Eletrostatica´ - DEE complementares/eletrostatica.pdfPara que a esfera esteja aterrada os...

Campo EletricoPotencial Eletrico

CondutoresCapacitancia

Eletrostatica

Antonio Carlos Siqueira de Lima

Universidade Federal do Rio de JaneiroEscola Politecnica Departamento de Engenharia Eletrica

Agosto 2008

Lima, A. C. S. ELETROSTATICA

Campo EletricoPotencial Eletrico

CondutoresCapacitancia

1 Campo EletricoCampo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

2 Potencial Eletrico

3 CondutoresImagensAlguns Exemplos

4 CapacitanciaCapacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Lei de Coulomb

Qual a forca que atua sobre uma carga Q devido a uma cargapontual q estacionaria a uma distancia r , supondo que o meioque envolve ambas as cargas e o vacuo

F =1

4πε0

q Qr2 r (1)

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Campo Eletrico

Se tivermos diversas cargas qi , a distancias ri , (i,1, · · · n) de umacarga Q

A forca total em Q e dada por

F =n

∑i=1

Fi =Q

4πε0

n

∑i=1

qi

r2i

ri (2)

ou simplesmente

F = Q E (3)

onde

E =1

4πε0

n

∑i=1

qi

r2i

ri (4)

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Distribuicoes contınuas de cargas

A solucao anterior supoe cargas conhecidas qi

Caso a carga seja distribuıda continuamente sobre algumaregiao o somatorio se torna uma integral

E =1

4πε0

Z1r2 rdq (5)

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Distribuicao Linear de Carga

Se a carga for distribuıda uniformemente ao longo de uma linha,com uma carga por unidade de comprimento λ, o diferencial decarga e dado por (dl⇒ diferencial de comprimento)

dq = λdl (6)

E =1

4πε0

Z`

λ

r2 rdl (7)

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Distribuicao Superficial de Carga

Densidade superficial de carga σ

dq = σds (8)

E =1

4πε0

ZZS

σ

r2 rds (9)

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Densidade Volumetrica

Densidade volumetrica de carga ρ

dq = ρdv

E =1

4πε0

ZZZV

ρ

r2 rdv (10)

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Exemplo 1

Considere um segmento de reta de comprimento 2L que possui umadensidade de carga λ. Calcule o potencial eletrico a uma distancia zacima do ponto medio do segmento de reta (ponto P na figura abaixo)

P

x

z

r

Pela simetria do problema epossıvel perceber que oscomponentes na direcao x secancelem

No ponto P temos

dE =2

4πε0

(λdxr2

)cosθ z (11)

onde cosθ = z/r

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Exemplo 1 – cont.

A intensidade do campo eletrico e obtida pela integracao de (11) comx variando de 0 a L.

E =1

4πε0

Z L

0

2λz

(z2 + x2)3/2dx =

14πε0

2λL

z√

z2 +L2(12)

Para pontos muito afastados do segmento de reta condutor z� L,temos

E ≈ 14πε0

2λLz2 (13)

E portanto a reta condutora se comporta como uma carga pontual! Nocaso de uma reta infinita L→ ∞

E ≈ 14πε0

2λ

z(14)

Nesse caso z e a distancia do ponto ao fioLima, A. C. S. ELETROSTATICA

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Linhas de Fluxo & Lei de Gauss

Com o ferramental apresentado temos todos os dados pararesolver a maioria dos problemas de eletrostatica, admitindo-seque e possıvel resolver a integral

As linhas de fluxo podem ser uteis na visualizacao e naidentificacao do comportamento do campo eletrico.

E possıvel calcular as linhas de fluxo pelos tubos de forca oupela solucao da equacao diferencial que define o campo em todoo espaco

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Lei de Gauss

O Fluxo e uma forma de “medir” o numero de linhas de campopassando por uma superfıcie. O Fluxo por qq superfıcie fechada euma medida da carga total armazenada dentro dessa superfıcie

IS

E ·ds =1ε0

Qdentro (15)

Qdentro =ZZZ

V

ρdv (16)

Na forma diferencial obtemos (a partir do teorema de Green)

∇·E =ρ

ε(17)

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Exemplo 2

Calcule o campo exterior a uma esfera solida uniformementecarregada de raio r e carga total q.Pela aplicacao direta da definicao de fluxo de campo eletrico

IS

Eds = E 4π r2 (18)

Logo E 4π r2 = q/ε0

E =1

4πε0

qr2 (19)

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Campo Eletrico Devido a Distribuicoes de CargaLei de Gauss

Rotacional do Campo Eletrico

Vamos supor uma carga pontual na origem. A integral de linha docampo devido por essa carga pontual e dada porZ b

aE · d l =

q4πε0

(1ra− 1

rb

)(20)

onde ra e rb sao as distancias entre os pontos a e b. No caso daintegral de linha temos I

