Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia

Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

Plano de Aula

1- IDENTIFICAÇÃO

Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22°Gerei

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - Câmpus Avançado

Sombrio

Matemática

Turma aplicável: 2º ano

Acadêmico: Sabrina Vicente de Oliveira

Data: 21/10/2015

2-TEMA:

Determinante, propriedades dos determinantes.

3- JUSTIFICATIVA

A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado de determinante da

matriz que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.

O estudo de determinantes se faz necessário visto que constitui uma ferramenta

importante para resolver sistemas lineares.

4- OBJETIVOS

Exemplificar aplicações de determinantes de 1º, 2º e 3º ordem.

Aplicar as propriedades da regra de Sarrus para resolver o determinante de uma

matriz 1x1; 2x2; 3x3;

Calcular o determinante de matrizes 2x2 e 3x3 pela regra de Cramer;

Apresentar as propriedades dos determinantes.

5- CONTEÚDOS ENVOLVIDOS

Multiplicação, divisão, adição e subtração; Matrizes

6- ESTRATÉGIA:

6.1- Recursos

Lousa, software matemático VCN, projetor;

6.2- Técnicas

Aula expositiva e dialogada com a utilização de software

7- PROCEDIMENTOS

7.1- Problematização

Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes e efetuou as

seguintes vendas:

Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00

Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00

Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00

Quanto custa cada par de meia?

Solução:

Montando o sistema:

{

|

|

|

|

|

|

|

|

Então, como cada par de meias equivale à incógnita , temos que cada par custa R$ 12,00.

7.2- Historicização

O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley.

A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz

(1646-1716) e teria sido realizada em 1693. Mais tarde, em 1750, o matemático e

astrônomo suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a solução de sistemas lineares

através da “Regra de Cramer”.

Em 1683, paralelamente a Leibniz, no Oriente resolvia sistemas lineares por

intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.

No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandermonde e Laplace, deram

sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidada no século XIX por Cauchy e

Jacobi.

O francês Pierre Laplace (1749-1827) contribui de forma significativa para a

Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a

“Mecânica Celeste”.

Neste percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram

por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial.

Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo.

7.3-Operacionalização da aula

1° momento: Cumprimentos a turma. Chamada e registro de presenças/ faltas dos

alunos.

2° momento: Iniciarei a aula apresentando a história do determinante

3º momento: Apresentar a problematização

4º momento: Apresentar alguns o conceito de determinante de matriz quadrada de 1º

ordem.

Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada por A= [a11]. Por definição o

determinante de A é igual ao número a11

Indicamos assim det A= a11

Exemplo: dadas as matrizes A=[4] e B[-2], escrevemos det A= 4; det B= -2; det A+

det B = 4+(-2 )= 2

5º momento: Apresentar o conceito de determinante de uma matriz de 2º ordem.

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o

produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal

secundária.

Dada a matriz A = *

+, indicamos seu determinante assim:

Det A= a11.a22 – a12. a21 ou |

|= a11.a22 – a12. A21

Exemplo 01): O determinante da matriz A (detA), sendo

A=(

), é dado por:

Det A= |

|6.(-4) – 3.2 = -24-6 = -30

Exemplo 02) B= (

)

Det B=|

| = 1.7 – 2.3 = 7-6 = 1

6º momento: Apresentar determinante de matriz quadrada de 3º ordem.

consideremos a matriz genérica de ordem 3

Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de 3º ordem utilizando uma regra

prática denominada regra de sarrus.

Fazemos o seguinte: repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as

seis multiplicações.

Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo

sinal;

Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;

O determinante é a soma dos valores assim obtidos.

Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz [

].

det A = + 6 + 0 +16 + 24 + 0 – 80 = - 34

Exemplo 02) A=[

]

0+2+40+6+24= 72

Det A= 72.

7º momento: Regra de Cramer

Vamos considerar um sistema linear em que o número de equações é igual ao

número de incógnitas. Um processo de resolução desse tipo de sistema é a conhecida

Regra de Cramer, baseada no cálculo de determinantes.

Inicialmente, vamos enunciar essa regra para o caso de um sistema 2 x 2.

