otimização
Fonte: autora
103
É possível notar que a tela exibida na Figura 6.4 apresenta dois resultados para o
perfil otimizado, o primeiro é a solução encontrada pelo processo de otimização,
criando um perfil inexistente em tabelas de perfis, e a segunda solução apresenta o
perfil mais leve da tabela de perfis que consegue resistir às solicitações impostas ao
perfil. A utilização de variáveis discretas limitaria o programa a apenas uma solução,
ou seja, o perfil existente na tabela. Nesta tela existe um botão denominado ‘Novo
Perfil’, ao acionar este botão será novamente exibida a tela representada na Figura
6.3, e um novo processo de otimização poderá ser realizado.
Na Figura 6.4 é exibido um botão chamado ‘Plotar Esquema’ e com esse botão é
possível gerar um projeto simplificado da viga dimensionada, com as dimensões,
número e tamanho de alvéolos determinados pelo processo de otimização, conforme
exibido na Figura 6.5. Também é possível visualizar o desperdício de aço nos
extremos da viga, e a as chapas complementares necessárias nas extremidades das
vigas.
Figura 6.5 – Exemplo de projeto da viga alveolar
Fonte: autora
Também na Figura 6.4 são exibidos dois botões chamados ‘Verificações’, a única
diferença entre estes botões é que um exibe as verificações feitas para as vigas
otimizadas e outro exibe as verificações da viga encontrada a partir da tabela de
perfis. Ao clicar em um destes botões é exibida uma tela igual àquela mostrada na
Figura 6.6. Essa tela apresenta um resumo das verificações executadas, incluindo
as restrições geométricas, as correlações estabelecidas e as verificações
executadas para os modos de colapso possíveis. Também são mostrados os índices
de aproveitamento do perfil. Para cada uma das verificações executadas, mostra-se
se esta verificação é considerada uma restrição ativa durante o processo de
otimização.
104
Figura 6.6 – Tela de verificações dos modos de colapso
Fonte: autora
105
6.2 VERIFICAÇÃO DO PROGRAMA
A validação do programa desenvolvido é realizada por meio da comparação com
exemplos numéricos desenvolvidos manualmente, utilizando a formulação sugerida
por Veríssimo et al. (2012). Esta verificação manual dos exemplos encontra-se
disponível no APÊNDICE.
6.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS
Os resultados obtidos a partir dos cálculos manuais foram comparados com os
resultados fornecidos pelo programa de dimensionamento desenvolvido neste
trabalho. O programa utiliza a tabela de perfis, e no programa de otimização, que
encontra resultados de perfis inexistentes na tabela, que na pratica configurariam
como perfis soldados.
6.3.1 Viga Celular
Figura 6.7 – Resultados obtidos pelo programa de Dimensionamento Convencional para a viga celular
Fonte: Autora
106
A Figura 6.7 apresenta os resultados obtidos pelo programa de dimensionamento
convencional para a viga Celular resolvida na seção Erro! Fonte de referência não
encontrada..
Tabela 6.1- Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Anglo-Saxão com perfil da tabela
Cálculo Manual
Programa de Dimensionamento
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 168,00 kg/m 168,00 kg/m 0,00%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 1088,1 kNm 1087,5 kNm 0,05%
Resistente 2275,98 kNm 2276 kNm 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 262,38 kN 262,35 kN 0,01%
Resistente 306,8 kN 306,8 kN 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 262,38 kN 262,35 kN 0,01%
Resistente 324,81 kN 324,81 kN 0,00%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 262,38 kN 262,35 kN 0,01%
Resistente 357,29 kN 357,29 kN 0,00%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 787,14 kNm 787,05 kNm 0,01%
Resistente 936,56 kNm 935,38 kNm 0,13%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 1,23 cm 1,23 cm 0,00%
Resistente 3,43 cm 3,43 cm 0,00%
A partir da análise dos resultados é possível concluir que o programa de
dimensionamento desenvolvido apresenta resultados compatíveis com a formulação
proposta para este modelo de viga, uma vez que a diferença entre os resultados
obtidos pelo cálculo manual e o programa desenvolvido são inferiores a 1%.
107
Para a avaliação dos resultados obtidos a partir do programa de otimização, tomou-
se o caminho oposto, o perfil apontado como solução ótima do problema proposto,
foi utilizado para realizar o cálculo manual e realizar a comparação exposta na
Tabela 6.2. A Figura 6.8 e a Figura 6.9 apresentam os resultados obtidos pelo
programa de otimização.
Figura 6.8 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a viga celular
Fonte: Autora
Figura 6.9 - Verificações obtidas pelo programa de otimização para a viga celular
Fonte: Autora
108
Tabela 6.2 - Comparação dos Resultados Para Viga Celular com perfil otimizado
Cálculo manual
Programa de Otmização
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 139,17 kg/m 139,21 kg/m -0,03%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 1223,42 kNm 1218,6 kNm 0,39%
Resistente 1962,45 kNm 1962,6 kNm -0,01%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 260,16 kN 260,19 kN -0,01%
Resistente 260,5 kN 260,19 kN 0,12%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 260,16 kN 260,19 kN -0,01%
Resistente 294,56 kN 293,07 kN 0,51%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 260,16 kN 260,19 kN -0,01%
Resistente 307,84 kN 310,12 kN -0,74%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 780,48 kNm 780,57 kNm -0,01%
Resistente 784,06 kNm 780,57 kNm 0,45%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 1,42 cm 1,42 cm 0,00%
Resistente 3,43 cm 3,43 cm 0,00%
Como foi utilizado o mesmo perfil para os dois casos, as diferenças encontradas
entre os resultados expostos são inferiores a 1%. Essas diferenças são provenientes
de arredondamentos realizados durante o cálculo manual, e arredondamento nas
dimensões do perfil, uma vez que o programa de otimização trabalha com variáveis
contínuas e utiliza várias casas decimais para a realização dos cálculos.
6.3.2 Viga Castelada Padrão Peiner
109
A Figura 6.10 apresenta os resultados obtidos pelo programa de dimensionamento
convencional para as vigas de padrão Peiner, e a Tabela 6.3 compara os principais
resultados obtidos para vigas casteladas no padrão Peiner, os resultados foram
obtidos manualmente, por meio de tentativas, e os resultados para o mesmo perfil
utilizado para a solução manual, agora sendo resolvido pelo programa de
dimensionamento desenvolvido.
Figura 6.10 – Resultados obtidos pelo programa de Dimensionamento Convencional para a viga padrão Peiner
Fonte: Autora
Tabela 6.3- Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Peiner com perfil da tabela
Cálculo Manual
Programa de Dimensionamento
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 98,31 kg/m 98,32 kg/m -0,01%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 790,16 kNm 789,8 kNm 0,05%
Resistente 794,18 kNm 794,2 kNm 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 179,6 kN 179,47 kN 0,07%
Resistente 187,39 kN 187,4 kN -0,01%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 179,6 kN 179,47 kN 0,07%
Resistente 266,03 kN 266,03 kN 0,00%
110
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 179,6 kN 179,47 kN 0,07%
Resistente 292,63 kN 292,64 kN 0,00%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 449 kNm 448,68 kNm 0,07%
Resistente 471,3 kNm 454,31 kNm 3,60%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 2,31 cm 2,31 cm 0,00%
Resistente 2,86 cm 2,86 cm 0,00%
Analisando os resultados conclui-se que o programa de dimensionamento
desenvolvido apresenta resultados compatíveis com a formulação proposta para
este modelo de viga, uma vez que a diferença entre os resultados obtidos pelo
cálculo manual e o programa desenvolvido são inferiores a 4%.
Figura 6.11 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a viga padrão Peiner
Fonte: Autora
Para a comparação dos resultados obtidos a partir do programa de otimização, foi
realizado o procedimento oposto, o perfil apontado como solução ótima do problema
111
proposto, foi utilizado para realizar o cálculo manual e realizar a comparação
mostrada na Tabela 6.4. A Figura 6.11 e a Figura 6.12 apresentam os resultados
obtidos pelo programa de otimização.
Figura 6.12 - Verificações obtidas pelo programa de otimização para a viga celular
Fonte: Autora
Tabela 6.4 - Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Peiner com perfil otimizado
Cálculo manual
Programa de Otmização
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 85,78 kg/m 85,59 kg/m 0,22%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 917,24 kNm 894,09 kNm 2,52%
Resistente 897,63 kNm 894,09 kNm 0,39%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 178,8 kN 178,79 kN 0,01%
Resistente 183,11 kN 182,39 kN 0,39%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 178,8 kN 178,79 kN 0,01%
Resistente 245,35 kN 243,77 kN 0,64%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 178,8 kN 178,79 kN 0,01%
Resistente 178,86 kN 178,79 kN 0,04%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 447 kNm 446,97 kNm 0,01%
Resistente 450,6 kNm 446,97 kNm 0,81%
112
As diferenças encontradas entre os resultados expostos são inferiores a 3%, e
provenientes de arredondamentos realizados durante o cálculo manual.
6.3.3 Viga Castelada Padrão Litzka
A Figura 6.13 apresenta os resultados obtidos pelo programa de dimensionamento
convencional para vigas do padrão Litzka.
Figura 6.13 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a viga padrão Litzka
Fonte: Autora
A Tabela 6.5 mostra os principais resultados obtidos para vigas casteladas no
padrão Litzka, sendo obtidos manualmente, por meio de tentativas, e os resultados
para o mesmo perfil utilizado para a solução manual, agora sendo resolvido pelo
programa de dimensionamento desenvolvido.
113
Tabela 6.5- Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Litzka com perfil da tabela
Cálculo Manual
Programa de Dimensionamento
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 98,95 kg/m 98,97 kg/m -0,02%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 649,35 kNm 648,99 kNm 0,06%
Resistente 799,11 kNm 799,04 kNm 0,01%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 179,60 kN 179,51 kN 0,05%
Resistente 183,35 kN 183,35 kN 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 179,60 kN 179,51 kN 0,05%
Resistente 239,16 kN 239,15 kN 0,00%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 179,60 kN 179,51 kN 0,05%
Resistente 263,08 kN 263,07 kN 0,00%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 449,00 kNm 449,06 kNm 0,00%
Resistente 469,29 kNm 452,94 kNm 3,48%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 2,32 cm 2,32 cm 0,00%
Resistente 2,86 cm 2,86 cm 0,00%
A partir da análise dos resultados é possível concluir que o programa de
dimensionamento desenvolvido apresenta resultados compatíveis com a formulação
proposta para este modelo de viga, uma vez que a diferença entre os resultados
obtidos pelo cálculo manual e o programa desenvolvido são inferiores a 3,5%.
