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CONCRETO ARMADO I - CAPTULO 1
Departamento de Engenharia de Estruturas EE-UFMG
Julho 2014
MATERIAIS __________________________________________________________________________
1.1 Histrico
O material composto concreto armado surgiu h mais de 150 anos e se trans-
formou neste perodo no material de construo mais utilizado no mundo, devido
principalmente ao seu timo desempenho, economia e facilidade de produo. Abaixo
so citadas algumas datas histricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento
do concreto armado e protendido, conforme Rusch (1981).
1824 O inventor ingls Joseph ASPDIM recebeu a patente de um produto que vinha
desenvolvendo desde 1811, a partir da mistura, queima e moagem de argila e p de
pedra calcria retirado das ruas. Este novo material pulverulento recebeu o nome de
cimento portland, devido semelhana do produto final com as pedras encontradas
na ilha de Portland, ao sul da Inglaterra.
1848/1855 O francs Joseph-Louis LAMBOT desenvolveu no sul da Frana, onde
passava suas frias de vero, um barco fabricado com o novo material, argamassa
de cimento e areia entremeados por fios de arame. considerado o inventor do ferro-
cimento (argamassa armada) que deu origem ao hoje conhecido concreto armado. O
processo de fabricao era totalmente emprico e acreditando estar revolucionando a
indstria naval, patenteou o novo produto j em 1848, apresentando-o na feira inter-
nacional de Paris em 1855. Infelizmente sua patente no fez o sucesso esperado
sendo superada pelas patentes posteriores de outro francs, Monier.
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1.2
1861 O jardineiro (paisagista) e horticultor francs Joseph MONIER foi na realidade
o nico a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste bar-
co a soluo para os seus problemas de confinamento de plantas exticas tropicais
durante o inverno parisiense. O ambiente quente e mido da estufa era favorvel ao
apodrecimento precoce dos vasos feitos at ento de madeira. O novo produto alm
de bem mais durvel apresentava uma caracterstica peculiar: se o barco era feito
para no permitir a entrada de gua seguramente no permitiria tambm a sua sada,
o que se encaixava perfeitamente busca de Monier. A partir desta data comeou a
produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforada com uma ma-
lha de ao. Monier alm de ser bastante competente como paisagista, possua um
forte esprito empreendedor e viu no novo produto grandes possibilidades, passando
a divulgar o concreto armado inicialmente na Frana e posteriormente na Alemanha e
em toda a Europa. Ele considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em
1875 construiu no castelo de Chazelet, nos arredores de Paris uma ponte de concreto
armado com 16,5 m de vo por 4m de largura.
1867 Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com ar-
maduras de ao. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes vi-
gas e pontes. As construes eram construdas de forma emprica mostrando que o
inventor no possua uma noo clara da funo estrutural das armaduras de ao no
concreto.
1877 O advogado, inventor e abolicionista americano Thaddeus HYATT publicou
seus ensaios com construes de concreto armado. Hyatt j reconhecia claramente o
efeito da aderncia ao-concreto, da funo estrutural das armaduras, assim como da
sua perfeita localizao na pea de concreto.
1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que do origem a introduo
do concreto armado em outros pases.
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1.3
1884 Duas firmas alems FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOS-
SEAUX, compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reser-
vam-se o direito de revenda para toda a Alemanha.
1886 As duas firmas alems cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A.
WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construes de concreto segundo o
Sistema Monier. Realiza ensaios em Construes Monier e mostra atravs de pro-
vas de carga as vantagens econmicas de colocao de barras de ao no concreto,
publicando estes resultados em 1887. Nesta mesma publicao o construtor oficial
Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado
nos ensaios, um mtodo de dimensionamento emprico para alguns tipos de Cons-
trues Monier, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armadu-
ras de ao. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o clculo
das armaduras de ao.
1888 O alemo C. W. F. DHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e
vigas de pequeno porte tm sua resistncia aumentada atravs da protenso da ar-
madura, constituda de fios de ao. Surge assim provavelmente pela primeira vez a
ideia da protenso deliberada.
1900 A construo de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistncia de
sistemas distintos, geralmente patenteados. O professor da Universidade de Stuttgart
Emil MRSCH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta atravs de in-
meros ensaios realizados sobre a incumbncia da firma WAISS & FREITAG, a qual
pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Mrsch e publicados em 1902 constituem
ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensio-
namento de peas de concreto armado.
1906 O alemo LABES concluiu que a segurana contra abertura de fissuras con-
duzia a peas antieconmicas. Koenen props em 1907 o uso de armaduras previa-
mente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por
BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissurao eram
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1.4
eliminados com a protenso. Entretanto Koenen e Mrsch reconheceram j em 1912
uma perda razovel de protenso, uma vez que o concreto encurta-se com o tempo,
devido retrao e deformao lenta.
1928 - O francs E. FREYSSINET j havia usado a protenso em 1924. Entretanto s
em 1928 desenvolveu um processo empregando aos de alta resistncia protendidos,
capazes de provocar tenses de compresso suficientemente elevadas e permanen-
tes no concreto. Estuda as perdas devido retrao e deformao lenta do concreto
e registra vrias patentes sobre o sistema Freyssinet de protenso. considerado o
pai do concreto protendido.
1.2 Viabilidade do concreto armado
O concreto armado um material de construo composto, constitudo de concre-
to e barras de ao nele imersas. O funcionamento conjunto dos dois materiais s
viabilizado pelas trs propriedades abaixo:
Aderncia ao-concreto esta talvez seja a mais importante das propriedades
uma vez que a responsvel pela transferncia das tenses de trao no absor-
vidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito fun-
cionamento conjunto dos dois materiais;
Coeficientes de dilatao trmica do ao e do concreto praticamente iguais
esta propriedade garante que para variaes normais de temperatura, excetuada
a situao extrema de incndio, no haver acrscimo de tenso capaz de com-
prometer a perfeita aderncia ao-concreto;
Proteo da armadura contra a corroso Esta proteo que est intimamente
relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas dis-
tintas: a proteo fsica e a proteo qumica. A primeira garantida quando se
atende os requisitos de cobrimento mnimo preconizado pela NBR 6118:2014 que
protege de forma direta as armaduras das intempries. A proteo qumica ocorre
devido presena da cal no processo qumico de produo do concreto, que en-
volve a barra de ao dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo
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1.5
ph se situa acima de 13, criando condies inibidoras da corroso. Quando a
frente de carbonatao, que acontece devido presena de gs carbnico (CO2)
do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armao essa camada des-
passivada pela reao qumica do (CO2) com a cal, produzindo cidos que abai-
xam o ph desta camada para nveis iguais ou inferiores a 11.5, criando as condi-
es favorveis para o processo eletroqumico da corroso se iniciar. A corroso
pode acontecer independentemente da carbonatao, na presena de cloretos
(ons cloro Cl -), ou sulfatos (S - -).
1.3 Vantagens do concreto armado
Economia a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transforma-
ram o concreto em um sculo e meio no material para construo mais usado no
mundo;
Adaptao a qualquer tipo de forma ou frma e facilidade de execuo a produ-
o do concreto no requer mo de obra especializada e com relativa facilidade
se consegue qualquer tipo de forma propiciada por uma frma de madeira;
Estrutura monoltica (monos nica, litos pedra) esta propriedade garante
estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurana devido ao alto
grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligaes bastante rgidas das peas de
concreto. Alm disso, quando a pea est submetida a um esforo maior que a
sua capacidade elstica resistente, ela ao plastificar, promove uma redistribuio
de esforos, transferindo s peas adjacentes a responsabilidade de absorver o
esforo;
Manuteno e conservao praticamente nulas a ideia que a estrutura de con-
creto armado eterna no mais aceita no meio tcnico, uma nova mentalidade
associa qualidade de execuo do concreto, em todas as suas etapas, um pro-
grama preventivo de manuteno e conservao. Naturalmente quando compara-
do com outros materiais de construo esta manuteno e conservao aconte-
cem em uma escala bem menor, sem prejuzo, no entanto da vida til das obras
de concreto armado;
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1.6
Resistncia a efeitos trmico-atmosfricos e a desgaste mecnico.
1.4 Desvantagens do concreto armado
Peso prprio a maior desvantagem do concreto armado seguramente o seu
grande peso prprio que limita a sua utilizao para grandes vos, onde o concre-
to protendido ou mesmo a estrutura metlica passam a ser econmica e tecnica-
mente mais viveis. A sua massa especfica dada pela NBR 6118:2014 como
2500 kg/m3;
Dificuldade de reformas e demolies - hoje amenizada com tecnologias avana-
das e equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolies;
Baixo grau de proteo trmica embora resista normalmente ao do fogo a
estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e
isolamentos trmicos para proporcionar um conforto trmico adequado constru-
o;
Fissurao a fissurao que um fenmeno inevitvel nas peas tracionadas de
concreto armado, devido ao baixo grau de resistncia trao do concreto, foi por
muitas dcadas considerada uma desvantagem do material. J a partir do final da
dcada de setenta, este fenmeno passou a ser controlado, baseado numa redis-
tribuio das bitolas da armadura de trao, em novos valores de cobrimentos m-
nimos e at mesmo na diminuio das tenses de servio das armaduras, pelo a-
crscimo das mesmas. Cabe salientar que a fissurao no foi eliminada, apenas
controlada para valores de aberturas mximas na face do concreto de tal forma a
no comprometer a vida til do concreto armado e tambm a esttica.