8º momento: Caso 2x2

Considere o sistema nas incógnitas e : {

. Seja o determinante da matriz

incompleta dos coeficientes do sistema:

*

+ e

Se , então o sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é dada por:

e

em que e são os determinantes das matrizes obtidas a partir da matriz

substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª coluna de pela coluna dos coeficientes

independentes da equação do sistema, como descritas abaixo.

[

] * +

Exemplo:

1) Usando a Regra de Cramer, vamos resolver o sistema: {

Solução:

Observemos que, como |

| , podemos usar a Regra de

Cramer. Assim, esse sistema é possível e determinado. Calculemos e :

|

|

|

|

Então,

e

.

Logo, ,(

)-

9º momento: Caso 3x3

Considere o sistema linear {

, nas incógnitas

Se |

| , então o sistema é possível e determinado (SPD).

Sua solução é dada por

,

e

, em que , e são

os determinantes das matrizes obtidas quando trocamos, na matriz dos coeficientes do

sistema, a coluna dos coeficientes de , respectivamente, pela coluna dos coeficientes

independentes das equações, como descritas abaixo:

[

] [

] [

]

Exemplo:

1) Resolva o sistema: { –

Solução:

Como |

| , o sistema é SPD;

podemos usar a Regra de Cramer:

|

|

|

|

|

|

Assim, { }.

10º momento: Propriedades de determinantes utilizando o software VCN

1. Abrindo o software VCN escolha a opção Sistemas Lineares em seguida selecione a

opção operação com matrizes.

1º propriedade

1. Na opção matriz A escreva a matriz de odem 2, (

), e na matriz B escrever a

matriz de ordem 2 (

).

2. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular.

3. O aplicativo vai calcular o determinante de cada matriz.

Logo, a primeira propriedade tem-se que se todos os elementos de uma linha ou coluna de

uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero.

2º propriedade

4. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 2, (

),e na matriz B de

ordem 3 escrever a seguinte matriz[

].

5. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular.

Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu

determinante é nulo.

3º propriedade

6. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 3 [

],

Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou

colunas, seu determinante é nulo.

Matriz A 3º linha é a soma da 1º com a segunda linha, ou seja, a 3º linha é combinação

linear da 1º com a segunda.

4º propriedade

7. Na opção matriz A (2x2) (

) e coloque o mesmo valor na matriz B.

8. Selecione a opção matriz transposta e em segui aperte calcular.

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta

5º propriedade

9. Na opção matriz A (2x2) (

) e na matriz B(

)

Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o

determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz. A matriz a o

determinante vai dar 6 e na matriz b o determinante vai dar -6 logo os determinantes são

opostos.

11º momento: Aplicar uma avaliação com a turma

7.4- Conclusão:

A proposta deste trabalho foi apresentar aos alunos os principais conceitos

envolvendo determinantes. Para finalizar a aula, será entregue para cada aluno uma

avaliação afim de que possam praticar os conteúdos ensinados na aula atingindo assim, os

objetivos.

Segue a avaliação

Nome: Data:

01) Calcule o valor de cada um dos seguintes determinantes:

a) | | b) |

| c) |

| d) |

| e)|

|

02) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.

a) 0

734

2108

154

b) 0

0134

015

0127

c) 0

241

402

531

03) Resolva as equações:

a) *

+=0

b) *

+=0

c) *

+=0

d) [

]=0

04) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de sarrus.

a) [

]

b) [

]

05) Resolva os seguintes sistemas lineares, usando a regra de Cramer;

a) {

b) ,

8- AVALIAÇÃO

8.1- Critérios

Participação e interesse nas explicações e ao realizarem as atividades propostas nas

aulas.

8.2- Instrumentos

Observação, avaliação e registro do desempenho individual.

9- BIBLIOGRAFIA

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed.

renovada. São Paulo: FTD, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática- volume único: 1.ed- São Paulo: ática, 2005.

MIRANDA, Danielle de. Regra de cramer. Disponível em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/regra-cramer.htm> Acesso em: 03/10/2015

PAIVA, Manoel. Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.