Ensino Superior

2.1- Integral Definida

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).

Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo.

Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.

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Método de Exaustão de Arquimedes Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que

Arquimedes chamou de método de exaustão. O método consiste em exaurir (preencher) a figura que

se quer calcular a área com polígonos regulares. Quanto maior for número de lados do polígono, maior

será a convergência entre a área do polígono e a da figura.

Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.

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Método de Exaustão de Arquimedes

Para um polígono de n=4 lados

Para um polígono de n=6 lados

Para um polígono de n=8 lados

...

Integral Definida

Método de Exaustão de Arquimedes

Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;

2

. nbt

hbA

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Método de Exaustão de Arquimedes O perímetro do polígono é pn=n.bn;

A área total é dada por:

2

.

2

... nnnb

tn

hphbnAnA

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Método de Exaustão de Arquimedes No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais,

isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo;

Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r.

Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira: 2

2

.2lim r

rrAn

n

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S

Área sob uma curva Para determinar a área de uma figura plana qualquer,

procedemos de modo análogo. Considere então o problema de definir a área de uma

região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo:

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Área sob uma curva Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão

em n subintervalos onde os pontos a = x0 e b = xn.

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Área sob uma curva xi = xi - xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi]. Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o

ponto médio desse intervalo é definido por ci.

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Área sob uma curva A soma das áreas dos n retângulos, que

representamos por Sn, é dada por:

Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x).

Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:

i

n

iinnn xcfxcfxcfxcfS

).()(...).().(1

2211

Integral Definida

Área sob uma curva Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área

sob a curva de f(x) é definida por:

A integral definida está associada ao limite da definição acima.

Definição Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma

partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:

n

iii

xxcfA

i 10

).(lim

n

iii

b

ax

xcfdxxfi 10

)(lim)(

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Área sob uma curva Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].

Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”.

Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b. Se a>b, então se a integral à direita existir;

Se a=b e f(a) existir, então,

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

0)( a

a

dxxf

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Propriedades 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e

2)

3)

4) f(x) + g(x) é integrável e

5)

6) Se f(x) g(x) e a b, então

b

a

b

a

dxxfkdxxfk )(.)(.

a

a

dxxf 0)(

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

b

a

a

b

dxxgdxxf )()(

Integral Definida

Teorema Fundamental do Cálculo Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

ba

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Exemplo Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x) =

x - x2.

Integral Definida

Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob

seu gráfico é dada por:

Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui

primitiva, que neste caso é:

Pelo TFC, temos então que:

1

0

2 ][ dxxx

32)(

32 xxxF

6

1

3

1

2

1

32][

1

0

1

0

322

xx

dxxxA

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Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A.

Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada.

Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo,

2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.

Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

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