1.5 Concreto
O concreto uma mistura em proporo adequada (trao) dos materiais ci-
mento, agregados (areia e brita) e gua resultando em um novo material de constru-
o, cujas caractersticas do produto final diferem substancialmente daquelas dos
materiais que o constituem.
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1.7
1.5.1 Propriedades mecnicas do concreto
1.5.1.1 - Resistncia compresso
A resistncia mecnica do concreto compresso, devido a sua funo estru-
tural assumida no material composto concreto armado, a principal propriedade
mecnica deste material a ser analisada e estudada. Esta propriedade obtida atra-
vs de ensaios de compresso simples realizados em corpos de provas (CPs), com
dimenses e procedimentos previamente estabelecidos em normas nacionais e es-
trangeiras.
A resistncia compresso depende basicamente de dois fatores: a forma do
corpo de prova e a durao do ensaio. O problema da forma resolvido estabele-
cendo-se um corpo de prova cilndrico padronizado, com 15 cm de dimetro e 30 cm
de altura, que recomendado pela maioria das normas do mundo, inclusive as bra-
sileiras.
Em outros pases, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de
prova cbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resis-
tncia compresso ligeiramente superior ao obtido pelo cilndrico. Isto se deve a
sua forma, onde o efeito do atrito entre as faces do corpo de prova carregadas e os
pratos da mquina de ensaio, confina de forma mais efetiva o CP cbico que o ciln-
drico, devido a uma maior restrio ao deslocamento transversal das faces carrega-
das. Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85, que quando aplicado ao CP
cbico transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilndrico, po-
dendo assim ser usada a vasta bibliografia alem sobre o assunto.
Normalmente o ensaio de compresso em corpos de prova de curta dura-
o e sabe-se a partir dos trabalhos realizados pelo alemo Rsch, que o resultado
deste ensaio ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio de longa durao.
Isto se deve a microfissurao interna do concreto, que se processa mesmo no con-
creto descarregado, e que no ensaio de longa durao tem seu efeito ampliado de-
vido interligao entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente
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1.8
do CP compresso. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em
uma estrutura de longa durao os resultados do ensaio de curta durao devem
ser corrigidos por um fator, denominado Coeficiente de Rsch, igual a 0,85.
1.5.1.2 - Resistncia caracterstica do concreto a compresso - fck
Quando os resultados dos ensaios a compresso de um grande nmero de
CPs so colocados em um grfico, onde nas abscissas so marcadas as resistn-
cias obtidas e nas ordenadas a frequncia com que as mesmas ocorrem, o grfico
final obedece a uma curva normal de distribuio de frequncia, ou curva de Gauss.
Observa-se neste grfico que a resistncia que apresenta a maior frequncia
de ocorrncia a resistncia mdia fcj, aos j dias, e que o valor equidistante entre a
resistncia mdia e os pontos de inflexo da curva o desvio-padro s (ver fig. 1.1),
cujos valores so dados respectivamente por:
n
ff
ci
cj
(1.1)
1n
ffs
2
cjci
(1.2)
Onde n o nmero de CPs e fci a resistncia compresso de cada CP i.
A rea abaixo da curva igual a 1. Um valor qualquer da resistncia marcado
no eixo das abscissas divide esta rea em duas outras que representam as probabi-
lidades de ocorrncia de valores maiores ou menores que este. Do lote de CPs en-
saiados a resistncia a ser utilizada nos clculos baseada em consideraes pro-
babilsticas, considerando-se em mbito mundial a resistncia caracterstica fck do
lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual s corresponde um total de 5% dos
resultados obtidos, ou seja, um valor com 95% de probabilidade de ser ultrapassado
(ver fig. 1.1).
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1.9
Para um quantil de 5% obtm-se a partir da curva de Gauss:
sff cjck 645,1 (1.3)
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande nmero de obras e em
todo o mundo percebe-se que o desvio-padro s principalmente dependente da
qualidade de execuo e no da resistncia do concreto. A NBR-12655:2006 que
trata do preparo, controle e recebimento do concreto, define que o clculo da resis-
tncia de dosagem deve ser feito segundo a equao:
dckcj sff 645,1 (1.4)
Onde sd representa o desvio-padro de dosagem.
Figura 1.1 Curva de Gauss para CPs de concreto ensaiados compresso
Resistncia caracterstica fck
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1.10
De acordo com a NBR-12655:2006 o clculo da resistncia de dosagem do
concreto depende, entre outras variveis, da condio de preparo do concreto, defi-
nida a seguir:
Condio A (aplicvel s classes C10 - fck=10 MPa, at C80 fck=80 MPa): o
cimento e o os agregados so medidos em massa, a gua de amassamento
medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em funo da
umidade dos agregados;
Condio B
(aplicvel s classes C10 at C25): o cimento medido em massa, a gua de
amassamento medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados
medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;
(aplicvel s classes C10 at C20): o cimento medido em massa, a gua de
amassamento medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados
medidos em volume. A umidade do agregado mido determinada pelo menos
trs vezes durante o servio do mesmo turno de concretagem. O volume de a-
gregado corrigido atravs da curva de inchamento estabelecida especificamen-
te para o material utilizado;
Condio C (aplicvel apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento
medido em massa, os agregados so medidos em volume, a gua de amassa-
mento medida em volume e a sua quantidade corrigida em funo da estima-
tiva da umidade dos agregados e da determinao da consistncia do concreto,
conforme disposto na NBR 7223, ou outro mtodo normalizado ( A NBR
7223:1992 foi cancelada e substituda pela NBRNM 67:1998).
Ainda de acordo com a NBR-12655:2006, no incio da obra ou em qualquer
outra circunstncia em que no se conhea o valor do desvio-padro sd, deve-se
adotar para o clculo da resistncia de dosagem os valores apresentados na tabela
1.1, de acordo com a condio de preparo, que deve ser mantida permanentemente
durante a construo. Mesmo quando o desvio-padro seja conhecido, em nenhum
caso o mesmo pode ser adotado menor que 2 MPa.
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1.11
Tabela 1.1 Desvio- padro a ser adotado em funo da
condio de preparo do concreto (NBR 12655:2006)
Condio Desvio-padro (MPa)
A 4,0 B 5,5
C1) 7,0
1) Para condio de preparo C, e enquanto no se conhece o desvio-padro, exige-
se para os concretos de classe C15 um consumo mnimo de 350 Kg de cimento por
metro cbico.
1.5.1.3 - Mdulo de elasticidade longitudinal
O mdulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama
x (tenso x deformao) obtido pela derivada (d/d) no ponto considerado, que
representa a inclinao da tangente curva no ponto. De todos os mdulos tangen-
tes possveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tenses
de servio na estrutura so da ordem de 40% da tenso de ruptura do concreto, e
neste trecho inicial o diagrama x praticamente linear. De acordo com o item
8.2.8 da NBR-6118:2014 o mdulo de elasticidade ou mdulo de deformao tan-
gente inicial dado por:
ckEci f5600E para fck 50 MPa (1.5a)
3 ckE3
ci 1,2510
f21,5x10E para fck > 50 MPa (1.5b)
Sendo
E = 1,2 para basalto e diabsio
E = 1,0 para granito e gnaisse
E = 0,9 para calcrio
E = 0,7 para arenito
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1.12
Onde
Eci e fck so dados em megapascal (MPa).
O mdulo de deformao secante a ser utilizado nas anlises elsticas de
projeto, principalmente para determinao dos esforos solicitantes e verificao dos
estados limites de servio, pode ser estimado pela expresso:
ciics EE (1.6a)
Sendo
1,080
f0,20,8 cki (1.6b)
1.5.1.4 - Coeficiente de Poisson e mdulo de elasticidade transversal
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118:2014 para tenses de compresso
inferiores a 50% de fc (ruptura compresso) e para tenses inferiores a resistncia
trao fct, o coeficiente de Poisson (relao entre a deformao transversal e longi-
tudinal) e o mdulo de elasticidade transversal so dados respectivamente por:
= 0,2 (1.7)
cs
csc 0,42E
2,4
E
12
1G
(1.8)
1.5.1.5 - Diagrama tenso-deformao (x)
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118:2014 o diagrama x na compresso
para tenses inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tenses calcula-
das com a lei de Hooke, com o mdulo de elasticidade igual ao secante Ecs.
