Festa Slide nº 1. Festa Slide nº 2 2 Estatística Básica Jorge Festa

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FestaSlide nº 1

FestaSlide nº 2

2

Estatística Estatística BásicaBásicaJorge FestaJorge Festa

FestaSlide nº 3

Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados

Capítulo 1 - Resumo de DadosCapítulo 1 - Resumo de Dados IntroduçãoIntroduçãoTipos de VariáveisTipos de VariáveisDistribuição de FreqüênciasDistribuição de FreqüênciasRepresentação Gráfica das Representação Gráfica das Variáveis QuantitativasVariáveis Quantitativas

Ramo-e-folhasRamo-e-folhas

FestaSlide nº 4

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO O que é O que é ESTATÍSTICAESTATÍSTICA ? ?

– É fundamental na análise de dados É fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer processos provenientes de quaisquer processos onde exista onde exista VARIABILIDADEVARIABILIDADE..

– Uso de informações na: Uso de informações na: coleçãocoleção, , apresentaçãoapresentação, , análiseanálise e e tomada de tomada de decisõesdecisões, para solucionar problemas., para solucionar problemas.

Y X

FestaSlide nº 5

EstatísticaEstatística Uma estatística é uma quantidade que é Uma estatística é uma quantidade que é

calculada dos dados amostrados. Ela é calculada dos dados amostrados. Ela é usada para dar informações a respeito usada para dar informações a respeito de valores desconhecidos da de valores desconhecidos da correspondente população. Por correspondente população. Por exemplo, a média dos dados amostrados exemplo, a média dos dados amostrados é utilizada para dar informações sobre é utilizada para dar informações sobre toda a média da população da qual a toda a média da população da qual a amostra foi retirada.amostra foi retirada.

FestaSlide nº 6

GRANDES ÁREAS DA GRANDES ÁREAS DA ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

Amostragem e planejamento de Amostragem e planejamento de experimentosexperimentos

coleção ou coleta de dadoscoleção ou coleta de dados Estatística descritivaEstatística descritiva

organização, apresentação e organização, apresentação e sintetização de dadossintetização de dados

Estatística inferencialEstatística inferencialmétodos para tomada de decisões, métodos para tomada de decisões, nas situações onde existem nas situações onde existem incertezas e incertezas e VARIAÇÕESVARIAÇÕES..

FestaSlide nº 7

AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM É o processo de escolha da amostra. É a É o processo de escolha da amostra. É a

parte inicial de qualquer estudo estatístico. parte inicial de qualquer estudo estatístico. Consiste na escolha criteriosa dos elementos Consiste na escolha criteriosa dos elementos a serem submetidos ao estudo.a serem submetidos ao estudo.– Ex. Pesquisas sobre tendências de votação.Ex. Pesquisas sobre tendências de votação.

escolha da amostraescolha da amostra, , redação do questionárioredação do questionário, , a a entrevistaentrevista, a , a codificação dos dadoscodificação dos dados, a , a apuração dos resultadosapuração dos resultados são são ETAPAS ETAPAS FUNDAMENTAISFUNDAMENTAIS deste tipo de pesquisa. deste tipo de pesquisa.

FestaSlide nº 8

ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA É a É a parte mais conhecidaparte mais conhecida. Quem vê o noticiário, . Quem vê o noticiário,

na televisão ou nos jornais, sabe quão freqüente na televisão ou nos jornais, sabe quão freqüente é o uso de é o uso de médiamédia, , índicesíndices e e gráficosgráficos nas notícias. nas notícias.– Exemplo:Exemplo:

O INPC, Índice Nacional de Preços ao O INPC, Índice Nacional de Preços ao ConsumidorConsumidor– Aumento dos produtos da cesta básica.Aumento dos produtos da cesta básica.

Anuário Estatístico BrasileiroAnuário Estatístico Brasileiro– educação, saúde, transporte, economia, educação, saúde, transporte, economia, cultura etc.cultura etc.

FestaSlide nº 9

Estatística InferencialEstatística InferencialA estatística Inferencial A estatística Inferencial

faz uso das informações faz uso das informações retiradas da amostra para retiradas da amostra para conclusões (inferências), a conclusões (inferências), a respeito da população da respeito da população da qual a amostra foi qual a amostra foi retirada.retirada.

