Ensino Superior
2.1- Integral Definida
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).
Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo.
Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.
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Método de Exaustão de Arquimedes Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que
Arquimedes chamou de método de exaustão. O método consiste em exaurir (preencher) a figura que
se quer calcular a área com polígonos regulares. Quanto maior for número de lados do polígono, maior
será a convergência entre a área do polígono e a da figura.
Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.
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Método de Exaustão de Arquimedes
Para um polígono de n=4 lados
Para um polígono de n=6 lados
Para um polígono de n=8 lados
...
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Método de Exaustão de Arquimedes
Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;
2
. nbt
hbA
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Método de Exaustão de Arquimedes O perímetro do polígono é pn=n.bn;
A área total é dada por:
2
.
2
... nnnb
tn
hphbnAnA
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Método de Exaustão de Arquimedes No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais,
isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo;
Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r.
Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira: 2
2
.2lim r
rrAn
n
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S
Área sob uma curva Para determinar a área de uma figura plana qualquer,
procedemos de modo análogo. Considere então o problema de definir a área de uma
região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo:
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Área sob uma curva Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão
em n subintervalos onde os pontos a = x0 e b = xn.
Integral Definida
Área sob uma curva xi = xi - xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi]. Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o
ponto médio desse intervalo é definido por ci.
Integral Definida
Área sob uma curva A soma das áreas dos n retângulos, que
representamos por Sn, é dada por:
Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x).
Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:
i
n
iinnn xcfxcfxcfxcfS
).()(...).().(1
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Área sob uma curva Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área
sob a curva de f(x) é definida por:
A integral definida está associada ao limite da definição acima.
Definição Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma
partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:
n
iii
xxcfA
i 10
).(lim
n
iii
b
ax
xcfdxxfi 10
)(lim)(
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Área sob uma curva Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].
Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”.
Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b. Se a>b, então se a integral à direita existir;
Se a=b e f(a) existir, então,
b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )(
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
0)( a
a
dxxf
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Propriedades 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e
2)
3)
4) f(x) + g(x) é integrável e
5)
6) Se f(x) g(x) e a b, então
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )(.)(.
a
a
dxxf 0)(
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
b
a
a
b
dxxgdxxf )()(
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Teorema Fundamental do Cálculo Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
ba
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Exemplo Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x) =
x - x2.
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Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob
seu gráfico é dada por:
Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui
primitiva, que neste caso é:
Pelo TFC, temos então que:
1
0
2 ][ dxxx
32)(
32 xxxF
6
1
3
1
2
1
32][
1
0
1
0
322
xx
dxxxA
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Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A.
Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada.
Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo,
2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
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