Para os estados limites ltimos o diagrama x na compresso apresentado
na figura (1.2) abaixo um diagrama idealizado, onde se nota dois trechos distintos,
o primeiro curvo segundo uma parbola de grau n, com deformaes inferiores a
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1.13
c2 e o segundo constante, com deformaes variando de c2 a cu. Para o trecho
curvo a tenso no concreto dada por:
n
c2
ccdc
110,85f (1.9a)
Onde fcd representa a resistncia de clculo do concreto dada no item 12.3.3
da NBR 6118:2014 mostrada adiante no item 1.8, a potncia n dada na figura
1.2 em funo dos grupos de resistncia I (C20 a C50) e II (C55 a C90).
O valor da resistncia no trecho constante igual a c = 0,85 fcd (o valor do
coeficiente 0,85 s muda quando se adota o diagrama retangular simplificado).
Figura 1.2 - Diagrama tenso-deformao idealizado (compresso)
(Adaptada da Fig. 8.2 da NBR 6118:2014)
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1.14
Os valores a serem adotados para os parmetros c2 (deformao especfica
de encurtamento do concreto no incio do patamar plstico) e cu (deformao espe-
cfica de encurtamento do concreto na ruptura) so os seguintes:
c2 = 2
concretos de classes at C50 (1.9b)
cu = 3,5
c2 = 2 + 0,085 (fck 50)0,53
concretos de classes C55 at C90 (1.9c)
cu = 2,6 + 35 x [ (90 fck) / 100 ]4
Figura 1.3 - Diagramas tenso-deformao parbola-retngulo
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1.15
1.5.1.6 - Resistncia trao
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118:2014 os conceitos relativos resistncia
a trao direta do concreto fct so anlogos aos do item anterior relativo compres-
so. Assim tem-se a resistncia mdia do concreto trao fctm e a resistncia ca-
racterstica do concreto trao fctk, ou simplesmente ftk. Este valor tem 95% de
probabilidade de ser superado pelos resultados do lote de concreto ensaiado. Na
trao, o diagrama x bilinear conforme a figura (1.4) mostrada a seguir.
Enquanto na compresso o ensaio usado o da compresso direta, na trao
so normalizados trs ensaios: trao direta, trao indireta (compresso diametral)
e trao na flexo. O ensaio de compresso diametral, conhecido mundialmente
como ensaio brasileiro por ter sido desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro, o
mais utilizado, o mais simples e fornece resultados mais homogneos e ligeiramente
superiores ao da trao direta.
Figura 1.4 - Diagrama tenso-deformao bilinear na trao
(Adaptada da Fig. 8.3 da NBR 6118:2014)
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1.16
O valor da resistncia trao direta pode ser considerado igual a:
fct = 0,9 fct,st (1.10)
ou
fct = 0,7 fct,f (1.11)
Onde fct,st a resistncia a trao indireta e fct,f a resistncia a trao na flexo.
Na falta desses valores pode-se obter a resistncia mdia trao dada por:
fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) P/ concretos de classes at C50 (1.12a)
fct,m = 2,12 ln(1+0,11fck) (MPa) P/ concretos de classes C55 at C90 (1.12b)
Os valores da resistncia caracterstica a trao fctk inferior e superior, usa-
dos em situaes especificas, so dados por:
0,21 (fck)2/3 (MPa) at C50
fctk,inf = 0,7 fct,m = (1.13a)
1,484 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 at C90
0,39 (fck)2/3 (MPa) at C50
fctk,sup = 1,3 fct,m = (1.13b)
2,756 ln (1 + 0,11fck) (MPa) C55 at C90
1.5.2 Caractersticas reolgicas do concreto
Segundo o dicionrio Aurlio reologia parte da fsica que investiga as pro-
priedades e o comportamento mecnico dos corpos deformveis que no so nem
slidos nem lquidos. As caractersticas reolgicas do concreto que interessam ao
estudo do concreto armado so:
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1.17
1.5.2.1 - Retrao (shrinkage)
A retrao no concreto uma deformao independente do carregamento e,
portanto, de direo sendo, pois uma deformao volumtrica que ocorre devido
perda de parte da gua dissociada quimicamente do processo de produo do con-
creto, quando este seca em contato com o ar. Segundo a NBR 6118:2014 depen-
de da umidade relativa do ambiente, da consistncia do concreto no lanamento e
da espessura fictcia da pea.
A deformao especfica de retrao do concreto cs pode ser calculada con-
forme indica o anexo A da NBR 6118:2014. Na grande maioria dos casos, permite-
se que ela seja calculada simplificadamente por meio da tabela 1.2. Esta tabela for-
nece os valores caractersticos superiores da deformao especfica de retrao en-
tre os instantes to e t, cs(t, to) e do coeficiente de fluncia (t,t0), em funo da
umidade mdia ambiente e da espessura equivalente ou fictcia da pea em , dada
por:
u
2Ae cm (cm) (1.14)
Onde Ac a rea da seo transversal e u o permetro da seo em contato com a
atmosfera.
Os valores desta tabela so relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC
e 20 oC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Estes va-
lores so vlidos para concretos plsticos e de cimento Portland comum.
Nos casos correntes das obras de concreto armado o valor da deformao
especfica devido retrao pode ser adotado igual a cs(t, to) = 15x10-5, satisfa-
zendo ao mnimo especificado na NBR-6118:2014 em funo da restrio retrao
do concreto imposta pela armadura. Este valor admite elementos estruturais com
dimenses usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade relativa do ar no infe-
rior a 75%. O valor caracterstico inferior da retrao do concreto considerado nulo.
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1.18
1.5.2.2 - Fluncia (creep)
A fluncia uma deformao que depende do carregamento e caracteriza-
da pelo aumento da deformao imediata ou inicial, mesmo quando se mantm
constante a tenso aplicada. Devido a esta deformao imediata ocorrer uma redu-
o de volume da pea, provocando este fato uma expulso da gua quimicamente
inerte, de camadas mais internas para regies superficiais da pea, onde a mesma
j tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, anlogo
ao da retrao, verificando-se desta forma um crescimento da deformao inicial,
at um valor mximo no tempo infinito.
Da mesma forma que na retrao, as deformaes decorrentes da fluncia do
concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118:2014.
Nos casos em que a tenso inicial, aplicada no tempo to no varia significativamen-
te, permite-se que essas deformaes sejam calculadas simplificadamente pela ex-
presso:
(28)E
)t(t
)(tE
1)(t)t(t
ci
0,
0ci
0cccci0,c
(1.15)
Onde:
- c(t, to) a deformao especfica total do concreto entre os instantes to e t;
- ci a deformao inicial produzida pela tenso c(t0);
- cc a deformao devido fluncia;
- c(t0) a tenso no concreto devida ao carregamento aplicado em t0;
- Eci(t0) o modulo de deformao longitudinal calculado na idade do carrega-
mento j=t0 pelas expresses (1.5a) e (1.5b);
- Eci(28) o modulo de elasticidade longitudinal calculado na idade t=28 dias
pelas expresses (1.5a) e (1.5b);
- (t, t0) o limite para o qual tende o coeficiente de fluncia provocado por car-
regamento aplicado em t0.
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1.19
Tabela 1.2-Valores caractersticos superiores da deformao especifica de re-
trao cs(t,t0) e do coeficiente de fluncia (t,t0) (Tab. 8.2 da NBR6118:2014)
Umidade media
ambiente (%) 40 55 75 90
Espessura fict-
cia
2 Ac/u (cm)
20 60 20 60 20 60 20 60
(t,to)
C20 a
C45
to
dias
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4
(t,to)
C50 a
C90
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0
cs(t,to)
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15
O valor de (t, t0) pode ser calculado simplificadamente por interpolao da
tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor caracterstico superior do coeficiente de flun-
cia (t, t0). O seu valor caracterstico inferior considerado nulo.
1.5.2.3 - Variao de temperatura
A variao da temperatura ambiente no se transmite imediatamente ao con-
creto, tendo uma ao retardada sobre a sua prpria variao de temperatura, devi-
do ao baixo grau de condutibilidade trmica do concreto. Quanto mais interno estiver
o ponto considerado menor ser sua variao de temperatura em funo da tempe-
ratura ambiente.
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1.20
Segundo a NBR 6118:2014, para efeito de anlise estrutural, o coeficiente de
dilatao trmica do concreto pode ser admitido como sendo igual a c = 10-5/C.
Considerando o mnimo especificado na NBR-6118:2014 para a deformao
especfica do concreto devido retrao cs(t, to) = 15x10-5, isto equivale a uma
diminuio uniforme de temperatura igual a 150C.
