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RESOLUÇÃORESOLUÇÃOResolvaEnem I
MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
OSG.: 104436/16
Matemática
01. O robô percorrerá o perímetro de um polígono regular de n lados, cujo ângulo externo será:
24360
15º =°
→ =n
n
Logo, ele percorrerá 15 · (4 m) = 60 m.
Resposta correta: Item B
02. Os códigos que fornecem os algarismos têm quatro dígitos. Devemos, então, agrupar as barras de quatro em quatro. Assim, temos:
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
De acordo com a tabela, os códigos 0110, 1000, 0011 e 0101 correspondem, respectivamente, aos algarismos 6, 8, 3, 5. Portanto, este código de barras corresponde ao número 6835.
Resposta correta: Item A
03. Nº de pizzas portuguesa = 182
324
1
412 6 18⋅ + ⋅ = + =
Nº de pizzas mussarela = 185
924
1
610 4 14⋅ + ⋅ = + =
Sendo que os homens comeram 12 + 10 = 22 pizzas e as mulheres, 6 + 4 = 10 pizzas.
Resposta correta: Item C
04.
120º
108º
60º
x
B
A
IIJ E
FH
G
D
C
Temos:
I) No hexágono regular ABCDEI:
an
ni =− ⋅ °
=− ⋅ °
= °( ) ( )2 180 6 2 180
6120
II) No pentágono regular EFGHI:
an
ni =− ⋅ °
=− ⋅ °
= °( ) ( )2 180 5 2 180
5108
III) No triângulo equilátero AJI: a
i = 60°
Assim, sendo JÎH = x, devemos ter:x + 60° + 120° + 108° = 360° → x = 72°
Resposta correta: Item D
05. A função logarítmica RCR
R=
log0
é logarítmica crescente
(base 10 > 1) e quando R = R0, temos RC
R
R=
= =log log0
0101 0,
ou seja, seu gráfi co passa no ponto (R0, 0).
Portanto, o gráfi co que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda é o da alternativa (D).
Resposta correta: Item D
06. Escolhendo-se as quatro seleções que jogarão no Rio de Janeiro, as outras quatro seleções que jogarão em São Paulo já estarão determinadas. Daí, temos:I) Total de maneiras de dividir as oito seleções:
C8, 4
= 8
4 4
8 7 6 5
4 3 2 170
!
! !⋅=
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
=
II) Considerando as três seleções sul-americanas num mesmo grupo, basta escolher a outra seleção para completar a grupo. Daí, elas poderão fi car juntas jogando no Rio ou em São Paulo de C
5, 1 + C
5, 1 = 5 + 5 = 10 maneiras diferentes.
Logo, o número de maneiras dessas seleções não fi carem todas juntas será: 70 - 10 = 60
Resposta correta: Item D
07.
9m9m 4m4mEB a
ab
b
FA
C Dx
xx
Observando que a + b = 90°, temos que os triângulos BCA e FDE. Daí:x
xx x m
4
936 62= → = → =
Logo, a frente total mede BE = 9 + 6 + 4 = 19 m
Resposta correta: Item E
08. Temos as seguintes quantidades de maneiras de se escolher as duas questões com gabarito:
• A : C10, 2
= 10
2 845
!
! !⋅= • B: C
8, 2 =
8
6 228
!
! !⋅=
• C: C6, 2
= 6
2 415
!
! !⋅= • D: C
4, 2 =
4
2 26
!
! !⋅=
• E: C2, 2
= 1
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, temos: 45 · 28 · 15 · 6 · 1 = 113 400 maneiras diferentes de distribuir
as alternativas corretas (113 400 folhas respostas diferentes)
Resposta correta: Item B
09.
O
O
Modelo matemático
B30” R
R
60º
60º
A
I) Arco AB = 2 · (30°) = 60°II) O triângulo AOB é equilátero. Daí, AB = R
Resposta correta: Item B
10. De acordo com a tabela, o número n de cadernos é tal que:n = 12X + 11 ⇒ n + 1 = 12(X + 1)n = 20Y + 19 ⇒ n + 1 = 20(Y + 1)n = 18Z + 17 ⇒ n + 1 = 18(Z + 1)
Como X, Y e Z são números inteiros positivos, (n +1) é múltiplo comum de:12 = 22 · 31 · 50
20 = 22 · 30 · 51
18 = 21 · 32 · 50
Como mmc(12, 20, 18) = 22 · 32 · 51 = 180, devemos ter (n + 1) igual a 180 ou igual a um múltiplo de 180, ou seja:n + 1 = k · 180 , onde k é inteiro
Observe que:n < 1200 ⇒ n + 1 < 1201 ⇒ k · 180 < 1200 ⇒ k < 6,6
Logo, o maior valor possível para k é 6. Daí, o maior valor para n será:
n + 1 = 6 · 180 ⇒ n = 1080 – 1 = 1079, cuja soma dos algarismos é igual a: 1 + 0 + 7 + 9 = 17
Resposta correta: Item B
11. Sendo o dia 07/set/2015 (segunda-feira) o dia zero, quando se passar uma quantidade de dias múltipla de 7, teremos novamente o mesmo dia da semana do dia zero (segunda- feira).
Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14
21
Como a partir de 07/set/2015 até 07/set/2025 irão se passar10 · 365 + 3 = 3 653 dias. Dividindo essa quantidade de dias por 7, obtemos quociente 521 e resto 6, ou seja:
3653 521 7 6= ⋅ +≡ZERO���
Assim, 07/set/2025 cairá, na semana, 6 dias após a segunda-feira, ou seja, cairá num domingo.
Resposta correta: Item B
12.I) Na infância, temos massa m e área corporal A
I, tais que:
A k ml = ⋅2
3
II) Na maioridade, temos massa (8m) e área corporal AM, tais
que:
A = k (8m) A = k (2 m) A = k (2 ) m
A = k 2 m A = 4
M
2
3M
32
3M
32
3
2
3
M2
2
3M
⋅ → ⋅ → ⋅ ⋅ →
→ ⋅ ⋅ → ⋅⋅ ⋅ → ⋅(k m ) A = 4 A2
3M I
Logo, a área fi cará multiplicada por 4.
Resposta correta: Item B
13. Na notação científi ca, o primeiro fator deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Daí, devemos ter:
0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg = 167
1027
, kg =
= 1,67 · 10–27 kg
Como 1 kg = 103 g, obtemos:1,67 · 10–27 kg = 1,67 · 10–27 · 103 g = 1,67 · 10–24 g
Resposta correta: Item C
14.
58º58º
56º56º
a b
xx
a//b//cc
x = 56° + 58° = 114°
Resposta correta: Item C
15. Sendo x o comprimento do Rio Amazonas, de acordo com o enunciado, devemos ter:
7 1
1
mm
x
nm
m=
Observando agora que:1 nm = 1 bilionésimo de metro = 10–9 m7 mm = 7 · 10–3 m,
obtemos:
7 10 10
110 7 10
7 10
107 10
3 99 3
3
93 9
⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ = ⋅
− −− −
−
−− − −
m
x
m
mx m
x m
.
( ) mm
Logo, x = 7·106 m
Resposta correta: Item D
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Resolução Matemática
16. Os pixels são os quadradinhos e o total de quadradinhos que cabem na tela retangular é a área do retângulo. Daí, devemos ter:
Área da tela retangular = x · (x + 200) = 480 000 ⇒ x2 + 200x–– 480 000 = 0Assim, temos:• ∆ = 2002 + 1 920 000 ∆ = 1 960 000 = 196 · 104
• x = − ±200 1400
2 ⇒ X = –800 (não convém) ou x = 600
Logo, as dimensões da tela são x = 600 pixels e x + 200 = 800 pixels.
Resposta correta: Item B
17. Para acertar os respectivos relógios com a hora certa, de acordo com os pensamentos das respectivas donas:I) Amanda adiantará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na
realidade 10 + 5 = 15 minutos adiantados.II) Beatriz atrasará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na
realidade 10 + 5 = 15 minutos atrasados.III) Camila adiantará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na
realidade 5 + 5 = 10 minutos adiantados.
Portanto, a ordem de chegada será: Amanda (15 minutos antes das 15 h); Camila (10 minutos antes das 15 h) e Beatriz(15 minutos após as 15 h).
