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Ensino Superior
Cálculo 1
1.6- Aplicabilidade do Limite
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites
Funções e Limites
Taxas de variação,definição de limite, limites laterais e
técnicas para determinação de limites
Prof. Amintas Paiva Afonso
Velocidade Média
Determinando a velocidade média:
Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual a sua velocidade média durante os primeiros 2s de queda?
Solução:
Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y metros nos primeiros t segundos, onde:
y = 4,9 t 2
A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida y, dividida pelo tempo decorrido t, neste percurso.
Para os primeiros 2s temos: t0= 0 e tf = 2, logo y0 = 0 e yf = 4,9(2)2.
Daí, smt
y/8,9
2
49,4
02
)0(9,4)2(9,4 22
Velocidade Instantânea
Determine a velocidade da pedra no caso anterior, no instante t = 2 s.
Fazendo a aproximação:
y/ t = [4,9(t +h)2 – 4,9t2]/h,
onde h está próximo de zero, podemos
construir a seguinte tabela:
h (s) y/ t
1,0 24,5
0,1 20,09
0,01 19,649
0,001 19,6049
0,0001 19,60049
Velocidade Instantânea
Determinando a velocidade instantânea algebricamente:
Neste caso, podemos calcular a velocidade média da pedra ao longo do percurso t = 2s até um tempo imediatamente posterior t = 2 + h, com h > 0 bem “pequeno”, ou seja, algebricamente temos:
Assim, fazendo h 0 descobrimos a velocidade instantânea em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.
hh
hh
h
hh
h
h
t
y9,46,19
9,46,196,19)44(9,4)2(9,4)2(9,4 2222
Taxa instantânea
Graficamente, a taxa de variação instantânea pode ser feita pelas aproximações dadas na figura abaixo.
Definição de limite:
Lxfxx
)(lim0
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto talvez
em x0. Dizemos que f(x) tem limite
L quando x tende a x0 e escrevemos
Se para cada número > 0 existir um número correspondente > 0 tal que, para todos os valores de x,
Esta definição está ilustrada, graficamente, na figura ao lado.
Lxfxx )(0 0
Regras envolvendo limites
Exemplos
1 – Funções polinomiais:Os limites podem ser obtidos por substituição, seP(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, então
2 – Funções racionais:Os limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição, desde que o denominador não se anule, ou seja, se P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c) 0, então
3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:a) cancelando um fator comum:
011
1)()(lim acacacacPxP nn
nn
cx
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xPcx
.31
212lim
)1(
)2)(1(lim
2lim
112
2
1
x
x
xx
xx
xx
xxxxx
Exemplos
3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:b) Criando e cancelando um fator comum:
.22
1
202
1
22
1lim
22lim
22lim
22
22lim
22lim
22
2222lim
22lim
00
000
00
hh
h
hh
h
hh
h
h
h
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hh
As vezes, não podemos obter o limite diretamente, mas talvez seja pos-sível obtê-lo indiretamente, quando uma função está limitada por duas funções que tenham o mesmo limite no ponto desejado.
Teorema do confronto:Suponha que g(x) f(x) h(x) para qualquer x em um intervalo aberto,contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que
LxfLxhxgcxcxcx
)(lim,)(lim)(lim então
Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve
ser definida em ambos os lados de a e seus valores devem se aproxi-
mar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, devemos
estudar os limites laterais, para verificar a existência ou não do limite.
Relação entre limite e limites laterais
Teorema: Uma função f(x) terá limite quando x se aproximar de c, se e
somente se, tiver um limite lateral à esquerda e um limite
lateral à direita e os dois limites laterais forem iguais, ou seja,
LxfLxfLxfcxcxcx
)(lim)(lim)(lim e
Exemplos:
1 – Mostre que y = sen (1/x) não tem limite quando x tende a 0.
Solução: a medida que x se aproxima de 0, pela esquerda, seu inverso (1/x) – . Daí, a função sen (1/x) assume valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Da mesma forma, ao se aproximar de zero, à direita, o inverso (1/x) +, o que implica na função sen (1/x) assumir valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Assim, a função não tem limite nem à esquerda nem à direita de zero e, portanto, não tem limite quando x tende a zero.
Exemplos:2 – Mostre que f() = (sen)/ tem limite
igual 1 quando tende a zero ( em radianos).
Demonstração: Se mostrarmos que os limites laterais existem e são iguais a 1, então usando o teorema anterior obteremos o resultado requerido.
Começamos com valores positivos para e menores que /2. Observando a figura ao lado, podemos observar que:
Área OAP < área do setor OAP < área do OAT
Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:
tgtgalturabaseΔOAT
rOAP
sensenalturabaseΔOAP
2
1))(1(
2
1
2
12
)1(2
1
2
12
1))(1(
2
1
2
1
22
Área
setor do Área
Área
1111
.11
1
,2222
senlim
senlimcoslim
senlimlim
Portanto, cossen
cossen
:vemsen
por tudo dividindo agora ,tgsen
logo,
00000
θ
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