E · d l = 0 (21)

Aplicando o teorema de Stokes temos

∇×E = 0 (22)

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Potencial Eletrico

O campo eletrico (devido a Cargas Estacionarias) e conservativo

O fato do rotacional do campo eletrico ser nulo implica naexistencia de uma funcao potencial

V (P ) = φ =−Z r

PE · d l (23)

Se o ponto P for levado ao infinito, o potencial no ponto rdepende apenas do ponto, fazendo o caminho “inverso”

E =−∇φ (24)

Ha algumas vantagens em usar (24), derivaadas sao faceis decalcular, e potenciais sao usualmente faceis de medir (De umescalar calcula-se um vetor!!)

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Potencial Eletrico

O rotacional nulo implica tambem em relacao entre oscomponentes do campo eletrico

∂Ex

∂y=

∂Ey

∂x∂Ez

∂y=

∂Ey

∂z∂Ex

∂z=

∂Ez

∂x(25)

Mudanca de referencial implica na adicao de uma constante aopotencial

V1 = φ1 =−Z P

OE · d l−

Z r

PE · d lV1 = k +V (P ) (26)

Mas nao muda o campo eletrico....

∇V1 = ∇V (27)

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Potencial de uma distribuicao de carga

O potencial de uma carga pontual e dado por

V =− 14πε0

Z r1

∞

qr2 dr =

14πε0

qr1

(28)

Para um conjunto de cargas

V =1

4πε0

n

∑i=1

qri

(29)

Para uma distribuicao linear λ de cargas

V =1

4πε0

Zλ

rdl (30)

No caso de uma distribuicao volumetrica

V =1

4πε0

ZZZρ

rdV (31)

As integrais em sao mais simples que as do campo eletricoLima, A. C. S. ELETROSTATICA

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Potencial & Polaridade

Apesar de ser escalar, a polaridade da tensao implica emindicativo de direcao do campo eletrico

V

V

0

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ImagensAlguns Exemplos

Carga Pontual + Plano Infinito

No caso de uma carga pontual q colocada a uma distancia a deum plano infinito (aterrado), a imagem sera a carga −q, colocadaa uma distancia −a desse plano.

Se o plano separa os meios, a inclusao da imagem implica emum meio apenas, sendo esse meio o qual esta a carga original

V = φ(x ,y) =q

4πε0

(1r1− 1

r2

)(32)

r1 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga positivar2 e a distancia do ponto onde e efetuado a medicao do potencial atea carga imagem

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ImagensAlguns Exemplos

Carga Pontual + Plano Infinito

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ImagensAlguns Exemplos

Linha de Carga +Plano Infinito

Ha uma linha de carga a uma altura h do solo, com densidadelinear constante

Supondo o plano infinito aterrado, surge uma imagem comdensidade de carga negativa a uma distancia −h

A inclusao da imagem implica em um meio apenas, sendo essemeio o qual esta a carga original

V = φ =q

2πε0ln

(√x2 +(y +h)2

x2 +(y−h)2

)=

q4πε0

ln

(x2 +(y +h)2

x2 +(y−h)2

)(33)

A projecao bidimensional desse caso e identica ao do caso comcargas pontuais

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ImagensAlguns Exemplos

Linha de Carga + Cilindro

Se uma carga linear paralela a um cilindro condutor, supondo ocomprimento de ambos infinito. A carga imagem pode ser obtidaatraves da tangente a secao trasnversal do cilindro que passa noponto onde esta a carga realA posicao da carga imagem e dada pela razao

R2

b(34)

onde R e o raio do cırculo que forma a secao reta do cilindro, e b e adistancia que separa o centro do cilindro ao ponto onde se encontra acarga.Se o cilindro for dieletrico, muda alguma coisa?

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ImagensAlguns Exemplos

Imagem em Condutor Esferico

r1

r2R

d qimag

q1

b e a distancia que separa os centros, V na superfıcie da esferadevido a q e

V =q1

4πε0 r2(35)

V ′ devido a carga imagem qimag e

V ′ =1

4πε0

qimag

r1=

qimag

4πε0

b/R√R2 +b2−2Rb cosθ

(36)

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ImagensAlguns Exemplos

Imagem em Condutor Esferico

Para que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duascargas deve ser iguais e opostos, V +V ′ = 0Logo, a carga imagem deve ser

qimag = qRb

(37)

O potencial em qualquer ponto passa a ser

Vt =q

4πε0

[1√

r2 +b2−2b r cosθ− R√

b2r2 +R4−2R2b r cosθ

](38)

Qual e a densidade superificial de carga na superfıcie da esfera?