Resposta correta: Item B
18. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais e em um triângulo qualquer, um ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes. Daí, sendo  = x, temos:
A
D
E2 x
x
x
B
I) No triângulo isósceles ADE:
BDEˆ = x + x (ângulo externo do ∆ADE)
BDEˆ = DBEˆ = 2x (∆DEB é isósceles)
II) No triângulo ABE:
BECˆ = 2x + x (ângulo externo do ∆ABE)
BECˆ = ECBˆ = 3x (∆BEC é isósceles)
A
BC
3x
E2x
x
III) No triângulo isósceles ABC:
ABCˆ = ACBˆ = 3x e
x + 3x + 3x = 180° ⇒ x = 180
7
°
A
B C3x 3x
x
Resposta correta: Item C
19. Sendo x reais o valor que a pessoa dará a mais para facilitar o troco, esse troco deverá ser:Troco = (100 + x) - (valor da compra)Troco = 100 + x - 77Troco = 23 + x
Como o caixa só tem notas de 10 reais, o troco deverá ser 10 ou 20 ou 30 ou ... (múltiplo de 10). Assim, o menor valor possível será:23 + x = 10 ⇒ x = –13 (não convém)ou23 + x = 20 ⇒ x = –3 (não convém)ou23 + x = 30 ⇒ x = 7
Logo, o menor valor que o cliente deverá repassar ao caixa é 100 + 7 = 107 reais.
Resposta correta: Item B
20. P = 518·(24)6 → P = 518·224 → P = (518· 218) · 26 → P = 64·1018
Logo, Pzeros
= 64000 018
...��� �� (20 dígitos).
Resposta correta: Item C
21. Sendo r a medida do raio, devemos ter:
4 m
4 m
r
rr
r
rr
rr
rr
r
r
2·(diagonal do quadrado de lado r) + 4r = Diagonal do quadrado de lado 4 m
2 2 4 4 2.( )r r+ =
2,82r + 4r = 5,64
6,82 r = 5,64
r ≈ 0,82 m = 82 cm
Resposta correta: Item C
22. Sendo3
70 4285 7142 8571
1 2 3
= ,Re
ª ª ªsemana semana semana
pet
� ��� � ��� � ���
ee se
semana
−� �������������
� ���42854ª
... uma dízima periódica,
as senhas de Daniel irão se repetir de três em três semanas; e sendo π = 3,1415926535... um número irracional (apresenta infi nitas casas decimais, sem repetição periódica), as senhas de Rafael não se repetirão periodicamente.
Resposta correta: Item D
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Resolução Matemática
23.
C1
C2
10cm
10cm 10cm120cm
120cmA B
(Modelo matemático dos pneus)
Sendo C1C
2 = x, usando o teorema de Pitágoras, temos:
x2 = 1202 + 502 → x = 16900 = 130 cm
Resposta correta: Item A
24. A posição do armário de número 10, por exemplo, é alterada apenas pelas pessoas cujos números são divisores de 10:1 (abre), 2 (fecha), 5 (abre) e 10 (fecha).
Observe que, tendo 10 uma quantidade par de divisores positivos, o armário de número 10 terminará fechado. Para um armário terminar aberto, ele deverá ter um número ímpar de divisores positivos, ou seja, deverá ser um quadrado perfeito. Somente quem tem uma quantidade ímpar de divisores positivos são os quadrados perfeitos. Veja:50 = 21 ⋅ 52 ⇒ Nº de divisores positivo = (1 + 1)·(2 + 1) = par36 = 22 ⋅ 32 ⇒ Nº de divisores positivo = (2 + 1)·(2 + 1) = ímpar
Observe que um quadrado perfeito apresenta, quando fatorado em fatores primos distintos, apenas expoentes pares e, com isso, pela regra dos expoentes, teremos:
Nº de divisores positivos = (expoente + 1) · (expoente + 1) ... (expoente + 1) = (ímpar).(ímpar). ... . (ímpar) = ímpar
Logo, fi carão abertos os armários cujos números são quadrados perfeitos. São eles:
12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81 e 102 = 100
Portanto, 10 armários fi carão com as portas abertas.
Resposta correta: Item E
25. É fácil ver que os número do último quadro são: (22013 - 1), 22013 e (22013 +1). Assim, o produto procurado é:
(22013 – 1) · (22013 +1) = (22013)2 – 12
= 24026 – 1
Resposta correta: Item E
26. Sendo an o número de pregadores utilizados quando se tem n
lençóis em um varal, temos a PA de razão 3:(4, 7, 10, ..., an, ...)
Daí, obtemos:a
9 = 4 + (9 – 1) · 3 = 28 e a
3 = 4 + (3 – 1) · 3 = 10
Como 84 = 9·9 + 3, serão utilizados 9 varais, cada varal de9 lençóis e mais 1 varal com 3 lençóis. Portanto, serão 9·28 + 1·10 = 262 pregadores.