Para a comparação dos resultados obtidos a partir do programa de otimização,
utilizou-se o caminho oposto, o perfil apontado como solução ótima do problema
proposto, foi utilizado para realizar o cálculo manual e realizar a comparação
114
exposta na Tabela 6.6. A Figura 6.14 e a Figura 6.15 apresentam os resultados
obtidos pelo programa de otimização.
Figura 6.14 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a padrão Litzka
Fonte: Autora
Figura 6.15 - Verificações obtidas pelo programa de otimização para a viga padrão Litzka
Fonte: Autora
115
Tabela 6.6 - Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Anglo-Saxão com perfil otimizado
Cálculo manual
Programa de Otimização
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 85,68 kg/m 83,50 kg/m 2,54%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 911,88 kNm 893,29 kNm 2,04%
Resistente 894,46 kNm 892,29 kNm 0,24%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 178,80 kN 178,78 kN 0,01%
Resistente 181,91 kN 180,87 kN 0,57%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 178,80 kN 178,78 kN 0,01%
Resistente 246,15 kN 243,78 kN 0,96%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 178,80 kN 178,78 kN 0,01%
Resistente 180,04 kN 178,78 kN 0,70%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 447,00 kNm 446,95 kNm 0,01%
Resistente 450,16 kNm 446,95 kNm 0,71%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 1,71 cm 1,71 cm 0,00%
Resistente 2,86 cm 2,86 cm 0,00%
Uma vez que foi utilizado o mesmo perfil, as diferenças encontradas entre os
resultados expostos são inferiores a 3%, para este exemplo, e são provenientes de
arredondamentos realizados durante o cálculo manual.
6.3.4 Viga Castelada Padrão Anglo-Saxão
A Tabela 6.7 mostra os principais resultados obtidos para vigas casteladas no
padrão Anglo-Saxão, sendo estes os resultados obtidos manualmente, por meio de
116
tentativas, e os resultados para o mesmo perfil utilizado para a solução manual,
agora sendo resolvido pelo programa de dimensionamento desenvolvido. A Figura
6.16 apresenta os resultados obtidos pelo programa de dimensionamento
convencional para vigas do padrão Litzka.
Figura 6.16 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a viga padrão Anglo-Saxão
Fonte: Autora
Tabela 6.7- Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Anglo-Saxão com perfil da tabela
Cálculo Manual
Programa de Dimensionamento
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 110,65 kg/m 110 kg/m 0,59%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 585,28 kNm 585,01 kNm 0,05%
Resistente 782,63 kNm 782,64 kNm 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 180,35 kN 180,31 kN 0,02%
Resistente 186,69 kN 186,69 kN 0,00%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 180,35 kN 180,31 kN 0,02%
Resistente 375,09 kN 375,1 kN 0,00%
Flambagem Lateral do
Solicitante 180,35 kN 180,31 kN 0,02%
117
Montante da Alma
Resistente 412,6 kN 412,6 kN 0,00%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 450,88 kNm 450,89 kNm 0,00%
Resistente 471,3 kNm 459,23 kNm 2,56%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 2,42 cm 2,41 cm 0,41%
Resistente 2,86 cm 2,86 cm 0,00%
A partir da análise dos resultados é possível concluir que o programa de
dimensionamento desenvolvido apresenta resultados compatíveis com a formulação
proposta para este modelo de viga, uma vez que a diferença entre os resultados
obtidos pelo cálculo manual e o programa desenvolvido são inferiores a 3%.
Para a comparação dos resultados obtidos a partir do programa de otimização,
tomou-se o caminho oposto, o perfil apontado como solução ótima do problema
proposto, foi utilizado para realizar o cálculo manual e realizar a comparação
exposta na Tabela 6.8. A Figura 6.14 e a Figura 6.15 apresentam os resultados
obtidos pelo programa de otimização.
Figura 6.17 - Resultados obtidos pelo programa de otimização para a padrão Anglo-Saxão
Fonte: Autora
118
Figura 6.18 - Verificações obtidas pelo programa de otimização para a viga padrão Anglo-Saxão
Fonte: Autora
Tabela 6.8 - Comparação dos Resultados Para Viga Padrão Anglo-Saxão com perfil otimizado
Cálculo manual
Programa de Otimização
Diferença
Peso do Perfil Alveolar 87,41 kg/m 87,46 kg/m -0,06%
Formação de Mecanismo Vierendeel
Solicitante 1039,41 kNm 1065,8 kNm -2,54%
Resistente 1064,6 kNm 1065,8 kNm -0,11%
Escoamento do Montante da Alma por
Cisalhamento
Solicitante 178,9 kN 178,9 kN 0,00%
Resistente 177,97 kN 178,9 kN -0,52%
Escoamento do Montante da Alma por
Flexão
Solicitante 178,9 kN 178,9 kN 0,00%
Resistente 357,58 kN 359,45 kN -0,52%
Flambagem Lateral do
Montante da Alma
Solicitante 178,9 kN 178,9 kN 0,00%
Resistente 183,24 kN 183,84 kN -0,33%
Flambagem Lateral com
Torção
Solicitante 447,25 kNm 447,26 kNm 0,00%
Resistente 447,95 kNm 447,26 kNm 0,15%
Deslocamento Excessivo
Solicitante 1,19 cm 1,18 cm 0,84%
Resistente 2,86 cm 2,86 cm 0,00%
119
Uma vez o mesmo perfil é utilizado, as diferenças encontradas entre os resultados
expostos são inferiores a 3%, e provenientes de arredondamentos realizados
durante o cálculo manual.
6.4 COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS FORNECIDOS POR PROGRAMAS
DE DIMENSIONAMENTO DISPONÍVEIS NO MERCADO
Existem no mercado programas de dimensionamento capazes de dimensionar vigas
de aço alveolares, no entanto a inexistência de normas brasileiras, e por vezes a
impossibilidade de verificar a formulação utilizada para o dimensionamento
realizado, é impossível realizar uma comparação direta e precisa dos resultados
encontrados, entretanto optou-se por exibir os resultados encontrados para as vigas
usadas como modelo de validação.
6.4.1 Programa Computacional ACB+ 3.11
A empresa ArcelorMittal fornece gratuitamente um programa de dimensionamento
para vigas de aço celulares, uma viga similar à apresentada na seção Erro! Fonte
de referência não encontrada. foi inserida no programa ACB+ 3.11 e os resultados
obtidos estão mostrados na Figura 6.19.
Foi inserida uma viga biapoiada de 12 metros, considerando como carregamentos o
seu peso próprio, uma carga permanente de 18,0 kN/m, uma carga variável principal
de 9 kN/m e uma ação variável secundária de 1,5 kN/m. Para estas cargas foi
inserido um coeficiente de ponderação das ações igual a 1,5. A correlação 𝑝/𝐷0
utilizada foi de aproximadamente 1,27 e a correlação 𝐷0/𝑑 foi igual a 0,82.
120
Figura 6.19 – Resultados fornecidos pelo programa ACB+ 3.11
Fonte: Programa ACB+ 3.11
Podemos perceber que pelos resultados apresentados o programa utiliza uma
formulação diferente para o dimensionamento das vigas alveolares, todos eles são
baseados em normas estrangeiras. Uma viga que seria considerada aprovada pelo
programa desenvolvido, não satisfaz o critério de flambagem lateral com torção no
programa ACB+ 3.11, embora atenda a todos os outros critérios. Não foram
apresentadas mais comparações entre o programa desenvolvido e o ACB+ 3.11
neste trabalho.
121
6.4.2 Programa computacional CYPECAD 2014
O Cypecad 2014 permite o dimensionamento de vigas celulares e de vigas
casteladas, portanto, foi dimensionada uma de cada tipo para comparação com
aquelas encontradas pelo programa de dimensionamento desenvolvido.
6.4.2.1 Viga Celular
Uma viga similar à apresentada na seção Erro! Fonte de referência não
encontrada. foi inserida no programa CYPECAD 2014, e os resultados
apresentados por este programa são exibidos na Figura 6.20.
A viga inserida foi de 12 metros, considerando como carregamentos o seu peso
próprio, uma carga permanente de 18,0 kN/m, uma carga variável principal de 9,75
kN/m. Para estas cargas foi inserido um coeficiente de ponderação das ações igual
a 1,5. A correlação 𝑝/𝐷0 utilizada foi de aproximadamente 1,30 e a correlação 𝐷0/𝑑
foi igual a 0,80.
Figura 6.20 – Resultados apresentados pelo Programa CYPECAD para viga celular
Fonte: CYPECAD 2014
Pode-se observar que um perfil considerado aprovado pelo programa desenvolvido
é considerado inadequado pelo programa CYPECAD 2014. Entretanto não é
possível invalidar o programa desenvolvido, uma vez que as condições de
carregamento, ponderação de ações e critérios de dimensionamento não puderam
ser idênticas para as duas situações.
122
6.4.2.2 Vigas casteladas
As vigas casteladas consideradas neste trabalho podem ser de três tipos, as vigas
do tipo Peiner, Litzka ou aquelas do padrão Anglo-Saxão, e uma similar a cada uma
delas foi dimensionada através do programa CYPECAD 2014.
Padrão Peiner
Para este exemplo foi considerada uma viga de 10 metros constituída por um perfil
W 310 X 97, submetida ao peso próprio, uma carga permanente de 15 kN/m, uma
ação variável de 8,125 kN/m, com as seguintes correlações :
𝑑𝑔
𝑑≅ 1,61
𝑝
𝑑≅ 1,35
ℎ𝑐
𝑑= 0,20
No exemplo resolvido na seção A.2.1, a correlação ℎ𝑐/𝑑 é igual a 0,16, no entanto o
valor mínimo aceito pelo CYPECAD é 0.2, e, portanto este valor foi utilizado.
Figura 6.21 – Resultados fornecidos pelo CYPECAD para viga Peiner
Fonte: CYPECAD 2014
Pode-se observar que repete-se a situação do exemplo anterior, agravada pela
impossibilidade de utilização de uma chapa expansora mais baixa, que embora
muito útil para o acréscimo de resistência, pode potencializar outros modos de
colapso de vigas alveolares.