1.6 Ao
O ao uma liga metlica composta basicamente de ferro e de pequenas
quantidades de carbono, com percentuais variando de 0,03% a 2%, que lhe confere
maior ductilidade possibilitando que o mesmo no se quebre quando dobrado para
execuo das armaduras. Os teores de carbono para aos estruturais utilizados na
construo civil variam de 0,18% a 0,25%.
A armadura usada nas peas de concreto armado chamada passiva e a u-
sada na protenso do concreto protendido chamada ativa.
1.6.1 Categoria
Para aplicao estrutural o ao produzido inicialmente nas aciarias precisa ser
modificado, o que acontece por meio de dois tipos de tratamento: a quente e a frio.
O tratamento a quente consiste na laminao, forjamento ou estiramento do ao a-
cima da temperatura crtica, em torno de 720 oC. Os aos assim produzidos apre-
sentam maior trabalhabilidade, podem ser soldados com solda comum e apresentam
diagrama tenso-deformao com patamar de escoamento bem definido. Esto in-
cludos neste grupo os aos CA 25 e CA 50.
O tratamento a frio ou encruamento obtido por uma deformao imposta ao
ao por meio de trao, compresso ou toro abaixo da temperatura crtica, impri-
mindo basicamente ao mesmo um aumento da sua resistncia mecnica. O ao CA
60 pertence a este grupo, que apresenta um diagrama tenso-deformao sem pa-
tamar de escoamento.
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1.21
Segundo a NBR 7480:1996 o ao a ser usado nos projetos de estruturas de
concreto armado deve ser classificado nas categorias CA 25, CA 50 e CA 60, em
que CA significa Concreto Armado e o nmero representa o valor caracterstico da
resistncia de escoamento do ao, fyd, em kN/cm2 ou kgf/mm2.
A NBR 7480:1996 classifica como barra o ao produzido exclusivamente por
laminao a quente com bitola nominal maior ou igual a 5 mm e como fio o produzi-
do por laminao a frio (trefilao ou equivalente) com bitola nominal no superior a
10 mm (tabela 1.3).Os valores nominais dos dimetros, das reas das sees trans-
versais e da massa por metro so os estabelecidos pela NBR-7480:1996, cujos va-
lores mais usados esto indicados na tabela 1.4, abaixo.
Para se obter a massa por unidade de comprimento (kg/m) das barras basta
multiplicar a rea da seo transversal por 1m de comprimento (que d o volume da
barra por metro) , vezes a massa especfica do ao. Assim, por exemplo, para a bar-
ra com bitola igual a 8 mm a rea da seo transversal igual a x (8x10-3 m)2 / 4 =
0,503x10-4 m2 = 0,503 cm2 e a massa por unidade de comprimento (0,503x10-4
m2) x (1 m) x (7850 kg/m) = 0,503 x 0,785 = 0,395 kg/m. A massa especfica do ao
dada no item 1.6.3 a seguir.
Tabela 1.3 Dimetros nominais de barras e fios - NBR 7480:1996
BARRAS 5 mm - LAMINAO A QUENTE - AOS CA-25 E CA-50
5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 32 40
FIOS 10 mm LAMINAO A FRIO AO CA-60
2,4 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,5 6,0 6,4 7,0 8,0 9,5 10
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1.22
Tabela 1.4 Valores nominais para fios e barras de ao
Dimetro nomi-
nal
(mm)
Massa
Nominal
(kg/m)
rea nominal
da seo
(cm2)
Fios Barras
5,0 5,0 0,154 0,196
6,0 0,222 0,283
6,3 0,245 0,312
6,4 0,253 0,322
7,0 0,302 0,385
8,0 8,0 0,395 0,503
9,5 0,558 0,709
10,0 10,0 0,617 0,785
- 12,5 0,963 1,227
- 16 1,578 2,011
- 20,0 2,466 3,142
- 22,0 2,984 3,801
- 25,0 3,853 4,909
- 32,0 6,313 8,042
- 40,0 9,865 12,566
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1.23
1.6.2 Tipo de superfcie
Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de salincias ou
mossas. Para cada categoria de ao, o coeficiente de aderncia deve atender ao
indicado na NBR-6118:2014.
Para os efeitos desta norma, a capacidade aderente entre o ao e o concreto
est relacionada ao coeficiente de aderncia 1, listados na tabela 1.5.
Tabela 1.5 Valor do coeficiente de aderncia 1
(Tabela 8.3 da NBR 6118:2014)
Tipo de superfcie 1
Lisa (CA 25) 1,00
Entalhada (CA 60) 1,40
Nervurada (CA 50) 2,25
1.6.3 Massa especfica e propriedades mecnicas do ao
Para a massa especfica do ao da armadura passiva pode ser adotado o
valor s = 7850 kg/m3. O valor do coeficiente de dilatao trmica, para intervalos
de temperatura entre -20 oC e 150 oC pode ser adotado como s = 10-5/ oC. O mdu-
lo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode
ser admitido igual a:
Es = 210 GPa = 21000 kN/cm2 = 2100000 kqf/cm2.
1.6.4 Diagrama tenso-deformao
O diagrama tenso-deformao do ao, os valores caractersticos das resis-
tncias ao escoamento fyk e trao (ruptura) fstk, e da deformao ltima de ruptu-
ra u devem ser obtidos de ensaios de trao realizados segundo a NBR ISO-
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1.24
6892:2002. O valor de fyk para os aos sem patamar de escoamento o valor da
tenso correspondente deformao permanente de 2 .
Para clculo nos estados limites de servio e ltimo pode-se utilizar o diagra-
ma tenso-deformao simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aos
com ou sem patamar de escoamento.
Figura 1.5 Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras
passivas (Adaptada da fig. 8.4 da NBR 6118:2014)
1.7 Definies da NBR 6118:2014
Concreto estrutural termo que se refere ao espectro completo das aplicaes do
concreto como material estrutural.
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1.25
Elementos de concreto simples estrutural elementos estruturais produzidos
com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui em quantidades inferi-
ores aos mnimos estabelecidos nesta norma.
Elementos de concreto armado elementos estruturais produzidos com concreto
cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderncia ao-concreto e onde
no se aplicam alongamentos iniciais nas armaduras, antes da materializao desta
aderncia.
Elementos de concreto protendido elementos estruturais produzidos com con-
creto onde parte da armadura previamente alongada por equipamentos especiais
de protenso com a finalidade de, em condies de servio, impedir ou limitar a fis-
surao e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de
aos de alta resistncia no ELU ( estado limite ltimo).
Armadura passiva qualquer armadura que no seja usada para produzir foras
de protenso, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.
Armadura ativa (de protenso) armadura constituda por barras, fios isolados ou
cordoalhas, destinada a produzir foras de protenso, isto , armaduras com pr-
alongamento inicial.
Estados limites da NBR 6118:2014 (itens 3.2 e 10.3)
Estado limite ltimo (ELU) estado limite relacionado ao colapso, ou a qual-
quer outra forma de runa estrutural, que determine a paralisao do uso da es-
trutura.
1. estado limite ltimo da perda do equilbrio da estrutura, admitida como
corpo rgido;
2. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutura
no seu todo ou em parte, devido s solicitaes normais e tangenciais;
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1.26
3. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutura
no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
4. estado limite ltimo provocado por solicitaes dinmicas;
5. estado limite ltimo de colapso progressivo;
6. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutu-
ra, no seu todo ou em parte, considerando exposio ao fogo, conforme a
NBR 15200;
7. estado limite ltimo de esgotamento da capacidade resistente da estrutu-
ra, considerando aes ssmicas, de acordo a NBR 15421;
8. outros estados limites ltimos que eventualmente possam ocorrer em ca-
sos especiais.
Estados limites de servio (ELS)
1. Estado limite de formao de fissuras (ELS-F) estado em que se inicia a
formao de fissuras. Admite-se que este estado limite atingido quando
a tenso mxima de trao na seo transversal for igual a fct,f , j definida
anteriormente como a resistncia caracterstica trao do concreto na
flexo.
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) estado em que as fissu-
ras se apresentam com aberturas iguais aos mximos estabelecidos nesta
norma.
3. Estado limite de deformaes excessivas (ELS-DEF) estado em que as
deformaes atingem os limites estabelecidos para utilizao normal es-
pecificados nesta norma.
4. Estado limite de vibraes excessivas (ELS-VE) estado em que as vi-
braes atingem os limites estabelecidos para utilizao normal da cons-
truo.
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1.27
1.8 Aes
Conforme a NBR 6118:2014 na anlise estrutural deve ser considerada a in-
fluncia de todas as aes (designada genericamente pela letra F) que possam pro-
duzir efeitos significativos para a segurana da estrutura em exame, levando-se em
conta os possveis estados limites ltimos e os de servios. Embora a norma espe-
cfica para aes e segurana nas estruturas seja a NBR 8681:2003, a norma NBR
6118:2014 traz em seu item 11 os conceitos necessrios determinao das aes
e seus coeficientes de ponderao. As aes so classificadas, conforme a NBR-
8681:2003 e a NBR 6118:2014, em permanente, variveis e excepcionais.
