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Angulos notaveis Funcoes trigonometricas de qualquer angulo Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Angulos notaveis. Funcoes trigonometricas de qualquer angulo

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Setembro de 2018


Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Angulos notaveis.

2 Angulos de referencia.

3 Funcoes trigonometricas de quaisquer angulos.


Descobrindo seno e cosseno de 30◦, 45◦ e 60◦

Dividindo ao meio um trianguloequilatero de lado 1, obtemos

sen(60◦) = cos(30◦) =

√3

2

cos(60◦) = sen(30◦) =1

2

Do triangulo retangulo isosceles dehipotenusa 1, obtemos

sen(45◦) = cos(45◦) =

√2

2


Descobrindo a tangente de 30◦, 45◦ e 60◦

No triangulo retangulo,

tan(θ) =cat. oposto

cat. adjacente=

sen(θ)

cos(θ)

Logo,

tan(30◦) =sen(30◦)

cos(30◦)=

1/2√3/2

=

√3

3

tan(60◦) =sen(60◦)

cos(60◦)=

√3/2

1/2=√

3

tan(45◦) =sen(45◦)

cos(45◦)=

√2/2√2/2

= 1


Seno, cosseno e tangente de angulos notaveis

θ 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

0 π/6 π/4 π/3 π/2

sen(θ) 0 1/2√

2/2√

3/2 1

cos(θ) 1√

3/2√

2/2 1/2 0

tan(θ) 0√

3/3 1√

3 –


Seno e cosseno de angulos maiores que 90◦

Seja P = (x , y) o pontoda circunferencia unitariaassociado ao angulo θ.

Nesse caso, definimos

sen(θ) = y e cos(θ) = x

Por exemplo, para θ = 120◦, temos

P(θ) = (cos(θ), sen(θ)) =

(−1

2,

√3

2

).

Observe que sen(θ) e cos(θ) podem ser negativos.


Alguns valores do seno e do cosseno

Cada ponto Pi dacircunferencia unitaria temcoordenadas xi e yi dadaspor

Pi = (cos(θ), sen(θ)),


Sinal das funcoes trigonometricas

O sinal das funcoestrigonometricas varia de acordocom o quadrante.

A figura ao lado mostra os sinaisdas funcoes em cada quadrante.

Assim,

sen(θ) > 0 em I e II;

cos(θ) > 0 em I e IV;

tan(θ) > 0 em I e III.


Angulo de referencia

Para todo angulo θ definimos umangulo de referencia, que e o anguloentre o eixo-x e o lado terminal de θ.

No 1o quadrante (0 < θ < 90◦), oangulo de referencia e

θ = θ.

Para calcular sen(θ) e cos(θ):

1 Obtemos o angulo de referencia θ.

2 Calculamos sen(θ) ou cos(θ).

3 Definimos o sinal, de acordo com a transparencia anterior.


Seno e cosseno no segundo quadrante

Se θ esta no 2o quadrante (90◦<θ<180◦),definimos o angulo de referencia

θ = 180◦ − θ.

Nesse caso,

sen(θ) = sen(θ)

cos(θ) = −cos(θ)

Exemplos:

sen(150◦) = sen(180◦ − 150◦)

= sen(30◦) = 1/2.

cos(135◦) = −cos(180◦ − 135◦)

= −cos(45◦) = −√

2/2.


Seno e cosseno no terceiro quadrante

Para θ no 3o quadrante (180◦<θ<270◦),definimos o angulo de referencia

θ = θ − 180◦.

Nesse caso,

sen(θ) = −sen(θ)

cos(θ) = −cos(θ)

Exemplos:

sen(210◦) = −sen(210◦ − 180◦)

= −sen(30◦) = −1/2.

cos(225◦) = −cos(225◦ − 180◦)

= −cos(45◦) = −√

2/2.


Seno e cosseno no quarto quadrante

Para θ no 4o quadrante (270◦<θ<360◦),definimos o angulo de referencia

θ = 360◦ − θ.

Nesse caso,

sen(θ) = −sen(θ)

cos(θ) = cos(θ)

Exemplos:

sen(330◦) = −sen(360◦ − 330◦)

= −sen(30◦) = −1/2.

cos(315◦) = cos(360◦ − 315◦)

= cos(45◦) =√

2/2.