123
Padrão Litzka
Para este exemplo foi considerada uma viga de 10 metros constituída por um perfil
W 310 X 97, submetida ao peso próprio, uma carga permanente de 15 kN/m, uma
ação variável de 8,125 kN/m, com as seguintes correlações :
𝑑𝑔
𝑑≅ 1,59
𝑝
𝑑≅ 1,21
ℎ𝑐
𝑑= 0,24
Figura 6.22 - Resultados fornecidos pelo CYPECAD para viga Litzka
Fonte: CYPECAD 2014
Pode-se notar que novamente a viga inserida não atendeu aos critério de
dimensionamento calculados pelo CYPECAD 2014
Padrão Anglo-Saxão
Para este exemplo foi considerada uma viga de 10 metros constituída por um perfil
HP 310 X 110, submetida ao peso próprio, uma carga permanente de 15 kN/m, uma
ação variável de 8,125 kN/m, com as seguintes correlações :
𝑑𝑔
𝑑≅ 1,50
𝑝
𝑑≅ 1,08
124
Figura 6.23 - Resultados fornecidos pelo CYPECAD para viga padrão Anglo-Saxão
Fonte: CYPECAD 2014
Pode-se notar que novamente a viga inserida não de atendeu aos critério de
dimensionamento calculados pelo CYPECAD 2014
Nota-se que os critérios de dimensionamento são diferentes para o Cypecad
daqueles utilizados no programa desenvolvido e é informado que estes critérios
estão de acordo com a ABNT NBR 8800:2008, entretanto esta norma não apresenta
prescrições especificas para vigas alveolares. Portanto não sendo possível invalidar
o programa desenvolvido, visto que o Cypecad apresenta critérios de
dimensionamento diferentes, entretanto, pode-se inferir que o programa
desenvolvido é menos conservador que o programa CYPECAD 2014.
6.5 COMPARAÇÃO COM TRABALHOS DESENVOLVIDOS POR OUTROS
PESQUISADORES
O dimensionamento de vigas alveolares ainda não é descrito pela ABNT NBR
8800:2008, por isso para a validação do programa desenvolvido faz-se necessário a
comparação com trabalhos de outros pesquisadores, principalmente para os modos
de colapso que não são previstos por Cimadevila (2000).
Abreu (2011) descreve em seu trabalho um procedimento proposto para a
determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção (Mrk) de
vigas de aço celulares. Nesse trabalho são apresentadas de forma gráfica os
resultados para um perfil de aço celular originário de um perfil W 530 x 85, utilizando
uma correlação entre o passo e o diâmetro do alvéolo (𝑝/𝐷0) de aproximadamente
125
1,50 e uma correlação entre o diâmetro dos alvéolos e a altura do perfil (𝐷0/𝑑) de
aproximadamente 1,05, para vários valores de comprimento destravado (𝐿𝑏) de viga.
Para fins de comparação, as mesmas vigas foram dimensionadas no programa
desenvolvido e, uma vez que Abreu (2011) não apresenta os resultados numéricos
explicitamente, foi gerado um gráfico com os resultados encontrados e este foi
sobreposto ao gráfico de Abreu (2011), resultando na Figura 6.24.
Figura 6.24 – Curvas MRk versus Lb para carregamento distribuído e perfil original W 530 X 85
Fonte: Adaptado de Abreu (2011)
Para o desenvolvimento do programa de dimensionamento e otimização foi utilizada
a formulação proposta por Abreu (2011), e a comparação gráfica realizada mostra
que os resultados obtidos pelo programa desenvolvido são compatíveis àqueles
apresentados no trabalho de Abreu (2011), tornando válido o programa
desenvolvido.
6.6 LIMITAÇÕES DO PROGRAMA DESENVOLVIDO
O programa desenvolvido teve como limitação a restrição geométrica quanto ao
maior perfil produzido pela Gerdau Açominas, uma vez que estes são perfis
produzidos no Brasil. No entanto, isso também limita as soluções construtivas que
126
este programa pode oferecer. Neste sentido seria possível alterar as restrições
geométricas do programa no intuito de aumentar sua aplicabilidade.
Com as limitações ativas no programa foi possível dimensionar vigas para sistemas
de piso com vãos até 15 metros dependendo dos carregamentos impostos. Porém, a
fim de verificar a possibilidade de utilização e o comportamento do programa frente
as vigas com vãos livre maiores, para o exemplo seguinte, as limitações geométricas
do programa foram alteradas internamente e uma viga maior foi dimensionada.
Os limites geométricos para esse perfil foram alterados para os de um perfil W110 X
607, ou seja, 𝑑 = 1138 𝑚𝑚, 𝑏𝑓 = 410 𝑚𝑚, 𝑡𝑓 = 55 𝑚𝑚 e 𝑡𝑤 = 31 𝑚𝑚, e estes novos
limites foram utilizados para dimensionar uma viga celular com vão de 20 metros,
para sistemas de piso, sujeita ao peso próprio, uma carga permanente de 15 kN/m e
uma carga variável de 5 kN/m. Essa seria uma viga considerada impossível de ser
dimensionada no programa desenvolvido, porém com as alterações nas restrições
geométricas foi possível dimensioná-la, apresentando os resultados mostrados na
Figura 6.25 e na Figura 6.26.
Figura 6.25 – Resultados para perfil com restrições geométricas alteradas.
Fonte: Autora
127
Figura 6.26 – Resultados para perfil com restrições geométricas alteradas.
Fonte: Autora
A partir destes resultados é possível determinar que existe a possibilidade de
aumentar a aplicabilidade do programa desenvolvido a partir da alteração dos limites
geométricos desenvolvidos. Entretanto, é necessário a realização de um estudo
mais completo para avaliar a influência das alterações da geometria da seção do
perfil e avaliar a influência destas alterações no modos de colapso existentes.
128
7 RESULTADOS
Neste capitulo é realizada uma comparação entre os resultados obtidos pelo
programa de dimensionamento e otimização desenvolvidos, buscando avaliar a
eficácia da otimização e também avaliar qual dos tipos de viga disponíveis apresenta
soluções mais leves dadas as mesmas condições de vão e carregamento.
7.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS PELOS PROGRAMAS
DE DIMENSIONAMENTO E OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDOS
Para analisar a eficácia do programa de otimização desenvolvido foram utilizadas
seis vigas para sistemas de piso e seis vigas para sistemas de cobertura como
mostra a Tabela 7.1. Os carregamentos utilizados foram proporcionais ao tamanho
do vão, porém são maiores para vigas de sistemas de piso, e menores para
sistemas de cobertura, já que estes sofrem solicitações menores. Os coeficientes de
ponderação utilizados nesta seção foram de 1,35 para cargas permanentes e 1,50
para cargas variáveis.
Tabela 7.1 – Vigas e carregamentos
Lb Qcp Qsc
Vigas de piso
Viga 1 3,00 m 4,50 kN/m 3,94 kN/m
Viga 2 4,80 m 7,20 kN/m 6,30 kN/m
Viga 3 6,60 m 9,90 kN/m 8,66 kN/m
Viga 4 8,40 m 12,60 kN/m 11,03 kN/m
Viga 5 10,20 m 15,30 kN/m 13,39 kN/m
Viga 6 12,00 m 18,00 kN/m 15,75 kN/m
Vigas de cobertura
Viga 7 3,00 m 1,50 kN/m 0,75 kN/m
Viga 8 5,60 m 2,80 kN/m 1,40 kN/m
Viga 9 8,20 m 4,10 kN/m 2,05 kN/m
Viga 10 10,80 m 5,40 kN/m 2,70 kN/m
Viga 11 13,40 m 6,70 kN/m 3,35 kN/m
Viga 12 16,00 m 8,00 kN/m 4,00 kN/m
129
7.1.1 Vigas Celulares
Na Tabela 7.2 são apresentados os pesos encontrados para os perfis originais e
perfis alveolares encontrados ao utilizar os programas de otimização e de
dimensionamento desenvolvidos. Na última coluna da tabela é mostrada a redução
percentual de peso dos perfis de aço originais encontrados pelo programa de
otimização em relação ao peso dos perfis encontrados pelo programa de
dimensionamento desenvolvido. Neste caso a comparação foi realizada entre os
perfis originais, uma vez que ao comparar os perfis alveolares os desperdícios de
materiais que acontecem neste tipo de viga poderiam interferir no resultado final,
podendo apresentar reduções de peso distorcidas.
Tabela 7.2 – Pesos encontrados para vigas celulares
Otimização Dimensionamento
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Redução percentual
Viga 1 12,36 11,90 13,00 12,46 4,92%
Viga 2 22,30 21,69 29,80 29,53 25,17%
Viga 3 41,11 39,97 53,00 50,97 22,43%
Viga 4 66,80 64,94 79,00 76,24 15,44%
Viga 5 98,77 96,01 155,00 148,47 36,28%
Viga 6 160,33 154,86 174,00 168,00 7,86%
Viga 7 12,36 11,51 13,00 11,73 4,92%
Viga 8 17,10 16,24 22,50 21,38 24,00%
Viga 9 34,45 32,37 41,70 39,69 17,39%
Viga 10 60,17 56,54 73,00 69,80 17,58%
Viga 11 93,24 87,64 107,00 102,49 12,86%
Viga 12 158,03 145,79 174,00 159,57 9,18%
A partir da análise dos resultados é possível notar que podem ocorrer diferenças
significativas dos pesos encontrados para uma determinada geometria e
carregamento. Para os exemplos analisados na Tabela 7.2 a redução de peso ao
utilizar o perfil otimizado chegou a 36,28% no caso de sistemas de piso e 24% para
sistemas de cobertura.
130
7.1.2 Vigas casteladas
Nesta seção são expostos os resultados encontrados para as vigas casteladas de
padrão Peiner, Litzka e Anglo-saxão, todas com e sem a utilização de chapas
expansora. A Tabela 7.3, a Tabela 7.4 e a Tabela 7.5 apresentam resultados para
vigas casteladas sem a utilização de chapas expansoras, como neste caso não há
desperdício de materiais devido ao tipo de linha de corte e nem acréscimo de
material é mostrado apenas um peso para perfil otimizado e um peso para perfil
dimensionado. Na última coluna de cada tabela é mostrada a redução percentual de
peso dos perfis de aço encontrados pelo programa de otimização em relação ao
peso dos perfis encontrados pelo programa de dimensionamento desenvolvido.