Resposta correta: Item B
27. Do gráfi co, temos que M(0) = 16 e M(150) = 4. Dentre as funções apresentadas nas alternativas, a única que satisfaz essas
condições é M tt
( ) =−
24
75 (Item A). Veja: M( )0 2 2 164
0
75 4= = =−
e M( ) .150 2 2 44
150
75 2= = =−
Resposta correta: Item A
28. Sendo d a distância entre dois pontos destacados consecutivos, temos:
Y X d d
d
d
= + ⇔ = +
⇔ = +
⇔ = =
103
2
1
610
9 1 60
8
60
2
15.
Assim, obtemos:D X d
D
D
D
= +
= + ⋅
= +
= =
4
1
64
2
155 16
3021
30
7
10
Resposta correta: Item D
29.
30 m
32 mx
24 m
56 m
r
T
s
2 m
Barreira
Rio
Teorema de Tales:x
x x metros+ = → + = ⋅ → =2
30
32
242
30 4
338
Resposta correta: Item B
30. Considere o diagrama seguinte relativo à situação-problema.
A T
U
x
C
6%
1%
1%
3%3%
2%
O total de adultos pesquisados corresponde a 100%. Assim, devemos ter: 11 3 2 1 100 83% % % % % %,
A
x x� ��� + + + + = ⇔ =
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
Portanto, 83% dos 200000 adultos pesquisados não usam nenhuma das trocas mencionadas, ou seja:
83 20000083
100200000 166 000% .⋅ = ⋅ =
Resposta correta: Item E
31. Se queremos a maior pontuação, devemos evitar grupo com três fi chas de cores diferentes, pois sua pontuação é extremamente baixa. Sendo a, b, m, v e p fi chas amarela, branca, marrom, verde e preta, respectivamente, podemos ter:vvv; aaa; bbv; vam ⇒ 8 + 8 + 6 + 1 = 23 (não é a maior pontuação)
Uma possível distribuição com pontuação máxima (sem pontuação mínima 1):vvv; aav; aap; bbm ⇒ 8 + 6 + 6 + 6 = 26
Resposta correta: Item D
32.Manhã Tarde
n(M ∪ T) = n(M) + n(T) – n(M ∩ T)20 = 15 + 10 – n(M ∩ T)n(M ∩ T) = 5
Assim, de um total de 20 pessoas, 5 trabalham os dois turnos. Daí:
Probabilidade = 5
20
5 5
20 5
25
10025= ⋅
⋅= = %
Resposta correta: Item D
33. De acordo com o enunciado, temos:I) Despesa total igual a R$ 67,00: 5x + 5y + 4 · 3 = 67 ⇔ x + y = 11 ⇔ y = 11 – x
II) 89 unidades de frutas: 6x + y + 4 · 12 = 89 ⇔ 6x + y = 41
Substituindo (I) em (II):6x + (11 – x) = 41 ⇔ x = 6
Portanto, foram compradas 6 · 6 = 36 maçãs.
Resposta correta: Item C
34. Como cada petabyte equivale a 220 gigabytes, então 3 petabytes equivalem a 3 · 220. Para determinarmos número (n) de DVDs
devemos efetuar a divisão 3 2
4
20⋅, veja
n = ⋅ = ⋅ = ⋅3 2
4
3 2
23 2
20 20
218
Como 219 = 2 · 218 e 220 = 4 · 218, então
219 = 2 · 218 < 3 · 218 < 4 · 218 = 220 ⇒ 219 < n < 220.
Resposta correta: Item E
35. Sendo x o número de abelhas no enxame, devemos ter:
x x x xx
x xx
xx
x x x x x
3 53
3 53
3 5
3
53
5 3 15 9 45 15
+ + ⋅ −
+ =
+ + − + =
+ + − + =−xx
x
= −=
45
45
Logo, há 45 abelhas no enxame.
Resposta correta: Item C
36. A reta DA é perpendicular ao plano (ABFE). Assim, a reta AD forma 90° com qualquer reta desse plano, inclusive com a reta AF.
Resposta correta: Item C
37. Sendo x o número de senhores que pagaram ingresso, o número de senhoras será (560 – x). Daí, devemos ter:
Arrecadação = x · 12 + (560 – x) · 10 = 6270 12x – 10x + 5600 = 6270 2x = 670 x = 335 (nº de senhores)
Assim, 560 - x = 225 (nº de senhoras).Logo, 335 - 225 = 110 senhores a mais que senhoras.
Resposta correta: Item E
38. Como as velocidades dos navios são constantes, se com meia hora eles percorrem y e x quilômetros, com uma hora eles andarão o dobro, 2y e 2x quilômetros. Como os triângulos são semelhantes, temos: BC = 2.(15 km) = 30 km.