Relembrando os triangulos retangulos

Em um triangulo retangulo, temos

tan(θ) = cateto opostocateto adjacente = 1

tan(θ)

cot(θ) = cateto adjacentecateto oposto = 1

tan(θ)

sec(θ) = hipotenusacateto adjacente = 1

cos(θ)

csc(θ) = hipotenusacateto oposto = 1

sen(θ)

Observe que tan(θ) = sen(θ)cos(θ) e cot(θ) = cos(θ)

sen(θ) .


Coordenadas e funcoes trigonometricas

Se (x , y) sao as coordenadas de um ponto P da circunferenciaunitaria, entao

sen(θ) = y cos(θ) = x tan(θ) = yx

csc(θ) = 1y sec(θ) = 1

x cot(θ) = xy

Observe que:

tan(θ) e sec(θ) nao estao definidas quando x = 0.

cot(θ) e csc(θ) nao estao definidas quando y = 0.


Angulos notaveis no segundo quadrante

θ 90◦ 60◦ 45◦ 30◦ 0

sen(θ) 1√

3/2√

2/2 1/2 0

cos(θ) 0 1/2√

2/2√

3/2 1

tan(θ) –√

3 1√

3/3 0

θ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦

sen(θ) 1√

3/2√

2/2 1/2 0

cos(θ) 0 −1/2 −√

2/2 −√

3/2 −1

tan(θ) – −√

3 −1 −√

3/3 0


Outros angulos notaveis

θ 0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

sen(θ) 0 1 0 −1 0

cos(θ) 1 0 −1 0 1

tan(θ) 0 – 0 – 0

csc(θ) – 1 – −1 –

sec(θ) 1 – −1 – 1

cot(θ) – 0 – 0 –


Angulos coterminais

Funcoes trigonometricas

Funcoes trigonometricas tem o mesmovalor para angulos coterminais.

sen(765◦) = sen(45◦) = sen(−315◦) =√

2/2.

cos(765◦) = cos(45◦) = cos(−315◦) =√

2/2.

tan(765◦) = tan(45◦) = tan(−315◦) = 1.


Calculando o seno e o cosseno de angulos quaisquer

Aproximacoes por series

Supondo que x seja dado em radianos, temos

sen(x) = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · ·

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · ·

Para x = π/9 = 20◦, somando os 4 termos acima obtemos

sen(π9 ) ≈ 0, 3420201431 (melhor aproximacao: 0,3420201433)

cos(π9 ) ≈ 0, 9396926153 (melhor aproximacao: 0,9396926208)


Exercıcio 1

Problema

Indique o quadrante associado aos angulos abaixo e de o sinal doseno de cada um deles.

150◦, 210◦ e 330◦.

A) +, +, −B) +, −, −C) +, −, +

D) −, −, +

E) −, +, +


Exercıcio 2

Problema

Determine o angulo de referencia associado a cada angulo abaixo.

100◦, 345◦ e 250◦

80◦, 15◦, 70◦.


Exercıcio 3

Problema

Sabendo que sen(60◦) =√

3/2, calcule

sen(120◦), sen(240◦) e sen(300◦).

Dica: marque arcos na circunferencia unitaria.

√3/2, −

√3/2, −

√3/2.


Exercıcio 4

Problema

Indique o quadrante associado aos angulos abaixo e de o sinal docosseno de cada um deles.

120◦, 240◦ e 300◦.

A) +, +, −B) +, −, −C) +, −, +

D) −, −, +

E) −, +, +


Exercıcio 5

Problema

Sabendo que cos(60◦) = 1/2, calcule

cos(240◦) e cos(300◦).


−1/2, 1/2.


Exercıcio 6

Problema

Seja 0 ≤ x ≤ 180◦. Se sen(x) = 3/5, calcule

cos(x) e cos(x + 180◦).

4/5, −4/5.


Exercıcio 7

Problema

Sabendo que sen(45◦) = cos(45◦) =√

2/2, calcule

tan(45◦), tan(135◦) e tan(225◦).


1, −1, 1.


Exercıcio 8

Problema

Sem usar calculadora, determine

sen(780◦).

Dica: ache um angulo coterminal a 780◦ no intervalo [0, 360◦].

sen(780◦) = sen(60◦) =√

3/2.


Exercıcio 9

Problema

Sabendo que sen(30◦) = 1/2 ecos(30◦) =

√3/2, determine

sec(150◦), csc(150◦) e cot(150◦).

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