Tabela 7.3 - Pesos encontrados para vigas padrão peiner sem chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original
(kg/m) Peso Original
(kg/m) Redução
percentual
Viga 1 12,36 13,00 4,92%
Viga 2 22,12 26,60 16,84%
Viga 3 41,41 52,00 20,37%
Viga 4 67,31 79,00 14,80%
Viga 5 99,55 155,00 35,77%
Viga 6 154,79 174,00 11,04%
Viga 7 12,36 13,00 4,92%
Viga 8 17,13 22,50 23,87%
Viga 9 34,63 44,50 22,18%
Viga 10 61,33 73,00 15,99%
Viga 11 93,58 107,00 12,54%
Viga 12 158,40 174,00 8,97%
Para as vigas do padrão Peiner o programa de otimização fornece uma redução de
35,77% para o caso mais extremo em sistemas de piso e 23,87 em sistemas de
cobertura. Para a situação de menor redução obteve-se 4,92%.
131
Tabela 7.4 - Pesos encontrados para vigas padrão Litzka sem chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original
(kg/m) Peso Original
(kg/m) Redução
percentual
Viga 1 12,36 13,00 4,92%
Viga 2 22,68 26,60 14,74%
Viga 3 43,02 52,00 17,27%
Viga 4 69,94 79,00 11,47%
Viga 5 103,48 155,00 33,24%
Viga 6 161,68 174,00 7,08%
Viga 7 12,36 13,00 4,92%
Viga 8 17,18 22,50 23,64%
Viga 9 35,29 44,50 20,70%
Viga 10 61,54 73,00 15,70%
Viga 11 94,25 115,00 18,04%
Viga 12 159,23 174,00 8,49%
As vigas do padrão Litzka apresentaram uma redução de 33,24% para vigas de piso
e 23,64% em vigas de cobertura nos casos mais extremos. Por sua vez, as vigas do
padrão anglo-saxão apresentam uma redução máxima de 21,72% para sistemas de
piso e 24,80 em sistemas de cobertura. Entretanto, o programa de otimização não
conseguiu realizar a otimização para a Viga 5, e utilizou o resultado fornecido pelo
dimensionamento como perfil ótimo, e para todos os outros casos a Viga 5 que
apresentou a maior redução de peso.
Tabela 7.5 - Pesos encontrados para vigas padrão anglo-saxão sem chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original
(kg/m) Peso Original
(kg/m) Redução
percentual
Viga 1 12,36 13,00 4,92%
Viga 2 21,78 26,60 18,12%
Viga 3 40,94 51,00 19,73%
Viga 4 66,54 85,00 21,72%
Viga 5 140,00 140,00 0,00%
Viga 6 150,40 174,00 13,56%
Viga 7 12,36 13,00 4,92%
Viga 8 16,92 22,50 24,80%
Viga 9 34,01 41,70 18,44%
Viga 10 60,12 73,00 17,64%
Viga 11 102,83 107,00 3,90%
Viga 12 154,63 174,00 11,13%
132
A Tabela 7.6, a Tabela 7.7 e a Tabela 7.8, mostram os resultados para vigas
alveolares com a utilização de chapas expansoras. Para esses casos pode haver
acréscimo de peso nos perfis devido à utilização das chapas. Na última coluna de
cada tabela é indicada a redução percentual de peso dos perfis de aço alveolar
encontrados pelo programa de otimização em relação ao peso dos perfis alveolares
encontrados pelo programa de dimensionamento desenvolvido. Nesse caso a
comparação é realizada entre os perfis alveolares, uma vez que o acréscimo de
matéria representa custo adicional e é relevante no dimensionamento.
Tabela 7.6 - Pesos encontrados para vigas de piso padrão peiner com chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Redução percentual
Viga 1 12,36 12,36 13,00 13,00 4,92%
Viga 2 20,33 21,27 22,50 23,90 11,00%
Viga 3 39,09 39,79 46,10 46,94 15,23%
Viga 4 63,50 64,64 79,00 79,00 18,18%
Viga 5 93,38 95,67 110,00 116,73 18,04%
Viga 6 140,57 146,10 155,00 160,00 8,69%
Viga 7 12,36 12,36 13,00 13,00 4,92%
Viga 8 15,73 16,87 22,50 22,50 25,02%
Viga 9 30,36 32,76 38,70 40,53 19,17%
Viga 10 70,03 70,03 71,00 72,77 3,77%
Viga 11 86,78 90,67 107,00 107,00 15,26%
Viga 12 148,34 154,72 174,00 174,00 11,08%
A utilização de chapas expansora, pode aumentar significativamente a capacidade
resistente de uma viga alveolar, permitindo em alguns casos, a utilização de um
perfil mais leve que aquele necessário sem a utilização de chapas expansora. Para
os exemplos resolvidos, agora a redução percentual máxima foi de 18,18% em
sistemas de piso e 25,02% em sistemas de cobertura.
Para as vigas do padrão Litzka, Tabela 7.7, a utilização das chapas expansoras
tornou a redução percentual ainda menor, dentre os exemplos desenvolvidos a
redução percentual máxima foi de 15,36% para sistemas de piso e 24,89 em
sistemas de cobertura. Ainda sobre as vigas de cobertura, nota-se que na Viga 10 é
encontrado um perfil mais pesado para a seção otimizada do que aquele encontrado
133
pelo dimensionamento, isso ocorre por que para este conjunto de dados a função de
otimização encontrou um mínimo local da função e apontou esta solução como
resultado otimizado.
Tabela 7.7 - Pesos encontrados para vigas de piso padrão Litzka com chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Redução percentual
Viga 1 12,36 12,36 13,00 13,00 4,92%
Viga 2 20,32 21,3 22,50 23,90 10,88%
Viga 3 38,78 39,73 46,10 46,94 15,36%
Viga 4 62,63 64,74 73,00 75,02 13,70%
Viga 5 92,88 95,52 107,00 110,64 13,67%
Viga 6 141,18 146,70 155,00 161,32 9,06%
Viga 7 12,36 12,36 13,00 13,00 4,92%
Viga 8 15,77 16,9 22,50 22,50 24,89%
Viga 9 30,44 32,85 38,70 40,91 19,70%
Viga 10 71,84 71,84 62,00 67,29 -6,76%
Viga 11 87,12 91,15 107,00 107,19 14,96%
Viga 12 148,78 155,27 174,00 174,00 10,76%
Tabela 7.8 - Pesos encontrados para vigas padrão anglo-saxão sem chapa expansora
Otimização Dimensionamento
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Peso Original (kg/m)
Peso Alveolar (kg/m)
Redução percentual
Viga 1 12,36 12,36 13,00 13,00 4,92%
Viga 2 20,83 21,22 26,60 26,60 20,23%
Viga 3 39,5 40,06 51,00 51,00 21,45%
Viga 4 64,19 65,11 79,00 79,00 17,58%
Viga 5 94,93 96,28 122,00 123,09 21,78%
Viga 6 141,24 143,48 155,00 157,24 8,75%
Viga 7 12,36 13,14 13,00 13,00 -1,08%
Viga 8 15,56 16,35 22,50 22,50 27,33%
Viga 9 31,59 32,54 38,70 39,80 18,24%
Viga 10 63,83 65,65 71,00 71,90 8,69%
Viga 11 98,48 101,35 107,00 107,00 5,28%
Viga 12 142,85 147,36 155,00 159,55 7,64%
Para as vigas do padrão anglo-saxão, é possível notar que em alguns dos perfis
dimensionados não há acréscimo de peso do perfil alveolar em relação ao perfil
original, isso porque nestes casos a solução ideal é dada por um perfil que não
134
necessita de chapa expansora. Sendo assim, a redução percentual máxima entre os
perfis dimensionados e otimizados foi de 21,78% em sistemas de piso e de 27,33%
em sistemas de cobertura. O acréscimo de peso encontrado na Viga 7, deve-se a
utilização de um mínimo local como solução otimizada do problema.
7.2 COMPARAÇÃO ENTRE OS TIPOS DE VIGA ALVEOLARES.
O programa desenvolvido oferece sete opções de vigas alveolares diferentes que o
usuário pode escolher de acordo com os critérios de resistência e peso ou padrões
estéticos requeridos. Por esse motivo, é interessante realizar uma comparação entre
os modelos de viga disponíveis buscando estabelecer qual deles se adequa melhor
a cada situação de projeto.
A Tabela 7.9 mostra o peso encontrado pelo programa de otimização para cada um
dos tipos de viga disponíveis no programa desenvolvido.
Tabela 7.9 – Pesos encontrados pelo programa de otimização em kg/m.
Sem Chapa Expansora Com Chapa Expansora
Celular Peiner Litzka
Anglo-saxão
Peiner Litzka Anglo-saxão
Viga 1 12,36 12,36 12,36 12,36 12,36 12,36 12,36
Viga 2 22,30 22,12 22,68 21,78 21,27 22,68 21,22
Viga 3 41,11 41,41 43,02 40,94 39,79 43,02 40,06
Viga 4 66,80 67,31 69,94 66,54 64,64 69,94 65,11
Viga 5 98,77 99,55 103,48 140,00 95,67 103,48 96,28
Viga 6 160,33 154,79 161,68 150,40 146,10 161,68 143,48
Viga 7 12,36 12,36 12,36 12,36 12,36 12,36 13,14
Viga 8 17,10 17,13 17,18 16,92 16,87 17,18 16,35
Viga 9 34,45 34,63 35,29 34,01 32,76 35,29 32,54
Viga 10 60,17 61,33 61,54 60,12 70,03 61,54 65,65
Viga 11 93,24 93,58 94,25 102,83 90,67 94,25 101,35
Viga 12 158,03 158,40 159,23 154,63 154,72 159,23 147,36
A análise dos dados permite inferir que para o conjunto de exemplos utilizados neste
trabalho, excetuando-se os pontos onde o programa de otimização apresentou como
solução mínimos locais da função, as vigas de padrão Peiner e Anglo-saxão, ambas
135
com utilização de chapas expansoras ofereceram os melhores resultados, e as vigas
do padrão Litzka, com e sem chapa expansora fornece os piores resultados.
