Estatística: Probabilidade e Distribuições

Disciplina de Estatística – 2012/2

Curso: Tecnólogo em Gestão Ambiental

Profª. Ms. Valéria Espíndola Lessa

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Aula de Hoje 23/11/2012

• Estudo da Probabilidade

• Distribuição de Probabilidade

• Exercícios

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Noção Básica de Probabilidade

Introdução

Incluir probabilidade nesta disciplina se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Assim, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial.

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Experimento aleatório

• Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: – que, apesar do favoritismo, ele perca;

– que, como pensamos, ele ganhe;

– que empate.

• Como vimos o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

• Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

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Espaço Amostral

• A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

• Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.

• Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais: – lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}, ou seja, 2 possibilidades

– lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ou seja, 6 possibilidades

– cartas de um baralho: {todas as cartas}

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• Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no segundo, ou coroa no primeiro e cara no segundo, ou coroa nos dois lançamentos, o espaço amostral é:

S = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, ou seja, n(S) = 4 possibilidades

• No lançamento de três moedas teremos:

S = {(Ca,Ca,Ca), (Ca,Ca,Co), (Ca,Co,Co), (Co,Co,Co), (Co,Co,Ca), (Co,Ca,Ca), (Co,Ca,Co), (Ca,Co,Ca)}, ou seja, n(S)= 8 possibilidades

6

• Assim,

– 1 moeda 21 possibilidades

– 2 moedas 22 possibilidades

– 3 moedas 23 possibilidades

... ...

– n moedas 2n possibilidades

• E,

– 1 dado 61 possibilidades

– 2 dados 62 possibilidades

– 3 dados 63 possibilidades

... ...

– n dados 6n possibilidades

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Eventos Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço

amostral S de um experimento aleatório.

Um evento é sempre definido por uma sentença.

Exemplos:

a) “Obter um número par na face superior de um dado.”

b) “Obter um número menor ou igual a 6 na face superior de um dado.”

c) “Obter um número 4 na face superior de um dado.”

d) “Obter um número maior que 6 na face superior de um dado.”

e) “Obter cara no lançamento de uma moeda.”

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Probabilidade

• Probabilidade é a chance que um evento tem de ocorrer no experimento aleatório.

• Para isso precisamos saber o número de resultados possíveis (espaço amostral) e o número de resultados favoráveis (evento)

• Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que:

Onde: n(A) é o número de elementos do evento A.

n(S) é o número de elementos do espaço amostral S.

9

Sn

AnAP

Exemplo 1:

Considerando o lançamento de uma moeda calcular a probabilidade de obter cara.

10

S = { Ca, Co} → n(S) = 2 A = {Ca} → n (A) = 1

%50ou5,02

1

Sn

AnAP

Exemplo 2:

Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número par na face superior.

11

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {2, 4, 6} → n (A) = 3

%50ou5,06

3

Sn

AnAP

Exemplo 3:

Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 na face superior.

12

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n (A) = 6

%100ou16

6

Sn

AnAP

Evento Certo

Exemplo 4:

Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter o número 4 na face superior.

13

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {4} → n (A) = 1

%6,16ou616,06

1

Sn

AnAP

Exemplo 5:

Considerando o lançamento de um dado, calcular a probabilidade de obter um número divisível por 3 na face superior.

14

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {3,6} → n (A) = 2

%3,33ou33,06

2

Sn

AnAP

Eventos Complementares

• Exemplo: Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é 1/6 ou 16,66%. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 será 5/6 ou 83,33%

• Sabemos que um evento pode ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade de que ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para o mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1 q = 1 – p 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1 5/6 – 1 = 1/6

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Eventos Independentes

• Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

• Por exemplo quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

• Assim, sendo P(A) a probabilidade de realização do primeiro evento e P(B) a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é:

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BP)A(PBAP

Exemplo 6:

Calcular a probabilidade de, ao lançarmos dois dados, obtermos 1 no primeiro e 5 no segundo.

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%78,236

1

6

1

6

1BPAPP

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {1} → n (A) = 1 B = {5} → n (B) = 1

Eventos Mutuamente Exclusivos

• Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).

• Também podemos dizer que não há elementos comuns na realização dos dois eventos, ou seja,

• Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

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BP)A(P)BA(P

0BA

União

Exemplo 7:

Calcular a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 no lançamento de um dado.

19

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 A = {3} → n (A) = 1 B = {5} → n (B) = 1

%3,3333,03

1

6

2

6

1

6

1BP)A(PP

Exemplo 8: Qual a probabilidade de sair o Ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Exemplo 9: Qual a probabilidade de sair um Rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Exemplo 10: Em lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.

b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.

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%92,152

1)A(P S = { todas as cartas} → n(S) = 52

A = {Ás de ouro} → n (A) = 1

S = { todas as cartas} → n(S) = 52 B = {K ouro, K paus, K espada, K copas} → n (A) = 4

%7,752

4)A(P

%3,3312

4)A(P

%7,6612

8)A(P

Exemplo 11: De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?

Exemplo 12: Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

21

%15,02704

4

52

1

52

4P

%7,3648

24

9

4

8

2

9

3)C(P)B(P)A(PP

Exemplo 13: Se de um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é probabilidade de a primeira carta ser o Ás de paus e a segunda ser o Rei de paus?

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S = { todas as cartas} → n(S) = 52 A = {Ás de paus} → n (A) = 1 B = {Rei de paus} → n(B) = 1

%038,02652

1

51

1

52

1)B(P)A(PP

Probabilidade com União e Intersecção de Eventos

Exemplo 14: Entre os números de 1 a 15, qual a probabilidade de escolher um número que seja divisor de 12 ou 18?