FestaSlide nº 10

POPULAÇÃO E POPULAÇÃO E AMOSTRAAMOSTRA O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural, O estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural,

social, econômico ou biológico, exige a social, econômico ou biológico, exige a coleta e coleta e análise de dados análise de dados estatísticos.estatísticos.– PopulaçãoPopulação é a coleção de é a coleção de todas as observações todas as observações

sobre determinado fenômeno.sobre determinado fenômeno.– AmostraAmostra é o conjunto de é o conjunto de dados efetivamente dados efetivamente

observadosobservados, ou , ou extraídos da populaçãoextraídos da população..Exemplo: Determinação do consumo de óleo Exemplo: Determinação do consumo de óleo diesel em ônibus, avaliação de um programa diesel em ônibus, avaliação de um programa de ensino, renda média per capita em de ensino, renda média per capita em diversas regiões do país etc.diversas regiões do país etc.

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INFERÊNCIAINFERÊNCIA A tomada de decisões sobre a população, com A tomada de decisões sobre a população, com

base nos dados da amostra, constitui o base nos dados da amostra, constitui o problema central da problema central da INFERÊNCIA ESTATÍSTICA. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA.

A tais decisões estão sempre associados um A tais decisões estão sempre associados um grau de incerteza grau de incerteza e, conseqüentemente, uma e, conseqüentemente, uma probabilidade de erroprobabilidade de erro..– Exemplo: Teste sobre medicamentos, Exemplo: Teste sobre medicamentos,

experimentos agrícolas, análise financeira, experimentos agrícolas, análise financeira, consumo de energia etc. consumo de energia etc.

FestaSlide nº 12

APRESENTAÇÃO DE APRESENTAÇÃO DE DADOSDADOS

Técnicas que permitem Técnicas que permitem detectar e corrigir detectar e corrigir erros e inconsistências erros e inconsistências ocorridos durante ocorridos durante um processo de coleta de dados e um processo de coleta de dados e determinar as principais características determinar as principais características destes dados.destes dados.– Grupamento de dados;Grupamento de dados;– Construção de distribuições de Construção de distribuições de

freqüência;freqüência;– Gráficos.Gráficos.

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Tipos de VariáveisTipos de Variáveis QualitativaQualitativa

– NominalNominalRegião de ProcedênciaRegião de Procedência

– OrdinalOrdinalEducação, Classe SocialEducação, Classe Social

QuantitativaQuantitativa– Discreta Discreta

Número de FilhosNúmero de Filhos– ContínuaContínua

Peso de Indivíduos, Salários em R$Peso de Indivíduos, Salários em R$

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GRUPAMENTO DE GRUPAMENTO DE DADOSDADOS

168 172 170 181 169 173164 175 182 177 176 173170 186 183 170 168 166169 180 175 164 181 179172 169 174 171 178 166

Alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de Alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de um clube.um clube.

FestaSlide nº 15

CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIADISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA

Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 162.000 167.000 164.500 4 0.133 4 0.133 2 167.000 172.000 169.500 9 0.300 13 0.433 3 172.000 177.000 174.500 8 0.267 21 0.700 4 177.000 182.000 179.500 6 0.200 27 0.900 5 182.000 187.000 184.500 3 0.100 30 1.000--------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367 Desvio Padrão = 5.89847 Mediana = 172.5

Alturas em cm. de 30 Alturas em cm. de 30 atletasatletas

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GRÁFICOSGRÁFICOS

157 162 167 172 177 182 187 192

Alturas

0

1

2

3

4

5

6

7

89

10

Freq

uenc

iaHistograma de Frequencia

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GRÁFICOSGRÁFICOS

157 162 167 172 177 182 187 192

Alturas

0

1

2

3

4

5

6

7

89

10

Freq

uenc

iaPoligono de Frequencias

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GRÁFICOSGRÁFICOS

157 162 167 172 177 182 187 192

Alturas

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Perc

entu

alFrequencias Relativa Acumulada

Ogiva

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GRUPAMENTO DE GRUPAMENTO DE DADOSDADOS