A Tabela 7.10 mostra os pesos encontrados pelo programa de dimensionamento
para cada um dos exemplos. Neste caso a variação dos pesos não obedece
diretamente ao padrão de vigas estabelecido, entretanto há uma tendência de pesos
menores para os perfis onde ocorreu a utilização de chapas expansoras e pesos
maiores para aqueles onde este tipo de chapa não foi utilizada.
Tabela 7.10 – Pesos encontrados pelo programa de dimensionamento em kg/m.
Sem Chapa Expansora Com Chapa Expansora
Celular Peiner Litzka
Anglo-saxão
Peiner Litzka Anglo-saxão
Viga 1 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00
Viga 2 29,80 26,60 26,60 26,60 23,90 23,90 26,60
Viga 3 53,00 52,00 52,00 51,00 46,94 46,94 51,00
Viga 4 79,00 79,00 79,00 85,00 79,00 75,02 85,00
Viga 5 155,00 155,00 155,00 140,00 116,73 110,64 123,09
Viga 6 174,00 174,00 174,00 174,00 160,00 161,32 157,24
Viga 7 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00 13,00
Viga 8 22,50 22,50 22,50 22,50 22,50 22,50 22,50
Viga 9 41,70 44,50 44,50 41,70 40,53 40,91 39,80
Viga 10 73,00 73,00 73,00 73,00 72,77 67,29 71,90
Viga 11 107,00 107,00 115,00 107,00 107,00 107,19 107,00
Viga 12 174,00 174,00 174,00 174,00 174,00 174,00 159,55
De forma geral pode-se dizer que a utilização das chapas expansoras permite a
redução de peso dos perfis utilizados. Essas chapas promovem um acréscimo na
capacidade resistente do perfil e tornando-os mais leves e aptos a resistir às
solicitações que não seriam capazes de suportar sem a utilização das mesmas.
7.3 ANÁLISE DOS MODOS DE COLAPSO COMO RESTRIÇÕES ATIVAS NO
PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO
A definição das restrições é de fundamental importância para a resolução do
problema proposto em todo processo de otimização. No desenvolvimento do
programa descrito neste trabalho, os modos de colapso de vigas alveolares foram
136
utilizados como restrições, no entanto é comum que apenas alguma destas
restrições figure como restrição ativa e governe o dimensionamento deste perfil.
Neste sentido buscou-se estabelecer, para os exemplos desenvolvidos, quais as
restrições ficaram ativas para conhecer melhor o comportamento das vigas
estudadas.
A menor viga dimensionada para cada um dos tipos disponíveis apresentou como
solução o menor perfil possível de acordo com as restrições geométricas
estabelecidas, e nenhum dos modos de colapso figurou como restrição ativa.
Excetuando-se esta menor viga, serão discutidos os modos de colapso que
governaram o dimensionamento de cada um dos tipos de viga otimizados.
Para todos os tipos de viga otimizados nos exemplos, os modos de colapso de
formação de mecanismo Vierendeel e a flambagem lateral com torção figuraram
como restrições ativas, o que indica que estes modos de colapso requerem mais
estudo e atenção do projetista quando optar pela utilização de seções otimizadas.
Adicionalmente em vigas projetadas para sistemas de piso, o escoamento do
montante por cisalhamento e a flambagem do montante também aparecem
frequentemente como restrição ativa no processo de otimização das vigas
alveolares. Já em sistemas de cobertura o escoamento do montante da alma por
flexão apareceu como restrição ativa em uma grande parcela dos casos otimizados.
Desta forma é possível concluir que os modos de colapso por formação de
mecanismo Vierendeel e por flambagem lateral com torção são aqueles que mais
requerem atenção dos projetistas, já que na maioria dos casos estes modos de
colapso governam o dimensionamento das vigas alveolares otimizadas.
137
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
8.1 CONCLUSÕES
É possível perceber que há uma infinidade de problemas na área de
dimensionamento de estruturas em que o estudo de otimização é utilizável, pois o
objetivo de todo dimensionamento é obter sempre uma estrutura com menor custo,
peso e outros fatores que podem ser maximizados ou minimizados. A sofisticação
do tema estará no processo de modelagem mais adequada à realidade possível,
buscando gerar resultados mais satisfatórios e maior abrangência da sua
aplicabilidade.
O objetivo principal deste trabalho, que é a realização de um estudo do processo de
otimização apropriado para o dimensionamento estrutural de vigas alveolares de
aço, foi alcançado, uma vez que foi realizado um estudo acerca do tema e
desenvolvido um programa computacional de otimização e dimensionamento para
vigas celulares e vigas casteladas de aço, totalizando sete possibilidades de
geometria distintas dos alvéolos Os modos de colapso dos modelos propostos estão
bem definidos e já foram estudados extensivamente por vários pesquisadores.
Uma análise detalhada dos resultados encontrados, demonstra que o
desenvolvimento de técnicas de otimização de vigas alveolares de aço é de
fundamental importância para o desenvolvimento do tema no país. Os resultados
encontrados comprovam que existe a possibilidade de reduzir substancialmente o
peso das estruturas de aço a partir da utilização de perfis alveolares, sendo que nos
exemplos apresentados, houve uma redução mais de 30% do peso em um dos
perfis analisados, gerando economia e minimizando desperdícios de recursos.
O método escolhido para a resolução do problema de otimização demonstra uma
redução do peso em todos os elementos. Ainda foi possível determinar que a
comparação com as soluções encontradas por outros programas disponíveis
atualmente no mercado é ineficiente, uma vez que cada um deles utiliza uma
formulação diferente e ainda não existem normas brasileiras especificas para vigas
138
alveolares e cada um destes programas pode se basear em prescrições normativas
e estudos diferentes.
8.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Como sugestões para trabalhos futuros podem ser destacados os seguintes
assuntos:
Utilização de um método de otimização que trabalhe com variáveis discretas
para a resolução do problema, permitindo melhor representar as
possibilidades reais para a confecção destas vigas, e para isto sugere-se o
método dos algoritmos genéticos;
Realização de uma comparação de custos entre perfis de alma cheia e perfis
alveolares.
Otimização de novas linhas de corte que permitam uma maior gama de
soluções para os problemas a serem resolvidos;
Incluir o tipo de aço, o tipo de corte e a solda como variáveis do problema e
avaliar a influência destes elementos no processo de otimização;
Propor uma nova função objetivo, que maximize a inércia da seção, e verificar
sua influência na resolução do problema;
Alteração das limitações geométricas dos perfis utilizados no programa de
otimização a fim de aumentar a gama de soluções possíveis e estudar a
influência destas alterações no processo de otimização.
139
REFERÊNCIAS
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142
APÊNDICE
A.1 EXEMPLO 1 – VIGA CELULAR
Para o dimensionamento das vigas celulares foi desenvolvido um exemplo numérico,
que foi resolvido a partir da tabela de perfis comerciais. O resultado final fornecido
pelo programa de otimização também foi usado para realizar o cálculo manualmente
e os resultados encontrados foram comparados.
A.1.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DE PERFIS DA TABELA
Dimensionar uma viga de aço celular, de comprimento igual a 12 metros sujeita a
um carregamento uniformemente distribuído, sendo ele composto pelo peso próprio
da estrutura metálica, um carregamento permanente (𝑔𝑘) igual a 18,00 kN/m, uma
ação variável principal (𝑞𝑘1) igual a 9,00 kN/m e uma ação variável secundária (𝑞𝑘2)
igual a 1,50 kN/m. Não foram utilizadas contenções laterais ao longo do
comprimento da viga (𝑐𝑙 = 0).
Para a resolução deste exemplo foi utilizado o perfil W 610 X 174, aço ASTM A572
Gr 50, utilizando a razão entre o passo e o diâmetro das aberturas (𝜂) igual a 1,30, e
a razão entre o diâmetro das aberturas e a altura do perfil (𝜇) igual a 0,80.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 616 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 325 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 21,60 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 14,0 𝑚𝑚
𝑟 = 16 𝑚𝑚
143
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
𝑏𝑤 = 𝜇𝑑(𝜂 − 1) = 147,84 𝑚𝑚
𝐷0 = 𝜇𝑑 = 492,80𝑚𝑚
ℎ𝑒0 = √(𝐷0
2)2
− (𝑏𝑤
2)2
= 235,05 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑑 + ℎ𝑒0 = 851,05 𝑚𝑚
𝑘 =𝑑𝑔
𝑑= 1,38
𝑝 = 𝜂𝐷0 = 640,64 𝑚𝑚
ℎ0 = 𝐷0 = 492,80 𝑚𝑚
𝑎 =𝐷0
2= 246,40 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑𝑔−𝐷0
2= 179,13 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 32,21 𝑚𝑚
𝑦0 =𝐷0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 393,32 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 146,92 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 92,25𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 184,50 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 7256,75 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 1829,60 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 12325,33 𝑐𝑚4
144
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 247,17 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 6707,54 𝑐𝑚3
c) Calculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil após a expansão na região de alma cheia (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 255,70 𝑐𝑚2
𝑃 =1
𝑝(𝐴𝑎ç𝑜𝑝 ∙ 1 −
𝜋𝐷02𝑡𝑤4
)𝜌𝑎 = 168,00 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
145
𝑞𝑑 = 1,25 × 1,68 + 1,5 × 18 + 1,5 × 9,0 + 1,5 × 0,5 × 1,5 = 43,73 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 1,68 + 18 + 0,3 × 9,0 + 0,3 × 1,50 = 22,83 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de mecanismo vierendeel:
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 2,96 > 1
Logo:
𝑐 =√3𝑦0𝑦𝑎
2𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 370,72 𝑐𝑚 = 3,71 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = 2,29 𝑚 ≥ 0
Logo:
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 486,19 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 162,24 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1088,10 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 2503,58 𝑘𝑁𝑚
146
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1088,10 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 2275,98 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=1088,10
2275,98 × 100% = 47,81 %
f) Escoamento do montante da alma por cisalhamento:
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 262,38 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 337,29 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 306,80 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
262,38
306,80 × 100% = 85,52%
g) Escoamento do montante da alma por flexão:
𝑉𝑅𝑘2 =𝑦0𝑡𝑤𝑓𝑦
3𝜂
(3𝜂 − √𝜂2 + 8)2
√4 − (𝜂 − √𝜂2 + 8)2
= 357,29 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 324,81 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
262,38
324,81 × 100% = 80,78%
147
h) Flambagem lateral do montante da alma:
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 1500,07 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 4,20 > 2
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑅𝑘2 = 357,29 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
262,38
357,29 × 100% = 73,44%
i) Flambagem lateral com torção:
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 21267975,08 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,19 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,03 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 347,06 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1200 𝑐𝑚
148
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 1118,91 𝑐𝑚
- Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 3,0 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 590,36 𝑁𝑚
- Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 6 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 787,14 𝑘𝑁𝑚
- Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 9 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 590,36 𝑘𝑁𝑚
- Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 787,14 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 1030,22 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 936,56 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 787,14 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
787,14
936,56× 100% = 84,05 %
149
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo:
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 295123,25 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,035 𝑐𝑚−2
𝐴𝑒 = 28,26 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 1,04 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,19 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 1,23 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 3,43 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
1,23
3,43 × 100% = 35,86 %
150
A.1.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO PROGRAMA
DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO
Para avaliar a correção dos resultados encontrados pelo programa de otimização, o
perfil fornecido pelo programa como resultado foi utilizado para realizar
manualmente as verificações de segurança para vigas alveolares.