Resposta correta: Item C
39.
I) 180 5
18 0 5 9= → = ⋅ =yy km
,,
II) x2 + 92 = 152 ⇒ x = 12 km
Assim, o navio C percorre, em uma hora, 2x = 24 km. Logo, a sua velocidade é de 24 km/h.
Resposta correta: Item C
40. A criança ganhou dois picolés de cada sabor, que podem ser representadas por:
B, B, M, M, C, C
Qualquer permutação desses seis elementos com repetição de 2, 2, e 2, é uma maneira diferente de consumir os seis picolés. Logo, o número total de modos distintos de consumir os picolés será:
P62 2 2 6
2 2 290( , , ) !
! ! !.=
⋅ ⋅=
Resposta correta: Item B
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
41. Sendo x o número de vértices com 3 arestas, temos:I) 2A = 5 · 2 + 4 · 4 + x · 3 2A = 26 + 3xII) V = 2 + 4 + x V = 6 + x III) V + F = A + 2 2V + 2 F = 2A + 4 12 + 2x + 30 = 26 + 3x + 4 42 – 30 = 3x – 2x x = 12
Logo,2A = 26 + 3.(12) A = 13 + 18 A = 31
Resposta correta: Item D
42. Temos uma função da forma Q(t) = at + b, na qual temos:
I) Para t = 0 (ano 2010): Q(0) = 49 ⇒ a(0) + b = 49 ⇒ b = 49
II) Para t = 10 ( ano 2020):
Q(10) = 44 ⇒ 10a + 49 = 44 ⇒ a = − 1
2
Logo, Q t t( ) .= − +1
249
Resposta correta: Item B
43. Sendo f(x) e g(x) os volumes em litros nos reservatórios A e B, respectivamente, após x horas, temos:f(x) = 720 – 10xg(x) = 60 + 12x
X = x0 ocorrerá quando:
f(x) = g(x) ⇒ 720 – 10x = 60 + 12 x ⇒ 660 = 22 x ⇒ x = 30
Logo, x0 = 30 horas
Resposta correta: Item E
44. O tetraedro é o poliedro de quatro faces, aquele que, na tabela, está associado ao fogo.
Resposta correta: Item A
45. O octaedro regular (oito faces) está associado ao ar. Ele apresenta, em torno de um mesmo vértice, 4 faces em forma de triangulo equilátero (veja fi gura dada). Daí, a soma procurada será:Soma = 4·(60°) = 240°
Resposta correta: Item B
46. O cubo tem 6 faces e 8 vértices. Assim, de acordo com o texto, o seu conjugado (ou dual) deverá ter 6 vértices e 8 faces (octaedro).
Octaedro
Resposta correta: Item A
47. O volume da caixa é dado por
V x x x
V x x x x
V x x x
= ⋅ − ⋅ −
= ⋅ − − +
= − +
( ) ( )
( )
8 2 10 2
80 16 20 4
80 36 4
2
2 3
Resposta correta: Item A
48. Sendo x, y e z as medidas do comprimento, largura e altura, o volume inicial é V = x.y.z. Para dobrar esse volume, ou seja, para obter 2·v = 2xyz, basta dobrar uma das dimensões.Veja:2V = (2x)·yz = x·(2y)·z = x·y·(2z)
Resposta correta: Item D
49. Considere o gráfi co seguinte relativo à situação-problema, no qual A é ponto de lançamento.
y
200
A
-20 -10 10 20
P
0
Queremos calcular a altura f(–10). Para isso, sabemos quef(x) = a·( x – x
1)·(x – x
2), em que x
1 = –20 e x
2 = 20 são as raízes,
ou seja f(x) = a·(x + 20 )·( x – 20). Daí, temos:I) O gráfi co passa no ponto (0, 200): f(0) = 200 → a·(0 + 20)·(0 – 20) = 200 → –400a = 200 →
→ a = –1/2II) f(x) = –1/2 · (x + 20) · (x − 20) f(10) = –1/2 · (30)·(–10) f(10) = 150 metros
Resposta correta: Item D
50. A base é um hexágono regular de 4 m de lado e a altura mede 10 m. Assim, temos:
Área da base = 64 3
424 3
22⋅ = m
Volume = 24 3 10 240 3 3⋅ = m
Resposta correta: Item E
51. Considere a fi gura seguinte relativa ao problema, em queAC = 80 m e AB = 60 m.
C
ED
A F B
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
Sendo AD = y e AF = x, da semelhança dos triângulos ABC e DEC, obtemos:
CD
CA
DE
AB
y xy
xy
x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −80
80 6080
80
6080
4
3.