0 1 2 3 45 1 1 2 22 3 3 2 23 4 5 1 22 3 2 3 2

Número de filhos em 25 famílias Número de filhos em 25 famílias observadasobservadas

FestaSlide nº 20

CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE

FREQÜÊNCIAFREQÜÊNCIA Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 -0.5000 0.5000 0.000 1 0.0400 1 0.0400 2 0.5000 1.5000 1.000 4 0.1600 5 0.2000 3 1.5000 2.5000 2.000 10 0.4000 15 0.6000 4 2.5000 3.5000 3.000 6 0.2400 21 0.8400 5 3.5000 4.5000 4.000 2 0.0800 23 0.9200 6 4.5000 5.5000 5.000 2 0.0800 25 1.0000--------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4 Desvio Padrão = 1.22474 Mediana = 2

Número de filhos em 25 famílias observadasNúmero de filhos em 25 famílias observadas

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GRÁFICOSGRÁFICOS

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

Filhos

01

2345

678

910

Freq

uenc

iaHistograma de Frequencias

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GRÁFICOSGRÁFICOS

-1 0 1 2 3 4 5 6

Filhos

01

2345

67

89

10

Freq

uenc

iaPoligono de Frequencias

FestaSlide nº 23

Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados

Capítulo 2 - Algumas medidas Capítulo 2 - Algumas medidas associadas a variáveis associadas a variáveis QuantitativasQuantitativas

Medidas de PosiçãoMedidas de PosiçãoMedidas de DispersãoMedidas de DispersãoOutra Estratégia de AnáliseOutra Estratégia de AnáliseDesenho EsquemáticoDesenho Esquemático

FestaSlide nº 24

Estatísticas DescritivasEstatísticas Descritivas Tamanho da AmostraTamanho da Amostra MédiaMédia MedianaMediana ModaModa Média GeométricaMédia Geométrica VariânciaVariância Desvio-padrãoDesvio-padrão Erro-padrãoErro-padrão MínimoMínimo MáximoMáximo

AmplitudeAmplitude Quartil InferiorQuartil Inferior Quartil SuperiorQuartil Superior Intervalo Inter-quartilIntervalo Inter-quartil Assimetria “Skewnwss”Assimetria “Skewnwss” Assimetria PadronizadaAssimetria Padronizada Curtose “Kurtosis”Curtose “Kurtosis” Curtose PadronizadaCurtose Padronizada Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação SomatórioSomatório

FestaSlide nº 25

Estatística ClássicaEstatística ClássicaSuposições Probabilísticas das Variáveis EnvolvidasSuposições Probabilísticas das Variáveis EnvolvidasDeclarações sobre os Parâmetros ou Modelo Declarações sobre os Parâmetros ou Modelo UtilizadoUtilizadoNoções Assintóticas de Noções Assintóticas de

– ConsistênciaConsistência– VariânciaVariância “Grandes Amostras”“Grandes Amostras”– EficiênciaEficiência““USE A ESTATÍSTICA COMO O BÊBADO USA OS USE A ESTATÍSTICA COMO O BÊBADO USA OS

POSTES - MAIS PELO APOIO QUE PELA ILUMINAÇÃO”POSTES - MAIS PELO APOIO QUE PELA ILUMINAÇÃO”Andew LangAndew Lang

FestaSlide nº 26

Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados

Tukey J. W. (1977)Tukey J. W. (1977)– Técnicas VisuaisTécnicas Visuais

Dados = Modelo + ResíduosDados = Modelo + ResíduosModelo = parte Suave Modelo = parte Suave Resíduos = parte GrosseiraResíduos = parte Grosseira

Y X

FestaSlide nº 27

Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados

Ferramentas PrincipaisFerramentas Principais– Ramo-e-folhas - “Stem-and-Ramo-e-folhas - “Stem-and-Leaf”Leaf”

– Esquema de cinco números - Esquema de cinco números - “5-number summary”“5-number summary”

– Desenho Esquemático - “Box-Desenho Esquemático - “Box-Plot”Plot”