1.8.1 Aes permanentes
Aes permanentes so as que ocorrem com valores praticamente constan-
tes durante toda a vida da construo. Tambm so consideradas permanentes as
aes que crescem com o tempo, tendendo a um valor limite. As aes permanen-
tes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavorveis
para a segurana (NBR 6118:2014).
1.8.1.1 Aes permanentes diretas
As aes permanentes diretas so constitudas pelo peso prprio e pelos pesos
dos elementos construtivos fixos e das instalaes permanentes (NBR 6118:2014).
Peso prprio (avaliado com a massa especfica do concreto armado)
Peso dos elementos construtivos fixos e de instalaes permanentes (avaliado
conforme as massas especficas dos materiais de construo correntes com ba-
se nos valores indicados pela NBR 6120:1980, verso corrigida de 2000)
Empuxos permanentes (consideram-se como permanentes os empuxos de terra
e outros materiais granulosos quando forem admitidos no removveis)
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1.28
1.8.1.2 Aes permanentes indiretas
As aes permanentes indiretas so constitudas pelas deformaes impostas
por retrao e fluncia do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeies geomtri-
cas e protenso (NBR 6118:2014).
Retrao do concreto - a deformao especfica de retrao do concreto pode
ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118:2014.
Fluncia do concreto - as deformaes decorrentes da fluncia do concreto po-
dem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR 6118:2014.
Deslocamentos de apoio - os deslocamentos de apoio s devem ser considera-
dos quando gerarem esforos significativos em relao ao conjunto das outras
aes, isto , quando a estrutura for hiperesttica e muito rgida.
Imperfeies geomtricas na verificao do estado limite ltimo das estruturas
reticuladas, devem ser consideradas as imperfeies geomtricas globais e lo-
cais do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada.
Momento mnimo - o efeito das imperfeies locais nos pilares pode ser substitu-
do em estruturas reticuladas pela considerao do momento mnimo de 1a or-
dem
Protenso - a ao da protenso deve ser considerada em todas as estruturas
protendidas, incluindo, alm dos elementos protendidos propriamente ditos, a-
queles que sofrem a ao indireta da protenso, isto , de esforos hiperestticos
de protenso.
1.8.2 Aes variveis
1.8.2.1 Aes variveis diretas
As aes variveis diretas so constitudas pelas cargas acidentais previstas
para o uso da construo, pela ao do vento e da gua, devendo-se respeitar as
prescries feitas por Normas Brasileiras especficas (NBR 6118:2014).
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1.29
Cargas acidentais previstas para o uso da construo - cargas verticais de uso
da construo; cargas mveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral;
fora longitudinal de frenao ou acelerao; fora centrfuga.
Ao do vento - os esforos devidos ao do vento devem ser considerados e
recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela NBR
6123:1988 - verso corrigida 2:2013, permitindo-se o emprego de regras simpli-
ficadas previstas em Normas Brasileiras especficas.
Ao da gua - o nvel d'gua adotado para clculo de reservatrios, tanques,
decantadores e outros deve ser igual ao mximo possvel compatvel com o sis-
tema de extravaso.
Aes variveis durante a construo - as estruturas em que todas as fases
construtivas no tenham sua segurana garantida pela verificao da obra pronta
devem ter, includas no projeto, as verificaes das fases construtivas mais signi-
ficativas e sua influncia na fase final.
1.8.2.2 Aes variveis indiretas
Variaes uniformes de temperatura
A variao da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variao da
temperatura da atmosfera e pela insolao direta, considerada uniforme. Ela de-
pende do local de implantao da construo e das dimenses dos elementos estru-
turais que a compem. De maneira genrica podem ser adotados os seguintes valo-
res (NBR 6118:2014):
a) para elementos estruturais cuja menor dimenso no seja superior a 50 cm,
deve ser
considerada uma oscilao de temperatura em torno da mdia de 10C a
15C;
b) para elementos estruturais macios ou ocos com os espaos vazios inteira-
mente fechados, cuja menor dimenso seja superior a 70 cm, admite-se que
essa oscilao seja reduzida respectivamente para 5C a 10C;
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1.30
c) para elementos estruturais cuja menor dimenso esteja entre 50 cm e 70 cm
admite-se que seja feita uma interpolao linear entre os valores acima indi-
cados.
Variaes no uniformes de temperatura
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuio significa-
tivamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribui-
o. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variao linear entre
os valores de temperatura adotados, desde que a variao de temperatura conside-
rada entre uma face e outra da estrutura no seja inferior a 5C (NBR 6118:2014).
Aes dinmicas
Quando a estrutura, pelas suas condies de uso, est sujeita a choques ou vi-
braes, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinao das solici-
taes e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos
elementos estruturais, de acordo com a seo 23 da NBR 6118:2014.
1.8.3 Aes excepcionais
No projeto de estruturas sujeitas a situaes excepcionais de carregamento,
cujos efeitos no podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas
aes excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasi-
leiras especficas (NBR 6118:2014).
1.8.4 Valores das aes
1.8.4.1 Valores caractersticos
Os valores caractersticos Fk das aes so estabelecidos na NBR-
6118:2014 em funo da variabilidade de suas intensidades.
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1.31
Para as aes permanentes Fgk (a letra g ser usada para aes permanen-
tes), os valores caractersticos devem ser adotados iguais aos valores mdios das
respectivas distribuies de probabilidade, sejam valores caractersticos superiores
ou inferiores. Esses valores so definidos na NBR-6118:2014 ou em normas espec-
ficas, como a NBR-6120:1980, verso corrigida de 2000.
Os valores caractersticos das aes variveis Fqk (a letra q ser usada para
aes variveis), estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras especficas,
correspondem a valores que tm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultra-
passados no sentido desfavorvel, durante um perodo de 50 anos. Esses valores
so aqui definidos ou em normas especficas, como a NBR-6120:1980, verso corri-
gida de 2000.
1.8.4.2 Valores representativos (NBR 6118:2014)
As aes so quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:
os valores caractersticos conforme definido acima;
valores convencionais excepcionais, que so os valores arbitrados para as aes
excepcionais;
valores reduzidos, em funo da combinao de aes, tais como:
1. verificaes de estados limites ltimos, quando a ao considerada se
combina com a ao principal. Os valores reduzidos so determinados a
partir da expresso oFk , que considera muito baixa a probabilidade de
ocorrncia simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais aes
variveis de naturezas diferentes;
2. verificaes de estados limites de servio. Estes valores reduzidos so
determinados a partir de 1Fk , que estima um valor freqente e 2Fk ,
que estima valor quase permanente, de uma ao que acompanha a a-
o principal.
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1.32
1.8.4.3 Valores de clculo
Os valores de clculo Fd das aes so obtidos a partir dos valores represen-
tativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderao f definidos a
seguir.
1.8.5 Coeficientes de ponderao das aes
As aes devem ser majoradas pelo coeficiente f dado por:
f = (f1)x(f2)x(f3) (1.16)
Onde:
f1 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera a variabili-
dade das aes
f2 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera a simulta-
neidade de atuao das aes
f3 parte do coeficiente de ponderao das aes f , que considera os desvios
gerados nas construes e as aproximaes feitas em projeto do ponto de vista
das solicitaes
1.8.5.1 Coeficientes de ponderao das aes no ELU
Os valores base so os apresentados na tabela 1.6 para (f1)x(f3) e na tabela
1.7 para f2 . Para pilares e pilares-paredes esbeltos com espessura inferior a 19 cm
e lajes em balano com espessura menor que 19 cm, os esforos solicitantes de
clculo devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento n (ver 13.2.3 e
13.2.4.1 da NBR 6118:2014). Essa correo se deve ao aumento da probabilidade
de ocorrncia de desvios relativos e falhas na construo.
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1.33
Tabela 1.6 Valores de (f1)x(f3) (Tab. 11.1 da NBR 6118:2014)
Tabela 1.7 Valores do coeficiente f2 (Tab. 11.2 da NBR 6118:2014)
AES f2
0 1a 2
Cargas acidentais de edifcios
Locais em que no h predominncia de
peso de equipamentos que permanecem
fixos por longos perodos de tempo, nem de
elevadas concentraes de pessoas b
0,5 0,4 0,3
Locais em que h predominncia de pesos
de equipamentos que permanecem fixos
por longos perodos de tempo, ou de ele-
vada concentrao de pessoas c
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento Presso dinmica do vento nas estruturas
em geral 0,6 0,3 0
Temperatura Variaes uniformes de temperatura em
relao mdia anual local 0,6 0,5 0,3
Combinaes
de
aes
Aes
Permanentes
(g)
Variveis
(q)
Protenso
(p)
Recalques
de apoio e
retrao
D F G T D F D F
Normais 1,4a 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0
Especiais ou
de construo 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0
Onde: D desfavorvel, F favorvel, G geral e T temperatura.
a - Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso prprio das estruturas,
especialmente as pr-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.
