Probabilidade elementos

definição

Cálculos

• Conjuntos Numéricos

• Análise Combinatória

• Reconhecer os naipes de um baralhoe a quantidade de cartas de cada naipe

Probabilidade é achance de um eventoocorrer, em um espaçoamostral.

Probabilidade

Chance de um evento ocorrerdefinição

Espaço Amostral

Espaço Amostral é o conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento. É

indicado pela letra grega Ω.

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultadosEspaço

Amostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

definição

Evento

Evento é qualquer subconjunto de um

espaço amostral. É indicado pela letra E.

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

E

definição

definição

Exemplos:

A) Lançamento de um dado.

Espaço Amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Alguns dos possíveis eventos:

. Um número maior que 5 E = 6

. Um número par E = 2, 4, 6

. Um número par e primo E = 2

Exemplos:

B) Lançamento de duas moedas.

Espaço Amostral:

Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(cc)

Alguns dos possíveis eventos:

. Obter duas faces iguais E = (k,k);(c,c)

. Obter apenas uma coroa E = (k,c);(c,k)

1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.

a) Defina o espaço amostral do

experimento: retirar uma bola ao acaso.

b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.

1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4amarelas.

a) Defina o espaço amostral do

experimento: retirar uma bola ao acaso.

b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.

a) Ω = V1, V2, A1, A2, A3, A4

b) E1 = V1, V2

E2 = A1, A2, A3, A4

Intersecção de conjuntos

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20

São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20

B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20

A ∩ B = 20 1 elemento

União de conjuntos

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20

São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20

B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20

A ∪ B = 2, 5, 16, 20 4 elementos

Atenção!

A) Evento certo

Eventos certos são aqueles que apresentam

os mesmos elementos do espaço amostral.

n(E) = n(Ω)

Exemplo:

Seja o seguinte evento: obter um número

natural menor que 7, no lançamento de um

dado.

E = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

n(E)=n(Ω)

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

B) Evento impossível

Eventos impossíveis ocorrem quando não

há elementos no conjunto E.

n(E) = 0

Exemplo:

Seja o seguinte evento: obter 3 caras no

lançamento de duas moedas.

E =

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

n(E)=n(Ω)

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

Eventoimpossível

n(E)=0

C) Evento complementar

Evento complementar (Ec) é aquele que

ocorre quando o evento E não ocorre.

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

Exemplo:

Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20

São apresentados dois eventos:

A: ocorrer um número par = 2, 16, 20

Ac: ocorrer um número ímpar= 3, 5, 17

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

Eventoimpossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

Probabilidade é a chance de um evento

ocorrer, em um espaço amostral. Ou seja, é

o número de elementos de um evento,

dividido pelo número de elementos do

espaço amostral.

)(

)(

n

EnP

Exemplos:

A) Qual a probabilidade de ocorrer um

número natural maior que 4, no lançamento

de um dado?

E = 5, 6 n(E) = 2

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) = 6

3

1

6

2

)(

)(

n

EnP

Exemplos:

B) Qual a probabilidade de ocorrer pelo

menos uma cara, no lançamento de duas

moedas?

E = (k,k);(k,c);(c,k) n(E) = 3

Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(c,c) n(Ω) = 4

4

3

)(

)(

n

EnP

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

Fórmula geralCálculo

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

Eventoimpossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

2) No lançamento de um dado perfeito,

qual é a probabilidade de que o resultado

seja:

a) Um número primo?

b) O número 3?

c) Um número menor que 1?

d) Um número menor que 7?

2) No lançamento de um dado perfeito,

qual é a probabilidade de que o resultado

seja:

a) Um número primo?

b) O número 3?

c) Um número menor que 1?

d) Um número menor que 7?

a) Um número primo?

b) O número 3?

c) Um número menor que 1?

d) Um número menor que 7? %10016

6P

06

0P

6

1P

2

1

6

3P

3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco

vogais e as cinco primeiras consoantes do

alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de que a letra

sorteada seja:

a) Uma consoante?

b) Uma letra da palavra bode?

3) Uma caixa contém 10 letras: as cinco

vogais e as cinco primeiras consoantes do

alfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de que a letra

sorteada seja:

a) Uma consoante?

b) Uma letra da palavra bode?

Ω = a, e, i, o , u, b, c, d, f, g n(Ω) = 10

a) Uma consoante?

b) Uma letra da palavra bode?

2

1

10

5P

5

2

10

4P

4) Um dos anagramas da palavra AMOR é

escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade

de que seja a palavra ROMA?

4) Um dos anagramas da palavra AMOR é

escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade

de que seja a palavra ROMA?

Ω = 4! = 4.3.2.1=24

Logo,24

1P

Total de anagramas da palavra amor

Para calcular a probabilidade da união de

eventos dividimos o número de elementos

do conjunto união pelo número de elementos

do espaço amostral.

)n(

n(AUB))(AUBP

Exemplo:

De um baralho de 52 cartas, uma é

extraída ao acaso. Qual é a probabilidade

de sair um valete ou uma carta de ouros?

A: sair um valete n(A) = 4

B: sair carta de ouros n(B) = 13

A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1

Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16

A: sair um valete n(A) = 4

B: sair carta de ouros n(B) = 13

A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1

Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16

13

4

52

16(

)n(

n(AUB)AUB)P

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

ProbabilidadeDa união

Variações

Fórmula geralCálculo

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

Eventoimpossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

)n(

n(AUB)AUB)(P

5) Os dados da tabela seguinte referem-se

a uma pesquisa realizada com 155 moradores

de um bairro revela os hábitos quanto ao uso

de TV e Internet pagas.