FestaSlide nº 28

Ramo-e-folhasRamo-e-folhas ApresentaçãoApresentação

RAMO - à esquerda da linha verticalRAMO - à esquerda da linha verticalFOLHAS - à direita da linha verticalFOLHAS - à direita da linha vertical

Vantagem sobre a Tabela de Vantagem sobre a Tabela de Freqüência:Freqüência:– Não perdemos informaçãoNão perdemos informação– Número de linhas é equivalente ao Número de linhas é equivalente ao

número de classesnúmero de classes

FestaSlide nº 29

CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE

FREQÜÊNCIAFREQÜÊNCIA

Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 162.000 167.000 164.500 4 0.133 4 0.133 2 167.000 172.000 169.500 9 0.300 13 0.433 3 172.000 177.000 174.500 8 0.267 21 0.700 4 177.000 182.000 179.500 6 0.200 27 0.900 5 182.000 187.000 184.500 3 0.100 30 1.000--------------------------------------------------------------------------------Média = 173.367 Desvio Padrão = 5.89847 Mediana = 172.5

Alturas em cm. de 30 Alturas em cm. de 30 atletasatletas

FestaSlide nº 30

RAMO-E-FOLHASRAMO-E-FOLHASDispositivo Ramo-e-folhas para ALTURAS: unidade = 1 1|2 representa 12

2 16F|44 4 16S|66 9 16o|88999 13 17*|0001 (4) 17T|2233 13 17F|455 10 17S|67 8 17o|89 6 18*|011 3 18T|23 1 18F| 1 18S|6

FestaSlide nº 31

CONSTRUÇÃO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIADISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA

Tabulação de Freqüências-------------------------------------------------------------------------------- Limite Limite Ponto Freqüência Freqüência FreqüênciaClasse Inferior Superior Médio Freqüência Relativa Acumulada Rel. Acum-------------------------------------------------------------------------------- 1 -0.5000 0.5000 0.000 1 0.0400 1 0.0400 2 0.5000 1.5000 1.000 4 0.1600 5 0.2000 3 1.5000 2.5000 2.000 10 0.4000 15 0.6000 4 2.5000 3.5000 3.000 6 0.2400 21 0.8400 5 3.5000 4.5000 4.000 2 0.0800 23 0.9200 6 4.5000 5.5000 5.000 2 0.0800 25 1.0000--------------------------------------------------------------------------------Média = 2.4 Desvio Padrão = 1.22474 Mediana = 2

Número de filhos em 25 famílias observadasNúmero de filhos em 25 famílias observadas

FestaSlide nº 32

RAMO-E-FOLHASRAMO-E-FOLHASDispositivo Ramo-e-folhas para FILHOS: unidade = 0.1 1|2 representa 1.2

LO|0

5 1|0000 (10) 2|0000000000 10 3|000000 4 4|00

HI|50,50

FestaSlide nº 33

Esquema ou Resumo de Esquema ou Resumo de 5 Números5 Números

Sugestão (Tukey) - 1977Sugestão (Tukey) - 1977(i) a mediana(i) a mediana(ii) os extremos (mínimo e máximo)(ii) os extremos (mínimo e máximo)(iii) os quartis ou juntas (inferior e superior)(iii) os quartis ou juntas (inferior e superior)

A Mediana é uma A Mediana é uma Medida ResistenteMedida Resistente, , não é afetada por valores extremos.não é afetada por valores extremos.a Média amostral e o Desvio-padrão são afetados por a Média amostral e o Desvio-padrão são afetados por valores extremosvalores extremosnão temos idéia quanto a simetria da distribuição dos não temos idéia quanto a simetria da distribuição dos dadosdados

FestaSlide nº 34

Desenho EsquemáticoDesenho Esquemático““UM DESENHOUM DESENHO ESQUEMÁTICO OU ESQUEMÁTICO OU

GRÁFICO DO ESQUEMA DE 5 GRÁFICO DO ESQUEMA DE 5 NÚMEROS NÚMEROS VALE MAIS QUE 1000 VALE MAIS QUE 1000

PALAVRAS”PALAVRAS”OUTLIERSOUTLIERS

valores abaixo da J1 - 3/2 dJvalores abaixo da J1 - 3/2 dJvalores acima da J3 + 3/2 dJ, ondevalores acima da J3 + 3/2 dJ, ondeJ1 = 1º quartil, J3 = 3º quartil e dJ = J3 - J1J1 = 1º quartil, J3 = 3º quartil e dJ = J3 - J1