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1.34
a Para os valores 1 relativos s pontes e principalmente aos problemas de fadiga,
ver seo 23 da NBR 6118:2014.
b Edifcios residenciais
c Edifcios comerciais, de escritrios, estaes e edifcios pblicos
1.8.5.2 Coeficientes de ponderao no ELS
Em geral, o coeficiente de ponderao das aes para estados limites de ser-
vio dado pela expresso:
f = f2 (1.17)
Onde f2 tem valor varivel conforme a verificao que se deseja fazer (tab. 1.7)
f2 = 1 para combinaes raras
f2 = 1 para combinaes frequentes
f2 = 2 para combinaes quase permanentes.
Os valores das tabelas 1.6 e 1.7 podem ser modificados em casos especiais aqui
no contemplados, de acordo com a NBR 8681:2003.
1.8.6 Combinaes de aes (NBR 6118:2014)
Um carregamento definido pela combinao das aes que tm probabil i-
dades no desprezveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um
perodo preestabelecido.
1.8.6.1 Combinaes ltimas
1. Combinaes ltimas normais Em cada combinao devem estar includas
as aes permanentes e a ao varivel principal, com seus valores caractersti-
cos e as demais aes variveis, consideradas secundrias, com seus valores
reduzidos de combinao, conforme NBR-8681:2003.
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1.35
2. Combinaes ltimas especiais ou de construo Em cada combinao
devem estar presentes as aes permanentes e a ao varivel especial, quando
existir, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis com proba-
bilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos
de combinao, conforme NBR-8681:2003.
3. Combinaes ltimas excepcionais - Em cada combinao devem estar pre-
sentes as aes permanentes e a ao varivel excepcional, quando existir, com
seus valores representativos e as demais aes variveis com probabilidade no
desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos de combina-
o, conforme NBR-8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo e
incndio.
4. Combinaes ltimas usuais para facilitar a visualizao, essas combinaes
esto listadas na tabela 11.3 da NBR-6118:2014, transcrita na tabela 1.8 abaixo.
Tabela 1.8 Combinaes ltimas (Tab. 11.3 da NBR 6118:2014)
Combinaes ltimas (ELU) Descrio Clculo das solicitaes
Normais
Esgotamento da capacidade resis-tente para elemen-tos estruturais de concreto armadoa
Fd = g Fgk + g Fgk + q (Fq1k + 0j Fqjk) +
q0Fqk
Esgotamento da capacidade resis-tente para elemen-tos estruturais de con-creto protendido
Deve ser considerada, quando necessrio, a fora de protenso como carregamento externo com os valores Pkmx e Pkmin para a fora desfa-
vorvel e favorvel, respectivamente, conforme definido na seo 9
Perda do equilbrio como corpo rgido
S (Fsd) S (Fnd) Fsd = gs Gsk + Rd
Fnd = gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min , onde: Qnk = Q1k + 0j Qjk
Especiais ou de constru-
ob
Fd = g Fgk + g Fgk + q (Fq1k + 0j Fqjk) + q0Fqk
Excepcionaisb Fd = g Fgk + g Fgk + Fq1ecx + q 0j Fqjk) + q0Fqk
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1.36
Onde:
Fd - o valor de clculo das aes para combinao ltima;
Fgk - representa as aes permanentes diretas;
Fk - representa as aes indiretas permanentes como a retrao Fgk e va-
riveis como a temperatura Fqk;
Fqk - representa as aes variveis diretas das quais Fq1k escolhida prin-
cipal;
g, g, q, q - ver tabela 1.6;
0j, - ver tabela 1.7;
Fsd - representa as aes estabilizantes;
Fnd - representa as aes no estabilizantes;
Gsk - o valor caracterstico da ao permanente estabilizante;
Rd - o esforo resistente considerado como estabilizante, quando houver;
Gnk - o valor caracterstico da ao permanente instabilizante;
m
2j
jk0j1knk QQQ
Qnk - o valor caracterstico das aes variveis instabilizantes;
Q1k - o valor caracterstico da ao varivel instabilizante considerada
como principal;
0j e Qjq - so as demais aes variveis instabilizantes, consideradas com seu
valor reduzido;
Qs,min - o valor caracterstico mnimo da ao varivel estabilizante que a-
companha obrigatoriamente uma ao varivel instabilizante.
a - No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinaes onde o
efeito favorvel das cargas permanentes seja reduzido pela considera-
o de g= 1. No caso de estruturas usuais de edifcios essas combina-
es que consideram g reduzido (1,0) no precisam ser consideradas.
b - Quando Fq1k ou Fq1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem
probabilidade de ocorrncia muito baixa 0j, pode ser substitudo por
2j.
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1.37
1.8.6.2 Combinaes de servio
So classificadas de acordo com sua permanncia na estrutura como:
1. Quase permanente podem atuar durante grande parte do perodo de vida da
estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao do estado limite
de deformaes excessivas (ELS-DEF);
2. Frequentes se repetem muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura e
sua considerao pode ser necessria na verificao dos estados limites de for-
mao de fissuras, de abertura de fissuras e de vibraes excessivas. Po-
dem tambm ser consideradas para verificaes de ELS-DEF decorrentes de
vento ou temperatura que possam comprometer as vedaes;
3. Raras ocorrem algumas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua
considerao pode ser necessria na verificao do estado limite de formao
de fissuras.
4. Combinaes de servio usuais para facilitar a visualizao, essas combina-
es esto listadas na tabela 11.4 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 1.9
abaixo:
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1.38
Tabela 1.9 Combinaes de servio (Tab. 11.4 da NBR 6118:2014)
Combinaes de
servio (ELS)
Descrio Clculo das solicitaes
Combinaes quase perma-nentes de servi-o (CQP)
Nas combinaes quase permanen-tes de servio, todas as aes vari-veis so consideradas com seus va-lores quase permanentes 2 Fqk
Fd, ser = Fgik + 2j Fqjk
Combinaes freqentes de servio (CF)
Nas combinaes frequentes de ser-vio, a ao varivel principal Fq1 tomada com seu valor frequente 1 Fq1k e todas as demais aes variveis so toma-das com seus valores quase perma-
nentes 2 Fqk
Fd,ser = Fgik + 1 Fq1k +
2j Fqjk
Combinaes raras de servio
(CR)
Nas combinaes raras de servio, a ao varivel principal Fq1 tomada com seu valor caracterstico Fq1k e todas as demais aes so tomadas com seus valores frequentes 2 Fqk
Fd,ser = Fgik + Fq1k +
2j Fqjk
Onde:
Fd,ser - o valor de clculo das aes para combinaes de servio;
Fq1k - o valor caracterstico das aes variveis principais diretas;
1 - o fator de reduo de combinao freqente para ELS;
2 - o fator de reduo de combinao quase permanente para ELS.
1.8.7 Resistncias
1.8.7.1 Valores caractersticos
Os valores caractersticos fk das resistncias so os que, num lote de materi-
al, tm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavo-
rvel para a segurana. Pode ser de interesse determinar a resistncia caracterstica
inferior fk,inf e a superior fk,sup , que so respectivamente menor e maior que a resis-
tncia mdia fm . Para efeito da NBR-6118:2014, a resistncia caracterstica inferior
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1.39
admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de no ser a-
tingido pelos elementos de um dado lote de material.
1.8.7.2 Valores de clculo
1. Resistncia de clculo - a resistncia de clculo fd dada pela expresso:
m
kd
ff (1.18)
Onde m o coeficiente de ponderao das resistncias.
2. Resistncia de clculo do concreto - a resistncia de clculo do concreto
fcd obtida em duas situaes distintas:
quando a verificao se faz em data j igual ou superior a 28 dias
c
ckcd
ff (1.19)
quando a verificao se faz em data j inferior a 28 dias
c
ck1
c
ckj
cd
f
ff (1.20)
sendo 1 a relao (fckj / fck ) dada por:
t
281s
1 e (1.21)
Onde: s = 0,38 - para concreto de cimento CPIII e IV;
s = 0,25 - para concreto de cimento CPI e II;
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1.40
s = 0,20 - para concreto de cimento CPV-ARI;
t - a idade efetiva do concreto, em dias.
1.8.7.3 Coeficientes de ponderao das resistncias
As resistncias devem ser minoradas pelo coeficiente:
m = m1 . m2 . m3 (1.22)
Onde:
m1 - a parte o coeficiente de ponderao das resistncia m , que consi-
dera a variabilidade da resistncia dos materiais envolvidos.
m2 - a parte do coeficiente de ponderao das resistncia m , que consi-
dera a diferena entre a resistncia do material no corpo-de-prova e na
estrutura.
m3 - a parte co coeficiente de ponderao das resistncia m , que con-
sidera os desvios gerados na construo e as aproximaes feitas em
projeto do ponto de vista das resistncias.