S: Espaço amostral;

S: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

A: Escolher um número que seja divisor de 12;

A:{1,2,3,4,6,12} → n(A) = 6

B: Escolher um número que seja divisor de 18;

B:{1,2,3,6,9,18} → n(B) = 6

Mas, os números vão até 15, então não iremos incluir o 18 no espaço amostral. Daí temos, B: {1,2,3,6,9}, n(B) = 5

Neste caso, iremos fazer P(AUB) = P(A) + P(B), porém é preciso considerar que

os eventos A e B tem elementos comuns.

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Ao mesmo tempo

Todos os divisores, sem repetí-los

A B: Escolher um número que seja divisor de 12 e 18;

A B:{1,2,3,6} → n(A B) = 4

A U B: Escolher um número que seja divisor de 12 ou 18.

A U B:{1,2,3,4,6,9,12} → n(A U B) = 7

Calculando as probabilidades, temos:

24

15

7

)(

)()(

15

4

)(

)()(

15

5

)(

)()(

15

6

)(

)()(

Sn

BAnBAP

Sn

BAnBAP

Sn

BnBP

Sn

AnAP

Ou seja, soma-se as duas

probabilidades A e B e subtrai-se

a intersecção entre elas.

Podemos resumir com a fórmula:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Exemplo 15:

Jogando-se um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par?

S:{1,2,3,4,5,6} n(S) = 6

A:{4} n(A) = 1

B:{2,4,6} n(B) = 3

A B: {4} n = 1

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3

1

6

1

6

3

6

1

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Introdução

Consiste numa organização dos dados de um problema de probabilidade numa tabela ou gráfico para melhor interpretação destes.

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Distribuição de Probabilidade

Variável Aleatória

• É a característica numérica dos resultados de um experimentos; Analisa-se as ocorrências desta característica

no experimento aleatório;

Variável Aleatória: número de Coroas (Co) no lançamento simultâneo de duas moedas.

Espaço amostral S = { (Ca,Ca) (Ca,Co) (Co,Ca) (Co,Co)}

Exemplo 16: Fazer a distribuição da probabilidade de sair Coroa (Co) no lançamento simultâneo de duas

moedas (diferentes).

Distribuição de Probabilidades

A distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade

de cada valor de uma variável aleatória.

• No Exemplo 16, a variável aleatória X tem três possibilidades: não sair nenhuma Coroa (zero), uma coroa, ou duas coroas.

• Ainda no Exemplo 16 do lançamento de duas moedas, temos:

Distribuição de Probabilidade

Ponto Amostral

Nº de Coroas(X)

(Ca,Ca) 0

(Ca,Co) 1

(Co,Ca) 1

(Co,Co) 2

(X) Freq. P(X)

0 1 ¼

1 2 2/4

2 1 ¼

∑ = 4 ∑ = 1

Organizando...

Gráfico da Distribuição de Probabilidades

Tipos de Distribuição de Probabilidades

• Para Variáveis Aleatórias Continuas, usa-se as distribuições:

– Normal

– Gama

– Exponencial

• Para as Variáveis Aleatórias Discretas, usa-se as distribuições:

– Binominal

– Poisson

– Geométrica

Não veremos todos estes

casos. Faremos um breve estudo

das distribuições, construindo

tabelas e gráficos de colunas

Exemplo 17:

• Vamos considerar a distribuição de frequência do número de acidentes diários em um estacionamento:

Número de Acidentes Diários

Frequências

0 22

1 5

2 2

3 1

∑ = 30

Em um dia, a probabilidade de:

• Não ocorrer acidentes é:

• Ocorrer um acidente é:

• Ocorrerem dois acidentes:

• Ocorrerem três acidentes:

73,030

22p

17,030

5p

07,030

2p

03,030

1p

• Então, podemos construir a tabela:

Número de Acidentes (X)

Probabilidades P(X)

0 0,73

1 0,17

2 0,07

3 0,03

∑ = 1,00

• E o gráfico.

Exemplo 18: Na jogada de três moedas, fazer a distribuição da probabilidade para o número de Caras (Ca).

• Espaço Amostral: S = { (Ca,Ca,Ca), (Ca,Ca,Co) (Ca,Co,Ca)

(Co,Ca,Ca) (Ca,Co,Co) (Co,Ca,Co) (Co,Co,Ca) (Co,Co,Co) }

X (vezes que

aparece cara)

Frequência P(X)

0 1 1/8

1 3 3/8

2 3 3/8

3 1 1/8

Gráfico:

Exemplo 19: Uma empresa tem quatro caminhões de aluguel. Sabendo-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados está na tabela abaixo, determine:

Nº Caminhões alugados por dia

Probabilidade de Alugar

0 0,1 = 10%

1 0,2 = 20%

2 0,3 = 30%

3 0,3 = 30%

4 0,1 = 10%

a) Qual é a probabilidade de alugar, num dia, mais de dois caminhões?

Somar P(3) + P(4) = 0,3 + 0,1 = 0,4

b) Qual é a probabilidade de alugar no mínimo um caminhão?

Somar P(1) até P(4) => 0,9

c) Qual a probabilidade de alugar no máximo dois caminhões?

Somar P(0) + P(1) + P(2) = 0,6

Pergunta-se:

d) Faça o esboço do gráfico desta distribuição.

- Lista de Exercícios -

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