Para a resolução deste exemplo foi utilizado uma razão entre o passo e o diâmetro
das aberturas (𝜂) igual a 1,34, e a razão entre o diâmetro das aberturas e a altura do
perfil (𝜇) igual a 0,85.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 617 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 335 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 18,9 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 10,5 𝑚𝑚
𝑟 = 0 𝑚𝑚
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
𝑏𝑤 = 𝜇𝑑(𝜂 − 1) = 178,31 𝑚𝑚
𝐷0 = 𝜇𝑑 = 524,45 𝑚𝑚
ℎ𝑒0 = √(𝐷0
2)2
− (𝑏𝑤
2)2
= 246,60 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑑 + ℎ𝑒0 = 863,60 𝑚𝑚
𝑘 =𝑑𝑔
𝑑= 1,40
151
𝑝 = 𝜂𝐷0 = 702,76 𝑚𝑚
ℎ0 = 𝐷0 = 524,45 𝑚𝑚
𝑎 =𝐷0
2= 262,23 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑𝑔−𝐷0
2= 169,58 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 26,82 𝑚𝑚
𝑦0 =𝐷0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 404,99 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 142,76 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 77,25 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 154,50 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 6257,10 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 1222,12 𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 10816,27 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 157,91 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 5868,60 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil após a expansão na região de alma cheia (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 209,56 𝑐𝑚2
152
𝑃 =1
𝑝(𝐴𝑎ç𝑜𝑝 ∙ 1 −
𝜋𝐷02𝑡𝑤4
)𝜌𝑎 = 139,17 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 1,39 + 1,5 × 18 + 1,5 × 9,0 + 1,5 × 0,5 × 1,5 = 43,36 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 1,39 + 18 + 0,3 × 9,0 + 0,3 × 1,5 = 22,54 𝑘𝑁/𝑚
153
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 1,92 > 1
Logo:
𝑐 =√3𝑦0𝑦𝑎
2𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 451,83 𝑐𝑚 = 4,52 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = 1,48𝑚 ≥ 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 337,55 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 195,99 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1223,42 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 2158,70 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1223,42 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 1962,45 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=1223,42
1962,45 × 100% = 62,34 %
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 260,16 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 286,55 𝑘𝑁
154
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 260,50 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
260,16
260,50 × 100% = 99,87 %
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑉𝑅𝑘2 =𝑦0𝑡𝑤𝑓𝑦
3𝜂
(3𝜂 − √𝜂2 + 8)2
√4 − (𝜂 − √𝜂2 + 8)2
= 324,02 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 294,56 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
260,16
294,56 × 100% = 88,32 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 599,49 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 1,85
1 ≤ 1,85 < 2
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 =𝑉𝑅𝑘2 + 𝑉𝑐𝑟
3= 307,84 𝑘𝑁
155
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
260,16
307,84 × 100% = 84,51 %
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 19294010,78 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,37 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,04 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 354,69 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1200 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 1077,14 𝑐𝑚
- Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 3 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 585,36 𝑘𝑁𝑚
156
- Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 6 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 780,48 𝑘𝑁𝑚
- Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 9 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 585,36 𝑘𝑁𝑚
- Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 780,48 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 862,47 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 784,06 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 780,48 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
780,48
784,06 × 100% = 99,54%
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
157
𝐼𝑒 = 261384,46 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,049 𝑚𝑚−1
𝐴𝑒 = 20,44 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 1,16 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,26 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 1,42 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 3,43 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
1,42
3,43 × 100% = 41,40%
A.2 EXEMPLO 2 – VIGA CASTELADA PADRÃO PEINER
A.2.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS
Dimensionar uma viga de aço castelada padrão peiner, de comprimento igual a 10
metros sujeita a um carregamento uniformemente distribuído, sendo ele composto
pelo peso próprio da estrutura metálica, um carregamento permanente (𝑔𝑘) igual a
15 kN/m, uma ação variável principal (𝑞𝑘1) igual a 7,5 kN/m e uma ação variável
secundária (𝑞𝑘2) igual a 1,25 kN/m. Não foram utilizadas contenções laterais ao
longo do comprimento da viga (𝑐𝑙 = 0). Para esta viga foi utilizada uma chapa
158
expansora de 50mm. Para a resolução deste exemplo foi utilizado o perfil W 310 X
97 (H), aço ASTM A572 Gr 50, utilizando uma razão de expansão igual a 1,45.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 308 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 305 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 15,4 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 9,9 𝑚𝑚
𝑟 = 16 𝑚𝑚
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 138,60 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = ℎ𝑒0 = 138,60 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 496,60 𝑚𝑚
𝑏0 =𝑏𝑤
2= 69,30 𝑚𝑚
𝑝 = 3𝑏𝑤 = 415,80 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 327,20 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 138,60 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 84,70 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 13,10 𝑚𝑚
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 235,20𝑚𝑚
159
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 71,60 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 53,83 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 107,66 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 25321,63 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 114,11 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 7283,43 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 78,75 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 2398,57 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 123,58 𝑐𝑚2
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 98,31 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
160
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 0,98 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 35,92 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 0,98 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,61 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 0,80 ≤ 1
Logo:
𝑐 =𝑏𝑤𝑦0𝑦𝑎𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 436 𝑐𝑚 = 4,36 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = 0,64 𝑚 ≥ 0
161
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 107,59 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 156,61 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 790,41 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 873,60 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 790,16 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 794,18 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=790,16
794,18 × 100% = 99,53 %
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 179,60 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 206,13 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 187,39 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
179,60
187,39 × 100% = 95,84%
162
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 138,60 > ℎ𝑐 = 50 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 292,63 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 266,03 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
179,60
266,03 × 100% = 67,51 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 797,65 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 2,73 ≥ 2
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑅𝑘2 = 292,63 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
179,60
292,63 × 100% = 61,37 %
163
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 4216258,18 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,23 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,04 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 348,75 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 985,71 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 336,75 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 449,00 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 336,75 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
164
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 449,00 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 518,43 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 471,30 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 449,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
449,00
471,30 × 100% = 95,27 %
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 61147,63 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1/𝐴𝑒 = 0,109 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 9,16 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 1,98 𝑐𝑚
165
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,33 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 2,31 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
2,31
2,86 × 100% = 80,77 %
A.2.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO PROGRAMA
DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO
Para avaliar a coerência dos resultados encontrados pelo programa de otimização, o
perfil fornecido como resultado foi utilizado para realizar manualmente as
verificações de segurança para vigas alveolares.
Para a resolução deste exemplo foi utilizado o perfil encontrado pelo programa de
otimização, utilizando uma chapa expansora de 78,32 mm e uma razão de expansão
igual a 1,45.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 384,3 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 302,6 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 13,3 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 7,5 𝑚𝑚
𝑟 = 0 𝑚𝑚
166
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 172,94 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = ℎ𝑒0 = 172,94 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 635,56 𝑚𝑚
𝑏0 =𝑏𝑤
2= 86,47 𝑚𝑚
𝑝 = 3𝑏𝑤 = 518,82 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 424,19 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 172,94 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 105,68 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 14,41 𝑚𝑚
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 303,37 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 91,27 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 47,17 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 94,34 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 28619,93 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 220,24 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 6142,61 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 50,06 𝑐𝑚4
167
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 2732,21 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 107,32 𝑐𝑚2
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 85,78 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 0,86 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 35,76 𝑘𝑁/𝑚
168
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 0,86 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,48 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 0,84 ≤ 1
Logo:
𝑐 =𝑏𝑤𝑦0𝑦𝑎𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 513 𝑐𝑚 = 5,13 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = −0,13 < 0
Logo uso: 𝑥 = 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 0 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 178,80 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 917,24 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 987,39 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 917,24 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 897,63 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑁Ã𝑂 𝑂𝐾‼!
169
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=917,24
897,63 × 100% = 102,18 %
Neste caso, nota-se que o esforço solicitante é maior que o resistente, entretanto
essa diferença é de aproximadamente 2,2% e essa diferença é proveniente dos
arredondamentos realizados durante o cálculo manual. No programa desenvolvido
esse modo de colapso configura como restrição ativa, e o esforço solicitante é igual
ao resistente.