FestaSlide nº 35

ExemploExemplo

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200altura de alunos em cm

0

1

2

3

4

5

6

frequenciaHistograma de Frequencias

e a Normal Ajustada

FestaSlide nº 36

ExemploExemplo

FestaSlide nº 37

Análise Exploratória de Análise Exploratória de DadosDados

Capítulo 3 - Análise BidimensionalCapítulo 3 - Análise BidimensionalVariáveis MultidimensionaisVariáveis Multidimensionais Independência de VariáveisIndependência de VariáveisMedidas de Dependência entre Medidas de Dependência entre Duas VariáveisDuas Variáveis

Diagrama de DispersãoDiagrama de DispersãoCoeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação

FestaSlide nº 38

Variáveis Variáveis MultidimensionaisMultidimensionais

Em muitas situações observamos Em muitas situações observamos duas ou mais características duas ou mais características simultaneamente, para analisar o simultaneamente, para analisar o seu comportamento. seu comportamento.

A A DISTRIBUIÇÃO CONJUNTADISTRIBUIÇÃO CONJUNTA das das freqüências será um poderoso freqüências será um poderoso instrumento na compreensão dos instrumento na compreensão dos dados.dados.

FestaSlide nº 39

Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta

Distribuição Conjunta do Grau de Instrução e Região

FestaSlide nº 40

Independência de Independência de VariáveisVariáveis

Um dos principais objetivos de uma Um dos principais objetivos de uma distribuição conjunta é descrever a distribuição conjunta é descrever a ASSOCIABILIDADE ASSOCIABILIDADE existenteexistente ENTRE ENTRE DUAS VARIÁVEISDUAS VARIÁVEIS, isto é, queremos , isto é, queremos conhecer o conhecer o GRAU DE DEPENDÊNCIAGRAU DE DEPENDÊNCIA entre elas, de modo que possamos entre elas, de modo que possamos prever melhor o resultado de uma prever melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a realização delas quando conhecemos a realização da outra.da outra.

FestaSlide nº 41

Independência de Independência de VariáveisVariáveis

Distribuição conjunta das freqüências e porcentagens segundo sexo e cursoDistribuição conjunta das freqüências e porcentagens segundo sexo e curso

FestaSlide nº 42

Medidas de Medidas de Dependência entre Dependência entre

Duas VariáveisDuas Variáveis coeficientes de associação ou coeficientes de associação ou correlaçãocorrelação– coeficiente de contingência de Karl Pearsoncoeficiente de contingência de Karl Pearson

2

2

1

2

2 121

o e

e

Cn

e C Ct

t

i i

ii

n

*( )

FestaSlide nº 43

Diagramas de Diagramas de DispersãoDispersão

150 160 170 180 190 200

Amostra Ordenada

-2.1

-1.1

-0.1

0.9

1.9

2.9

Esco

res

Padr

oniz

ados

Diagrama de Dispersoes

FestaSlide nº 44

Coeficiente de Coeficiente de CorrelaçãoCorrelação

y A Bx

Bn xy x y

n x x

Ay B x

n

rn xy x y

n x x n y y

2 2

2 2 2 2

( )

FestaSlide nº 45

Origem do Termo Origem do Termo “Regressão”“Regressão”

160 164 168 172 176 180 184altura dos pais

160

164

168

172

176

180

184

Media de alturas de filhos contraalturas composta dos pais Observado

estimadovalor y=x

FestaSlide nº 46

ProbabilidadesProbabilidades Capítulo 4 - ProbabilidadesCapítulo 4 - Probabilidades

IntroduçãoIntroduçãoAlgumas PropriedadesAlgumas PropriedadesProbabilidade Probabilidade Condicional e Condicional e IndependênciaIndependência

Teorema de BayesTeorema de Bayes

FestaSlide nº 47

ProbabilidadesProbabilidades Uma das principais ferramentas da Uma das principais ferramentas da

estatística é a estatística é a probabilidadeprobabilidade, que , que teve seu início formal com a teve seu início formal com a escolha de jogos no início do escolha de jogos no início do século XVII.século XVII.