1.8.7.3.1 - Coeficientes de ponderao das resistncias no ELU
Os valores para verificao no estado limite ltimo (ELU) esto indicados na
tabela 1.10.
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1.41
Tabela 1.10 Valores dos coeficientes c e s
(Tab. 12.1 da NBR 6118:2014)
Combinaes Concreto
c
Ao
s
Normais 1.4 1.15
Especiais ou de
construo 1.2 1.15
Excepcionais 1.2 1
1.8.7.3.2 - Coeficientes de ponderao das resistncias no ELS
Os limites estabelecidos para os estados limites de servio (ELS) no neces-
sitam de minorao, portanto m = 1.
1.8.7.3.3 Valores finais das resistncias de clculo do concreto e do ao
Para um concreto classe C20, por exemplo, cuja resistncia caracterstica fck
= 20 MPa = 200 kgf/cm2= 2 kN/cm2, a resistncia de clculo fcd = (fck / c) = (2 /
1,4) = 1,429 kN/cm2 (c conforme tabela 1.10). O valor da tenso de pico, quando se
usa o diagrama parbola-retngulo, a ser considerado nos clculos deve ser afe-
tado pelo coeficiente de Rsch resultando no valor final de clculo c = fc = 0,85fcd =
0,85 x 1,429 = 1,214 kN/cm2, independentemente do tipo de seo e da classe do
concreto.
Por facilidade nos clculos, normalmente se utiliza o diagrama retangular
simplificado de tenses no concreto, com altura y = X e tenso constante e igual a
c = fc = c fcd quando a largura da seo transversal no diminui no sentido da li-
nha neutra para a borda mais comprimida. Caso contrrio, como por exemplo, seo
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1.42
circular, a tenso constante deve ser c = fc = 0,9 c fcd. Os parmetros e c, que
sero vistos no captulo 2 desta apostila, so dados por:
= 0,8 c = 0,85 fck 50 MPa
= 0,8 (fck 50) / 400 c = 0,85 [1 (fck 50) / 200] fck > 50 MPa
O valor c = fc no aparece na NBR 6118:2014, mas de agora em diante nes-
ta apostila ser adotado o valor fc para representar a resistncia final de clculo do
concreto.
Para um ao CA 50, por exemplo, cuja resistncia caracterstica ao escoa-
mento fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa = 5000 kgf/cm2, a resistncia de clculo fyd =
(fyk / s=1,15) = 4348 kgf/cm2 435 MPa = 43,48 kN/cm2 43,5 kN/cm2.
Tabela 1.11 Valores finais de clculo para os concretos e aos usuais
Valores finais de clculo para os concretos do grupo I - fc (kN/cm2)
c = 0,85
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
1,214 1,518 1,821 2,125 2,429 2,732 3,036
Valores finais de clculo para os concretos do grupo II - fc (kN/cm2)
c = 0,85 [1 (fck 50) / 200]
C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90
3,256 3,461 3,650 3,825 3,984 4,129 4,258 4,371
Valores de clculo para os aos - fyd (kN/cm2)
CA 25 CA 50 CA 60
17,86 43,48 52,17
CONCRETO ARMADO I - CAPTULO 2
Departamento de Engenharia de Estruturas EE-UFMG
Julho 2014
FLEXO NORMAL SIMPLES __________________________________________________________________________
2.1 - Introduo
Dentre os esforos solicitantes (entes mecnicos aferidos ao centro geomtri-
co da seo transversal, obtidos pela integrao conveniente das tenses nesta se-
o) o momento fletor M, em condies normais, o esforo preponderante no di-
mensionamento de peas estruturais como lajes e vigas.
Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos ei-
xos principais da seo transversal, a flexo dita normal. Se este momento atua
isoladamente tem-se a flexo normal simples. Se simultaneamente atua uma fora
normal N a flexo dita normal composta. Quando o momento atuante tm com-
ponentes nos dois eixos principais da seo transversal a flexo dita oblqua e se
acompanhada de fora normal dita oblqua composta.
Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a fora cortante V, po-
dendo, no entanto em situaes especiais, ser o nico esforo solicitante. Nesse
caso tem-se a flexo pura, situao ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as car-
gas simtricas P, quando se despreza o peso prprio da viga.
Segundo o item 16.1 da NBR 6118:2014, o objetivo do dimensionamento, da
verificao e do detalhamento garantir segurana em relao aos estados limites
ltimo (ELU) e de servio (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas
partes. Essa segurana exige que sejam respeitadas condies analticas do tipo:
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2.2
Sd Rd (MSd MRd) (2.1)
Onde Sd a solicitao externa de clculo e Rd a resistncia interna de clculo.
Como a solicitao estudada o momento fletor a equao 2.1 no seu se-
gundo termo (entre parnteses) foi adaptada para o momento externo solicitante de
clculo (MSd) ser menor ou igual ao momento interno resistente de clculo (MRd),
mostrados na figura 2.1 .
Figura 2.1 Esforos solicitantes externos e internos na seo transversal
Na figura 2.1, a seo transversal retangular de uma viga mostrada a es-
querda e parte da vista lateral mostrada a direita onde esto concentrados em seu
centro geomtrico (CG) os esforos externos solicitantes NSd e MSd. Como flexo
simples a fora normal solicitante igual zero. Por equilbrio as resultantes inter-
nas de compresso no concreto Rcc e de trao no ao Rst so iguais. A resultante
no concreto obtida pela integrao das tenses normais de compresso do con-
creto (c) na rea com hachuras da seo transversal, definida pela profundidade x
da linha neutra (LN). A resultante no ao obtida pelo produto da rea de ao As
(steel) pela tenso de trao no ao s.
Para garantir a segurana o momento externo solicitante de clculo MSd tem
de ser menor ou igual ao momento interno resistente de clculo MRd, que conforme
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2.3
a figura 2.1 dado pelo binrio (duas foras iguais, paralelas e de sentidos opostos
separadas por uma distncia, o brao de alavanca z) interno resistente MRd:
MSd MRd = Rcc . z = Rst . z (2.2)
Quanto ao comportamento resistente flexo pura, sabe-se que sendo o
concreto um material bem menos resistente trao do que compresso, to logo
a barra seja submetida a um momento fletor capaz de produzir tenses de trao
superiores quelas que o concreto pode suportar, surgem fissuras de flexo, trans-
versais ao eixo da barra, prximas ao centro da viga e fissuras inclinadas prximas
aos apoios, conforme mostrado na figura 2.2. As primeiras so devidas ao momento
fletor, maior no centro, e as ltimas devido ao cisalhamento, maior nos apoios.
Figura 2.2 Fissuras de flexo
Caso no existisse as armaduras de flexo e de cisalhamento estas fissuras
provocariam a ruptura total da viga. Os esforos internos de trao so transmitidos
s armaduras por meio da aderncia ao-concreto. como se as armaduras cos-
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexo Normal Simples ___________________________________________________________________________
2.4
turassem as fissuras, conforme esquematicamente mostrado na figura 2.2, o que
impede que as mesmas cresam indefinidamente. Conforme ser visto adiante no
captulo referente fissurao, a abertura e o controle dessas fissuras dependero
substancialmente das caractersticas e do detalhamento final da armadura de flexo.
A runa de uma pea flexo um fenmeno de difcil caracterizao, devido
basicamente complexidade envolvida no funcionamento conjunto ao-concreto.
Portanto para que esta tarefa seja possvel convenciona-se que a runa de uma
seo flexo alcanada quando, pelo aumento da solicitao, atingida a ruptu-
ra do concreto compresso ou da armadura trao.
2.2 Solicitaes normais
Por solicitao normal entende-se toda solicitao que produza na seo
transversal tenses normais. Neste grupo esto naturalmente a fora normal, o mo-
mento fletor ou ambos atuando simultaneamente.
A ruptura do concreto compresso considerada atribuindo-se de forma
convencional encurtamentos ltimos para o concreto. Para sees parcialmente
comprimidas, admite-se que a mesma ocorra quando o concreto atinge na sua fibra
mais comprimida o encurtamento limite ltimo cu, ver equaes (1.9b) e (1.9c). Para
sees totalmente comprimidas o encurtamento mximo da fibra mais comprimida
varia de c2 a cu (ver hipteses bsicas adiante).
Para o ao admite-se que a ruptura trao ocorra quando se atinge um a-
longamento limite ltimo su = 10 . O alongamento mximo de 10 deve-se a
uma limitao da fissurao no concreto que envolve a armadura e no ao alonga-
mento real de ruptura do ao, que bem superior a este valor.
