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Ano Lectivo 2013 /2014
MATEMÁTICA A 11º Ano
Matemática A – 11º 1 de 4
Tema 2 : Introdução ao cálculo diferencial (I) Unidade 1 : Funções racionais
Estudo intuitivo de funções de expressão ( ) , 0a
f x ax
= ≠
OBJETIVOS
• Caracterizar analiticamente a função real de variável real definida por ( ) , 0a
f x ax
= ≠ :
• Domínio • Contradomínio • Zeros e sinal • Extremos e monotonia • Injetividade • Continuidade • Paridade
• Reconhecer características do gráfico da função ( ) , 0a
f x ax
= ≠
• Simetrias
• Assintotas (vertical e horizontal)
____________________________
Matemática A – 11º 2 de 4
Características analíticas e gráficas das funções racionais definidas por expressões do
tipo , 0a
ax
≠
0a > 0a <
Características analíticas
Domínio de definição: { }\ 0ℝ Domínio de definição: { }\ 0ℝ
Contradomínio: { }\ 0ℝ Contradomínio: { }\ 0ℝ
Não tem zeros.
] [,0 ( ) 0x f x∈ −∞ ⇔ <
] [0, ( ) 0x f x∈ +∞ ⇔ >
Não tem zeros
] [,0 ( ) 0x f x∈ −∞ ⇔ >
] [0, ( ) 0x f x∈ +∞ ⇔ <
Não tem extremos
É estritamente decrescente em ] [,0−∞ e
estritamente decrescente em ] [0,+∞
Não é uma função decrescente
Não tem extremos
É estritamente crescente em ] [,0−∞ e estritamente
crescente em ] [0,+∞
Não é uma função crescente
É contínua É contínua
É injetiva É injetiva
É ímpar: ( ) ( ) , 0f x f x x− = ≠ É ímpar: ( ) ( ) , 0f x f x x− = ≠
Características gráficas
O gráfico é uma hipérbole equilátera O gráfico é uma hipérbole equilátera
O gráfico é simétrico em relação à origem
(centro da hipérbole)
O gráfico é simétrico em relação à origem
(centro da hipérbole)
O gráfico não interseta os eixos coordenados O gráfico não interseta os eixos coordenados
O gráfico é simétrico em relação às retas
bissetrizes dos quadrantes pares e dos
O gráfico é simétrico em relação às retas bissetrizes
dos quadrantes pares e dos quadrantes ímpares:
Matemática A – 11º 3 de 4
quadrantes ímpares: y x= − e y x= y x= − e y x=
A reta de equação 0x = (eixo Oy ) é uma
assintota vertical do gráfico
A reta de equação 0y = (eixo Ox ) é uma
assintota horizontal do gráfico
A reta de equação 0x = (eixo Oy ) é uma assintota
vertical do gráfico
A reta de equação 0y = (eixo Ox ) é uma assintota
horizontal do gráfico
O centro da hipérbole (ponto de intersecção das assíntotas) é o ponto de coordenadas (0,0)
Os vértices da hipérbole (pontos de intersecção
da hipérbole com o eixo de simetria y x= ) são
os pontos de coordenadas
( ) ( ), , ,a a a a− −
Os vértices da hipérbole (pontos de intersecção da
hipérbole com o eixo de simetria y x= − ) são os
pontos de coordenadas
( ) ( ), , ,a a a a− − − − − −
O parâmetro a determina:
• O tipo de monotonia da função em cada intervalo ] [,0−∞ , ] [0,+∞
• A curvatura da hipérbole e o afastamento dos 2 ramos
Matemática A – 11º 4 de 4
TPC
1. Seja [ ]AB um diâmetro da circunferência de centro O e R um ponto
fixo, exterior à circunferência.
1.1 Exprime 'RA����
em função de RB����
e de 'BA����
e mostra que:
'RA RA RA RB⋅ = ⋅���� ���� ���� ����
1.2 Identifica o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vetorial
. 0PB AB =���� ����
.
2. A figura 2 representa uma semicircunferência de centro O . A corda [ ]AC mede 2 unidades e faz um
ângulo de amplitude θ com o diâmetro [ ]AB .
Exprime em função de θ :
2.1 ,DC AB e OC .
2.2 a área da parte não colorida.
Figura 2
Figura 1
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