Para seu entendimento Para seu entendimento necessitamos de alguns necessitamos de alguns conhecimentos conhecimentos BÁSICOS BÁSICOS que que seguem:seguem:

FestaSlide nº 48

ExperimentoExperimento É qualquer processo ou estudo de É qualquer processo ou estudo de

coletar dados revelantes, os quais coletar dados revelantes, os quais exibem variações em seus exibem variações em seus resultados, resultados estes resultados, resultados estes desconhecidos de ante mão.desconhecidos de ante mão.– Ex. Lançamento de um dado Ex. Lançamento de um dado honesto e observar a cada honesto e observar a cada arremesso a face voltada para cima.arremesso a face voltada para cima.

FestaSlide nº 49

Espaço Amostral Espaço Amostral ““”” O espaço amostral “O espaço amostral “”, é o conjunto ”, é o conjunto

de todos os resultados possíveis, de todos os resultados possíveis, elementares e indivisíveis do elementares e indivisíveis do experimento, onde cada resultado é experimento, onde cada resultado é um evento simples.um evento simples.– Ex. Lançamento de um dado Ex. Lançamento de um dado honestohonesto = { f1, f2, f3, f4, f5, f6 }= { f1, f2, f3, f4, f5, f6 }

FestaSlide nº 50

EventoEvento Um evento, indicado pelas letras A, B, ..., Um evento, indicado pelas letras A, B, ...,

é qualquer subconjunto do espaço é qualquer subconjunto do espaço amostral “amostral “”.”.– Exemplo 1: A ocorrência de face impar, Exemplo 1: A ocorrência de face impar,

no lançamento de um dado honesto.no lançamento de um dado honesto.evento A = { f1, f3, f5 }evento A = { f1, f3, f5 }

– Exemplo 2: A ocorrência de face par, no Exemplo 2: A ocorrência de face par, no lançamento de um dado honesto.lançamento de um dado honesto.evento B = { f2, f4, f6 }evento B = { f2, f4, f6 }

FestaSlide nº 51

-álgebra-álgebraUma Uma -álgebra é uma classe de -álgebra é uma classe de

subconjuntos do espaço subconjuntos do espaço amostral, amostral, , satisfazendo os , satisfazendo os seguintes axiomas:seguintes axiomas:iii Se A então Aiii Se A e B então A B

)) ,) ,

FestaSlide nº 52

Definição de Definição de ProbabilidadeProbabilidade

Definição ClássicaDefinição ClássicaDefinição FreqüentistaDefinição FreqüentistaDefinição GeométricaDefinição GeométricaDefinição AxiomáticaDefinição Axiomática

FestaSlide nº 53

Definição AxiomáticaDefinição Axiomática

( ) ( )( ) ( )( ) , , . . .,

, ( , , ; , , , , . . .) ,

[ ] [ ]

i P Aii Piii Se A A é uma sequencia de eventos mutuamente exclusivos em

isto é A A i j i j e se A então

P A P A

i j ii

ii

ii

01

1 2

1 2

1

1 1

FestaSlide nº 54

Algumas PropriedadesAlgumas Propriedades. [ ]. , , . . ., ,

[ ] [ ]

. , [ ] [ ]

. [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

. [

PSe A A A são eventos mutuamente exclusivos em então

P A P A

Se A é um evento em então P A P ASe A e A então P A P A A P A A eP A A P A A P A P A ASe A e A então P A A

n

i ii

n

i

n

0

1

1 2

11

1 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 211

] [ ] [ ] [ ], [ ] [ ]

. , , . . ., , [ ] [ ]

P A P A P A ASe A e A e A A então P A P A

Se A A A então P A P An i ii

n

i

n

FestaSlide nº 55

Probabilidade Probabilidade CondicionalCondicional

P A BP ABP B

se P B desta forma

P AB P B P A B P A P B A

[ | ][ ][ ]

[ ] ,

[ ] [ ]. [ | ] [ ]. [ | ].