Logo, a área do terreno destinado à construção da casa será:
A x AD
A x xx
A x x x
( ) AF
( )
( )
= ⋅
= ⋅ −
= − ⋅ +
804
34
3802
Portanto, a área máxima ocorrerá quando x for a’ abscissa do vértice, ou seja:
xb
a= − = −
⋅ − =2
80
243
30( )
. Daí, a área máxima será:
A m( )304
3900 80 30 1200 2400 1200 2= − ⋅ + ⋅ = − + =
Resposta correta: Item D
52.I) O gráfi co de B
1 passa nos pontos (0, 100), (z, 75) e (t, 0):
Coefi ciente angular = 100 75
0
100 0
04
−−
= −−
⇒ =z t
t z
II) O gráfi co de B2 passa pelos pontos (0, 90), (z, 75) e (t + 2, 0):
Coefi ciente angular = 90 75
0
90 0
0 26 2
−−
= −− +( ) ⇒ = −
z tt z
Assim, temos: 6z – 2 = 4z → z = 1 e t = 4 · (1) = 4 horas.
Resposta correta: Item D
53.I) Verdadeira. A frequência cardíaca, em segundos, é o inverso
do período:
1
283
134
4
3ππ
= = , (batimentos por segundos)
Logo, em 1 minuto (60 segundos), temos 60 · (4/3) = 80 batimentos por minuto.
II) Verdadeira. Veja:
P( ) cos
cos
c
2 100 208
32
100 2016
3
100 20
= − ⋅ ⋅
=
= − ⋅
=
= − ⋅
π
π
oos 2 24
3
100 201
2
110
⋅ +
=
= − ⋅ −
=
=
π π
mmHg
III) Falsa. A amplitude da função é de 20 mmHg
Resposta correta: Item B
54. Rol (21, 22, 25, 25, 26, 30, 40, 40)Média Aritmética:
21 22 25 25 26 30 40 40
8
229
828 625
+ + + + + + + = = ,
Moda: 25 e 40 (espaço bimodal)
Mediana: 25 26
225 5
+ = ,
Resposta correta: Item A
55. Acompanhe a fi gura abaixo.
20 m
hhhh
40 m
50 m
0,5 m0,5 m20 m20 m
0,4 m
H
Podemos estabelecer, através da semelhança entre os triângulos, a seguinte proporção:
50
20
4016
cm
m
cm
hh m= ⇒ =
Resposta correta: Item D
56. De acordo com o texto a leitura:do mês anterior foi: 1876 kWhdo mês atual: 2354 kWhAssim, o consumo do mês foi: 2354 – 1876 = 478 kWh
Resposta correta: Item B
57. Como o cone e o cilindro têm a mesma capacidade, o volume da parte vazia do cone (V
1) corresponde ao volume da parte cheia
do cilindro; e o volume da parte cheia do cone (V2) corresponde
ao volume da parte vazia do cilindro. Usando a semelhança do cone maior (funil todo) com o cone menor (parte do funil ainda com óleo), devemos ter:
V V
V
HH
V V
VV V V V V1 2
2
3
1 2
2
3
2 1 2 1 2
2
2 8 7+ =
⇒ + = ( ) ⇒ = + ⇒ =
AParte vazia: V
2
Parte cheia: V1
B
Assim, a parte cheia do cilindro (V1) será
7 vezes a sua parte vazia (V2). Veja como
fi ca no cilindro:
Resposta correta: Item A
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
58. Devemos ter por base as taxas de aprovação de cada fi scal, isto descarta os itens A e D.• Probabilidade de aprovação com A: 50%• Probabilidade de aprovação com B:45% (1a tentativa) + 50% de 50% (2a tentativa com A como fi scal defi nitivo) = 45% + 25% =70%
Probabilidade de aprovação com C:60% (1a tentativa) + 50% de 10% (2a tentativa com A como fi scal defi nitivo) = 45% + 25% = 70%
Resposta correta: Item B
59. Total de resultados possíveis para 10 lançamentos:
2 2 2 2 2 102410
10⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =...vezes
� �� �� Número de casos favoráveis:
• 8 caras e 2 coroas: C C10 8 2 2
108 2
110 92 1
45, ,
!! !
⋅ =⋅
⋅ = ⋅⋅
=
• 9 caras e 1 coroa: C C10 9 11
109 1
1 10, ,
!! !