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 178,80 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 201,42 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 183,11 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
178,80
183,11 × 100% = 97,65 %
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 172,94 > ℎ𝑐 = 78,32 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 269,88 𝑘𝑁
170
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 245,35 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,80
245,35 × 100% = 72,88 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 268,29 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 0,99 < 1
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 =2
3 𝑉𝑐𝑟 = 178,86 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,80
178,86 × 100% = 99,97 %
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 5946161,77 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,07 𝑐𝑚
171
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,07 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 341,97 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 923,56 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 335,35 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 447,00 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 335,25 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,00 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
172
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 495,66 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 450,6 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
447,00
450,6× 100% = 99,20 %
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 89406,64 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,118 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 8,48 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 1,35 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,35 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 1,70 𝑐𝑚
173
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
1,70
2,86× 100% = 59,44 %
A.3 EXEMPLO 3 – VIGA CASTELADA PADRÃO LITZKA
A.3.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS
Dimensionar uma viga de aço celular, de comprimento igual a 10 metros sujeita a
um carregamento uniformemente distribuído, sendo ele composto pelo peso próprio
da estrutura metálica, um carregamento permanente (𝑔𝑘) igual a 15 kN/m, uma ação
variável principal (𝑞𝑘1) igual a 7,5 kN/m e uma ação variável secundária (𝑞𝑘2) igual a
1,25 kN/m. Não foram utilizadas contenções laterais ao longo do comprimento da
viga (𝑐𝑙 = 0). Para esta viga foi utilizada uma chapa expansora de 75mm. Para a
resolução deste exemplo foi utilizado o perfil W 310 X 97 (H), aço ASTM A572 Gr 50,
utilizando uma razão de expansão igual a 1,35.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 308 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 305 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 15,4 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 9,9 𝑚𝑚
𝑟 = 16 𝑚𝑚
174
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 107,80 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = 0,5774 × 2 ℎ𝑒0 = 124,49 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 490,80 𝑚𝑚
𝑏0 =𝑏𝑤
2= 62,25 𝑚𝑚
𝑝 = 3𝑏𝑤 = 373,47 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 290,60 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 107,80 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 100,10 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 15,28 𝑚𝑚
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 230,12 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 84,82 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 55,36 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 110,72 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 25478,89 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 237,65 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 7283,68 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 79,74 𝑐𝑚4
175
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 2389,24 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 123,58 𝑐𝑚2
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 98,95 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 0,99 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 35,92 𝑘𝑁/𝑚
176
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 0,99 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,61 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 1,39 > 1
Logo:
𝑐 =√3𝑦0𝑦𝑎
2𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 334 𝑐𝑚 = 3,34 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = 1,66 𝑚 ≥ 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 248,65 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 119,97 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 649,35 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 879,02 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 649,35 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 799,11 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=649,35
799,11 × 100% = 81,26 %
177
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 179,60 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 201,68 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 183,35 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
179,60
183,35 × 100% = 97,95 %
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 107,79 > ℎ𝑐 = 75 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 263,08 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 239,16 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
179,60
239,16 × 100% = 75,10 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
178
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 824,78 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 3,14 ≥ 2
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑅𝑘2 = 263,08 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
179,60
263,08 × 100% = 95,68 %
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 4115373,16 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,11 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,04 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 343,67 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 94,83 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
179
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 336,75 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 449,00 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 336,75 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 449,00 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 516,22 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 469,29 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 449,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
449,00
469,29 × 100% = 95,68 %
180
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 60006,42 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,099 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 10,08 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 2.02 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,30 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 2,32 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
2,32
2,86 × 100% = 81,12%
A.3.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO PROGRAMA
DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO
Para avaliar a coerência dos resultados encontrados pelo programa de otimização, o
perfil fornecido como resultado foi utilizado para realizar manualmente as
verificações de segurança para vigas alveolares.
181
Para a resolução deste exemplo foi utilizado o perfil encontrado pelo programa de
otimização, utilizando uma chapa expansora de 101,57 mm e uma razão de
expansão igual a 1,42.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 373,8 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 302,9 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 13,3 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 7,5 𝑚𝑚
𝑟 = 0 𝑚𝑚
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 157,00 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = 0,5774 × 2 ℎ𝑒0 = 181,30 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 632,37 𝑚𝑚
𝑏0 =𝑏𝑤
2= 90,65 𝑚𝑚
𝑝 = 3𝑏𝑤 = 543,90 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 415,56 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 157,00 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 108,40 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 14,80 𝑚𝑚
182
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 301,38 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 93,60 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 47,42 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 94,84 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 28582,88 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 237,70 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 6160,92 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 50,18 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 2724,45 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 106,61 𝑐𝑚2
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 85,68 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
183
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 0,86 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 35,76 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 0,86 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,48 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 0,80 ≤ 1
Logo:
𝑐 =𝑏𝑤𝑦0𝑦𝑎𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 513 𝑐𝑚 = 5,10 𝑚
184
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = −0,13 < 0
Logo uso: 𝑥 = 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 0 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 178,80 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 911,88 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 986,11 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 911,88 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 894,46 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑁Ã𝑂 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento =𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=911,88
894,46 × 100% = 101,72 %
Neste caso, nota-se que o esforço solicitante é maior que o resistente, entretanto
essa diferença é de aproximadamente 1,72% e essa diferença é proveniente dos
arredondamentos realizados durante o cálculo manual. No programa desenvolvido
esse módulo de colapso configura como restrição ativa, e o esforço solicitante é
igual ao resistente.
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 178,80 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 200,10 𝑘𝑁
185
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 181,91 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
178,80
181,91 × 100% = 98,29 %
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 157,00 > ℎ𝑐 = 101,57 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 270,77 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 246,15 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,80
246,15 × 100% = 72,64 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 270,06 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 0,99 < 1
Logo:
186
𝑉𝑅𝑑3 =2
3 𝑉𝑐𝑟 = 180,04 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,80
180,04 × 100% = 99,31 %
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 5902895,51 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,06 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,07 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 341,55 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 921,67 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 335,35 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
187
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 447,00 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 335,25 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,00 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 495,18 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 450,16 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
447,00
450,16 × 100% = 99,30 %
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 88614,77 𝑐𝑚4
188
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,116 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 8,62 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 1,36 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,35 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 1,71 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
1,71
2,86 × 100% = 59,79 %
A.4 EXEMPLO 4 – VIGA CASTELADA PADRÃO ANGLO-SAXÃO
A.4.1 DIMENSIONAMENTO A PARTIR DA TABELA DE PERFIS
Dimensionar uma viga de aço celular, de comprimento igual a 10 metros sujeita a
um carregamento uniformemente distribuído, sendo ele composto pelo peso próprio
da estrutura metálica, um carregamento permanente (𝑔𝑘) igual a 15 kN/m, uma ação
variável principal (𝑞𝑘1) igual a 7,5 kN/m e uma ação variável secundária (𝑞𝑘2) igual a
1,25 kN/m. Não foram utilizadas contenções laterais ao longo do comprimento da
viga (𝑐𝑙 = 0). Para esta viga não foi utilizada chapa expansora. Para a resolução
deste exemplo foi utilizado o perfil HP 310 X 110 (H), aço ASTM A572 Gr 50,
utilizando uma razão de expansão igual a 1,5.
189
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 308 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 310𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 15,5 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 15,4 𝑚𝑚
𝑟 = 16 𝑚𝑚
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 154,00 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = 0,25 × 2ℎ𝑒0 = 77,00 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 462,64 𝑚𝑚
𝑏0 = 0,29 × 2 ℎ𝑒0 = 89,32 𝑚𝑚
𝑝 = 1,08 × 2 ℎ𝑒0 = 332,64 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 308,00 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 154,00 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 77 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 14,09 𝑚𝑚
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 216,91 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 62,91 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 57,52 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 115,04𝑐𝑚2
190
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 24953,33 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 156,74 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 7699,75 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 91,93 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 2343,13 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 140,96 𝑐𝑚2
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 110,65 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
191
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 1,11 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 36,07 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 1,11 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,73 𝑘𝑁/𝑚
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 2,0 > 1
Logo:
𝑐 =√3𝑦0𝑦𝑎
2𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 273 𝑐𝑚 = 2,73 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = 2,27 𝑚 ≥ 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 316,46 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 98,47 𝑘𝑁
192
𝑀 + 𝑐𝑉 = 585,28 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 860,89 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 585,28 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 782,63 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=585,28
782,63 × 100% = 74,78 %
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 180,35 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 205,36 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 186,69 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento: 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
180,35
186,69 × 100% = 99,87 %
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 66,38 > ℎ𝑐 = 0 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 412,60 𝑘𝑁
193
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 375,09 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento: 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
180,35
375,09× 100% = 48,08 %
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 3515,97 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 8,52 ≥ 2
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑅𝑘2 = 412,60 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento: 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
180,35
412,60× 100% = 43,71%
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 3837598,71 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 8,18 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,03 𝑐𝑚−1
194
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 346,63 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 1088,58 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 338,16 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 450,88 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 338,16 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 450,88 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑝 < 𝐿𝑏 ≤ 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
Mr,cor =0,31E
Lr,cor2
√Iy(1000Cw + 39JLb2 ) = 395,54 𝑘𝑁𝑚
MRk = Mcr = Cb [0,90Mpl − (0,90Mpl − Mr,cor)Lb − Lp
Lr,cor − Lp] ≤ 0,90Mpl = 502,54 𝑘𝑁𝑚
195
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 456,85 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 450,88 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento: 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
450,88
471,30× 100% = 98,69 %
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 56062,86 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,077 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 12,92 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 2,18 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,24 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 2,42 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
196
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
2,42
2,86 × 100% = 84,62 %
A.4.2 AFERIÇÃO DO RESULTADO ENCONTRADO A PARTIR DO PROGRAMA
DE OTIMIZAÇÃO DESENVOLVIDO
Para avaliar a coerência dos resultados encontrados pelo programa de otimização, o
perfil fornecido como resultado foi utilizado para realizar manualmente as
verificações de segurança para vigas alveolares.
