Construindo o Ciclo Trigonom etrico · O ciclo (ou c rculo) trigonom etrico pode ser considerado uma evolu˘c~ao das tabelas de cordas, pois relaciona angulos^ com numeros reais

MINISTERIO DA EDUCACAO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE

INICIACAO A DOCENCIA (PIBID)

MATERIAL CONCRETO

Construindo o Ciclo Trigonometrico

Autores:Francisco Erivan de Almeida JuniorEdvan Pontes de OliveiraCaio Cezar Cavalcante

COORDENADORES: Giselle Costa, Fernando Guedes e Mercia PontesSUPERVISORA: Vilka Lorena Silva de Oliveira NogueiraESCOLA ESTADUAL NESTOR LIMA - NATAL/RN

Marco de 2014

2

Sumario

1 O Ciclo Trigonometrico 51.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Uma Definicao do Ciclo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . 6

2 Construcao do Ciclo Trigonometrico 72.1 Materiais Necessarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Como Construir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 1o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 2o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 3o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.4 4o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.5 5o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.6 6o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.7 7o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.8 8o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.9 9o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.10 10o Passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.11 Dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Atividades 153.1 Conhecendo o Ciclo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Conversao de Unidades de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Determinacao Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Arcos Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Seno, Cosseno e Tangente no Ciclo Trigonometrico . . . . . . . 20

3

4 SUMARIO

Capıtulo 1

O Ciclo Trigonometrico

1.1 Introducao

A ideia de ciclo trigonometrico ja ocorria nos primeiros trabalhos sobreTrigonometria, que tratavam de cordas em uma circunferencia contendo aotodo 60 unidades. Um dos problemas classicos consistia em encontrar ocomprimento da corda determinado por um certo angulo. Isso proporcio-nou o surgimento de diversas tabelas, chamadas tabelas de cordas, as quaisforneciam esses comprimentos para diversos angulos. Acredita-se que a pri-meira tabela de cordas foi produzida pelo matematico grego Hiparco (190-120a.C.), considerado o fundador da Trigonometria. Claudio Ptolomeu (85-165),provavelmente com base no trabalho de Hiparco, tambem escreveu obras arespeito de cordas, dividindo o comprimento da circunferencia em 360 partes.O ciclo (ou cırculo) trigonometrico pode ser considerado uma evolucao dastabelas de cordas, pois relaciona angulos com numeros reais.

A grande vantagem de se estudar trigonometria aplicada ao cırculo, di-ferentemente do estudo aplicado no triangulo retangulo, e a capacidade quetemos de calcular razoes trigonometricas de angulos superiores a 90◦.

O enfoque principal desta apostila e construir o ciclo trigonometrico. Comisso, o estudante e convidado a desenvolver conceitos de trigonometria atravesda confeccao e manipulacao do ciclo, que sera usado para responder algumasatividades encontradas no final da apostila. E valido lembrar que o cırculo tri-gonometrico e bastante importante e util nao so na matematica mas tambemna Astronomia, na Quımica, na Topologia, na Fısica e em suas ramificacoes.

5

6 CAPITULO 1. O CICLO TRIGONOMETRICO

1.2 Uma Definicao do Ciclo Trigonometrico

A seguir, apresentaremos uma definicao encontrada em [2].

Figura 1.1: Ciclo Trigonometrico

Definicao 1.1 Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonalu0v. Consideremos a circunferencia λ de centro 0 e raio r = 1. Notemosque o comprimento desta circunferencia e 2π pois r = 1Vamos agora definir uma aplicacao de < sobre λ, isto e, vamos associar acada numero real x um unico ponto P da circunferencia λ do seguinte modo:

1o) se x = 0, entao P coincide com A;

2o) se x > 0, entao realizamos a partir de A um percurso de comprimentox, no sentido anti-horario, e marcamos P como ponto final do percurso;

3o) se x < 0, entao realizamos a partir de A um percurso de comprimento|x|, no sentido horario. O ponto final do percurso e P .

A circunferencia λ acima definida, com origem em A, e chamada cicloou circunferencia trigonometrica.

Capıtulo 2

Construcao do CicloTrigonometrico

2.1 Materiais Necessarios

Alguns materiais listados abaixo poderao ser substituıdos por outros.

