Ensino Superior

1.5 – Na Engenharia

Amintas Paiva Afonso

Modelagem Matemática

Sumário

Introdução Modelagem Matemática Para que serve um modelo matemático? Técnicas de Modelagem Aplicação da Modelagem Matemática na

Engenharia Vantagens da Modelagem Matemática Considerações Finais

1. Introdução

Representar, através de modelos matemáticos, sistemas e fenômenos observados sempre foi um desafio.

Desde a antigüidade, o homem tem procurado descrever matematicamente sistemas reais para ajudá-lo a entendê-los e, assim, resolver problemas relacionados a eles.

2. Modelagem Matemática

Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender. O processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial:

o modelo.

Objetivos

Preparar os alunos para trabalhar profissionalmente com a Modelagem;

Motivar os alunos mostrando para eles as aplicabilidades das idéias matemáticas no mundo real;

fornecer oportunidades para que os estudantes a integrem com outras áreas do currículo.

Habilidades do Engenheiro

Muitas das habilidades são requeridas para o engenheiro, tais como:

• Raciocinar;

• Analisar e argumentar com clareza;

• Demonstrar idéias;

• Lidar com informação e tecnologia.

Todas podem ser favorecidas pelo desenvolvimento de atividades com a Modelagem Matemática.

Essas habilidades requerem

Interação; Colaboração; Cooperação; Participação ativa; Envolvimento em atividades de estudo; Socialização de idéias; Capacidade de argumentação e síntese; Capacidade de expressar idéias próprias; Disposição para rever resultados obtidos.

O que é um modelo matemático?

“É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema em uma forma utilizável.”

(EYKHOFF, 1974)

“É um sistema de equações cuja solução, dado um

conjunto de dados de entrada, é representativa da

resposta do processo.”

(DENN, 1986)

O que é um modelo matemático?

“Um modelo nada mas é do que uma abstração matemática de processo real.”

(SEBORG et al., 1989)

Sintetizando: um modelo matemático, é um análogo

matemático que representa algumas características

observadas em um sistema real.

3. Para que serve um modelo matemático?

Esta pergunta deve ser respondida no contexto de cada problema de modelagem.• Por exemplo:

• explicar fenômenos;• monitoramento;• controle;• simulação;• etc.

Sistemas

Componentes do sistema

O limite do sistema define o sistema de qualquer outro (o ambiente).

As unidades básicas do sistema são os elementos do sistema.

Podem existir os subsistemas.

A forma na qual os elementos do sistema estão organizados ou arranjados é chamado configuração.

Classificação de sistemas

Simples x Complexo

Um sistema simples é o que possui poucos elementos ou componentes, e a relação ou interação entre os elementos é descomplicada e direta.

Um sistema complexo tem muitos elementos que são altamente relacionados.

Aberto x Fechado

Um sistema aberto interage com seu ambiente.

Em outras palavras, há um fluxo de entradas e

saídas por todos os limites do sistema.

Um sistema fechado é o oposto de um aberto.

Não há qualquer interação com o ambiente em um

sistema fechado.

Estável x Dinâmico

Um sistema estável é aquele em que as

mudanças no ambiente resultam em pouca ou

nenhuma mudança no sistema.

Um sistema dinâmico é o que sofre mudanças

rápidas e constantes devido às mudanças no

seu ambiente.

Adaptável x Não Adaptável

Um sistema adaptável é o que responde ao

ambiente mutável.

Um sistema não-adaptável é o que não muda

com um ambiente mutável.

Permanente x Temporário

Um sistema permanente é o que existe ou

existirá por um longo período de tempo.

Um sistema temporário é o que não existirá

por um longo período de tempo. Em alguns

casos, os sistemas temporários existem por

menos de um mês.

4. Técnicas de Modelagem

Há várias formas e técnicas de modelagem.

Uma das possíveis classificações agrupa os métodos em três grupos:

• Modelagem Caixa Branca;

• Modelagem Caixa Preta;

• Modelagem Caixa Cinza.

É necessário conhecer a fundo o sistema a ser modelado. Além de estar bem familiarizado com o sistema, para esse tipo de modelagem é necessário conhecer as relações matemáticas que descrevem os fenômenos envolvidos.

Modelagem Caixa Branca

(Teórico ou Analítico)

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico)

Para poder empregar um modelo teórico há necessidade de se conhecer certos parâmetros do processo. São desenvolvidos usando os princípios da Física e da Química.

1) Modelamento Físico

2) Equações de Movimento

3) Comportamento Dinâmico

Há três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulá-lo (Cannon, 1967)

1) Modelamento físico• Um modelo físico significa um sistema físico

imaginário que se assemelha ao sistema real em suas características mais marcantes, mas é mais simples (uma idealização) e, portanto, é propício ao estudo.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico)

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico)

2) Equações de Movimento

Pontos importantes:• Variáveis Físicas: descrevem o estado instantâneo

de um sistema.

• Relações de Equilíbrio: descrevem o balanço de forças, de energia do sistema.

• Leis Físicas: leis que regem o movimento dos elementos do sistema.