0

FestaSlide nº 56

Teorema da Teorema da Probabilidade TotalProbabilidade Total

P A P A B P Bj jj

n

[ ] [ | ]. [ ]

1

FestaSlide nº 57

Teorema de BayesTeorema de Bayes

P B AP A B P B

P A B P Bk

k k

j jj

n[ | ][ | ]. [ ]

[ | ]. [ ]

1

FestaSlide nº 58

Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação

P A B C P AP B AP C A B

( ) ( )( | )( | )

P A A A P A P A A P A A A P A A A An n n[ . ..... ] [ ]. [ | ]. [ | ]. . . . . [ | . ... ]1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1

FestaSlide nº 59

IndependênciaIndependência

( ) [ ] [ ]. [ ]( ) [ | ] [ ] [ ]( ) [ | ] [ ] [ ]

i P AB P A P Bii P A B P A se P Biii P B A P B se P A

00

FestaSlide nº 60

Variável AleatóriaVariável AleatóriaUma variável aleatória, indicada Uma variável aleatória, indicada

por X, é uma função com por X, é uma função com domínio o espaço amostral e domínio o espaço amostral e contradomínio o conjunto dos contradomínio o conjunto dos números Reais, tal que, o evento números Reais, tal que, o evento [ X [ X x ] pertence a x ] pertence a -álgebra -álgebra para todos os valores de x que para todos os valores de x que pertencem aos no.s reais.pertencem aos no.s reais.

FestaSlide nº 61

Função DistribuiçãoFunção DistribuiçãoUma Função Distribuição, indicada Uma Função Distribuição, indicada

por F(x), é uma função, com domínio por F(x), é uma função, com domínio os Reais e contradomínio o intervalo os Reais e contradomínio o intervalo [0,1], satisfazendo as seguintes [0,1], satisfazendo as seguintes propriedades:propriedades:– F(x) é não decrescente;F(x) é não decrescente;– F(x) é contínua à direita;F(x) é contínua à direita;– F(-F(-) = 0 e F() = 0 e F() = 1) = 1

FestaSlide nº 62

Função Distribuição Função Distribuição AcumuladaAcumulada

Dada a variável aleatória X, Dada a variável aleatória X, chamaremos de função chamaremos de função distribuição acumulada a distribuição acumulada a funçãofunçãoF x P X x x( ) ( ),

FestaSlide nº 63

O Conceito de O Conceito de Variável Aleatória Variável Aleatória

DiscretaDiscretaUma variável aleatória X, é dita Uma variável aleatória X, é dita

discreta, se ela assume um discreta, se ela assume um número finito ou infinito número finito ou infinito enumerável.enumerável.

A função, indicada por A função, indicada por p(x)p(x), nós , nós chamamos chamamos função de função de probabilidadeprobabilidade da variável aleatória da variável aleatória discreta X.discreta X.

FestaSlide nº 64

Função de Função de ProbabilidadeProbabilidade

i p x

ii p xx

) ( )

) ( )

0

1

FestaSlide nº 65

O Conceito de O Conceito de Variável Aleatória Variável Aleatória

ContínuaContínuaUma variável aleatória, Uma variável aleatória, indicada por X, é dita indicada por X, é dita contínua, se existe uma contínua, se existe uma função função f(x)f(x), chamada , chamada função função densidade de probabilidadedensidade de probabilidade, , tal que: tal que: f x dx( ) z

FestaSlide nº 66

Função Densidade de Função Densidade de ProbabilidadeProbabilidade

i f x

ii f x dx

) ( )

) ( )

z0

1

FestaSlide nº 67

Valor Esperado de uma Valor Esperado de uma Variável AleatóriaVariável Aleatória

Dada uma variável aleatória X, Dada uma variável aleatória X, chamamos valor médio ou esperança chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valormatemática de X ao valor

E xx p x discretax f x dx continua

( )( ),

( ) ,

FestaSlide nº 68

Valor Esperado de Valor Esperado de Uma Função de uma Uma Função de uma Variável Aleatória X Variável Aleatória X

“g(X)”“g(X)”Dada a variável aleatória X, chamamos Dada a variável aleatória X, chamamos esperança ou valor esperado da função esperança ou valor esperado da função g(x) ao valor:g(x) ao valor:

