Ensino Superior Matemática Básica Unidade 7 – Funções Exponencial Amintas Paiva Afonso

Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 7 – Funções Exponencial

Amintas Paiva Afonso

Função ExponencialFunção Exponencial

DefiniçãoDefinição

DomínioDomínio ImagemImagem

Função ExponencialFunção Exponencial

x

1234... ..x

Representação GráficaRepresentação Gráfica

Função ExponencialFunção Exponencial

Representação GráficaRepresentação Gráfica

Função ExponencialFunção Exponencial

Função ExponencialFunção Exponencial

Representação GráficaRepresentação Gráfica

1x

1,5x2x4x10x0,25x

0,5x

Equação ExponencialEquação Exponencial

Equação ExponencialEquação Exponencial

Equação ExponencialEquação Exponencial

Equação ExponencialEquação Exponencial

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Inequação ExponencialInequação Exponencial

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Verificação se 0 ou 1 Verificação se 0 ou 1 são soluçõessão soluções

FFVV

Inequação ExponencialInequação Exponencial

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

ComoComo

Supondo que Supondo que

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Supondo que Supondo que

– – – – – –+ ++ ++ ++ +

ComoComo

Inequação ExponencialInequação Exponencial

Solução da inequação seráSolução da inequação será

Exemplo 1Exemplo 1

Uma aplicação da função exponencial – 1.º ExemploConsidere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000 bactérias, então:

Após 1h p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;

Após 2h p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;

Após 3h p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;

Após th p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.

Exemplo 1Exemplo 1

Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:

p(t) = 2t.1000. Assim, se quisermos saber de quanto será a população de

bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:

p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias. Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a

população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o valor de t.

128.000 = 2t.1000 128.000/1000 = 2t 27 = 2t,

portanto, t = 7 horas.

Exemplo 2Exemplo 2

A importância do número “e” Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há

uma que é mais conveniente. Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente

ao gráfico da função exponencial. O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois

facilitaria muito cálculos futuros. Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente

à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”. O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x

e y = 3x.

Exemplo 2Exemplo 2

Gráfico de y = ex

Coeficiente angular: m = 1

Exemplo 2Exemplo 2

Quem é “e”?

Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, à taxa de 5% am.

tempo (meses)

Montante (R$)

1

y = 800 (1,05)t

y = 800 (1 + 0,05 . t)

2 3

882880

920

840

800

926

Exemplo 3Exemplo 3

Exemplo 4Exemplo 4

Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.

tempo (ano)

Turis

tas

inte

rnac

iona

is(e

m m

ilhõe

s)

60 65 70

360

480

240

120

75 80 85 90 95

y = ax

a > 1

Exemplo 5Exemplo 5

Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.

tempo (ano)

Popu

laçã

o br

asile

ira(e

m m

ilhõe

s)

70 80 90

169,1

185

166,1

90

99

y = 90 000 000 (1,018)t

05

y = k.ax

a > 1

Exemplo 6Exemplo 6

Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.

tempo (ano)

Valo

r do

veíc

ulo

(R$)

1 2 3

29 750

35 000

25 287

21 494

y = 35 000 (0,85)t

y = k.ax

0 < a 1

Proposta de Atividades PráticasProposta de Atividades Práticas

A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t

A população de uma cidade P = P0.ei.n

A planta cresce A = 40 (1,1)t

A máquina desvaloriza D = K (0,8)t

O líquido e seu PH O terremoto e a escala Richter A escala temperada da música e Bach