Contexto Histórico Contexto Histórico O estudo de

probabilidade foi impulsionada na Idade Média pelos tradicionais jogos de azar que se faziam na Corte.

O interesse em problemas relacionados com probabilidades teve início, em primeiro lugar, devido ao desenvolvimento dos seguros. No entanto, as questões que levaram os grandes matemáticos do século XVII a pensar neste assunto, vieram dos pedidos dos nobres que se entregavam a jogos de acaso, como o jogo dos dados, moedas e das cartas (Struik, 1989).

Os primeiros cálculos de probabilidades em jogos de azar

Os italianos quinhentistas foram os primeiros a fazerem cálculos probabilísticos. Precisando comparar frequências de ocorrências e estimar ganhos em jogos de azar, eles foram além da mera enumeração de possibilidades. Contudo, limitaram-se a resolver problemas concretos, ainda não havia produção de teoremas.

Pacioli Cardano Tartaglia

Os algebristas Italianos Pacioli (1445-1517), Cardano (1501-1576), e Tartaglia (1500-1557). (séc.XVI) fizeram as primeiras observações matemáticas relativas às apostas patentes nos jogos de azar.

Pacioli Em sua famosa Summa, estudou um problema que se

tornou famoso como Problema dos Pontos:

Dois jogadores disputavam um prêmio que seria dado a quem primeiro fizesse 6 pontos no jogo da balla. Quando o primeiro jogador tinha 5 pontos e o segundo tinha 3 pontos, foi preciso interromper o jogo. Como dividir o prêmio?

Solução, correta, faz uma divisão proporcional à probabilidade de vitória de cada jogador. Assim foi introduzida, de modo bastante intuitivo, a noção de esperança matemática, ou seja o produto do ganho eventual pela probabilidade desse ganho.

Cardano Escreveu um pequeno Manual de Jogos de Azar

(Liber de Ludo Aleae) onde resolveu vários problemas de enumeração e retomou os problemas abordados por Pacioli.

Foi o primeiro a introduzir técnicas de Combinatória para calcular a quantidade de possibilidades favoráveis num evento aleatório e, assim, poder calcular a probabilidade de ocorrência do evento como a razão entre a quantidade de possibilidades favoráveis e a quantidade total de possibilidades associadas ao evento.

Tartaglia

Resume-se a dedicar algumas páginas de seu livro General Trattato aos problemas de Pacioli.

Halley (1656-1742)

Halley

Halley em 1693 mostrou em seu trabalho (Degrees of Mortality of Mankind) como calcular o valor da anuidade do seguro em termos da expectativa de vida da pessoa e da probabilidade de que ela sobreviva por um ou mais anos.

Pascal (1623-1662)

Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal (homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:

“Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.

Como dividir as 60 pistolas?

Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades.

Pascal (1623-1662) Fermat (1601-1655)

Pascal, redescobriu e aperfeiçou a técnica de Tartaglia que baseava-se no uso do que hoje, chama-se de triângulo aritmético de Pascal.

Fermat, redescobriu e aperfeiçou a técnica de Cardano, baseando o cálculo de probabilidades no cálculo combinatório, bem ao estilo que hoje empregamos rotineiramente.

Jacob Bernoulli (1654-1705)

Jakob Bernoulli iniciou o processo de abstração das probabilidades (livrando-as das limitações dos seguros e jogos) e foi além da mera resolução de problemas concretos, produzindo os primeiros teoremas sobre o assunto (como a Lei dos Grandes Números).

Laplace (1749-1827)

Pierre Simon Laplace é considerado por muitos, o fundador da teoria das probabilidades.

Publicou um significativo número de trabalhos na área da teoria das probabilidades. Em 1812 publicou a teoria analítica das probabilidades e em 1814 escreveu o ensaio filosófico sobre a probabilidade. A Laplace deve-se a definição clássica de probabilidade, conhecida como Lei de Laplace.

Gauss (1777-1855)

No domínio da teoria das probabilidades, desenvolveu o método dos mínimos quadrados e as leis fundamentais da distribuição das probabilidades.

Hoje em dia o diagrama da probabilidade chama-se curva de Gauss.

PROBABILIDADE Definição

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

Termos e conceitosExperiência

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Estado do tempo para a semana• Extração de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida o resultado é desconhecidoÀ partida já conhecemos o resultado

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.

Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;

Não se conhece o resultado do experimento “a priori”, porém pode-se descrever todos os possíveis resultados.

Espaço Amostral Ω é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer num experimento aleatório.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço Amostral = Ω = Vitória, Empate, Derrota

O Evento é um subconjunto do espaço amostral (Ω).

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Acontecimento A: “Sair um nº par”

A = 2, 4, 6

Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”

B = 3, 4, 5, 6

TIPOS DE EVENTOS

Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral.

Ex.: Seja Ω = 1,2,3,4,5,6. Evento E: “ocorrência de um numero natural”E = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio.

Ex.: Seja Ω = 1,2,3,4,5,6. Evento E: “ocorrência de um numero maior que

6”Não existe numero maior do que 6.Portanto: E = Ø

COMPLEMENTO DO EVENTO A (A´)

Seja Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Evento A: Ocorrência de número par. Temos: A = 2, 4, 6 Então, seu complemento será:

A’ = 1, 3, 5 → Conjunto de elementos de Ω que não estão em A.

OPERAÇÕES COM EVENTOS

Considere o experimento Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Sejam A, B, e C os seguintes eventos:

A – o número é par B – o número é maior que 3 C – o número é impar

Interseção União

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 4, 5, 6C = 1, 3, 5

A ∩ B = 4, 6 A ∪ B = 2, 4, 5, 6

A ∩ C = ∅ A ∪ C = 1, 2, 3, 4, 5, 6

B ∩ C = 5 B ∪ C = 1, 3, 4, 5, 6

Definições:

A interseção de dois eventos A e B, denotado por A ∩ B é o evento que contém todos os elementos que são comuns a A e B.

A união de dois eventos A e B, denotado por A ∪ B, é o evento que contém elementos que pertencem a A, a B ou a ambos.

PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES

1. P(⊘) = 02. P(Ω) = 13. Para todo evento A, 0,00 ≤ P(A) ≤

1,004. P(A) + P(A') = 15. P(A') = 1 – P(A) probabilidade complementar

Lei de LAPLACEEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado

Ω = C, K

A moeda tem duas faces: C - Cara frente; K - Coroa

Qual é a probabilidade de sair K no lançamento de uma moeda?

possíveis casos de Número

favoráveis casos deNúmeroAP

Nº casos favoráveis = 1

Nº casos possíveis = 2 %505,0

2

1FP

Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado

6

1

possíveis casos de nº

favoráveis casos denºAP

Calcular a probabilidade de cada um dos acontecimentos:

A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma face “5”

Um dado tem 6 faces

2)B: “ Sair um número maior que 2 “

Nº casos favoráveis = 4

Nº casos possíveis = 6 %6666,0

3

2

6

4BP

B = 3, 4, 5, 6

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

(1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)

(3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)

(4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

(5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)

(6,6)

Qual é o espaço de resultados?

Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4?

%1111,09

1

36

4P