• 1 Cartolina

• 1 Placa de isopor

• 1 Estilete

• 1 Tesoura

• 1 Cola

• 1 Compasso

• 1 Regua

• 1 Transferidor

• 1 Placa fina de plastico transparente

• 1 Percevejo

2.2 Como Construir?

2.2.1 1o Passo

Recorte a cartolina em forma de quadrado (24x24cm ou 25x25cm).

7

8 CAPITULO 2. CONSTRUCAO DO CICLO TRIGONOMETRICO

2.2.2 2o Passo

Faca o mesmo recorte do quadrado no isopor.

2.2.3 3o Passo

Cole os recortes feitos no 1o e 2o passos (cartolina e isopor).

2.2.4 4o Passo

Ja com a cartolina fixada no isopor, marque, de acordo com a imagemabaixo, o ponto C do centro da circunferencia (o ponto C e definido comosendo a intersecao das duas mediatrizes dos lados do quadrado).

Figura 2.1: O ponto C e o centro do quadrado

2.2.5 5o Passo

Usando o compasso, faca uma circunferencia com centro em C de raio6,8cm.

2.2. COMO CONSTRUIR? 9

Figura 2.2: Circunferencia de raio 6,8cm

2.2.6 6o Passo

Construa os eixos dos cossenos e dos senos sobre as mediatrizes de acordocom a imagem abaixo.

Figura 2.3: Eixos dos cossenos (laranja) e dos senos (roxo)

2.2.7 7o Passo

Construa a reta tangente (ponto A) a circunferencia que passa pelo eixodos cossenos e e paralela ao eixo dos senos. Defina o eixo das tangentes (linhacontınua vermelha).


Figura 2.4: Eixo das tangentes (linha contınua vermelha)

2.2.8 8o Passo

Usando o transferidor, marque na circunferencia os pontos referentes aosangulos notaveis 30o, 60o, 45o, 90o e seus respectivos multiplos.

Figura 2.5: Note que o ponto correspondente a 0◦ e mesmo de 360◦

2.2.9 9o Passo

Marque nos eixos dos cossenos, dos senos e das tangentes os respectivosvalores definidos para os angulos marcados na circunferencia, de acordo comas indicacoes a seguir.


Eixos dos cossenos e dos senos

A ideia para encontrar os valores nos eixos dos cossenos e dos senos efazer retas paralelas a esses eixos passando pelos pontos dos angulos na cir-cunferencia.

Figura 2.6: Marcado nos eixos dos cossenos e dos senos

Eixo das tangentes

Ja para encontrar os valores no eixo das tangentes, a ideia e fazer retas quepassem pelo centro da circunferencia e pelos pontos referentes aos angulosdo 1o e 4o quadrante.

Figura 2.7: Marcado no eixo das tangentes

Marcados os eixos dos cossenos, dos senos e das tangentes, es-creva os valores relacionados a cada ponto nesses eixos. Lembre-se que a circunferencia do ciclo trigonometrico e definida comounitaria (raio vale 1).


2.2.10 10o Passo

Com a placa de plastico transparente, construa o ponteiro com formatoretangular de dimensoes 0,7cm x 21,5cm. Fixe o ponteiro com 1 percevejono centro da circunferencia. Veja a imagem seguinte.

Figura 2.8: Ponteiro (segmento espesso) fixado no centro da circunferenciapor 1 percevejo (ponto verde)

Agora seu ciclo trigonometrico esta pronto! Ele devera ser se-melhante ao da imagem abaixo.

Figura 2.9: Ciclo trigonometrico construıdo seguindo os 10 passos acima


2.2.11 Dicas

• Coloque no ponteiro do ciclo trigonometrico 1 ponto para indicar oangulo que ele esta referenciando;

• Identifique os eixos dos senos, dos cossenos e das tangentes;

• O plastico transparente pode ser de uma pasta escolar;

• O percevejo pode ser substituıdo por um prego ou um parafuso, porexemplo.


Capıtulo 3

Atividades

As atividades que propomos a seguir devem ser realizadas uti-lizando o ciclo trigonometrico construıdo.

3.1 Conhecendo o Ciclo Trigonometrico

1. Os arcos no sentido anti-horario sao positivos ou negativos? E nosentido horario?

2. Sabemos que no plano cartesiano ortogonal a reta horizontal e chamadade abscissa enquanto que a vertical e denominada ordenada, respectivamente,x e y. No ciclo trigonometrico, qual o novo significado dessas retas? O queelas representam?