E g xg x p xg x f x dx

[ ( )]( ) ( )

( ) ( )RS|T|z

FestaSlide nº 69

PropriedadesPropriedades

Se g(x) = aX + b,Se g(x) = aX + b,– E[g(x)] = E(aX + b) = a E(X) + bE[g(x)] = E(aX + b) = a E(X) + b

Se g(x) =[X - E(X)]Se g(x) =[X - E(X)]22 – E[g(x)] = Var(X)E[g(x)] = Var(X)

FestaSlide nº 70

Alguns Modelos DiscretosAlguns Modelos DiscretosDistribuição Uniforme DiscretaDistribuição Uniforme DiscretaDistribuição BernoulliDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição BinomialDistribuição HipergeométricaDistribuição HipergeométricaDistribuição GeométricaDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa Distribuição Binomial Negativa Distribuição PoissonDistribuição Poisson

FestaSlide nº 71

Alguns Modelos ContínuosAlguns Modelos Contínuos Uniforme ContínuaUniforme Contínua NormalNormal Exponencial Exponencial GamaGama BetaBeta CauchyCauchy LognormalLognormal Dupla-exponencialDupla-exponencial

Weibull Weibull LogísticaLogística ParetoPareto Gumbel (Valor Gumbel (Valor

Extremo)Extremo) t-Student’st-Student’s F-Snedecor’sF-Snedecor’s Qui-quadradoQui-quadrado Normal BivariadaNormal Bivariada

FestaSlide nº 72

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias MultidimensionaisMultidimensionais

Capítulo 7 - Variáveis Aleatórias Capítulo 7 - Variáveis Aleatórias MultidimensionaisMultidimensionais– Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta– Distribuições Marginais e CondicionaisDistribuições Marginais e Condicionais– Funções de Variáveis AleatóriasFunções de Variáveis Aleatórias– Covarância de Duas Variáveis Covarância de Duas Variáveis

AleatóriasAleatórias– Variáveis ContínuasVariáveis Contínuas

FestaSlide nº 73

Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta Em muitos experimentos, a um mesmo ponto Em muitos experimentos, a um mesmo ponto

amostral amostral ,atribuímos valores de duas ou mais ,atribuímos valores de duas ou mais variáveis aleatórias.variáveis aleatórias.– Ex. Suponha que queremos estudar a composição Ex. Suponha que queremos estudar a composição

de famílias com 3 crianças, quanto ao sexo.de famílias com 3 crianças, quanto ao sexo.X = número de meninosX = número de meninosY = 1 (se for homem) e 0 (se for mulher)Y = 1 (se for homem) e 0 (se for mulher)Z = no. de vezes que houve variação do sexoZ = no. de vezes que houve variação do sexoW = número de meninasW = número de meninas

FestaSlide nº 74

Função Densidade Função Densidade ConjuntaConjunta

i f x

ii f x y dx dy

) ( )

) ( , )

zz0

1

FestaSlide nº 75

Tabela de Tabela de ProbabilidadesProbabilidades

FestaSlide nº 76

Distribuições Marginais Distribuições Marginais

f xf x y

f x y dy( )

( , )

( , )

FestaSlide nº 77

Distribuições Distribuições CondicionaisCondicionais

f x yf x yf y

( | )( , )( )

FestaSlide nº 78

Distribuições Distribuições IndependentesIndependentes

f x y f x f y( , ) ( ) ( )

FestaSlide nº 79

Covariância de duas Covariância de duas variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias

Cov XY E X E X Y E Y( ) [( ( )( ( )]

XY XY X Y

FestaSlide nº 80

Coeficiente de Coeficiente de Correlação de X e YCorrelação de X e Y

( , ) ( , )( ) ( )

X Y Cov X YVar X Var Y

1 1 XY

XY

X y

FestaSlide nº 81

Referências Referências BibliográficasBibliográficas

Montgomery, Douglas C. & Runger, George C. Applied statistics and probability for engineers. New York, Wiley, 1994.

Montgomery, Douglas C., Introduction to statistical quality control. New York, Wiley, 1991.

Bussab, Wilton O., Estatística Básica. 4.ed. São Paulo, 1987

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