Um dos entrevistados é selecionado ao

acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV

ou Internet pagas?

Só TV aberta TV paga

Internet gratuita 76 44

Internet paga 14 21

5) Os dados da tabela seguinte referem-se

a uma pesquisa realizada com 155 moradores

de um bairro revela os hábitos quanto ao uso

de TV e Internet pagas.

Um dos entrevistados é selecionado ao

acaso. Qual a probabilidade de que ele use TV

ou Internet pagas?

Só TV aberta TV paga

Internet gratuita 76 44

Internet paga 14 21

A: TV paga n(A)=44+21=65

B: Internet paga n(B)=14+21=35

n(A∩B)=21 n(A∪B)= 65+35-21=79

Só TV aberta TV paga

Internet gratuita 76 44

Internet paga 14 21

155

79(

)n(

n(AUB)AUB)P

Temos um caso de probabilidade

condicional quando um evento A ocorre,

sabendo que o evento B já ocorreu.

O cálculo da probabilidade condicional

é dado pela fórmula:

P(B)

B)P(AA/B)

(P

Exemplo:

Ao retirar uma carta de um baralho de

52 cartas, qual é a probabilidade de sair

um ás vermelho sabendo que ela é de copas?

A: sair ás vermelho n(A)=2

B: sair carta de copas n(B)=13

A∩B: ás de copas n(A∩B)=1

Exemplo:

A: sair ás vermelho n(A)=2

B: sair carta de copas n(B)=13

A∩B: ás de copas n(A∩B)=1

13

1

52

1352

1

(P(B)

B)P(AA/B)

P

Probabilidade

Ω

Conjunto de todos os resultados

representação

Subconjunto de Ω

evento

EspaçoAmostral

elementos

Chance de um evento ocorrerdefinição

representação

Probabilidadecondicional

ProbabilidadeDa união

Variações

Fórmula geralCálculo

n(E)=n(Ω)

EventoComple-mentar

tipos

E

definição

definição

Eventocerto

Eventoimpossível

n(Ec)=n(Ω)-n(E)

n(E)=0

)(

)(

n

EnP

P(B)

B)P(AA/B)

(P

)n(

n(AUB)AUB)(P

6) Uma família planejou ter 3 crianças.

Qual é a probabilidade de que a família

tenha 3 homens, já que a primeira criança

que nasceu é homem?

6) Uma família planejou ter 3 crianças.

Qual é a probabilidade de que a família

tenha 3 homens, já que a primeira criança

que nasceu é homem?

Ω = HHH, HHM, HMH, MHH, MMH, MHM, HMM, MMM n(Ω)=8

A: ter 3 homens n(A)=1

B: primeira é homem n(B)=4

A∩B=HHH n(A∩B)=1

4

1

8

48

1

(P(B)

B)P(AA/B)

P

Questões de Vestibular

7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras

(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é

um deles). Diariamente, devem permanecer

de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual

a probabilidade de Karla e Lucas estarem

de plantão no mesmo dia?

3

2)

5

1)

45

8)

4

1)

3

1) edcba

7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras

(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas é

um deles). Diariamente, devem permanecer

de plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Qual

a probabilidade de Karla e Lucas estarem

de plantão no mesmo dia?

3

2)

5

1)

45

8)

4

1)

3

1) edcba

45

8

1260

224

)(

)()(

224)!14(!1

!4

)!38(!3

!8.)(

1260)!25(!2

!5

)!49(!4

!9.)(

1,43,8

2,54,9

n

EnEp

CCEn

CCn

letra c

8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas

numeradas de 1 a 9. Três fichas são

escolhidas ao acaso e sem reposição. A

probabilidade de não sair a ficha 7 é:

3

2)

4

1)

9

2)

3

1)

6

1) edcba

8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichas

numeradas de 1 a 9. Três fichas são

escolhidas ao acaso e sem reposição. A

probabilidade de não sair a ficha 7 é:

3

2)

4

1)

9

2)

3

1)

6

1) edcba

Probabilidade

de não sair 7

na primeira:

9

8P

8

7P

Probabilidade

de não sair 7

na segunda:

Probabilidade

de não sair 7

na terceira:

7

6P

3

2

7

6

8

7

9

8P letra e

9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,

cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro

moças entram nesse ônibus e devem ocupar os

bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos

aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco

Seja ocupado por um rapaz e uma moça é:

7

2)

35

8)

14

3)

35

6)

70

1) edcba

9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,

cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro

moças entram nesse ônibus e devem ocupar os

bancos vagos. Se os lugares foram escolhidos

aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco

seja ocupado por um rapaz e uma moça é:

7

2)

35

8)

14

3)

35

6)

70

1) edcba

n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24

letra d

2

34

5678

1 1122

3344 x2

x2

x2x2

35

8

!8

!4!424

P

10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos

com forma, massa e aspecto exterior exatamente

iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4

de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se

retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,

a probabilidade de se retirar um bombom de cada

sabor é, aproximadamente:

%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba

10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todos

com forma, massa e aspecto exterior exatamente

iguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4

de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se

retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,

a probabilidade de se retirar um bombom de cada

sabor é, aproximadamente:

%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba

letra e145,03276

476

)(

)()(

4761747.)(

3276)(

1,171,41,7

3,28

n

EnEp

CCCEn

Cn

• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412

• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –2008 - Páginas: 338 a 367

• Figuras: google imagens