Para a resolução deste exemplo foi utilizado o perfil encontrado pelo programa de
otimização, utilizando uma razão de expansão igual a 1,61.
a) Propriedades geométricas do perfil original:
𝑑 = 506,1 𝑚𝑚
𝑏𝑓 = 287,3 𝑚𝑚
𝑡𝑓 = 12,6 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 8,1 𝑚𝑚
𝑟 = 0 𝑚𝑚
b) Propriedades geométricas da seção alveolar:
ℎ𝑒0 = (𝑑(𝑘 − 1)) = 308,72 𝑚𝑚
𝑏𝑤 = 0,25 × 2ℎ𝑒0 = 154,36 𝑚𝑚
𝑑𝑔 = 𝑘𝑑 + ℎ𝑐 = 814,82𝑚𝑚
𝑏0 = 0,29 × 2 ℎ𝑒0 = 179,06 𝑚𝑚
197
𝑝 = 1,08 × 2 ℎ𝑒0 = 666,84 𝑚𝑚
ℎ0 = 2(𝑑(𝑘 − 1) +ℎ𝑐
2) = 617,66 𝑚𝑚
𝑎 = 𝑑(𝑘 − 1) = 308,72 𝑚𝑚
ℎ𝑡 =𝑑−𝑎
2= 98,69 𝑚𝑚
�̅� =𝑏𝑓𝑡𝑓
2+ℎ𝑡2𝑡𝑤−𝑡𝑓
2𝑡𝑤
2(𝑏𝑓𝑡𝑓+ℎ𝑡𝑡𝑤−𝑡𝑓𝑡𝑤)= 14,27 𝑚𝑚
𝑦0 =ℎ0
2+ ℎ𝑡 − �̅� = 393,14 𝑚𝑚
𝑦𝑎 = ℎ𝑡 − �̅� = 84,42 𝑚𝑚
𝐴𝑡 = 𝑡𝑤(ℎ𝑡 − 𝑡𝑓) + 𝑏𝑓𝑡𝑓 = 43,17 𝑐𝑚2
𝐴𝑎 = 2𝐴𝑡 = 86,34 𝑐𝑚2
𝑍𝑥0 = 2𝐴𝑡𝑦0 = 33943,71 𝑐𝑚3
It =bftf
3
12+ bftf (y̅ −
tf
2)2
+tw(ht−tf)
3
12+ tw(ht − tf) (y̅ −
ht+tf
2)2
= 190,23 𝑐𝑚4
𝐼𝑦 = 2(𝑡𝑓𝑏𝑓
3
12+
(ℎ𝑡−𝑡𝑓)𝑡𝑤3
12) = 4980,73 𝑐𝑚4
𝐽 =2
3(𝑏𝑓𝑡𝑓
3 + (ℎ𝑡 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤3 ) = 41,36 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =4𝑦0
2𝐴𝑡
𝑑𝑔= 3275,48 𝑐𝑚3
c) Cálculo do peso próprio do perfil após a expansão:
Área de aço do perfil original (𝐴𝑎ç𝑜):
𝐴𝑎ç𝑜 = 2𝑏𝑓𝑡𝑓 + (𝑑 − 𝑡𝑓)𝑡𝑤 + (4 − 𝜋)𝑟2 = 111,35 𝑐𝑚2
198
𝑃 = (𝐴𝑎ç𝑜 +1
𝑝 𝑏𝑤ℎ𝑐𝑡𝑤) 𝜌𝑎 = 87,41 𝑘𝑔/𝑚
d) Combinação de ações:
Para a resolução deste exemplo foi considerado um local em que não há
predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (𝜓0 = 0,5 𝑒 𝜓2 =
0,3). Os coeficientes de ponderações das ações foram tomados, seguindo a ABNT
NBR 8800:2008:
𝛾𝑔1 = 1,25 para o peso próprio de estruturas metálicas;
𝛾𝑔2 = 1,50 para as demais ações permanentes;
𝛾𝑞 = 1,50 para as ações variáveis.
- Combinações últimas normais:
𝑄𝑑 = ∑(𝛾𝑔𝑖𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + 𝛾𝑞1𝑄𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
𝑞𝑑 = 1,25 × 0,87 + 1,5 × 15 + 1,5 × 7,5 + 1,5 × 0,5 × 1,25 = 35,78 𝑘𝑁/𝑚
- Combinações de serviço:
𝑄𝑠 = ∑(𝑄𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
) + ∑(ψ2j𝑄𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
𝑞𝑠 = 0,87 + 15 + 0,3 × 7,5 + 0,3 × 1,25 = 18,50 𝑘𝑁/𝑚
199
e) Formação de Mecanismo Vierendeel
3𝑦𝑎2
𝑏𝑤2
= 0,90 ≤ 1
Logo:
𝑐 =𝑏𝑤𝑦0𝑦𝑎𝐴𝑡
2𝐼𝑡= 581 𝑐𝑚 = 5,81 𝑚
𝑥 =𝐿
2− 𝑐 = −0,81 < 0
Logo uso: 𝑥 = 0
𝑀 =𝑞𝑑𝐿𝑥
2−
𝑞𝑑𝑥2
2= 0 𝑘𝑁𝑚
𝑉 =𝑞𝑑𝐿
2− 𝑞𝑑𝑥 = 178,90 𝑘𝑁
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1039,41 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑃𝑙 = 𝑍𝑥0𝑓𝑦 = 1171,06 𝑘𝑁𝑚
𝑀 + 𝑐𝑉 = 1039,41 𝑘𝑁𝑚 ≤𝑀𝑃𝑙
𝛾𝑎1= 1064,60 𝑘𝑁𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀+𝑐𝑉𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=1039,41
1064,60 × 100% = 97,63 %
f) Escoamento do Montante da Alma por Cisalhamento
𝑉𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿
2= 178,90 𝑘𝑁
200
𝑉𝑅𝑘1 =4
3√3
𝑏𝑤𝑡𝑤𝑦0𝑓𝑦
𝑝= 195,77 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑1 =𝑉𝑅𝑘1
𝛾𝑎1= 177,97 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 ⇒ 𝑁𝐴𝑂 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑1=
178,90
177,97× 100% = 100,52 %
Neste caso, nota-se que o esforço solicitante é maior que o resistente, entretanto
essa diferença é inferior a 1%, e essa diferença é proveniente dos arredondamentos
realizados durante o cálculo manual. No programa desenvolvido esse módulo de
colapso configura como restrição ativa, e o esforço solicitante é igual ao resistente.
g) Escoamento do Montante da Alma por Flexão
𝑏𝑤𝑎
2𝑏0= 133,07 > ℎ𝑐 = 0 𝑚𝑚
Logo:
𝑉𝑅𝑘2 =8
3
𝑦0𝑡𝑤𝑏0(𝑏𝑤𝑎 − 𝑏0ℎ𝑐)
𝑎2𝑝𝑓𝑦 = 393,34 𝑘𝑁
𝑉𝑅𝑑2 =𝑉𝑅𝑘2
𝛾𝑎1= 357,58 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,90
357,58× 100% = 50,03 %
201
h) Flambagem Lateral do Montante da Alma
𝑉𝑐𝑟 =𝐸𝑡𝑤
1,18𝑦0 [1 + (1 −
2𝑏𝑤
𝑝) (
𝑦0 − 0,8𝑎 − 2𝑏
𝑦0)] = 274,86 𝑘𝑁
𝑉𝑐𝑟
𝑉𝑅𝑘2= 0,70 < 1
Logo:
𝑉𝑅𝑑3 =2
3 𝑉𝑐𝑟 = 183,24 𝑘𝑁
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2=
178,90
183,24× 100% = 97,63%
i) Flambagem Lateral com Torção
𝐶𝑤 =(𝑑𝑔 − 𝑡𝑓)
2𝐼𝑦
4= 8013458,25 𝑐𝑚6
𝑟𝑦 = √𝐼𝑦
𝐴𝑎= 7,60 𝑐𝑚
𝛽1 =0,7𝑓𝑦𝑊𝑥
𝐸𝐽= 0,10 𝑐𝑚−1
𝐿𝑝 = 1,76𝑟𝑦√𝐸
𝑓𝑦= 322,06 𝑐𝑚
𝐿𝑏 =𝐿
𝑐𝑙 + 1= 1000 𝑐𝑚
202
𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟 =1,66√𝐼𝑦𝐽
𝐽𝛽1 √1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽12
𝐼𝑦= 851,83 𝑐𝑚
Momento a um quarto do vão livre (𝑝𝐴 = 2,5 𝑚):
𝑀𝐴 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐴
2−
𝑞𝑑𝑝𝐴2
2= 335,44 𝑘𝑁𝑚
Momento no meio do vão livre (𝑝𝐵 = 5 𝑚):
𝑀𝐵 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐵
2−
𝑞𝑑𝑝𝐵2
2= 447,25 𝑘𝑁𝑚
Momento a três quartos do vão livre (𝑝𝐶 = 7,5 𝑚):
𝑀𝐶 =𝑞𝑑𝐿𝑝𝐶
2−
𝑞𝑑𝑝𝐶2
2= 335,44 𝑘𝑁𝑚
Momento máximo:
𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,25 𝑘𝑁𝑚
𝐶𝑏 =12,5𝑀𝑚á𝑥
2,5𝑀𝑚á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 𝑀𝐶= 1,14
Como 𝐿𝑏 > 𝐿𝑟,𝑐𝑜𝑟,
𝑀𝑅𝑘 =𝐶𝑏𝜋𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏 √
𝐶𝑤
𝐼𝑦(1 + 0,039𝐽
𝐿𝑏2
𝐶𝑤) = 492,74 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑅𝑑 =𝑀𝑅𝑘
𝛾𝑎1= 447,95 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑆𝑑 =𝑞𝑑𝐿2
8= 447,25 𝑘𝑁𝑚
203
𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑀𝑆𝑑
𝑀𝑅𝑑=
447,25
447,95 × 100% = 99,84 %
j) Estado limite de serviço de deslocamento excessivo
𝐼𝑒 = 2(𝐴𝑡𝑦02 + 𝐼𝑡) +
𝑡𝑤24
[6𝑎3 + 8𝑎2ℎ𝑐 + 3𝑎ℎ𝑐2 +
2𝑏𝑤
𝑝(𝑎 + ℎ𝑐)(𝑎
2 + 2𝑎ℎ𝑐 + 2ℎ𝑐2)]
𝐼𝑒 = 140704,5 𝑐𝑚4
1
𝐴𝑒=
2,6
𝑦02𝑡𝑤𝑝2
[1,6𝑎3 + 3𝑎ℎ𝑐 + 2,25𝑎ℎ𝑐2 + ℎ𝑐
3] +0,9
𝑡𝑤𝑦02(1,4𝑎 + ℎ𝑐) +
𝑝2
1684,8𝐼𝑡+
𝑡𝑤𝑦𝑎5
22,5𝐼𝑡2
1
𝐴𝑒= 0,110 𝑐𝑚−1
𝐴𝑒 = 9,13 𝑐𝑚2
𝑓𝑀 =5𝑞𝑠𝐿
4
384𝐸𝐼𝑒= 0,86 𝑐𝑚
𝑓𝑉 =𝑞𝑠𝐿
2
8𝐺𝐴𝑒= 0,33 𝑐𝑚
𝑓 = 𝑓𝑀 + 𝑓𝑉 = 1,19 𝑐𝑚
𝑓𝑎𝑑𝑚 =𝐿
350= 2,86 𝑐𝑚
𝑓 ≤ 𝑓𝑎𝑑𝑚 ⇒ 𝑂𝐾‼!
Índice de aproveitamento = 𝑓
𝑓𝑎𝑑𝑚=
1,19
2,86× 100% = 41,61 %
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