⋅ =⋅
⋅ =
ou
• 10 caras: C10,10
= 1
Assim, temos 45 + 10 + 1 = 56 casos favoráveis, num total de 1024 casos possíveis. Logo, a probabilidade pedida será:
probabilidade = 56
10247
128=
Resposta correta: Item B
60. Sejam u, c e I os custos respectivos dos passeios de ultraleve, cavalo e lancha. Assim, podemos escrever o sistema:
II
I u cu c
3 2 4 1584 3 5 225+ + =+ + ={ �
�
Queremos determinar o valor de: 3u + c + 5�Se fi zermos 5 I – 3 II, teremos:
−+ + =
− − − = −{+ + =
3
5 15 10 20 79012 9 15 675
3 5 115II
I u cu c
u c
��
�
Resposta correta: Item E
61. Nota-se que cada soma é igual ao quadrado do termo central (maior termo). Assim, N = 20152 e, portanto,
N = = = ⋅ ⋅2015 2015 5 13 312 (três fatores, divisores, primos positivos)
Resposta correta: Item C
62. Como as estacas estão igualmente espaçadas, a distância, em metros, entre duas estacas consecutivas deve ser divisor comum de 52 = 22 · 13 e 117 = 32 · 13. Assim, o número de estacas será mínimo quando a distância entre as estacas for máxima, ou seja, a distância entre duas estacas é o MDC(52, 117) = 13 metros.Daí, temos:
N de estacasPer metro
dist ncia entre as estacasº
(
= =
= + + +
í
â
52 117 52 1117
13
338
1326
) m
m= =
Quantidade de fi o = 8·(perímetro) = 8·(338 m) = 2704 m
Resposta correta: Item C
63. Considere o diagrama de Venn relativo ao enunciado, em que x é o valor pedido.
y
B P
L
x
z
w
00
13
Nesse diagrama, temos que:I) y + z + w = 19II) (y + z + w) + x + 13 = 37 ⇒ 19 + x + 13 = 37 ⇒ x = 5
Resposta correta: Item A
64. A tabela apresenta o triângulo de Pascal, cujo elemento da linha
de número n e coluna de número p é dado por np
n
p n p
=
−!
!( )!.
No caso, queremos 1513
15
13 2
15 14
2105
= = ⋅ =!
! !
Resposta correta: Item C
65. Para o algarismo das unidades da senha de d algarismos temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7 ou 9); e para cada um dos outros (d – 1) algarismos temos 10 possibilidades. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de senhas é igual a:
10 10 10 5 10 51
1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅−
−...( )d vezes
d
� ���������
Por outro lado, o guarda gasta 2,5 h = 2,5 · 60 · 60 seg = 9000 seg para digitar todas as senhas, sendo 1,8 seg para cada senha. Assim, número total de senhas é igual a:
9000
1 8
90000
185000
seg
seg,= =
Logo, devemos ter:
10d–1 · 5 = 5000 ⇒ 10d–1 = 5000
5⇒ 10d–1 =103 ⇒
⇒ d = 4 (quadrado perfeito)
Resposta correta: Item A
66. Como o valor da barra de chocolate é 540 centavos, inicialmente pagávamos:
540
1803
centavos
gcentavo= s/grama
Depois da redução no “peso”, passamos a pagar:
540
1503 6
centavos
gcentavo= , s/grama
Logo, houve um aumento de 3 6 3
3
0 6
30 2
20
10020
, ,, %
− = + = = =
Ou, usando regra de três:
Centavos/g Porcentagem
3 ......................... 100 0,6 ......................... x
3
0 6
1003 60 20
,= ⇒ = ⇒ =
Xx x
Logo, houve um aumento exato de 20%
Resposta correta: Item B
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
67. Temos que:I. r + 10 = 30 ⇒ r = 20 cmII. A panela é um cilindro de raio da base r = 20 cm e altura h = 10 cm.
Logo, seu volume será: V = πr2h ⇒ V ≅ 3,14 · 202 · 10 cm3 = 3,14·400 · 10 cm3 =
= 12560 cm3
Como 1cm3 = 1 mL e 1 L = 1000 mL, obtemos:
V = 12560 mL = 12,56 L
Resposta correta: Item D
68. Fixando os exercícios 1 e 4 nas extremidades, qualquer permutação dos outros 8 elementos, 22333444, com repetição de 2, 3 e 3, é uma série diferente desejada.
1 22333444 4
82 3 3P , ,
� �� ��
Logo, são P82 3 3
28
2 3 3
8 7 6 5 4 3
2 3 2 3560, , !