3. No ciclo trigonometrico, existe uma outra reta vertical que nao seja ado sen? Qual? O que ela representa? Quantos pontos ela tem em comumcom a circunferencia? Por que?

4. Sabemos que o diametro e um segmento de reta que une dois pon-tos quaisquer da circunferencia passando pelo centro dela. No ciclo trigo-nometrico consideramos o valor real do diametro? Qual valor convencionado?

5. Em quais pontos as retas que representam o cos e o sen interceptam acircunferencia? Sabendo disso, quais os valores maximo e mınimo que o cosde um angulo pode assumir? E o sen? E a tan? Quais sao os angulos que atan nao e definida?

15

16 CAPITULO 3. ATIVIDADES

6. Sabemos que a reta que representa a tan intercepta a circunferenciaem apenas 1 ponto. Que ponto e esse? Acima desse ponto os valores saopositivos ou negativos? E abaixo?

7. Dado um angulo α, vamos supor que ele esteja no 1o quadrante, o valordo sen(α) e positivo ou negativo? E do cos(α)? Preencha a tabela abaixoidentificando os sinais do sen, do cos e da tan de acordo com os quadrantes.Voce pode utilizar + e − para responder.

8. Analisando a tabela acima, existe algum quadrante em que o sen e ocos tem o mesmo sinal? Quais (Qual)?

9. Existe algum quadrante em que o sen, o cos e a tan tem o mesmosinal? Quais (Qual)?

Algumas das atividades a seguir foram retiradas da monografiade especializacao [3] da professora Erika da Costa Ribeiro (2011) emodificadas por Francisco Erivan de Almeida Junior em marco de2014.

3.2. CONVERSAO DE UNIDADES DE ANGULOS 17

3.2 Conversao de Unidades de Angulos

10. Complete a tabela com as medidas dos arcos:

11. Encontre o quadrante do ciclo em que se encontram as imagens dosnumeros:

a)5π6

b)−3π4

c) 3

d)−4, 5

12. Faca um breve cırculo trigonometrico em um papel. Agora divida-oem oitos arcos congruentes, a partir do 0◦. Utilizando o material concreto,cırculo trigonometrico construıdo, responda:

a) Quanto mede, em graus e radianos, cada um desses oito arcos congru-entes?

b) Indique os numeros da primeira volta positiva (e os valores correspon-dentes em graus) que tem, como imagens, cada um desses pontos.

c) Faca o mesmo para a volta negativa.

13. Todos os numeros reais a seguir sao da primeira volta positiva ou daprimeira volta negativa. Identifique o quadrante da imagem de cada um deles.

a) 2, 5

b) 5, 3


c) −135

d) 9π10

e) 13π12

f) 36◦

g) −11π18

h)−227◦

i)−37π20

14. Um outra unidade de medida de angulos e o grado (sımbolo - gr) emque uma volta corresponde a 400 gr. Sabendo disso, responda:

a) Meia volta sao quantos grados?

b) 34

sao quantos grados?

c) 45◦ corresponde a quantos grados? E π3?

3.3 Determinacao Principal

Os valores encontrados na 1a volta positiva sao chamados de determinacaoprincipal de um arco.

15. Na circunferencia trigonometrica, onde fica a imagem de um arco de:

a) 360o?

b) 390o?

c) 600o?

d) 720o?

e) 1000o?

3.4. ARCOS CONGRUENTES 19

f) 1720o?

O que 720◦ e 360◦ tem em comum? Qual termo podemos utilizarpara se referir a eles?

16.Agora preencha o quadro abaixo:

17. A seguir, sao dados quatro arcos trigonometricos, a partir de uma desuas determinacoes (em graus ou radianos). Em cada caso, achar a deter-minacao principal e identificar o quadrante da extremidade do arco.

a)800◦

b)−964◦

c)43π6

d)−21π5

3.4 Arcos Congruentes

18. Calcule os numeros congruentes a π3:

a) na 1a volta positiva

b) na 2a volta positiva

c) na 1a volta negativa

d) na 2a volta negativa


19. Calcule os numeros congruentes a ?150o:

a) na 1a volta positiva

b) na 2a volta positiva

c) na 1a volta negativa

d) na 2a volta negativa

3.5 Seno, Cosseno e Tangente no Ciclo Tri-

gonometrico

20. Preencha a tabela:

21. Considerando a 1a volta positiva, responda:

a) Quais(is) o(s) arco(s) cujo seno e igual a 0? 1? −1?

b) Quais(is) os arcos cujo cosseno e igual a 0? 1? −1?

c) Qual(is) o(s) arco(s) cuja tangente e igual a 0? 1? −1?