Modelagem Caixa Branca (Teórico ou Analítico)

3) Comportamento Dinâmico• A análise do comportamento dinâmico do

sistema implica em verificar como as variáveis de interesse respondem no tempo. Esta análise é feita através das soluções das equações diferenciais de movimento que o descrevem.

Modelagem Caixa Preta

É uma área de modelagem matemática que estuda técnicas alternativas à modelagem caixa branca.

Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário.

Acessível x Inacessível

O conceito de caixa preta se refere a um sistema cujo interior não pode ser desvendado, cujos elementos internos são desconhecidos e que só pode ser conhecido por fora.

Acessível x Inacessível

Este conceito é utilizado em duas circunstâncias:

• Quando o sistema é impenetrável ou inacessível (cérebro humano, corpo humano)

• Quando o sistema é excessivamente complexo, de difícil explicação ou detalhamento (economia nacional)

• Selecione arbitrariamente uma cidade inicial

• Para selecionar a próxima cidade, examine todas as cidades que ainda não foram visitadas e selecione a que estiver mais perto da cidade atual. Vá para lá a seguir.

• Repita a etapa 2 até todas as cidades terem sido visitadas.

Suponha que estejam disponíveis os sinais de entrada, u(k), e de saída, y(k), de um sistema real qualquer.

A identificação de sistemas se propõe a obter um modelo matemático que explique, pelo menos em parte e de forma aproximada, a relação de causa e efeito presente nos dados.

Modelagem Caixa Pretaou Identificação de Sistemas(Empírico ou Heurístico)

Modelagem Caixa Cinza

Nesta metodologia são utilizadas um conjunto de técnicas que caracterizam-se por usar informações auxiliares, que não se encontra no conjunto de dados utilizados na modelagem caixa preta.

Modelagem Caixa Cinza

1. Testes dinâmicos e coleta de dados.

2. Escolha da representação matemática a ser usada.

3. Determinação da estrutura do modelo.

4. Estimação de parâmetros.

5. Validação do modelo.

Principais etapas de um problema de identificação

Uma vez que a identificação se propõe a obter modelos a partir de dados, é necessário gerar tais dados.

Portanto, são efetuados testes de forma a extrair informações dinâmicas do sistema.

Testes dinâmicos e coleta de dados

Problemas importantes relacionados a esta etapa são a escolha dos sinais de excitação, a execução do teste e a escolha do tempo de amostragem.

Para representar matematicamente o modelo de um sistema real, se faz necessário a escolha, dentre tantas possibilidades, aquela que melhor representa o sistema.

Os modelos podem ser:i) lineares ou não-lineares;ii) variantes ou invariantes no tempo;iii) estáticos ou dinâmicos;iv) contínuos ou discretos;v) monovariáveis ou multivariáveis;vi) determinísticos ou estocásticos;vii) paramétricos ou não-paramétricos.

Escolha da representação matemática a ser usada

A escolha da ordem errada para um modelo pode, por um lado, não representar a sua complexidade estrutural e, por outro lado, pode torná-lo mal condicionado.

Assim a correta escolha da ordem do modelo é de fundamental importância para uma boa estimação de parâmetros.

Determinação da estrutura do modelo

Um dos aspectos mais importantes na determinação da estrutura de modelos é a escolha da ordem do modelo.

Há vários métodos de estimação de parâmetros, sendo alguns determinísticos e outros estocásticos.

Podem-se citar:• métodos dos mínimos quadrados;• máxima verossimilhança;• filtro de Kalman;• etc.

Estimação de parâmetros

Após a coleta dos dados de entrada u(k) e de saída y(k) do sistema, escolhido o modelo e determinada a ordem desse modelo, chega-se ao momento de estimar os parâmetros do modelo matemático escolhido.

Tendo obtido uma família de modelos, é necessário verificar se eles incorporam ou não as características de interesse do sistema original.

Além disso, é interessante poder comparar os modelos entre si e decidir se há algum candidato significativamente melhor que os demais.

Validação do modelo

5. Aplicação da Modelagem Matemática na Engenharia

Dinâmica é o estudo de como certas grandezas variam no tempo e das causas que induzem essas variações.

O objetivo de se estudar a dinâmica de sistemas é

compreender e predizer o comportamento dinâmico de um

certo sistema e, algumas vezes, melhorá-lo.

Este estudo invariavelmente é feito utilizando-se modelos

matemáticos.

Exige-se menos recursos e tempo do que era necessário para a investigação experimental;

Pode-se pesquisar sistemas e objetos com os quais seria impossível realizar investigações experimentais (como, por exemplo, objetos astronômicos e sistemas sociais);

É possível pesquisar o comportamento dos objetos em regimes anormais de funcionamento ou em regimes extremos;

É possível receber informação mais detalhada nas investigações experimentais se elas forem complementadas por modelos matemáticos.

6. Vantagens da Modelagem Matemática

Nos últimos anos, a modelagem matemática passou a ser aplicada também em áreas como biologia, economia, medicina, indústria.

O uso de computadores e o desenvolvimento dos métodos de cálculo vieram a favorecer ainda mais esta tendência, pois surgiu a possibilidade de utilizar modelos antes inviáveis.

7. Considerações Finais