! ! !
!
!=
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
Resposta correta: Item E
69. Temos que a seguintes possibilidades:
Duas vermelhas e uma azul: C9,2
· 7 = 36 · 7 = 252
Duas azuis e uma vermelha: C9,2
· 7 = 36 · 7 = 252
Portanto, o tempo total será de 252 + 252 = 504 segundos.
Como cada minuto tem 60 segundos, dividindo 504 por 60, obtemos quociente 8 e resto 24, ou seja, 504 segundos equivalem a 8 minutos e 24 segundos. Daí, x = 8 e y = 24.
Resposta correta: Item B
70. Sendo o gráfi co uma reta, a receita é da forma R(x) = ax + b, onde R(0) = b = 0 e R(20) = 20a = 20000. Assim, a = 1000 e, portanto, R(x) = 1000x. Para x = 1, temos:
Receita: R(1) = 1000 reais
Custo: C(1) = 900(1) + 50 = 950 reais
Logo, o lucro será: 1000 – 950 = 50 reais.
Assim, a porcentagem do lucro absoluto (50 reais), em relação à receita é:
Lucro
ceitaRe%= = =50
1000
5
1005
Resposta correta: Item A
71. Sendo 0 < a < 1, tal que − =h a
210log , devemos ter
h a n
210= +log( ) .
Daí, temos:
I. − = ⇒ =−h
aah
21010
2log
II. ha na n
h
21010
2= ⇒ = ++log( )
Substituindo, obtemos:
10 10 101
10
2 2 2
2
h h h
hn n= + ⇒ = +−
Fazendo kh
= 102 , fi camos com:
kk
n k nk kn n= + ⇒ − = ⇒ = ± +1
1 04
22
2
–
Como kh
= 102 > 0, teremos:
104
210
4
2
2
4
2
22
22
2
h hn n n n
h n n
= + + ⇒ = + + ⇒
⇒ = + +
log log
log
Portanto, hn n= ⋅ + +
24
2
2
log
Resposta correta: Item E
72. Calculando as áreas de cada uma das pizzas, tem-se:Pizza broto inteira → π · 152 = 225π Pizza gigante interna → π · 202 = 400π
Utilizando a regra de três, pode-se escrever:225π → 27400π → x
Daí, 27 225
400
27 9
1648
x xx= ⇒ = ⇒ =π
π Logo, uma pizza grande inteira custa 48 reais e cada um de
suas 10 fatias custará 48:10 = 4,80 reais.
Resposta correta: Item B
73. Água da primeira mistura: 26% de 40 L = 0,26 · 40 = 10,4 L
Água da segunda mistura: x% de (70 – 40) L =x
100· 30 = 0,3x
Água da mistura fi nal: 33% de 70 L = 0,33 · 70 = 23,1 LDaí, temos que:
10,4 + 0,3x = 23,1 ⇒ 0,3x = 12,7 ⇒127
342 3≅ ,
Logo, a porcentagem procurada é mais próxima de 42%
Resposta correta: Item C
74. Temos:Em A: x + z = 20Em B: 2x + y = 20Em C: 2x + 4 = 2y + z
Devemos então resolver o sistema:
Sx z Ix y II
x y z III:
( )( )( )
+ =+ =
− + + =
202 20
2 2 4
De (I) menos (III), obtemos: 3x – 2y = 20 – 4 ⇒ 3x – 2y = 16 (IV)
De 2 · (II) mais (IV), obtemos:7x = 40 + 16 ⇒ x = 8 ⇒ y = 4 e z = 12
Logo, o menor fl uxo é de y = 4 litros por minuto.
Resposta correta: Item B
OSG.: 104436/16
Resolução Matemática
75. Sendo x retiradas de um copo, y retiradas de 2 copos (y copos desperdiçados) e z retiradas de 3 copos (2z copos desperdiçados), devemos ter:I. Total de copos: x + 2y + 3z = 100II. Copos desperdiçados: y + 2z = 35% de 100 = 35
III. y
z
y zk
y kz k
= ⇒ = = ⇒ =={3
2 3 232
Daí, obtemos:
y + 2z = 35 ⇒ 3k + 4k = 35 ⇒ k = 5 ⇒ = ⋅ == ⋅ ={y
z3 5 152 5 10
Daí, temos:
x + 2y + 3z = 100 ⇒ x + 30 + 30 = 100 ⇒ x = 40
Logo, são 40 retiradas de um copo.
Resposta correta: Item C
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