3.5. SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMETRICO21

22. Preencha a tabela com valores em decimal (use aproximacao usandoa calculadora):

23. Os numeros que aparecem a seguir estao associados a pontos notaveisno ciclo trigonometrico. Calcule o seno, o cosseno ou a tangente de cada um,conforme o caso.

a)sen(3π)

b)sen(11π2

)

c)tan(−3π2

)

d)cos(10π)

e)cos(−7π)

f)tan(−5π2

)

g)sen(750◦)

h)cos(−300◦)

24. Analise se cada numero abaixo e positivo ou negativo:

a)sen(50◦)

b)sen(126◦)


c)sen(320◦)

d)tan(5π4

)

e)cos(50◦)

f)cos(−5π3

)

g)tan(−9π4

)

25. Complete as linhas pontilhadas com o sinal <, > ou =.

a) sen(50o)..........sen(12o)

b) sen(80o)..........sen(110o)

c) sen(π6)..........sen(5π

3)

d) cos(70o)..........cos(410o)

e) tan(210o)..........tan(π3)

f) sen(60o)..........cos(−300o)

g) sen(7π)..........tan(12o)

h) sen(50o)..........sen(12o)

i) cos(0◦)..........tan(π4)

DESAFIO: Para quais valores de x temos:

a) sen(x) = cos(x)

b) sen(x) = tan(x)

c) cos(x) = tan(x)

d) sen(x) = cos(x) = tan(x)

3.5. SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMETRICO23

26. Sabendo apenas o seno de um angulo, e possıvel encontrar o cossenoe a tangente desse angulo? Como? Por que?

27. Com o valor do seno de 30◦ mostre, usando o mesmo raciocınio daquestao anterior, que os valores do cosseno e da tangente de 30◦ sao, respec-tivamente,

√32

e√33

.

28. Sabendo apenas o seno de um determinado angulo, e possıvel encon-trar a cotangente, a cossecante e a secante desse angulo? Como? Por que?

29. Com o valor do seno de 60◦ mostre, usando o mesmo raciocınio daquestao anterior, que os valores da cotangente, da cossecante e da secante de60◦ sao, respectivamente,

√33

, 2√3

3e 2.

30. Quais os valores do seno de 30◦ e 150◦? E os do seno de 45◦ e135◦? O que voce observou? Voce seria capaz de criar uma igualdade paraum angulo x que demonstrasse tal relacao? (Note que 30o + 150◦ = 180◦ e45◦ + 135◦ = 180◦)

31. Quais os valores do cosseno de 30◦ e 150◦? E os do cosseno de 45◦ e135◦? O que voce observou? Voce seria capaz de criar uma igualdade paraum angulo x que demonstrasse tal relacao?

32. Quais os valores do cosseno de 210◦ e 30◦? E os do cosseno de300 e 120◦? O que voce observou? Voce seria capaz de criar uma igual-dade para um angulo x que demonstrasse tal relacao? Sera que esse mesmaigualdade e valida para o seno? Por que? (Note que 210◦ − 30◦ = 180◦ e300◦ − 120◦ = 180◦)

33. Voce seria capaz de criar outra igualdade para o seno e/ou cosseno?Qual(is)?

34. Sera que existe alguma igualdade para a tangente? Qual(is)?


Referencias Bibliograficas

[1] BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matematica: Ensino Medio.1. ed. Sao Paulo: Moderna, 2004.

[2] IEZZI, G. Fundamentos de Matematica Elementar: Tri-gonometria. 2. ed. Sao Paulo: Atual, 1977-78.

[3] RIBEIRO, E. C. Material Concreto parao Ensino de Trigonometria. Disponıvel em:<http://www.mat.ufmg.br/ espec/monografias.php> Acessoem: 27 mar. 2014.

25

Documents

Construindo o Ciclo Trigonom etrico · O ciclo (ou c rculo) trigonom etrico pode ser considerado uma evolu˘c~ao das tabelas de cordas, pois relaciona angulos^ com numeros reais