Atinge-se, ento, o estado limite ltimo - ELU, correspondente a ruptura do
concreto comprimido ou a deformao plstica excessiva da armadura. O momento
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2.5
fletor solicitante de clculo MSd o momento de ruptura, enquanto o momento de
servio ser o de ruptura dividido pelo coeficiente de ponderao das aes f, ou
seja:
f
Sdserv
MM (2.3)
2.2.1 Hipteses bsicas e domnios de deformao
Conforme o item 17.2 da NBR 6118:2014, na anlise dos esforos resistentes
de uma seo de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipteses b-
sicas:
1 As sees transversais se mantm planas aps a deformao, os vrios casos
possveis so ilustrados na figura 2.3 (como consequncia a deformao em um
ponto proporcional a sua distncia a linha neutra);
2 a deformao das barras passivas aderentes em trao ou compresso deve ser
a mesma do concreto em seu entorno (perfeita aderncia ao-concreto);
3 as tenses de trao no concreto, normais seo transversal, devem ser des-
prezadas no ELU (resistncia nula do concreto trao);
4 Para o encurtamento de ruptura do concreto nas sees parcialmente compri-
midas considera-se o valor convencional de cu (domnios 3, 4 e 4a da figura
2.3). Nas sees inteiramente comprimidas (domnio 5) admite-se que o encur-
tamento da borda mais comprimida, na ocasio da ruptura, varie de cu a c2,
mantendo-se inalterado e igual a c2 a deformao a uma distncia, a partir da
borda mais comprimida, a ser discutida adiante (ver figura 2.3);
5 Para o alongamento mximo de ruptura do ao considera-se o valor convencio-
nal de 10 (domnios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformao plstica
excessiva;
6 A distribuio das tenses do concreto na seo se faz de acordo com o diagra-
ma parbola-retngulo da figura 2.4c, j definido na figura 1.2, com a tenso de
pico igual a fc=0,85fcd (ver tabela 1.11). Permite-se a substituio deste por um
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexo Normal Simples ___________________________________________________________________________
2.6
diagrama retangular simplificado de altura y = x (figura 2.4d), onde o parmetro
pode ser tomado igual a:
= 0,8 para fck 50 MPa
(2.4)
= 0,8 - ( fck 50 ) / 400 para fck > 50 MPa
Onde a tenso constante atuante at a profundidade y pode ser tomada igual a:
cfcd quando a largura da seo, medida paralelamente LN,
no diminuir a partir desta para a borda mais comprimida;
(2.5a)
0,9 cfcd no caso contrrio.
Sendo c definido como:
c = 0,85 para fck 50 MPa
(2.5b)
c = 0,85 [1,0 (fck 50) / 200] para fck > 50 MPa
As diferenas de resultados obtidos com estes dois diagramas so pequenas e
aceitveis, sem necessidade de coeficiente de correo adicional.
7 A tenso nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformaes usando
os diagramas tenso-deformao, com seus valores de clculo.
Na figura 2.4b mostra-se o diagrama de deformaes para o ELU do concreto
com seo parcialmente comprimida. Se a deformao de ruptura do concreto cu
corresponde profundidade X, para uma deformao igual a c2, por regra de trs
simples, determina-se a distncia ac2 = [(cu - c2) / cu] X (ver figura 2.4d). O diagra-
ma de tenses parbola-retngulo fica dividido em dois trechos com alturas ac2 no
trecho parablico e (X - ac2) no trecho com tenses constantes. A resultante total de
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2.7
compresso no concreto Rcc a soma das resultantes Rcc1 e Rcc2, dos trechos com
tenses constante e parablico respectivamente.
Conforme a hiptese bsica 6, para o diagrama parbola-retngulo, a tenso
constante sempre igual a fc=0,85fcd. Considerando-se concretos do grupo I (at
classe C50) em que cu = 3,5 e c2 = 2 a distncia ac2 = (4 / 7) X e a do trecho
constante (X ac2) = (3 / 7) X. Para esta situao as resultantes Rcc1 e Rcc2 ficam:
bXf21
9X
7
3bfR cccc1
bX0,809fbXf21
17R cccc
bXf21
8X
7
4bf
3
2R cccc2
Na resultante Rcc2 o valor (2/3) resulta da integrao da parbola do segundo
grau (fck 50 MPa) c no retngulo de largura b e altura ac2 = (4 / 7) X.
As resultantes totais Rcc das figuras 2.4c e 2.4d sero equivalentes se adicional-
mente, as distncias Z at a LN nos dois casos forem as mesmas. Na figura 2.4c, o
equilbrio exige que:
Rcc1 Z1 + Rcc2 Z2 = Rcc Z
X14
11X
7
4X
2
1Z1
0,584XX
238
139
R
ZRZRZ
cc
2cc21cc1
X14
5X
7
4
8
5a
8
5Z c22
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2.8
O valor (5/8) em Z2 resulta do ponto de aplicao da resultante do diagrama
parablico (segundo grau para fck 50 MPa) para as tenses no concreto.
Os valores 0,809 e 0,584 so aproximadamente iguais aos valores 0,8 e 0,6, que
representam respectivamente a altura do diagrama retangular e do ponto de aplica-
o da resultante da figura 2.4d, diagrama retangular simplificado, quando fck 50
MPa.
Na figura 2.3 a armadura tracionada ou menos comprimida As e a mais
comprimida ou menos tracionada As. A profundidade da linha neutra x conside-
rada positiva da borda mais comprimida para baixo. A seo transversal mostrada a
esquerda a representada na vista lateral a direita, onde os alongamentos so mar-
cados do seu lado esquerdo e os encurtamentos do lado direito.
Figura 2.3 Domnios de deformao da NBR 6118:2014
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexo Normal Simples ___________________________________________________________________________
2.9
Figura 2.4 Diagramas tenso-deformao para o concreto
Figura 2.5 Valores de fc para o diagrama x retangular simplificado
Para a construo da figura 2.3 a seo transversal sem deformaes, por-
tanto sem solicitao inicialmente tracionada pelo seu centro geomtrico produzin-
do trao uniforme. Nesta situao a seo solicitada desloca-se verticalmente para
a esquerda (alongamento) e como o concreto no resiste trao (hiptese bsica
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexo Normal Simples ___________________________________________________________________________
2.10
3) a nica possibilidade de se ter um estado limite ltimo tracionar igualmente as
duas armaduras com a deformao ltima do ao su=10 (hiptese bsica 5). Com
isto a seo transversal deslocada para a reta a, ou reta da trao centrada,
onde devem ser dimensionados os tirantes (peas preponderantemente solicitadas
trao) sem momentos. Caso as armaduras no sejam simtricas haver momento
fletor.
O domnio 1 de deformaes comea na reta a quando a seo solicitada
paralela seo sem solicitao com ambas cruzando-se no infinito, onde a pro-
fundidade da linha neutra x = - (para cima). Continuando a solicitao da seo a
partir da reta a, pode-se dar uma pequena excentricidade da fora normal de tra-
o produzindo uma flexo-trao com alongamento maior na armadura As (mais tra-
cionada). Para que se tenha um estado limite ltimo o alongamento nesta armadura
su=10 representado pelo ponto A.
Girando-se em torno deste ponto, o domnio 1 abrange todas as solicitaes
desde esta reta, onde x = - , at quando a linha neutra atingir a profundidade nula,
x=0. Neste domnio a seo est inteiramente tracionada com solicitaes variando
desde a trao centrada at flexo-trao (trao no uniforme) sem compresso.
O domnio 2 caracterizado tambm pelo ELU correspondente deforma-
o plstica excessiva do ao (ponto A), agora com a seo transversal parcialmen-
te comprimida at que simultaneamente seja atendido o ELU para a ruptura do con-
creto compresso, neste caso, com c = cu. As solicitaes possveis neste dom-
nio so de flexo-trao com excentricidades maiores que as do domnio 2, flexo
simples pois tem-se simultaneamente resultantes de compresso (concreto) e de
trao (ao), e flexo-compresso com excentricidades pequenas, sem ruptura
compresso do concreto, ou seja, c cu.
A profundidade da LN varia desde X=0 at a profundidade limite X=X2L que
por semelhana de tringulos na figura 2.6 resulta:
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2.11
d
10
X
cu
2L
cu (2.6)
0,259dd103,5
3,5X2L
para concretos de classes at C50 (2.6a)
d10
X
cu
cu2L
para concretos de classes C55 at C90 (2.6b)
Onde d altura til da seo, distncia da borda mais comprimida da seo
at o centro da armadura mais tracionada As e cu o encurtamento de ruptura do
concreto, dado nas equaes (1.9a) e (1.9b).
Por simplicidade os valores foram suprimidos da equao (2.6a). Nesta
equao tem-se o valor absoluto da profundidade X2L, que no depende do tipo de
ao usado, mas do grupo do concreto. Em muitos casos conveniente usar o valor
relativo da profundidade limite do domnio 2, um valor adimensional dado por:
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