Exponencial: Equação e Função (Operações...

Exponencial: Equação e Função

(Operações Básicas)

Profª: Helen Savi Mondo de Oliveira

Setembro

2014

Um pouco sobre a história O primeiro indício do uso de equações está relacionado,

aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado

Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de

Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de

Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas

relacionados à Matemática. (Noé, 2014)

A ideia de se escrever x . x = x² ou x . x . x = x³ nos parece óbvia,

mas a utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma

determinada base, na forma utilizada hoje, ocorreu somente por volta

de 1637, sendo atribuída ao grande matemático francês René

Descartes. Silva (2003)

Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria.

Situação 1:

A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um

biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas

bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em

minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por

a) Qual era o número de indivíduos de cada população no instante zero?

Situação 1:

A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um

biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas

bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em

minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por

b) Em que instante o número de bactérias se igualam em cada cultura?

Situação 2

Represente a sua árvore genealógica e escreva o

modelo matemático desta representação:

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:

1ª Propriedade → Multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes:

2ª Propriedade → Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os expoentes:

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:

3ª Propriedade → Potência de um produto:

4ª Propriedade → Potência de uma divisão:

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS:

5ª Propriedade → Potência de potência, conserva-se

a base e multiplicasse os expoentes:

6ª Propriedade → Potência de expoente racional:

Sendo a um número real positivo e K e n

números inteiros, com n ≥ 1, define-se:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

As equações exponenciais, são expressões

algébricas matemáticas, cuja incógnita se apresenta no

expoente de uma ou mais potências de base positiva e

diferente de 1. Paiva (2005)

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

A forma de resolução de uma equação exponencial permite que

as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática.

Esse tipo de função apresenta características individuais na análise

de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas

desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências

envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia,

Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. Para

resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas

para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são

iguais.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda relação de dependência, em que uma

incógnita depende do valor da outra, é denominada

função. A função denominada como exponencial

possui essa relação de dependência e sua principal

característica é que a parte variável representada por x

se encontra no expoente.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A lei de formação de uma função

exponencial indica que a base elevada ao

expoente x precisa ser maior que zero e diferente

de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Uma função exponencial é utilizada na

representação de situações em que a taxa de variação é

considerada grande, por exemplo, em rendimento

financeiros capitalizados por juros, no decaimento

radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento

de bactérias e micro-organismos, crescimento

populacional entre outras situações. As funções

exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se

necessário, as regras envolvendo potenciação.

Exemplo

Após o início de um experimento o número de

bactérias de uma cultura é dado pela expressão: N(t) =

1200.20,4t

Quanto tempo após o início do experimento a

cultura terá 19200 bactérias?

Exemplo

Sob certas condições, o número de bactérias B

de uma cultura , em função do temo t, medido

em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o

número de bactérias 6 dias após a hora zero?

Exemplo A partir de um mesmo instante, um cientista começou a

estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e

outra de formigas. As populações de cupins e de formigas

cresceram de acordo com as funções e respectivamente,

sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após

o inicio do estudo.

a) Qual era o número de indivíduos de cada população, um

mês após o início do estudo?

Exemplo

A partir de um mesmo instante, um cientista começou a

estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e

outra de formigas. As populações de cupins e de formigas

cresceram de acordo com as funções e respectivamente,

sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após

o inicio do estudo.

b) Depois de quanto tempo, a partir do início do estudo, as

duas populações tiveram o mesmo número de indivíduos?

Questionamentos