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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 4.1 – Estudo das Funções
Amintas Paiva Afonso
FunçõesFunções 1. Interpretação de Gráficos
O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos
Tempo (horas)
Distância
( Km)
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FunçõesFunções 1. Interpretação de Gráficos
A que distância de casa estava a Joana quando efetuou a primeira parada?
Joana estava a 10 m de casa. Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa?
A distância máxima que a separou de casa foi 15 m.
Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou 3h 30min.
Quanto tempo esteve parada a Joana? Joana esteve parada 1h 30min.
A que horas chegou a Joana a casa? Joana chegou ás 3h30min.
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FunçõesFunções 1. Noção de Função
Considere os seguintes conjuntos A e B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A Bf
Definição de Função:
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B.
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C
DomínioDf
imagem
Conjunto de Chegada
Objetos
1, 2, 3, 4
imagem
Imf 5, 6, 7
5, 6, 7, 8, 9
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FunçõesFunções 1. Noção de Função
função• A esta correspondência chama-se _________.
• Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { }
• A todo o elemento de A chamamos _____________.
• Ao conjunto B chamamos _______________________ da função.
Conjunto de chegada de f = { }
• A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________.
Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A
• Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se
por D’f = { }
FunçõesFunções 1. Noção de Função
Simboliza-se do seguinte modo:
f:
A B
x y = f(x)
• x é variável independente e y a variável dependente.
• Ao conjunto B chamamos Contradomímnio.
• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df.
• Ao conjunto das imagens chama-se Imagem da função e representa-se por Imf.
• A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y = f(x).
FunçõesFunções 1. Interpretação de diagramas
A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.
A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora em hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia.
FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função
Horas
Temperaturaº C
Indique:
• o domínio;
• a imagem;
1
2
0;24]
-3;6]
• as horas do dia em que se registou a temperatura 0 ºC
3
• os intervalos de tempo onde a temperatura: é positiva; é negativa; 4
• os intervalos onde a temperatura: aumenta; aumenta e é positiva; diminui; diminui e é positiva; é constante.
5
FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função
Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.
Como averiguar se é, ou não, uma função
Não se trata de uma representação de uma
funçãoTrata-se de uma representação de uma
função
FunçõesFunções Interpretação gráfica do domínio
Domínio
O domínio de uma função obtém-se projetando o seu gráfico sobre o eixo dos x.
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FunçõesFunções Interpretação gráfica do Contradomínio
Imagem
A Imagem de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos y.
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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função
Zeros de uma função
zeros
Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
Determinação dos zeros de uma função:
GraficamenteAveriguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas (x)
AnaliticamenteDeterminar os valores de x para os quais f(x)=0 isto é, x: f (x) = 0
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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função
Definição: Seja f uma função de domínio D, dizemos que :
- f é positiva em I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o x I. - f é negativa em I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o x I.
Determinação do sinal de uma função:
Graficamente- A função é positiva para todos os valores de x cujas imagens estão acima do eixo das abcissas.
- A função é negativa para todos os valores de x cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.
f(x) >0
f(x) < 0
Sinal de uma função
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FunçõesFunções Noções gerais de uma função
A função f é crescente num intervalo E.
A função f é estritamente crescente num intervalo E.
A função g é estritamente decrescente num intervalo E.
A função g é decrescente num intervalo E.
a b
g
g(a)
g(b)
a b
f
f(a)
f(b)
O a b
f
f(a)
f(b)
O a b
g
g(a)
g(b)
Monotonia de uma função
Definição: Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a) f(b) / se a < b, então f(a) < f(b).
Definição: Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a) g(b) / se a < b, então g(a) > g(b).
Definição: Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.
Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente.
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FunçõesFunções Noções gerais de uma função
• Monotonia de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a) f(x)
f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a) f(x), qualquer que seja o x E D
f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x), qualquer que seja o x E D
Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos
relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes Voltar
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
Definição: Uma função f é injetiva num intervalo E Df se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1 x2 então f(x1) f(x2).
Injetividade de uma função
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Definição: Uma função f é não injetiva num intervalo E Df se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem.
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
GraficamenteVê-se que uma função é não injetiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.
f é função injetiva f é função não injetiva
Injetividade de uma função
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
Sobrejetividade de uma função
Definição: Uma função g é sobrejetiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
f é não sobrejetiva
g é sobrejetiva
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
Taxa de Variação Média
A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é:
t.v.m. = [a, b]
f(b) - f(a)
b - aa b
f(b)
f(a)f(b) - f(a)
b - a
f
FunçõesFunções Noções gerais de uma função
Observações:
• Se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo.
• Se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo.
• Se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo.