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ImagensAlguns Exemplos

Anel Circular com Distribuicao Linear de Carga

Condutor cilındrico de raio a ecomprimento ` e com carga total Q emum anel circular de raio R, sendoR� a.

A funcao potencial φ num pontogenerico P de coordenadas (x ,y ,z) e

φ(x ,y ,z) =1

4πε

Z`

qD

dl (39)

sendo q = Q/(2πR) a densidade linearde carga

Projecoes da espira condutora no planoy = 0 e no plano z = 0

Rr

Α

P

D

dP’

x

x

z

y

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ImagensAlguns Exemplos

Anel Circular — cont.

Utilizando a transformacao de variavel

α = π−2ϕ

o diferencial de comprimento pode ser expresso por

dl = |R dα|= 2|R dϕ|

a distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P ′ e

d =√

R2 + r2−2Rr cosα (40)

e a distancia entre o centro da espira ao mesmo ponto e dada por

r =√

x2 + y2

distancia entre um ponto na superfıcie da espira e o ponto P e

D =√

d2 + z2

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ImagensAlguns Exemplos

Anel Circular — cont.

Utilizando a relacao trigonometrica

cosα =−1+2sin 2ϕ

e possıvel escrever a distancia D como

D =√

(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ

logo o potencial eletrostatico pode ser dado por

φ =Q

4πε

22π

Zπ

0

dϕ√(R + r)2 + z2−4Rr sin 2ϕ

(41)

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ImagensAlguns Exemplos

Anel Circular – Integral Elıptica

Fazendo k =√

4Rr(R+r)2+z2 e possıvel rescrever (41) como

φ =Q

4π2ε

2√(R + r)2 + z2

Zπ/2

0

dϕ√1− k2 sin 2ϕ

=Q

2π2ε

F(k)√(R + r)2 + z2

(42)

A funcao F(k) e conhecida como integral elıptico completo deprimeira especie definida por

F(k) =Z

π/2

0

dϕ√1− k2 sin 2ϕ

(43)

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ImagensAlguns Exemplos

Para o calculo do potencial na superfıcie do condutor consideremoscomo representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a,neste caso

k =

√4R2

4R2 +a2 =1√

1+(

a2R

)2⇒ k2 =

1

1+(

a2R

)2∼= 1−

( a2R

)2

Como ( a2R

)2� 1

E possıvel obter uma solucao para integral na forma de

F(k) = ln

(4√

1− k2

)∼= ln

(8Ra

)logo, o potencial na superfıcie do condutor φc e aproximadamente

φc∼=

Q4π2εR

ln

(8Ra

)(44)

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Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos

Capacitancia

Um capacitor consiste de dois condutores carregando cargas desinais iguais e contrarios, separados por um meio dieletrico. Acapacitancia C pode ser definida por

C =QV

=−

HS

εE · dSR BA E · d l

(45)

Nada mais e que uma constante relacionando carga e potencial. Esempre positivaA relacao inversa e dada pela Elastancia S

Q = C (V1−V2) V1−V2 = S Q (46)

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Capacitor de placas paralelasCapacitor de esferas concentricasCapacitor de cilindros concentricos

Capacitancia

Em diversos casos simples podemos obter a capacitancia de umdispositivo atraves da Lei de Gauss. Vamos ver alguns exemplos:

Capacitor de placas paralelas

Capacitor de esferas concentricas

Capacitor de cilindros concentricos

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Capacitor de placas paralelas

Considere duas placas paralelas de area A separados de umadistancia d .O campo eletrico e normal a superfıcie (desprezando efeitos de ponta)Uma densidade de carga σ numa das placas implica em −σ na outraplacaA intensidade do campo entre as placas e E = σ/ε, ja a diferenca depotencial e V = E d , e a carga total Q = σA, logo a capacitancia entreas placas e

C =σA

σd/ε= ε

Ad

(47)

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Capacitor de esferas concentricas

Considere duas esferas concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1,possuindo cargas Q e −Q respectivamenteO campo e radial e orientado para o centro da esfera menor como sea carga estivesse no centro e de valor dado por

E =Q

4πε r2 (48)

A diferenca de potencial entre as esferas e

V =−Z r2

r1

Q4πε

drr2 =

Q4πε

(1r1− 1

r2

)(49)

C =4πε

1/r1−1/r2(50)

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Capacitor de cilindros concentricos

Considere dois cilindros concentricas de raios r1 e r2, sendo r2 > r1 ede comprimento L.O condutor interno possui carga −Q e o externo Q.O campo eletrico e dado pela Lei de Gauss e de intensidade

E =−Q/L2πε

1r

(51)

O potencial entre os cilindros e dado por

V =Q/L2πε

lnr2

r1(52)

e a capacitancia entre os cilindros e

C =2πεL

ln(r2/r1)(53)

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